北京曲一线图书策划有限公司 2023版《5年高考3年模拟》A版
9.3 双曲线及其性质
考点一 双曲线的定义及标准方程
1.(2017课标Ⅲ理,5,5分)已知双曲线C:x2 -y2 =1(a>0,b>0)的一条渐近线方程为y=√5x,且与椭圆x2 +y2
a2 b2 2 12 3
=1有公共焦点,则C的方程为 ( )
x2 y2 x2 y2
A. - =1 B. - =1
8 10 4 5
x2 y2 x2 y2
C. - =1 D. - =1
5 4 4 3
答案 B 本题考查双曲线的方程.
x2 y2 x2 y2 x2 y2
由双曲线的渐近线方程可设双曲线方程为 - =k(k>0),即 - =1,∵双曲线与椭圆 + =1有公共
4 5 4k 5k 12 3
x2 y2
焦点,∴4k+5k=12-3,解得k=1,故双曲线C的方程为 - =1.故选B.
4 5
x2 y2 x2 y2
一题多解 ∵椭圆 + =1的焦点为(±3,0),双曲线与椭圆 + =1有公共焦点,∴a2+b2=(±3)2=9①,∵双曲
12 3 12 3
√5 b √5 x2 y2
线的一条渐近线为y= x,∴ = ②,联立①②可解得a2=4,b2=5.∴双曲线C的方程为 - =1.
2 a 2 4 5
y2
2.(2017课标Ⅰ文,5,5分)已知F是双曲线C:x2- =1的右焦点,P是C上一点,且PF与x轴垂直,点A的坐标
3
是(1,3),则△APF的面积为( )
1 1 2 3
A. B. C. D.
3 2 3 2
答案 D 本题考查双曲线的几何性质.
易知F(2,0),不妨取P点在x轴上方,如图.
∵PF⊥x轴,
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∴P(2,3),|PF|=3,又A(1,3),
∴|AP|=1,AP⊥PF,
1 3
∴S = ×3×1= .故选D.
△APF
2 2
3.(2015安徽理,4,5分)下列双曲线中,焦点在y轴上且渐近线方程为y=±2x的是( )
y2 x2
A.x2- =1 B. -y2=1
4 4
y2 x2
C. -x2=1 D.y2- =1
4 4
答案 C 由于焦点在y轴上,故排除A、B.由于渐近线方程为y=±2x,故排除D.故选C.
4.(2014天津理,5,5分)已知双曲线x2 -y2
=1(a>0,b>0)的一条渐近线平行于直线l:y=2x+10,双曲线的一个焦
a2 b2
点在直线l上,则双曲线的方程为( )
x2 y2 x2 y2 3x2 3 y2 3x2 3 y2
A. - =1 B. - =1 C. - =1 D. - =1
5 20 20 5 25 100 100 25
b x2 y2
答案 A 由题意得 =2且c=5.故由c2=a2+b2,得25=a2+4a2,则a2=5,b2=20,从而双曲线方程为 - =1.
a 5 20
5.(2014江西文,9,5分)过双曲线C:x2 -y2
=1的右顶点作x轴的垂线,与C的一条渐近线相交于点A.若以C
a2 b2
的右焦点为圆心、半径为4的圆经过A,O两点(O为坐标原点),则双曲线C的方程为( )
x2 y2 x2 y2
A. - =1 B. - =1
4 12 7 9
x2 y2 x2 y2
C. - =1 D. - =1
8 8 12 4
b
答案 A 由双曲线方程知右顶点为(a,0),不妨设其中一条渐近线方程为y= x,因此可设点A的坐标为(a,b).
a
设右焦点为F(c,0),由已知可知c=4,且|AF|=4,即(c-a)2+b2=16,所以有(c-a)2+b2=c2,得a2-2ac+b2=0,又知c2=a2+b2,
c x2 y2
所以得a2-2ac+c2-a2=0,即a= =2,所以b2=c2-a2=42-22=12.故双曲线的方程为 - =1,故选A.
2 4 12
评析 本题考查双曲线的标准方程的求法、双曲线的几何性质以及圆的定义,考查学生的运算求解能力和
逻辑推理能力.
