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9.2 直线、圆的位置关系
考点清单
学生用书P78 知识结构化 考点清单化
考点一 两直线间的位置关系 方法
几何法 代数法
位置关系
１.两直线间的位置关系
斜截式 一般式 相交 ｄ ｒ Δ
< >０
方程
ｙ ＝ ｋ １ ｘ ＋ ｂ １ ꎬｙ ＝ ｋ ２ ｘ ＋ ｂ ２ Ａ １ ｘ ＋ Ｂ １ ｙ ＋ Ｃ １＝０ ꎬＡ ２ ｘ ＋ Ｂ ２ ｙ ＋ Ｃ ２＝０ 相切 ｄ ＝ ｒ Δ ＝０
相交 ｋ ｋ Ａ Ｂ Ａ Ｂ 相离 ｄ ｒ Δ
１≠ ２ １ ２≠ ２ １ > <０
垂直 ｋ ｋ Ａ Ａ Ｂ Ｂ ２.当直线ｌ与圆相离时 圆上动点Ｐ到直线ｌ的距离的最大值
１ ２＝－１ １ ２＋ １ ２＝０ ꎬ
为ｄ ｒ 最小值为ｄ ｒ. ｄ为圆心到直线ｌ的距离 ｒ为半径
{Ａ Ｂ Ａ Ｂ ꎬ ＋ ꎬ － ( ꎬ )
１ ２＝ ２ １ 或
平行 ｋ ｋ 且ｂ ｂ Ａ １ Ｃ ２≠ Ａ ２ Ｃ １ ３.直线被圆所截得的弦长为 ２ ｒ２ － ｄ２ ( ｒ为半径 ꎬ ｄ为圆心到直
１＝ ２ １≠ ２ {Ａ １ Ｂ ２＝ Ａ ２ Ｂ １ ꎬ ４ 线 .圆 的 与 距 圆 离 的 ) . 位置关系判断可以采用几何法 圆心距与两圆半径
Ｂ １ Ｃ ２≠ Ｂ ２ Ｃ １ 的关系 也可采用代数法 两圆方程联立方 : 程组的解的情况 进
Ａ Ｂ Ａ Ｂ Ａ Ｃ Ａ Ｃ Ｂ Ｃ ꎬ : ꎬ
重合 ｋ ｋ 且ｂ ｂ １ ２－ ２ １＝ １ ２－ ２ １＝ １ ２－ 行判断.
１＝ ２ １＝ ２ Ｂ Ｃ
２ １＝０
２.距离公式
点Ｐ(ｘ ꎬｙ )ꎬＰ(ｘ ꎬｙ )之 Ｐ Ｐ
１ １ １ ２ ２ ２ ｜ １ ２｜＝
间的距离 (ｘ ｘ )２ (ｙ ｙ )２
１－ ２ ＋ １－ ２
点Ｐ(ｘ ꎬｙ )到直线ｌ:Ａｘ Ａｘ Ｂｙ Ｃ
０ ０ ０ ＋ ｄ ｜ ０＋ ０＋ ｜
Ｂｙ
＋
Ｃ
＝０
的距离 ＝ Ａ２
＋
Ｂ２
方法一:两条平行线间的距离可以
两条平行线Ａｘ Ｂｙ Ｃ
＋ ＋ １＝０ 转化为点到直线的距离ꎻ
与Ａｘ Ｂｙ Ｃ (Ｃ Ｃ )
间的距 ＋ 离 ＋ ２＝０ １≠ ２ 方法二:ｄ ｜ Ｃ １－ Ｃ ２｜ ＝
Ａ２ Ｂ２
＋
考点二 直线与圆、圆与圆的位置关系
１.直线与圆的位置关系的判断
设直线ｌ Ａｘ Ｂｙ Ｃ 圆 ｘ ａ ２ ｙ ｂ ２ ｒ２ ｒ ｄ为圆心
: ＋ ＋ ＝０ꎬ :( － ) ＋( － ) ＝ ( >０)ꎬ
ａ ｂ 到直线ｌ的距离 联立直线和圆的方程 消元后得到的一
( ꎬ ) ꎬ ꎬ
元二次方程的判别式为Δ.
年
高
考
年
模
拟
︵
教
师
用
书
︶
１ ７８
拓展 .圆的切线方程问题
１
( )圆的方程为ｘ２ ｙ２ ｒ２ꎬ点Ｍ(ｘ ꎬｙ )ꎬ若点Ｍ在圆上ꎬ则
１ ＋ ＝ ０ ０
过点Ｍ的切线方程为ｘ ｘ ｙ ｙ ｒ２.
０ ＋ ０ ＝
( )过圆(ｘ ａ)２ (ｙ ｂ)２ ｒ２ 上一点Ｐ(ｘ ꎬｙ )的切线方程
２ － ＋ － ＝ ０ ０
为(ｘ ａ)(ｘ ａ) (ｙ ｂ)(ｙ ｂ) ｒ２.
０－ － ＋ ０－ － ＝
( )过圆ｘ２ ｙ２ ｒ２ 外一点Ｐ(ａꎬｂ)作圆的切线ＰＡꎬＰＢꎬ其中
３ ＋ ＝
ＡꎬＢ为切点ꎬ则直线 ＡＢ 的方程为 ａｘ ｂｙ ｒ２ꎬ切线长 ＰＡ
＋ ＝ ｜ ｜
ａ２ ｂ２ ｒ２.
＝ ＋ －
( )过圆ｘ２ ｙ２ Ｄｘ Ｅｙ Ｆ (Ｄ２ Ｅ２ Ｆ )外一点Ｐ(ｘ ꎬ
４ ＋ ＋ ＋ ＋ ＝０ ＋ －４ >０ ０
ｙ ) 引 圆 的 切 线ꎬ 切 点 为 Ｔꎬ 则 切 线 长 ＰＴ ０ ｜ ｜
ｘ２ ｙ２ Ｄｘ Ｅｙ Ｆ.
