北京曲一线图书策划有限公司 2023版《5年高考3年模拟》A版
专题九 平面解析几何
9.1 直线与圆
考点一 直线的方程
1.(2014四川文,9,5分)设m∈R,过定点A的动直线x+my=0和过定点B的动直线mx-y-m+3=0交于点P(x,y),
则|PA|+|PB|的取值范围是( )
A.[√5,2√5] B.[√10,2√5]
C.[√10,4√5] D.[2√5,4√5]
答案 B 直线x+my=0过定点A(0,0),直线mx-y-m+3=0过定点B(1,3).
①当m=0时,过定点A的直线方程为x=0,过定点B的直线方程为y=3,两条直线互相垂直,此时P(0,3),∴|PA|+|
PB|=4.
1 1
②当m≠0时,直线x+my=0的斜率为- ,直线mx-y-m+3=0的斜率为m.∵- ×m=-1,∴两条直线互相垂直,即
m m
点P可视为以AB为直径的圆上的点.当点P与点A或点B重合时,|PA|+|PB|有最小值√10.当点P不与点A,
点B重合时,△PAB为直角三角形,且|PA|2+|PB|2=|AB|2=10.由不等式性质知|PA|+|PB|≤2√|PA|2+|PB|2
2
=2√5,∴|PA|+|PB|∈[√10,2√5].
综合①②得|PA|+|PB|∈[√10,2√5].
评析 本题考查直线的方程、两直线垂直及不等式的性质,解答本题的关键是找到点P的轨迹.属中档题.
2.(2013湖南理,8,5分)在等腰直角三角形ABC中,AB=AC=4,点P是边AB上异于A,B的一点.光线从点P出
发,经BC,CA反射后又回到点P(如图).若光线QR经过△ABC的重心,则AP等于( )
8 4
A.2 B.1 C. D.
3 3
答案 D 以AB为x轴,AC为y轴建立如图所示的坐标系,由题可知B(4,0),C(0,4),A(0,0),则直线BC的方程
为x+y-4=0.
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设P(t,0)(0<t<4),由对称知识可得点P关于直线BC的对称点P 的坐标为(4,4-t),点P关于y轴的对称点P 的
1 2
坐标为(-t,0),根据反射定理可知PP 就是光线RQ所在直线.由P、P 两点坐标可得直线PP 的方程为y=
1 2 1 2 1 2
4-t(x+t),设△ABC的重心为G,易知G(4 4).因为重心G(4 4)在光线RQ上,所以有4=
, ,
4+t 3 3 3 3 3
4-t(4 ),即3t2-4t=0.
+t
4+t 3
4 4 4
所以t=0或t= ,因为0<t<4,所以t= ,即AP= ,故选D.
3 3 3
3.(2012浙江理,3,5分)设a∈R,则“a=1”是“直线l:ax+2y-1=0与直线l:x+(a+1)y+4=0平行”的( )
1 2
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
a 1
答案 A 由l∥l,得- =- ,解得a=1或a=-2,代入检验符合,即“a=1”是“l∥l”的充分不必要条件,
1 2 2 a+1 1 2
故选A.
评析 本题考查两直线平行和充要条件的判断,考查运算求解能力.
4.(2011浙江文,12,4分)若直线x-2y+5=0与直线2x+my-6=0互相垂直,则实数m= .
答案 1
解析 依题意m≠0,所以由( 2)×1=-1,得m=1.
-
m 2
评析 本题考查两条直线垂直的充要条件,属容易题.注意与平行的区别.
考点二 圆的方程
1.(2015课标Ⅱ理,7,5分)过三点A(1,3),B(4,2),C(1,-7)的圆交y轴于M,N两点,则|MN|=( )
A.2√6 B.8 C.4√6 D.10
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3-7
答案 C 设圆心为P(a,b),由点A(1,3),C(1,-7)在圆上,知b= =-2.再由|PA|=|PB|,得a=1.则P(1,-2),|PA|=
2
=5,于是圆P的方程为(x-1)2+(y+2)2=25.令x=0,得y=-2±2 ,则|MN|=|(-2+2 )-(-2-2
√(1-1) 2+(3+2) 2 √6 √6
√6)|=4√6.
