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专题 06 圆（55 题）
1．（2023·江西·中考真题）如图，点 ， ， ， 均在直线 上，点 在直线 外，则经
过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
2．（2024·江西·中考真题）如图， 是 的直径， ，点C在线段 上运动，过
点C的弦 ，将 沿 翻折交直线 于点F，当 的长为正整数时，线段
的长为 ．
3．（2025·江西·中考真题）如图，点A，B，C在 上， ，以 ， 为边
作 ．
(1)当 经过圆心O时（如图1），求 的度数；
(2)当 与 相切时（如图2），若 的半径为6，求 的长．
4．（2024·江西·中考真题）如图， 是半圆O的直径，点D是弦 延长线上一点，连
接 ， ．
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(1)求证： 是半圆O的切线；
(2)当 时，求 的长．
5．（2023·江西·中考真题）如图，在 中， ，以 为直径的
与 相交于点D，E为 上一点，且 ．
(1)求 的长；
(2)若 ，求证： 为 的切线．
6．（2022·江西·中考真题）（1）课本再现：在 中， 是 所对的圆心角，
是 所对的圆周角，我们在数学课上探索两者之间的关系时，要根据圆心O与 的位
置关系进行分类．图1是其中一种情况，请你在图2和图3中画出其它两种情况的图形，
并从三种位置关系中任选一种情况证明 ；
（2）知识应用：如图4，若 的半径为2， 分别与 相切于点A，B，
，求 的长．
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7．（2021·江西·中考真题）如图1，四边形 内接于 ， 为直径，过点 作
于点 ，连接 ．
（1）求证： ；
（2）若 是 的切线， ，连接 ，如图2．
①请判断四边形ABCO的形状，并说明理由；
②当AB=2时，求AD， AC与 围成阴影部分的面积．
一、单选题
8．（2025·江西萍乡·二模）如图，正六边形 的边长是 ，连接 ， 是 上
的动点，连接 ， ．若 的值是整数，则点 的位置有（ ）
A．3处 B．5处 C．7处 D．9处
9．（2025·江西抚州·二模）如图，边长为4的正方形 中，半径为1的⊙ 在正方形
内平移（⊙ 可以与该正方形 的边相切），设点 到⊙ 上的点的距离为 ，
且 是整数，则 的值所有情况有（ ）
A．3种 B．4种 C．5种 D．6种
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10．（2025·江西赣州·二模）阿基米德不仅是物理学家，还是伟大的数学家，阿基米德折
弦定理就是圆中关于弦的一个定理，其条件大致如下：如图， ， 为 的两条弦
，点 是 的中点，过点 作 于点 ，根据以上条件，下列说法错
误的是（ ）
A．
B．连接 、 ，则
C．
D．作射线 交 于点 ，则 平分
11．（2025·江西宜春·一模）一张直径为 的半圆形卡纸，过直径的两端点剪掉一个三
角形，以下四种裁剪图中，所标数据（单位： ）长度不合理的是（ ）
A． B．
C． D．
12．（2025·江西南昌·一模）如图，点 ， ，半径为 的 经过点 ，
，则点 的坐标为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．（2025·江西九江·一模）如图， 内接于 ， 是 的直径， ，
则 的度数为 ．
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14．（2025·江西新余·三模）如图，在矩形 中， ．点 在边 上，
且 ， 分别是边 ， 上的点，且 ， 是线段 上的动点，当
是直角三角形时， 的长为 ．
15．（2025·江西南昌·二模）在 中， ，以点B为圆心，
的长为半径画弧，交 于点D，连接 ，则图中阴影部分的面积为 ．
16．（2025·江西抚州·二模）如图，以 为边作等腰三角形 ， ，若 的
半径为 ，弦 的长为 ，点D在 上，若 ，则 的长为
．
17．（2025·江西新余·二模）如图，以 为边作等腰三角形 ， ，若 的
半径为 ，弦 的长为 ，点D在 上，若 ，则 的长为
．
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18．（2025·江西宜春·一模）如图，在平面直角坐标系 中， 与x轴交于B，C两点，
与y轴交于点A，且 ，则圆的半径为 ．
三、解答题
19．（2025·江西南昌·三模）在正方形网格中，圆经过格点A，B，请仅用无刻度的直尺作
图：
(1)在图1中，作圆的直径 ；
(2)在图2中，在圆上找一点D，使 ．
20．（2025·江西南昌·三模）如图， 在 中， 以 为直径作 ， 交 于点 P，
是 的切线， 且 ，垂足为点 D．
(1)求证： ；
(2)若 ， 求 的半径．
21．（2025·江西新余·模拟预测）如图，在 中，O为 上一点，以O为圆心，