＝ ０＋ ０＋ ０＋ ０＋
.两圆的公共弦所在直线方程
２
Ｏ :ｘ２ ｙ２ Ｄ ｘ Ｅ ｙ Ｆ (Ｄ２ Ｅ２ Ｆ )ꎬ Ｏ :ｘ２ ｙ２
☉ １ ＋ ＋ １ ＋ １ ＋ １＝０ １＋ １－４ １>０ ☉ ２ ＋ ＋
Ｄ ｘ Ｅ ｙ Ｆ (Ｄ２ Ｅ２ Ｆ ).若 Ｏ 与 Ｏ 相交ꎬ则
２ ＋ ２ ＋ ２＝０ ２＋ ２－４ ２>０ ☉ １ ☉ ２
(Ｄ Ｄ )ｘ (Ｅ Ｅ )ｙ Ｆ Ｆ 表示两圆的公共弦所在直线
１－ ２ ＋ １－ ２ ＋ １－ ２＝０
方程.
题型方法
学生用书P79 题型经典 方法实用
一、有关圆的弦长问题的解法
１０５ ２ １０５
１.几何法 设圆的半径为 ｒ 弦心距为 ｄ 弦长为 Ｌ 则有 Ｌ Ａ. Ｂ.
: ꎬ ꎬ ꎬ ＝ ５ ５
ｒ２ ｄ２
２ － ꎻ ２ １４５ ２ １０５或２ １４５
２.代数法 设直线与圆相交于Ａ ｘ ｙ Ｂ ｘ ｙ 两点 联立直 Ｃ. Ｄ.
: ( １ꎬ １)ꎬ ( ２ꎬ ２) ꎬ ５ ５ ５
{ｙ ｋｘ ｂ 解析 易知过点 和 且半径为 的圆的方程为
线与圆的方程得 ＝ ＋ ꎬ 消去ｙ后得到一个关于 (０ꎬ１) (２ꎬ１) ５
ｘ ａ ２ ｙ ｂ ２ ｒ２ ｘ ２ ｙ ２ 或 ｘ ２ ｙ ２ 则圆心到直线ｙ
( － ) ＋( － ) ＝ ꎬ ( －１) ＋( ＋１) ＝５ ( －１) ＋( －３) ＝５ꎬ ＝
ｘ的一元二次方程 从而求出 ｘ ｘ ｘ ｘ 则弦长 ＡＢ
ꎬ １＋ ２ꎬ １ ２ꎬ ｜ ｜ ＝ ｘ 的距离ｄ ｜２＋１－１｜ ２ ５或ｄ ｜２－３－１｜ ２ ５
２ －１ ＝ ＝ ＝ ＝ ꎬ
１＋ ｋ２ ( ｘ １＋ ｘ ２) ２ －４ ｘ １ ｘ ２( ｋ为直线的斜率 ) . ２ ２ ＋(－１) ２ ５ ２ ２ ＋(－１) ２ ５
例1 (２０２１河北衡水中学全国高三第二次联考ꎬ４)直线ｙ ＝２ ｘ
则弦长为 ２
æ
ç２ ５
ö
÷
２
２ １０５.
被过点 和 且半径为 的圆截得的弦长为 ２× ( ５) －è ø ＝
－１ (０ꎬ１) (２ꎬ１)ꎬ ５ ５ ５
答案 Ｂ
( )
二、圆的切线问题
得ｋ ３
１.求过圆上一点 ｘ ｙ 的圆的切线方程的方法 ＝ ꎬ
( ０ꎬ ０) ４
若切线斜率存在且不为零 先求切点和圆心连线的斜率ｋ 由
ꎬ ꎬ 切线方程为ｙ ３ ｘ 即 ｘ ｙ .
∴ －１＝ ( －３)ꎬ ３ －４ －５＝０
垂直关系知切线斜率为 １ 由点斜式可求切线方程 若切线 ４
－ ｋ ꎬ ꎻ 若切线斜率不存在 则直线为ｘ 而圆心Ｃ 到直线ｘ
ꎬ ＝３ꎬ (１ꎬ２) ＝３
斜率不存在或为零 则可写出切线的方程为ｘ ｘ 或ｙ ｙ . 的距离ｄ ｒ 即直线ｘ 过点Ｍ且与圆相切.
ꎬ ＝ ０ ＝ ０ ＝２＝ ꎬ ＝３
２.求过圆外一点 ｘ ｙ 的圆的切线方程的方法 必有两条切 综上 过点Ｍ的圆Ｃ的切线方程为ｘ 或 ｘ ｙ .
( ０ꎬ ０) ( ꎬ ＝３ ３ －４ －５＝０
线 ) ∵ ｜ ＭＣ ｜＝ (３－１) ２ ＋(１－２) ２ ＝ ５ꎬ
几何法 当切线斜率存在时 设斜率为ｋ 则切线方程为ｙ
(１) : ꎬ ꎬ － 过点Ｍ的圆Ｃ的切线长为 ＭＣ ２ ｒ２ .
ｙ ｋ ｘ ｘ 即ｋｘ ｙ ｙ ｋｘ 由圆心到切线的距离等于半 ∴ ｜ ｜ － ＝ ５－４＝１
０＝ ( － ０)ꎬ － ＋ ０－ ０＝０ꎬ 三、与圆有关的最值问题
径列出关于ｋ的方程 解方程即可得到ｋ的值 从而可得切线
ꎬ ꎬ 解决与圆有关的最值问题的步骤
方程 当切线斜率不存在时 可写出切线的方程为ｘ ｘ 代 :
ꎬ ꎬ ＝ ０ꎻ(２) 定圆 确定已知圆的圆心与半径
数法 当切线斜率存在时 设斜率为 ｋ 则切线方程为 ｙ ｙ (１) : ꎻ
: ꎬ ꎬ － ０＝ 定距 确定动点 动直线 定点 定直线间的距离 以及相互
ｋ ｘ ｘ 即ｋｘ ｙ ｙ ｋｘ 代入圆的方程 得到一个关于ｘ (２) : 、 、 、 ꎬ
( － ０)ꎬ － ＋ ０－ ０＝０ꎬ ꎬ 间的等量关系 必要时数形结合
或ｙ 的一元二次方程 由Δ 求得ｋ的值 从而得到切线方 ꎬ ꎻ
( ) ꎬ ＝０ ꎬ 寻转化 一般将动点与动点 动点与动直线间的距离问题
程 当切线斜率不存在时 可直接写出切线的方程为ｘ ｘ . (３) : 、
ꎬ ꎬ ＝ ０ 转化为动点与定点 如圆心 间的距离问题 或者表示为函数
( ) ꎬ
例2 已知点Ｐ Ｍ 圆Ｃ ｘ ２ ｙ ２ 形式 结合圆上的点 ｘ ｙ 满足的条件求解
( ２＋１ꎬ２－ ２)ꎬ (３ꎬ１)ꎬ :( －１) ＋( －２) ꎬ ( ꎬ ) ꎻ
. 下结论 把所求问题与上述距离问题相联系 从而求出
＝４ (４) : ꎬ
求过点Ｐ的圆Ｃ的切线方程 结果.