2.(2015课标Ⅱ文,7,5分)已知三点A(1,0),B(0,√3),C(2,√3),则△ABC外接圆的圆心到原点的距离为( )
5 √21 2√5 4
A. B. C. D.
3 3 3 3
答案 B 在平面直角坐标系xOy中画出△ABC,易知△ABC是边长为2的正三角形,其外接圆的圆心为D
( 1, 2√3).因此|OD|= √ 12+ (2√3) 2 =√7= √21 .故选B.
3 3 3 3
3.(2015北京文,2,5分)圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是( )
A.(x-1)2+(y-1)2=1 B.(x+1)2+(y+1)2=1
C.(x+1)2+(y+1)2=2 D.(x-1)2+(y-1)2=2
答案 D 由题意得圆的半径为√2,故该圆的方程为(x-1)2+(y-1)2=2,故选D.
4.(2016天津文,12,5分)已知圆C的圆心在x轴的正半轴上,点M(0,√5)在圆C上,且圆心到直线2x-y=0的距
4√5
离为 ,则圆C的方程为 .
5
答案 (x-2)2+y2=9
解析 设圆C的方程为(x-a)2+y2=r2(a>0),
{ |2a| 4√5
由题意可得 √5
=
5
,
解得
{a=2,
所以圆C的方程为(x-2)2+y2=9.
r2=9,
(-a) 2+(√5) 2=r2,
方法总结 待定系数法是求解圆方程的常用方法,一般步骤为①设出圆的方程;②列出关于系数的方程组,并
求出各系数的值;③检验各值是否符合题意,并写出满足题意的圆的方程.有时也可利用圆的几何性质进行求
解.
评析 本题主要考查点与圆的位置关系,点到直线的距离公式以及圆的方程的求法,考查方程思想方法的应
用,注意圆心的横坐标的取值范围是解决本题的关键.
x2 y2
5.(2015课标Ⅰ理,14,5分)一个圆经过椭圆 + =1的三个顶点,且圆心在x轴的正半轴上,则该圆的标准
16 4
方程为 .
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答案 ( 3) 2 +y2=25
x-
2 4
解析 由已知得该圆经过椭圆的三个顶点A(4,0)、B(0,2)、C(0,-2).易知线段AB的垂直平分线的方程为2x-
y-3=0.令y=0,得x=3,所以圆心坐标为(3 ),则半径r=4-3=5.故该圆的标准方程为( 3) 2 +y2=25.
,0 x-
2 2 2 2 2 4
评析 本题考查圆和椭圆的方程,求出圆心坐标是解题关键.
6.(2014陕西理,12,5分)若圆C的半径为1,其圆心与点(1,0)关于直线y=x对称,则圆C的标准方程为
.
答案 x2+(y-1)2=1
解析 根据题意得点(1,0)关于直线y=x对称的点(0,1)为圆心,又半径r=1,所以圆C的标准方程为x2+(y-1)2=1.
考点三 直线与圆的位置关系
1.(2015广东理,5,5分)平行于直线2x+y+1=0且与圆x2+y2=5相切的直线的方程是( )
A.2x+y+5=0或2x+y-5=0
B.2x+y+√5=0或2x+y-√5=0
C.2x-y+5=0或2x-y-5=0
D.2x-y+√5=0或2x-y-√5=0
|c|
答案 A 切线平行于直线2x+y+1=0,故可设切线方程为2x+y+c=0(c≠1),结合题意可得 =√5,解得
√5
c=±5.故选A.
2.(2015山东理,9,5分)一条光线从点(-2,-3)射出,经y轴反射后与圆(x+3)2+(y-2)2=1相切,则反射光线所在直线
的斜率为( )
5 3 3 2
A.- 或- B.- 或-
3 5 2 3
5 4 4 3
C.- 或- D.- 或-
4 5 3 4
答案 D 由题意可知反射光线所在直线过点(2,-3),设反射光线所在直线方程为y+3=k(x-2),即kx-y-2k-3=0.