长为半径作圆，与 相切于点C，过点A作 ，交 的延长线于点D，且
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．
(1)求证： 为 的切线；
(2)若 ， ，求 的长．
22．（2025·江西新余·三模）如图，在 中， 是 的直径， 是 上的一点，
是 的中点，连接 并延长至点 ，连接 ，且 ．
(1)求证： 为 的切线．
(2)若 的半径为4， ，连接 ，求 的长．
23．（2025·江西九江·三模）如图， 是 的直径，四边形 是平行四边形，请仅
用无刻度的直尺按要求完成以下作图（不写作法，保留作图痕迹）．
(1)在图1中，点 与点 重合，请作出 的中点 ．
(2)在图2中，请作出 的中点 ．
24．（2025·江西萍乡·二模）追本溯源
题（1）来自课本中的练习，请你完成解答，并完成变式训练题（2）．
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(1)如图1， 与 相切于点 ．若 的直径为 ，求 的
长．
(2)如图2， 与 相切于点 ．若 的直径为 ，求
的长．
25．（2025·江西萍乡·二模）如图，在 中， 为锐角，其顶点 ， 都在 上，
请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）．
(1)在图 中， 的顶点 在 上，作顶点为 的 的余角．
(2)在图 中， 的顶点 在 内，作顶点在直线 上的 的余角．
26．（2025·江西抚州·二模）如图是 的正方形网格，网格边长为1， 的顶点均在
格点上．已知 的外接圆，请仅用无刻度的直尺在给定的网格中完成作图，保留作图
痕迹．
(1)作 的外接圆的直径 ；
(2)过点B作 的外接圆的切线 ．
27．（2025·江西抚州·二模）如图，在 中，以 为直径的 交 于点 ，连接
．
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(1)如图1，若 ， ，求证： 为 的切线；
(2)如图2，若 为 的切线， ， ，求阴影部分的面积．
28．（2025·江西新余·三模）如图， 是 的一条弦，将 平移后得一线段 （A，
B的对应点分别为 ， ），且 ， 两点落在 上． 为 的中点， ．
(1)求证：四边形 是矩形；
(2)若 ，求 的长．
29．（2025·江西新余·一模）如图1， 是 的外接圆， 是 的直径，
于点 ， 是 延长线上一点，且 ．
(1)求证： 是 的切线．
(2)如图2，连接 ，若 ， ，求 的半径．
30．（2025·江西赣州·二模）如图，已知半圆 的直径 的长为6， 、 是半圆 的三
等分点，点 在 上，以 为直径作 ．
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(1)设 的弧长为 ，半圆 （即 ）的弧长为 ，若 ，判断 与 的大小关系，
并说明理由；
(2)连接 ，若 与 相切，请求出 的长．
31．（2025·江西宜春·一模）如图， 是 的一条对角线，且 ， 的
外接圆 与 边交于点 ．连结 ．
(1)求证： 是 的切线；
(2)求证： ；
(3)若 的半径为5，且 ，求 的长．
32．（2025·江西南昌·二模）如图，点 在以 为直径的 上， 平分 交
于点 ，过点 作 ，垂足为 ．
(1)求证： 为 的切线；
(2)若 ，求 的半径．
33．（2025·江西吉安·一模）如图， 为 的直径，C为 上一点，弦 的延长线与
过点C 的直线互相垂直，垂足为D，连接 ，且 ．
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(1)求证： 是 的切线；
(2)若 ，求 的长．
34．（2025·江西新余·二模）如图，是 的弦（非直径），点C是半径 上的一个动点
（不与线段 两端点重合），过点C作 的垂线，交 于点D，交 于点E，交
的垂直平分线 于点F，连接 ．
(1)求证： 是 的切线；
(2)若点E是 的中点，且点C是 的中点， ，求 的长．
35．（2025·江西抚州·一模）如图， 是 的直径， 为圆上两点， ，垂
足为点 ，连接 并延长到点 ，连接 ， ．
(1)求证： 是 的切线；
(2)若 ， ，求 的长．
36．（2025·江西九江·二模）如图，在 中， ，点 ， 分别在边 ，
上，以 为半径作 ，交 于点 ．
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(1)判断 与 的位置关系，并证明；
(2)当 是 的中点时，
若 ，求 的长．
当 满足什么条件时，四边形 是正方形？请直接写出来．
37．（2025·江西新余·二模）如图， 内接于 ， 是 的直径，交 于点 ，
的切线 交 的延长线于点 ， ，连接 ．
(1)求证： ；
(2)若 ， ，求 的长．
38．（2025·江西吉安·一模）如图， 是三角形 的外接圆， 是 的直径，点
是 延长线上一点，过点 作 的切线 交 的延长线于点 ，且满足
．