(１) ꎻ
(２)
求过点Ｍ的圆Ｃ的切线方程
ꎬ
并求出切线长. 例3 圆ｘ２
＋
ｙ２
－４
ｘ
－４
ｙ
－１０＝０
上的点到直线ｘ
＋
ｙ
－１４＝０
的最大
解析 由题意得 圆Ｃ的圆心为Ｃ 半径ｒ . 距离与最小距离的差是
ꎬ (１ꎬ２)ꎬ ＝２ ( )
２ ２
(１)∵ ( ２＋１－１) ＋(２－ ２－２) ＝４ꎬ Ａ.３６ Ｂ.１８ Ｃ.６ ２ Ｄ.５ ２
∴ 点Ｐ在圆Ｃ上. 解析 ｘ２ ＋ ｙ２ －４ ｘ －４ ｙ －１０＝０ 即 ( ｘ －２) ２ ＋( ｙ －２) ２ ＝１８ꎬ 圆心坐
又ｋ ＰＣ＝ ２－ ２－２ ＝－１ꎬ 利用直线ＣＰ与切线垂直可得切线的斜 标为 (２ꎬ２)ꎬ 半径ｒ ＝３ ２ .
２＋１－１ 因为圆心到直线ｘ ｙ 的距离ｄ ｜２＋２－１４｜
＋ －１４＝０ ＝ ＝５ ２>３ ２ꎬ
率ｋ ＝－ｋ １ ＝１ꎬ∴ 过点Ｐ的圆Ｃ的切线方程为ｙ －(２－ ２)＝ ｘ － ２
ＰＣ 所以直线与圆相离
ꎬ
即ｘ ｙ . 所以该圆上的点到直线的最大距离为ｄ ｒ 最小距离为ｄ ｒ 最
( ２＋１)ꎬ － ＋１－２ ２＝０ ＋ ꎬ － ꎬ
(２)∵ (３－１) ２ ＋(１－２) ２ ＝５>４ꎬ 大距离与最小距离的差是 ｒ .
点Ｍ在圆Ｃ外. ２ ＝６ ２
∴ 答案 Ｃ
若切线斜率存在 则设切线的斜率为ｋ 则切线方程为 ｙ
ꎬ ꎬ －１＝
ｋ ｘ 即ｋｘ ｙ ｋ .
( －３)ꎬ － ＋１－３ ＝０
ｋ ｋ
由圆心到切线的距离等于半径可得ｄ ｜ －２＋１－３ ｜ ｒ 解
＝
ｋ２
＝ ＝２ꎬ
＋１
第
九 章
直
线
和
圆
的
方
程
１ ７９
五年 考点式编排 五年 考点式编排 三年 考点基础练 一年 甄选情境素养
高考 题组式训练 高考 题组式训练 模拟 综合提升练 创新 专家独家命制
2018—2022 —
２０１２ ２０１７
考点一 两直线间的位置关系 答案 Ｃ
学生用书P237
１.(２０１２浙江ꎬ３ꎬ５分ꎬ基础性)设ａ ∈ Ｒ ꎬ 则 “ ａ ＝１” 是 “ 直线ｌ １: ３
点
.(
Ｐ
２０１８北
θ
京理
θ
ꎬ７
到
ꎬ５
直
分
线
ꎬ综
ｘ
合
ｍｙ
性)在平
的
面
距
直
离
角
.
坐
当
标
θ
系
ｍ
中
变
ꎬ
化
记
时
ｄ为
ｄ
ａｘ ｙ 与直线ｌ ｘ ａ ｙ 平行 的 (ｃｏｓ ꎬｓｉｎ ) － －２＝０ ꎬ ꎬ
＋２ －１＝０ ２: ＋( ＋１) ＋４＝０ ” ( )
的最大值为
充分不必要条件 必要不充分条件
( )
Ａ. Ｂ.
充分必要条件 既不充分也不必要条件
Ａ.１ Ｂ.２ Ｃ.３ Ｄ.４
Ｃ. Ｄ.
答案 Ａ 答案 Ｃ
２.(２０１３辽宁ꎬ９ꎬ５分ꎬ综合性)已知点Ｏ Ａ ｂ Ｂ ａ ４.(２０１７ 上海春ꎬ５ꎬ４ 分ꎬ创新性)若关于 ｘ ｙ 的方程组
、
ａ３ ) .若 △ ＯＡＢ为直角三角形 ꎬ 则必有 (０ꎬ０)ꎬ (０ꎬ ) ( ꎬ ( ) ꎬ {ｘ ＋２ ｙ ＝４ꎬ无解 则实数ａ .
ｘ ａｙ ꎬ ＝ Ａ. ｂ ＝ ａ３ ３ ＋ ＝６
答案
Ｂ.
ｂ
＝
ａ３
＋ ａ
１
５.(２０１４ 江
６
苏ꎬ１１ꎬ５分ꎬ综合性)在平面直角坐标系ｘＯｙ中 若
ꎬ
( ) ｂ
Ｃ.(
ｂ
－
ａ３
)
ｂ
－
ａ３
－ ａ
１
＝０
曲线ｙ
＝
ａｘ２
＋ ｘ (
ａ
ꎬ
ｂ为常数
)
过点Ｐ
(２ꎬ－５)ꎬ
且该曲线在点Ｐ
处的切线与直线 ｘ ｙ 平行 则ａ ｂ的值是 .