∵反射光线所在直线与圆相切,∴ |-3k-2-2k-3| =1,解得k=-4或k=-3.
√k2+1 3 4
评析 本题主要考查直线和圆的位置关系.
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3.(2015重庆理,8,5分)已知直线l:x+ay-1=0(a∈R)是圆C:x2+y2-4x-2y+1=0的对称轴.过点A(-4,a)作圆C的一
条切线,切点为B,则|AB|=( )
A.2 B.4√2 C.6 D.2√10
答案 C 圆C的标准方程为(x-2)2+(y-1)2=22,圆心为C(2,1),半径r=2,由直线l是圆C的对称轴,知直线l过点
C,所以2+a×1-1=0,a=-1,所以A(-4,-1),于是|AC|2=40,所以|AB|= = =6.故选C.
√|AC|2-22 √40-4
4.(2014课标Ⅱ文,12,5分)设点M(x,1),若在圆O:x2+y2=1上存在点N,使得∠OMN=45°,则x 的取值范围是(
0 0
)
A.[-1,1] B.[ 1 1]
- ,
2 2
C.[- , ] D.[ √2 √2]
√2√2 - ,
2 2
答案 A 过M作圆O的两条切线MA、MB,切点分别为A、B,若在圆O上存在点N,使∠OMN=45°,则
∠OMB≥∠OMN=45°,所以∠AMB≥90°,所以-1≤x≤1,故选A.
0
评析 本题考查直线与圆的位置关系,体现了数形结合的思想方法.
5.(2014浙江文,5,5分)已知圆x2+y2+2x-2y+a=0截直线x+y+2=0所得弦的长度为4,则实数a的值是( )
A.-2 B.-4 C.-6 D.-8
答案 B 将圆的方程化为标准方程为(x+1)2+(y-1)2=2-a,所以圆心为(-1,1),半径r=√2-a,圆心到直线
|-1+1+2|
x+y+2=0的距离d= =√2,故r2-d2=4,即2-a-2=4,所以a=-4,故选B.
√2
6.(2014安徽文,6,5分)过点P(-√3,-1)的直线l与圆x2+y2=1有公共点,则直线l的倾斜角的取值范围是( )
A.( π] B.( π] C.[ π] D.[ π]
0, 0, 0, 0,
6 3 6 3
答案 D 过P点作圆的切线PA、PB,连接OP,如图所示.
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π
显然,直线PA的倾斜角为0,又OP=√(-√3) 2+(-1) 2=2,PA=√3,OA=1,因此∠OPA= ,由对称性知,直线
6
PB的倾斜角为π.若直线l与圆有公共点,由图形知其倾斜角的取值范围是[ π].故选D.
0,
3 3
7.(2016山东文,7,5分)已知圆M:x2+y2-2ay=0(a>0)截直线x+y=0所得线段的长度是2√2.则圆M与圆N:
(x-1)2+(y-1)2=1的位置关系是( )
A.内切 B.相交
C.外切 D.相离
答案 B 由题意知圆M的圆心为(0,a),半径R=a,因为圆M截直线x+y=0所得线段的长度为2√2,所以圆心
|a|
M到直线x+y=0的距离d= =√a2-2(a>0),解得a=2,又知圆N的圆心为(1,1),半径r=1,所以|MN|=√2,则
√2
R-r<√2<R+r,所以两圆的位置关系为相交,故选B.
思路分析 利用直线被圆所截得的线段的长度构造关于a的方程,从而求出圆M的圆心及半径,根据两圆圆
心距及两圆半径和与差的大小关系判断两圆的位置关系.
8.(2014北京文,7,5分)已知圆C:(x-3)2+(y-4)2=1和两点A(-m,0),B(m,0)(m>0).若圆C上存在点P,使得
∠APB=90°,则m的最大值为( )
A.7 B.6 C.5 D.4
答案 B 若∠APB=90°,则点P的轨迹是以AB为直径的圆,其方程为x2+y2=m2.由题意知圆C:(x-3)2+(y-4)2=1
与圆O:x2+y2=m2有公共点,所以|m-1|≤|OC|≤m+1,易知|OC|=5,所以4≤m≤6,故m的最大值为6.选B.