(1)求证： 是 的切线；
(2)若 ， ，求 的半径．
39．（2025·江西吉安·一模）如图， 内接于 ， 是 的直径， ，
是 的角平分线，请仅用无刻度的直尺按要求作图（保留画图痕迹，不写作法）．
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(1)在图（1）中，过点 作 的平行线；
(2)在图（2）中，当点 作 的垂线．
40．（2025·江西抚州·一模）如图，菱形 的边长 是 的直径， 与 交于
点 是 上一点，且 ，连接 ．
(1)求证： 是 的切线；
(2)连接 ，若 ，求 的长．
41．（2025·江西·二模）如图， 是 的直径，直线 与 相切于点 ， 是
上的一点， ，延长 ，交 的延长线于点 ．
(1)求证： 是 的切线；
(2)若 ，求图中阴影部分的面积．（结果保留 ）
42．（2025·江西·一模）如图， 内接于 ， 为直径，点D在 上，过点D作
切线与 的延长线交于点E， ，连接 交 于点F．
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(1)求证： ；
(2)若 ，求 的长．
43．（2025·江西宜春·一模）如图是由小正方形构成的 网格，每个小正方形的顶点叫
格点， 经过 、 两个格点．以及格线上的点 ，仅用无刻度直尺在给定的网格中按
要求画图．
(1)如图1，过点 作 的垂线；
(2)如图2，过点 作弦 ．
44．（2025·江西上饶·一模）如图，这是 的方格，每个小正方形的顶点称为格点，
的顶点A，B，C均在格点上，并画出了 的外接圆，请仅用无刻度的直尺在给
定的方格中按下列要求作图（保留作图痕迹）．
(1)在图1中的 上作点D，使得 ．
(2)在图2中的 上作点E，使得 ．
45．（2025·江西上饶·一模）如图， 内接于 ， ，AD是 的直径，交
BC于点E，过点D作 ，交AB的延长线于点F，连接BD．
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(1)求证：DF是 的切线．
(2)若 ， ，求BD的长．
46．（2025·江西南昌·一模）如图，四边形 是菱形， 是对角线 上一点，以点
为圆心， 为半径画圆交 于点 ，边 与 相切于点 ．
(1)①判断点 和 的位置关系，并说明理由；
②求证： 是 的切线；
(2)若 ，求图中阴影部分的周长．
47．（2025·江西宜春·一模）如图， 是 的直径．四边形 内接于 ，
，对角线 与 交于点E，在 的延长线上取一点F，使 ，连接 ．
(1)求证： 是 的切线；
(2)若 ，求 的值．
48．（2025·江西新余·一模）如图， 是 的直径， 为 的弦， 于点
E，连接 并延长到点M，连接 ， ， ．
(1)求证： ；
(2)若 ， ，求 的长．
49．（2025·江西景德镇·一模）请仅用无刻度直尺按下列要求作图，并保留作图痕迹．
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(1)在图①中，已知矩形 的顶点 在圆上，请找出圆心 ．
(2)在图②中，弦 上两点 满足 ，以 为斜边作等腰直角三角形 ，直
角顶点 在圆上，请找出圆心 ．
50．（2025·江西景德镇·一模）如图，四边形 内接于 ，对角线 是直径，延长
边 ， 交于点 ，过点 作 于点 ，已知 ；
(1)求证： 是 的切线；
(2)若 ， ，求 的半径．
51．（2025·江西鹰潭·一模）如图，已知 是 的直径， 为 的内接三角形，
为 延长线上一点，连接 于点 ，交 于点 ．
(1)求证： 是 的切线．
(2)若 ，求 的长．
52．（2025·江西景德镇·一模）如图，在 中， ， ，延长 至点 ，
连接 ， ， 为 的中点，连接 ．
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(1)求证： 是 的切线．
(2)若 ， 的半径为 ，求 的长．
53．（2025·江西南昌·一模）如图， 内接于 ， 是直径， 是 的中点．请
仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）．
(1)在图1中作出边 上的中线 ．
(2)在图2中作出等腰三角形 ，使得 ．
54．（2025·江西·模拟预测）图1是某城市一座造型独特的桥梁，该桥因索塔为圆形而被
称为“戒指桥”，图2是该桥索塔示意图，已知桥面在圆形索塔上的部分 ， 为
的中点， 为圆心，连接 ．
(1)求证： ；
(2)经测量， 到 的距离为 ，求该 的半径．
55．（2025·江西南昌·模拟预测）如图， 是 的直径，C是 的中点，过点C作
的垂线，垂足为点E．请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（不写作法，保留作图痕
迹）．
(1)如图1，过点 作 的一条平行线；
(2)如图2，作一条直线把阴影部分分为面积相等的两部分．
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