ｂ ａ３ ｂ ａ３ １ ７ ＋２ ＋３＝０ ꎬ ＋
Ｄ.｜ － ｜＋ － － ａ ＝０ 答案
－３
６.(２０１４四川ꎬ１４ꎬ５分ꎬ综合性)设ｍ Ｒ 过定点Ａ的动直线ｘ
∈ ꎬ Ａ.１ Ｂ.２ Ｃ.３ Ｄ.４
ｍｙ 和过定点Ｂ的动直线ｍｘ ｙ ｍ 交于点Ｐ ｘ ｙ 答案 Ｂ
＋ ＝０ － － ＋３＝０ ( ꎬ )ꎬ
则 ＰＡ ＰＢ 的最大值是 . ６.(２０１８课标 文ꎬ８ꎬ５ 分ꎬ综合性)直线 ｘ ｙ 分别与 ｘ
｜ ｜｜ ｜ Ⅲ ＋ ＋２＝０
答案 轴 ｙ轴交于Ａ Ｂ两点 点Ｐ在圆 ｘ ２ ｙ２ 上 则 ＡＢＰ
５ ꎬ ꎬ ꎬ ( －２) ＋ ＝２ ꎬ △
考点二 直线与圆、圆与圆的位置关系 面积的取值范围是
( )
学生用书P237 Ａ.[２ꎬ６] Ｂ.[４ꎬ８]
１.(２０２０课标 理ꎬ１１ꎬ５分ꎬ综合性)已知 Ｍ ｘ２ ｙ２ ｘ ｙ Ｃ.[ ２ꎬ３ ２] Ｄ.[２ ２ꎬ３ ２]
Ⅰ ☉ : ＋ －２ －２ －２ 答案 Ａ
直线ｌ ｘ ｙ Ｐ为ｌ上的动点.过点Ｐ作 Ｍ的切线
＝０ꎬ :２ ＋ ＋２＝０ꎬ ☉ ７.(多选)(２０２１新高考 ꎬ１１ꎬ５分ꎬ综合性)已知点Ｐ在圆 ｘ
ＰＡ ＰＢ 切点为Ａ Ｂ 当 ＰＭ ＡＢ 最小时 直线ＡＢ的方程为 Ⅰ ( －
ꎬ ꎬ ꎬ ꎬ ｜ ｜｜ ｜ ꎬ
２ ｙ ２ 上 点Ａ Ｂ 则
５) ＋( －５) ＝１６ ꎬ (４ꎬ０)ꎬ (０ꎬ２)ꎬ ( )
( )
点Ｐ到直线ＡＢ的距离小于
ｘ ｙ ｘ ｙ Ａ. １０
Ａ.２ － －１＝０ Ｂ.２ ＋ －１＝０
点Ｐ到直线ＡＢ的距离大于
ｘ ｙ ｘ ｙ Ｂ. ２
Ｃ.２ － ＋１＝０ Ｄ.２ ＋ ＋１＝０
答案 Ｄ 当 ＰＢＡ最小时 ＰＢ
Ｃ. ∠ ꎬ｜ ｜＝３ ２
２.(２０１５重庆ꎬ８ꎬ５分ꎬ基础性)已知直线ｌ ｘ ａｙ ａ Ｒ 当 ＰＢＡ最大时 ＰＢ
: ＋ －１＝０( ∈ ) Ｄ. ∠ ꎬ｜ ｜＝３ ２
是圆Ｃ ｘ２ ｙ２ ｘ ｙ 的对称轴.过点Ａ ａ 作圆Ｃ的 答案 ＡＣＤ
: ＋ －４ －２ ＋１＝０ (－４ꎬ )
一条切线
ꎬ
切点为Ｂ
ꎬ
则
｜
ＡＢ
｜＝ ( ) ８.(２０２２全国甲理ꎬ１４ꎬ５分ꎬ综合性)若双曲线ｙ２
ｘ２
ｍ
－ｍ２ ＝１( >
Ａ.２ Ｂ.４ ２ Ｃ.６ Ｄ.２ １０
答案 Ｃ 的渐近线与圆ｘ２ ｙ２ ｙ 相切 则ｍ .
０) ＋ －４ ＋３＝０ ꎬ ＝
３.(２０１５广东ꎬ５ꎬ５分ꎬ基础性)平行于直线 ｘ ｙ 且与圆
２ ＋ ＋１＝０ 答案 ３
ｘ２ ｙ２ 相切的直线的方程是
＋ ＝５ ( ) ３
ｘ ｙ 或 ｘ ｙ ９.(２０２２新高考 ꎬ１４ꎬ５分ꎬ综合性)写出与圆ｘ２ ｙ２ 和 ｘ
Ａ.２ ＋ ＋５＝０ ２ ＋ －５＝０ Ⅰ ＋ ＝１ ( －
Ｂ.２ ｘ ＋ ｙ ＋ ５＝０ 或 ２ ｘ ＋ ｙ － ５＝０ ３) ２ ＋( ｙ －４) ２ ＝１６ 都相切的一条直线的方程 .
Ｃ.２ ｘ － ｙ ＋５＝０ 或 ２ ｘ － ｙ －５＝０ 答案 ｘ ＝－１ (或 ３ ｘ ＋４ ｙ －５＝０ 或 ７ ｘ －２４ ｙ －２５＝０ )
１０.(２０２２新高考 ꎬ１５ꎬ５分ꎬ综合性)设点Ａ Ｂ ａ
ｘ ｙ 或 ｘ ｙ Ⅱ (－２ꎬ３)ꎬ (０ꎬ )ꎬ
Ｄ.２ 答 － 案 ＋ Ａ ５＝０ ２ － － ５＝０ 若直线ＡＢ关于ｙ ＝ ａ对称的直线与圆 ( ｘ ＋３) ２ ＋( ｙ ＋２) ２ ＝１ 有公
共点 则ａ的取值范围是 .