9.(2013重庆理,7,5分)已知圆C:(x-2)2+(y-3)2=1,圆C:(x-3)2+(y-4)2=9,M,N分别是圆C,C 上的动点,P为x轴
1 2 1 2
上的动点,则|PM|+|PN|的最小值为( )
A.5√2-4 B.√17-1 C.6-2√2 D.√17
答案 A 圆C,C 如图所示.
1 2
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设P是x轴上任意一点,则|PM|的最小值为|PC|-1,同理可得|PN|的最小值为|PC|-3,则|PM|+|PN|的最小值为|
1 2
PC|+|PC|-4.作C 关于x轴的对称点C'(2,-3),连接C'C,与x轴交于点P,连接PC,根据三角形两边之和大于
1 2 1 1 1 2 1
第三边可知|PC|+|PC|的最小值为|C'C|,则|PM|+|PN|的最小值为5√2-4.选A.
1 2 1 2
评析 本题考查了圆的标准方程及圆的几何性质等知识,同时又考查了数形结合思想、转化思想.把折线段
长的和转化成两点间的距离是本题的关键.
10.(2016课标Ⅱ,4,5分)圆x2+y2-2x-8y+13=0的圆心到直线ax+y-1=0的距离为1,则a=( )
4 3
A.- B.- C.√3 D.2
3 4
答案 A 圆的方程可化为(x-1)2+(y-4)2=4,则圆心坐标为(1,4),圆心到直线ax+y-1=0的距离为
|a+4-1|
√a2+1
4
=1,解得a=- .故选A.
3
思路分析 将圆的方程化成标准方程,从而得出圆心坐标,进而利用点到直线的距离公式列出关于a的方程,
解方程即可求得a的值.
11.(2016北京,5,5分)圆(x+1)2+y2=2的圆心到直线y=x+3的距离为( )
A.1 B.2 C.√2 D.2√2
答案 C 由题知圆心坐标为(-1,0),将直线y=x+3化成一般形式为x-y+3=0,故圆心到直线的距离d=
|-1-0+3|
= .故选C.
√2
√12+(-1) 2
|Ax +B y +C|
易错警示 在应用点到直线的距离公式d= 0 0 时,一定要将直线方程化成一般形式,正确
√A2+B2
写出A,B,C的值,此处符号易出现错误.
12.(2016课标Ⅰ,15,5分)设直线y=x+2a与圆C:x2+y2-2ay-2=0相交于A,B两点,若|AB|=2√3,则圆C的面积为
.
答案 4π
解析 把圆C的方程化为x2+(y-a)2=2+a2,则圆心为(0,a),半径r= .圆心到直线x-y+2a=0的距离d=
√a2+2
|a| .由r2=d2+( |AB| ) 2 ,得a2+2=a2 +3,解得a2=2,则r2=4,所以圆的面积S=πr2=4π.
√2 2 2
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13.(2016课标Ⅲ,15,5分)已知直线l:x-√3y+6=0与圆x2+y2=12交于A,B两点,过A,B分别作l的垂线与x轴
交于C,D两点.则|CD|= .
答案 4
6
解析 圆心(0,0)到直线x-√3y+6=0的距离d= =3,|AB|=2√12-32=2√3,过C作CE⊥BD于E,因为
√1+3
2√3
|CE| |AB|
直线l的倾斜角为30°,所以|CD|= = = √3 =4.
cos30° cos30°
2
14.(2016课标Ⅲ理,16,5分)已知直线l:mx+y+3m-√3=0与圆x2+y2=12交于A,B两点,过A,B分别作l的垂线
与x轴交于C,D两点.若|AB|=2√3,则|CD|= .
答案 4
解析 由题意可知直线l过定点(-3,√3),该定点在圆x2+y2=12上,不妨设点A(-3,√3),由于|AB|=2√3,r=2√3,
所以圆心到直线AB的距离为d= =3,又由点到直线的距离公式可得d=
|3m-√3|
=3,
√(2√3) 2-(√3) 2
√m2+1
√3 √3
解得m=- ,所以直线l的斜率k=-m= ,即直线l的倾斜角为30°.如图,过点C作CH⊥BD,垂足为H,所以|
3 3
2√3
CH|=2√3,在Rt△CHD中,∠HCD=30°,所以|CD|= =4.
cos30°
解后反思 涉及直线与圆的位置关系的问题要充分利用圆的性质,利用数形结合的思想方法求解.