４.(２０１５山东ꎬ９ꎬ５分ꎬ综合性)一条光线从点 射出 经 ꎬ
(－２ꎬ－３) ꎬ [ ]
ｙ轴反射后与圆 ｘ ２ ｙ ２ 相切 则反射光线所在直 答案 １ ꎬ３
( ＋３) ＋( －２) ＝１ ꎬ
线的斜率为 ３ ２
( ) １１.(２０２０天津ꎬ１２ꎬ５分ꎬ基础性)已知直线ｘ ｙ 和圆
－ ３ ＋８＝０
Ａ.－ ５ 或 － ３ Ｂ.－ ３ 或 － ２ ｘ２
＋
ｙ２
＝
ｒ２
(
ｒ
>０)
相交于 Ａ
ꎬ
Ｂ 两点.若
｜
ＡＢ
｜ ＝ ６ꎬ
则 ｒ 的值
３ ５ ２ ３
为 .
５ 或 ４ ４ 或 ３
Ｃ.－ － Ｄ.－ － 答案
４ ５ ３ ４ ５
答案 Ｄ １２.(２０１８课标 文ꎬ１５ꎬ５分ꎬ基础性)直线ｙ ｘ 与圆ｘ２ ｙ２
Ⅰ ＝ ＋１ ＋ ＋
５.(２０２０课标
Ⅰ
文ꎬ６ꎬ５分ꎬ综合性)已知圆ｘ２
＋
ｙ２
－６
ｘ
＝０ꎬ
过点
２
ｙ
－３＝０
交于Ａ
ꎬ
Ｂ两点
ꎬ
则
｜
ＡＢ
｜＝
.
的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为 答案
(１ꎬ２) ( ) ２ ２
年
高
考
年
模
拟
︵
教
师
用
书
︶
１ ８０
三年 考点基础练 五年 考点式编排 三年 考点基础练 一年 甄选情境素养
模拟 综合提升练 高考 题组式训练 模拟 综合提升练 创新 专家独家命制
2020—2022
A组 考点基础题组 学生用书P238
考点一 两直线间的位置关系
３
１.(２０２２福建莆田一模ꎬ３)若直线 ｌ ａ ｘ ｙ 与直线 Ａ.２－ ３ Ｂ. Ｃ.１ Ｄ. ３
:( ＋１) － ＋３＝０ ３ ｍ ｘ ａ ｙ 互相平行 则ａ 答案 Ｂ
: －( ＋１) －３＝０ ꎬ ＝ ( )
或 ４.(２０２２湖北黄冈蕲春实验高级中学一模ꎬ３)已知ｍ ｎ Ｒ 则
Ａ.－１ Ｂ.－２ Ｃ.－２ ０ Ｄ.０ ꎬ ∈ ꎬ
答案 Ｄ “ 直线ｘ － ｍｙ ＋２＝０ 与ｎｘ － ｙ －２＝０ 平行 ” 是 “ ｍ ＝１ 且ｎ ＝１” 的
２.(２０２２山东潍坊二模ꎬ２)已知直线ｌ ｘ ｙ ｌ ｘ ａｙ ( )
１: －３ ＝０ꎬ ２: ＋ －２＝ 充分不必要条件 必要不充分条件
若ｌ ｌ 则ａ Ａ. Ｂ.
０ꎬ １⊥２ꎬ ＝ ( ) 充分必要条件 既不充分也不必要条件
Ｃ. Ｄ.
１ １ 答案 Ｂ
Ａ. Ｂ.－ Ｃ.３ Ｄ.－３
３ ３ ５.(２０２２江苏苏州常熟抽测二ꎬ５)若直线ａｘ ｙ 与直线
答案 Ａ －４ ＋２＝０
ｘ ｙ ｃ 垂直 垂足为 ｂ 则ａ ｂ ｃ ３.(２０２２济南一模ꎬ８)已知直线ｋｘ ｙ ｋ 与直线ｘ ｋｙ ２ ＋５ ＋ ＝０ ꎬ (１ꎬ )ꎬ － ＋ ＝ ( )
－ ＋２ ＝０ ＋ －２＝０
相交于点Ｐ 点Ａ Ｏ为坐标原点 则 ＯＡＰ的最大值为 Ａ.－６ Ｂ.４ Ｃ.－１０ Ｄ.－４
ꎬ (４ꎬ０)ꎬ ꎬ ｔａｎ∠ 答案 Ｃ
( )
６.(２０２０广东广州华美学校３月考试ꎬ８) ａ 是 直线ｘ ｙ ５.(２０２２江苏苏州常熟抽测二ꎬ９)已知圆Ｃ ｘ２ ｙ２ ｘ 点
“ ＝１” “ ＋ ＋ : ＋ －４ ＋２＝０ꎬ
和直线 ａ ｘ ａ２ｙ 互相垂直 的 Ｐ ａ ｂ 是圆Ｃ上的动点 以下结论正确的是
１＝０ ( －２) ＋ ＋２＝０ ” ( ) ( ꎬ ) ꎬ ( )
充分不必要条件 必要不充分条件 圆Ｃ关于直线ｘ ｙ 对称
Ａ. Ｂ. Ａ. ＋３ －２＝０
充要条件 既不充分也不必要条件 直线ｙ ｘ 与圆Ｃ相交所得弦长为
Ｃ. Ｄ. Ｂ. ＝ －３ ６
答案 Ａ ｂ
的最小值为
７.(２０２２长沙长郡中学４月联考ꎬ１３)若直线ｘ ｙ 与直线 Ｃ.ａ －１
－４ ＝０ －４
ｍ２ｘ
－８
ｙ
＋
ｍ
－ ２＝０
平行
ꎬ
则ｍ
＝
.
Ｄ.
ａ２
＋
ｂ２ 的最大值为
２＋ ２
答案 答案 ＡＢＣ
－ ２
考点二 直线与圆、圆与圆的位置关系 ６.(多选)(２０２２辽宁大连１０３中开学考ꎬ９)已知点Ｍ
(１ꎬ－３)ꎬ
直线ｌ ｘ ｍｙ 和圆Ｃ ｘ ２ ｙ２ 则
１.(２０２２河北九师联盟３月质检联考(一模)ꎬ６)已知圆Ｃ ｘ２ : － －２＝０ :( －１) ＋ ＝１ꎬ ( )
: ＋ 点Ｍ在圆Ｃ外
ｙ２
＋２
ａｙ
＝０(
ａ
>０)
截直线
３
ｘ
－
ｙ
＝０
所得的弦长为
２ ３ꎬ
则圆Ｃ Ａ.
直线ｌ过定点
与圆Ｃ′ :( ｘ －１) ２ ＋( ｙ ＋１) ２ ＝１ 的位置关系是 ( ) Ｂ. 直线ｌ与圆Ｃ ( 相 ２ꎬ 交 ０)
外离 外切 相交 内切 Ｃ.
Ａ. Ｂ. Ｃ. Ｄ. 点Ｍ到直线ｌ的距离的最大值为
答案 Ｃ Ｄ. １０
答案 ＡＢＤ
２.(２０２２河北邯郸一模ꎬ６)已知直线ｘ ｙ ｍ 与圆Ｃ ｘ２ ｙ２
－ ＋ ＝０ : ＋ ＋ ７.(２０２０广东广州综合测试(一)ꎬ３)若直线ｋｘ ｙ 与圆ｘ２
－ ＋１＝０
４ ｙ ＝０ 相交于Ａ ꎬ Ｂ两点 ꎬ 若→ＣＡ Ｃ→Ｂ ＝０ꎬ 则ｍ的值为 ( ) ＋ ｙ２ ＋２ ｘ －４ ｙ ＋１＝０ 有公共点 ꎬ 则实数ｋ的取值范围是 ( )
或 或
Ａ.－４ ０ Ｂ.－４ ４ Ａ.[－３ꎬ＋∞) Ｂ.(－∞ꎬ－３]
或 或
Ｃ.０
答案
４
Ａ
Ｄ.－４ ２ Ｃ.(０ꎬ＋∞) Ｄ.(－∞ꎬ＋∞)
答案 Ｄ
３.(２０２２辽宁县级重点高中协作体期末ꎬ４)若Ｐ (０ꎬ１) 为圆ｘ２ ＋ ８.(２０２１辽宁百校联盟质检ꎬ５)已知直线ｌ : ｘ －２ ｙ ＋６＝０ 与圆Ｃ :
ｘ ｙ２ 的弦ＭＮ的中点 则直线ＭＮ的方程为
２ ＋ －１５＝０ ꎬ ( ) ｘ２ ｙ２ ｙ 相交于Ａ Ｂ两点 则→ＣＡ Ｃ→Ｂ
ｙ ｘ ｙ ｘ ＋ －４ ＝０ ꎬ ꎬ ＝ ( )
Ａ. ＝－ ＋１ Ｂ. ＝ ＋１
ｙ ｘ ｙ ｘ １６ １６ １２ １２
Ｃ. ＝２ ＋１ Ｄ. ＝－２ ＋１ Ａ. Ｂ.－ Ｃ. Ｄ.－
答案 Ａ ５ ５ ５ ５
答案 Ｄ
４.(２０２２湖北九师联盟３月质检ꎬ１１)已知圆Ｃ
１:
ｘ２
＋
ｙ２
＝１ꎬ
圆
９.(２０２２ 山东 潍坊二模ꎬ１５)若圆ｘ２ ｙ２ 与圆 ｘ ２ ｙ２
Ｃ 列 ２ 说 : ｘ２ 法 ＋ ｙ 错 ２ ＝ 误 ９ 的 ꎬ Ｐ 是 ( ｘ １ꎬ ｙ １) 在圆Ｃ １ 上 ꎬ Ｑ ( ｘ ２ꎬ ｙ ２) 在圆Ｃ ２ 上 ꎬ 则下 的交点为Ａ ꎬ Ｂ ꎬ 则 ｜ ＡＢ ｜＝ . ＋ ＝１ ( －２) ＋ ＝３
( ) 答案
ＰＱ 的取值范围是 ３
Ａ.｜ ｜ [２ꎬ４] １０.(２０２２八省八校联考二ꎬ１４)在平面直角坐标系ｘＯｙ中 直
直线ｘ ｘ ｙ ｙ 是圆Ｃ 在Ｐ点处的切线 ꎬ
Ｂ. １ ＋ １ ＝１ １ 线ｘ ｙ 与直线ｘ ｙ 分别被圆ｘ２ ｙ２ ｒ２ ｒ 截得弦长之
直线ｘ ｘ ｙ ｙ 与圆Ｃ 相交 － ＝２ － ＝４ ＋ ＝ ( >０)
Ｃ. １ ＋ １ ＝９ ２ 比为 则ｒ .
３ ∶ １ꎬ ＝
直线ｘ ｘ ｙ ｙ 与圆ｘ２ ｙ２ １ 相切
Ｄ. ２ ＋ ２ ＝１ ＋ ＝ 答案 ３５
９
答案 Ｃ ２
第
九
章
直
线
和
圆
的
方
程
１ ８１
B组 综合应用题组 学生用书P240
35分钟 45分
一、单项选择题(每小题５分ꎬ共２５分)
Ａ.２ ２ Ｂ.４ Ｃ.４ ２ Ｄ.２
１.(２０２２湖北十一校第二次联考ꎬ２)直线ｋｘ ｙ ｋ 与圆 答案 Ｂ
＋ －２－３ ＝０
ｘ２ ｙ２ ｘ 的位置关系是 ４.(２０２２辽宁名校联盟３月联考ꎬ７)已知直线ｘ ｙ 与圆
＋ －４ －５＝０ ( ) ＋ －１＝０
相离 相切 Ｍ ｘ２ ｙ２ ａｘ ｙ 交于Ａ Ｂ两点 若 ＡＭＢ ＭＡＢ 则ａ
Ａ. Ｂ. : ＋ －２ －２ ＝０ ꎬ ꎬ ∠ ＝４∠ ꎬ ＝
相交 相交或相切
Ｃ. Ｄ. ( )
答案 Ｃ 或 或
Ａ.±２ Ｂ.±１ Ｃ.２ －１ Ｄ.１ －２
２.(２０２２山东部分学校联考ꎬ５)刘老师在课堂中与学生探究某 答案 Ｂ
个圆时 有四位同学分别给出了一个结论. ５.(２０２２广东汕头一模ꎬ６)点Ｇ在圆 ｘ ２ ｙ２ 上运动 直
ꎬ ( ＋２) ＋ ＝２ ꎬ
甲 该圆经过点 . 线ｘ ｙ 分别与ｘ轴 ｙ轴交于Ｍ Ｎ两点 则 ＭＮＧ面积
: (２ꎬ２) － －３＝０ 、 、 ꎬ △
乙 该圆的半径为 . 的最大值是
: ５ ( )
丙 该圆的圆心为 .