15.(2015江苏,10,5分)在平面直角坐标系xOy中,以点(1,0)为圆心且与直线mx-y-2m-1=0(m∈R)相切的所有
圆中,半径最大的圆的标准方程为 .
答案 (x-1)2+y2=2
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解析 由mx-y-2m-1=0可得m(x-2)=y+1,由m∈R知该直线过定点(2,-1),从而点(1,0)与直线mx-y-2m-1=0的
距离的最大值为 = ,故所求圆的标准方程为(x-1)2+y2=2.
√(2-1) 2+(-1-0) 2 √2
16.(2014重庆理,13,5分)已知直线ax+y-2=0与圆心为C的圆(x-1)2+(y-a)2=4相交于A,B两点,且△ABC为等
边三角形,则实数a= .
答案 4±√15
|a+a-2|
解析 易知△ABC是边长为2的等边三角形,故圆心C(1,a)到直线AB的距离为 ,即 = ,解
√3 √3
√a2+1
得a=4±√15.经检验均符合题意,则a=4±√15.
评析 本题考查过定点的直线与圆相交的弦长问题,以及数形结合的思想方法,对综合能力要求较高.
17.(2015课标Ⅰ文,20,12分)已知过点A(0,1)且斜率为k的直线l与圆C:(x-2)2+(y-3)2=1交于M,N两点.
(1)求k的取值范围;
(2)若⃗OM·⃗ON=12,其中O为坐标原点,求|MN|.
解析 (1)由题设,可知直线l的方程为y=kx+1.
|2k-3+1|
因为l与C交于两点,所以 <1.
√1+k2
4-√7 4+√7
解得 <k< .
3 3
所以k的取值范围为(4-√7 4+√7).(5分)
,
3 3
(2)设M(x,y),N(x,y).
1 1 2 2
将y=kx+1代入方程(x-2)2+(y-3)2=1,整理得
(1+k2)x2-4(1+k)x+7=0.
所以x+x=4(1+k),xx= 7 .(7分)
1 2 1 2
1+k2 1+k2
⃗OM·⃗ON=xx+yy
1 2 1 2
=(1+k2)xx+k(x+x)+1
1 2 1 2
=4k(1+k)+8.
1+k2
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由题设可得
4k(1+k)+8=12,解得k=1,
1+k2
所以l的方程为y=x+1.
故圆心C在l上,所以|MN|=2.(12分)
18.(2015广东理,20,14分)已知过原点的动直线l与圆C:x2+y2-6x+5=0相交于不同的两点A,B.
1
(1)求圆C 的圆心坐标;
1
(2)求线段AB的中点M的轨迹C的方程;
(3)是否存在实数k,使得直线L:y=k(x-4)与曲线C只有一个交点?若存在,求出k的取值范围;若不存在,说明理
由.
解析 (1)圆C 的方程x2+y2-6x+5=0可化为(x-3)2+y2=4,所以圆心坐标为(3,0).
1
(2)设A(x,y),B(x,y)(x≠x),M(x,y),
1 1 2 2 1 2 0 0
x +x y + y
1 2 1 2
则x= ,y= .
0 0
2 2
由题意可知直线l的斜率必存在,设直线l的方程为y=tx.
将上述方程代入圆C 的方程,化简得(1+t2)x2-6x+5=0.
1
6
由题意,可得Δ=36-20(1+t2)>0(*),x+x= ,
1 2 1+t2
3 3t
所以x= ,代入直线l的方程,得y= .
0 1+t2 0 1+t2
因为 x2+ y2= 9 + 9t2 = 9(1+t2 )= 9 =3x
0
,
0 0 (1+t2 ) 2 (1+t2 ) 2 (1+t2 ) 2 1+t2
所以(
x -
3) 2 +
y2
=9.