: (１ꎬ０) ２３ ９ ２１
Ａ.１０ Ｂ. Ｃ. Ｄ.
丁 该圆经过点 . ２ ２ ２
: (７ꎬ０) 答案 Ｄ
如果只有一位同学的结论是错误的 那么这位同学是
ꎬ ( ) 二、多项选择题(每小题５分ꎬ共１０分)
甲 乙 丙 丁
Ａ.
答案 Ｄ
Ｂ. Ｃ. Ｄ. ６.(２０２２江苏阜宁中学期中ꎬ１０)已知圆Ｃ
:
ｘ２
＋
ｙ２
－４
ｘ
＝０
和直线
ｌ ｋｘ ｙ ｋ 则
３.(２０２２哈尔滨三中期末ꎬ６)已知直角 ＡＢＣ的两直角边长为 : － ＋１－２ ＝０ꎬ ( )
△ 直线ｌ与圆Ｃ的位置关系无法判断
ａ ｂ 斜边长为ｃ 则直线ａｘ ｂｙ ｃ 被圆ｘ２ ｙ２ 所截得的 Ａ. ꎬ ꎬ ꎬ ＋ －２ ＝０ ＋ ＝８
弦长为
( )
答案 ＡＢＤ
当ｋ 时 圆Ｃ上的点到直线ｌ的最远距离为 ２
Ｂ. ＝１ ꎬ ２＋ 三、填空题(每小题５分ꎬ共１０分)
２
当圆Ｃ上有且仅有 个点到直线ｌ的距离等于 时 ｋ ｘ２ ｙ２
Ｃ. ３ １ ꎬ ＝０ ８.(２０２２湖南三湘名校联盟联考ꎬ１６)已知椭圆Ｃ
如果直线ｌ与圆Ｃ相交于Ｍ Ｎ两点 那么弦ＭＮ的中点的 １: ＋ｂ２ ＝１
Ｄ. ꎬ ꎬ ４
轨迹是一个圆
ｂ 的离心率为 １ Ｆ 和Ｆ 是Ｃ 的左 右焦点 Ｐ是Ｃ
答案 ＢＣＤ (０< <２) ꎬ １ ２ １ 、 ꎬ １
２
７.(２０２２八省八校联考二ꎬ１０)作为平面直角坐标系的发明者
ꎬ
上的动点
ꎬ
点Ｑ在线段Ｆ
１
Ｐ的延长线上
ꎬ｜
ＰＱ
｜＝｜
ＰＦ
２｜ꎬ
点Ｑ的
法国数学家笛卡儿也研究了不少优美的曲线 如笛卡儿叶形 轨迹Ｃ 的方程是 线段Ｆ Ｑ的垂直平分线交
ꎬ ２ ꎬ ２
线
ꎬ
其在平面直角坐标系ｘＯｙ下的一般方程为ｘ３
＋
ｙ３
－３
ａｘｙ
＝０
. Ｃ
２
于Ａ
ꎬ
Ｂ两点
ꎬ
则
｜
ＡＢ
｜
的最小值是 .
某同学对ａ 情形下的笛卡儿叶形线的性质进行了探究 得 答案 (ｘ )２ ｙ２ ꎻ
＝１ ꎬ ＋１ ＋ ＝１６ ２ ７
到了下列结论 其中正确的是 ９.(２０２０江苏南通一模ꎬ１０)函数ｆ ｘ ｘ ｘ ａ的图象在ｘ
ꎬ ( ) ( )＝ ｌｎ ＋ ＝１
曲线不经过第三象限 处的切线被圆Ｃ ｘ２ ｙ２ ｘ ｙ 截得的弦长为 则实数ａ
Ａ. : ＋ －２ ＋４ －４＝０ ２ꎬ
曲线关于直线ｙ ｘ对称 的值为 .
Ｂ. ＝
曲线与直线ｘ ｙ 有公共点 答案 或
Ｃ. ＋ ＝－１ －６ ２
曲线与直线ｘ ｙ 没有公共点
Ｄ. ＋ ＝－１
年 高 考
年
模
拟
︵
教
师
用
书
︶
１ ８２
一年 甄选情境素养 五年 考点式编排 三年 考点基础练 一年 甄选情境素养
创新 专家独家命制 高考 题组式训练 模拟 综合提升练 创新 专家独家命制
学生用书P241
１.(２０２２ ５３原创题)已知直线ｌ过点 且与圆ｘ２ ｙ２ Ｄ 则
(２ꎬ－１) ＋ ＝ ꎬ ( )
ｒ２ 相交所得弦的长为 则 过点Ｂ可作圆Ｃ的两条切线
４ꎬ ( ) Ａ.
若ｒ 则满足条件的直线ｌ有且只有一条 点Ｐ的轨迹是一个圆
Ａ. ＝２ ２ꎬ Ｂ.
存在ｒ 使满足条件的直线ｌ有且只有一条
Ｂ. >０ꎬ ＰＣ 的最大值为 １７
无论ｒ取何值 满足条件的直线ｌ至少有两条 Ｃ.｜ ｜ ＋１
Ｃ. ꎬ ２
不存在实数ｒ 使满足条件的直线ｌ不存在 曲线Ｄ与圆Ｃ没有公共点
Ｄ. ꎬ Ｄ.
答案 Ｂ 答案 ＡＢＣ
２.(２０２２ ５３原创题)过Ｃ 的直线ｌ与圆Ｏ ｘ２ ｙ２ 相 ６.(２０２２ ５３原创题)在平面直角坐标系ｘＯｙ中 Ｑ 过
(１ꎬ１) : ＋ ＝４ ꎬ (２ꎬ０)ꎬ
交于不同的两点Ａ Ｂ 则 点Ｐ 作直线ｌ与圆Ｏ ｘ２ ｙ２ 交于不同的两点Ｍ Ｎ.
ꎬ ꎬ ( ) (２ꎬ４) : ＋ ＝４ ꎬ
ＡＢ 的最小值为 (１) 若直线ｌ的斜率为 １ꎬ 求 ｜ ＭＮ ｜ꎻ
Ａ.｜ ｜ ２
设直线ＱＭ ＱＮ的斜率分别是ｋ ｋ 探索ｋ ｋ 是不是定
ＡＢ 的最大值为 (２) ꎬ １ꎬ ２ꎬ １＋ ２
Ｂ.｜ ｜ ２ ２ 值 若是 求出该定值 若不是说明理由.
ＡＯＢ可能为等腰直角三角形 ꎬ ꎬ ꎬ
Ｃ.△ 解析 ( )依题意ꎬ得直线ｌ:ｙ ｘ ꎬ即ｙ ｘ ꎬ则圆心
ＡＯＢ可能为锐角三角形 １ －４＝ －２ ＝ ＋２
Ｄ.△
答案 Ｃ ( ꎬ )到直线ｌ的距离ｄ ｜２｜ ꎬ
０ ０ ＝ ＝ ２
３.(多选)(２０２２５３原创题)已知直线ｌ ａｘ ｙ ａ Ｒ ２
直线ｌ ｘ ａｙ ａ Ｒ 则
１: ＋ －１＝０( ∈ )ꎬ
所以 ＭＮ .
ａ
２: ＋
是
＋
直
２
线
＝０
ｌ
(
与
∈
直
)
线
ꎬ
ｌ 平行 的充要条件
( )
( )依
｜
题意
｜＝
ꎬ直
２
线
４－
ｌ
２
的
＝
斜
２
率
２
存在且不为零ꎬ设Ｍ(ｘ ꎬｙ )ꎬＮ(ｘ ꎬ
Ａ. 直 “ 线 ＝１ ｌ ” 过 “ 定点Ｐ １ ２ ” ２ {ｙ ｋ(ｘ )ꎬ １ １ ２
Ｂ. 点Ｍ １ 到直线 (０ ｌ ꎬ１ 的 ) 距离的最大值为 ｙ ２ )ꎬｌ:ｙ －４＝ ｋ(ｘ －２ )ꎬ联立 ｘ２ － ＋ ４ ｙ ＝ ２ ＝４ ꎬ －２ 消去ｙꎬ并整理得( １＋
Ｃ.
存在
(
ａ
０ꎬ１
Ｒ
)
使得直线
２
ｌ 与直线ｌ 垂直
５ ｋ２)ｘ２
－４
ｋ(ｋ
－２
)ｘ
＋
(
２
ｋ
－４
)２
－４＝０
ꎬ
Ｄ. 答案 ∈ ＢＣＤ ꎬ １ ２ ì ïｘ ｘ ４ ｋ(ｋ －２ ) ꎬ
４ Ａ Ａ . Ｍ ( ( － 多 交 １ꎬ 选 ０ ｙ ) 轴 ) ꎬ ( Ｂ 于 ２ ( ０ ０ 点 ２ ꎬ ２ １ Ｐ ) ５ ꎬ 直 圆 线 ３ Ｏ 原 Ｂ 上 Ｍ 创 的 交 题 动 ｘ ) 点 轴 已 Ｍ 于 知 ( 点 Ｍ 圆 不 Ｑ Ｏ 在 : 则 ｘ 坐 ２ 下 ＋ 标 列 ｙ２ 轴 命 ＝ 上 １ 题 ) 及 中 ꎬ 两 直 正 线 确 点 则 î í ï ï ïｘ １ １ ｘ ＋ ２＝ ２＝ ( ２ ｋ １ １ － ＋ ＋ ４ ｋ ｋ ) ２ ２ ２ －４ꎬ 所以 ｋ １＋ ｋ ２＝ｘ １ ｙ － １ ２ ＋ｘ ２ ｙ － ２ ２ ＝ ｋ(ｘ ｘ １ １ － － ２ ２ ) ＋４ ＋
ꎬ ꎬ
ｋ(ｘ ) (ｘ ｘ )
的是 ( ) ２－２ ＋４ ｋ ４ ４ ｋ ４ １＋ ２－４ ｋ
ｘ ＝２ ＋ｘ ＋ｘ ＝ ２ ＋ｘ ｘ (ｘ ｘ ) ＝ ２ ＋
ＢＭ 的最大值为 ２－２ １－２ ２－２ １ ２－２ １＋ ２ ＋４
Ａ.｜ ｜ ２ é ｋ(ｋ ) ù
以ＰＱ为直径的圆恒过原点 êê４ －２ úú
Ｂ. ４ ë ｋ２ －４û ( ｋ )
ＡＱ ＢＰ 的值为定值 １＋ ｋ ４ ８ ＋４ ꎬ所以ｋ ｋ 是
Ｃ.｜ ｜｜ ｜ ( ｋ )２ ｋ(ｋ ) ＝２ － ＝－１ １＋ ２
存在定点Ｓ 使直线ＰＱ过定点Ｓ ２ －４ －４ ４ －２ １６
Ｄ. ꎬ ｋ２ －２ ｋ２ ＋４
答案 ＢＣ １＋ １＋
定值ꎬ且定值为 .
５.(多选)(２０２２ ５３原创题)点Ａ在圆Ｃ ｘ ２ ｙ ２ －１
:( －２) ＋( ＋１) ＝４
上运动 点Ｂ 线段ＡＢ的中点为Ｐ 点Ｐ的轨迹为曲线
ꎬ (１ꎬ３)ꎬ ꎬ