0 2 0 4
4 5
由(*)解得t2< ,又t2≥0,所以 <x≤3.
0
5 3
所以线段AB的中点M的轨迹C的方程为( 3) 2 +y2=9(5 ).
x- <x≤3
2 4 3
(3)由(2)知,曲线C是在区间(5 ]上的一段圆弧.
,3
3
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如图,D(5 2√5),E(5 2√5),F(3,0),直线L过定点G(4,0).
, ,-
3 3 3 3
联立直线L的方程与曲线C的方程,消去y整理得(1+k2)x2-(3+8k2)x+16k2=0.
令判别式Δ=0,解得:k=±3,由求根公式解得交点的横坐标为x
H,I
=12∈(5
,3
],由图可知:要使直线L与曲线
4 5 3
C只有一个交点,则k∈[k ,k ]∪{k ,k },即k∈[ 2√5 2√5]∪{ 3 3}.
DG EG GH GI - , - ,
7 7 4 4
19.(2014课标Ⅰ文,20,12分)已知点P(2,2),圆C:x2+y2-8y=0,过点P的动直线l与圆C交于A,B两点,线段AB
的中点为M,O为坐标原点.
(1)求M的轨迹方程;
(2)当|OP|=|OM|时,求l的方程及△POM的面积.
解析 (1)圆C的方程可化为x2+(y-4)2=16,所以圆心为C(0,4),半径为4.
设M(x,y),则⃗CM=(x,y-4),⃗MP=(2-x,2-y).由题设知⃗CM·⃗MP=0,故x(2-x)+(y-4)(2-y)=0,即(x-1)2+(y-3)2=2.
由于点P在圆C的内部,所以M的轨迹方程是(x-1)2+(y-3)2=2.
(2)由(1)可知M的轨迹是以点N(1,3)为圆心,√2为半径的圆.
由于|OP|=|OM|,故O在线段PM的垂直平分线上,又P在圆N上,从而ON⊥PM.
1 1 8
因为ON的斜率为3,所以l的斜率为- ,故l的方程为y=- x+ .
3 3 3
4√10 4√10 16
又|OM|=|OP|=2√2,O到l的距离为 ,|PM|= ,所以△POM的面积为 .
5 5 5
评析 本题考查轨迹方程的求法,直线与圆的位置关系,在解决直线与圆的相关问题时,利用图形的几何性质
可简化运算.
20.(2013江苏,17,14分)如图,在平面直角坐标系xOy中,点A(0,3),直线l:y=2x-4.
设圆C的半径为1,圆心在l上.
(1)若圆心C也在直线y=x-1上,过点A作圆C的切线,求切线的方程;
(2)若圆C上存在点M,使MA=2MO,求圆心C的横坐标a的取值范围.
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北京曲一线图书策划有限公司 2023版《5年高考3年模拟》A版
解析 (1)由题意知,圆心C是直线y=2x-4和y=x-1的交点,解得点C(3,2),于是切线的斜率必存在.设过A(0,3)
的圆C的切线方程为y=kx+3,
由题意得, |3k+1| =1,解得k=0或-3,
√k2+1 4
故所求切线方程为y=3或3x+4y-12=0.
(2)因为圆心在直线y=2x-4上,所以圆C的方程为(x-a)2+[y-2(a-2)]2=1.
设点M(x,y),因为MA=2MO,所以 =2 ,化简得x2+y2+2y-3=0,即x2+(y+1)2=4,所以点M
√x2+(y-3) 2 √x2+ y2
在以D(0,-1)为圆心,2为半径的圆上.
由题意,点M(x,y)在圆C上,所以圆C与圆D有公共点,则|2-1|≤CD≤2+1,即1≤ ≤3.
√a2+(2a-3) 2
由5a2-12a+8≥0,得a∈R;
12
由5a2-12a≤0,得0≤a≤ .
5
所以点C的横坐标a的取值范围为[ 12].
0,
5
评析 本题考查直线与圆的方程,直线与直线、直线与圆、圆与圆的位置关系等基础知识和基本技能,考查
运用数形结合、待定系数法等数学思想方法分析问题、解决问题的能力.
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