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6.(2016课标Ⅰ,5,5分)已知方程
x2
-
y2
=1表示双曲线,且该双曲线两焦点间的距离为4,则n的取
m2+n 3m2-n
值范围是( )
A.(-1,3) B.(-1,√3)
C.(0,3) D.(0,√3)
答案 A 解法一:由题意可知:c2=(m2+n)+(3m2-n)=4m2,其中c为半焦距,∴2c=2×2|m|=4,∴|m|=1,∵方程
x2
m2+n
-
y2
=1表示双曲线,∴(m2+n)·(3m2-n)>0,
3m2-n
∴-m2<n<3m2,∴-1<n<3.故选A.
解法二:∵原方程表示双曲线,且焦距为4,
{
m2+n>0,
∴ 3m2-n>0, ①
m2+n+3m2-n=4,
{
m2+n<0,
或 3m2-n<0, ②
-(3m2-n)-(m2+n)=4,
由①得m2=1,n∈(-1,3).②无解.故选A.
知识拓展 对于方程mx2+ny2=1,若表示椭圆,则m、n均为正数且m≠n;若表示双曲线,则m·n<0.
7.(2016天津,6,5分)已知双曲线x2 -y2
=1(b>0),以原点为圆心,双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的
4 b2
两条渐近线相交于A,B,C,D四点,四边形ABCD的面积为2b,则双曲线的方程为( )
x2 3 y2 x2 4 y2
A. - =1 B. - =1
4 4 4 3
x2 y2 x2 y2
C. - =1 D. - =1
4 4 4 12
答案 D 设A(x,y),不妨令其在第一象限,
0 0
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{x2+ y2=22,
0 0
由题意得
b
y = x ,
0 2 0
可得 = 16 , =b2 × 16 = 4b2 ,
x2 y2
0 4+b2 0 4 4+b2 4+b2
结合2x·2y=2b,可得b2=12.
0 0
x2 y2
所以双曲线的方程为 - =1.故选D.
4 12
y2
8.(2015课标Ⅰ文,16,5分)已知F是双曲线C:x2- =1的右焦点,P是C的左支上一点,A(0,6√6).当△APF周
8
长最小时,该三角形的面积为 .
答案 12√6
解析 由已知得双曲线的右焦点F(3,0).设双曲线的左焦点为F',则F'(-3,0).由双曲线的定义及已知得|PF|
=2a+|PF'|=2+|PF'|.△APF的周长最小,即|PA|+|PF|最小.|PA|+|PF|=|PA|+2+|PF'|≥|AF'|+2=17,即当A、P、F'三点
共线时,△APF的周长最小.
x y
{ 0 + 0 =1,
-3 6√6
设P点坐标为(x
0
,y
0
),y
0
>0,由 得y2+6√6y
0
-96=0,所以y
0
=2√6或y
0
=-8√6(舍去).
y2 0
x2- 0=1
0 8
1 1
所以当△APF的周长最小时,该三角形的面积S= ×6×6√6- ×6×2√6=12√6.
2 2
1
9.(2015课标Ⅱ文,15,5分)已知双曲线过点(4,√3),且渐近线方程为y=± x,则该双曲线的标准方程为
2
.
x2
答案 -y2=1
4
解析 根据渐近线方程为x±2y=0,可设双曲线方程为x2-4y2=λ(λ≠0).因为双曲线过点(4,√3),所以42-4×(√3
x2
)2=λ,即λ=4.故双曲线的标准方程为 -y2=1.
4
考点二 双曲线的几何性质
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1.(2019北京文,5,5分)已知双曲线x2
-y2=1(a>0)的离心率是 ,则a=( )
√5
a2
1
A.√6 B.4 C.2 D.
2
答案 D 本题主要考查双曲线的几何性质,考查学生运算求解的能力以及方程的思想,考查的核心素养为
数学运算.
由题意得e=c= ,又a2+b2=c2,∴b2 =c2-a2 =e2-1=4,
√5
a a2 a2
1 1
∵b2=1,∴a2= .∵a>0,∴a= .
4 2
易错警示 把双曲线的离心率错认为e=√ b2 而出错.
1-
a2
x2
2.(2018浙江,2,4分)双曲线 -y2=1的焦点坐标是( )
3
A.(-√2,0),(√2,0) B.(-2,0),(2,0)
C.(0,-√2),(0,√2) D.(0,-2),(0,2)
答案 B 本小题考查双曲线的标准方程和几何性质.
∵a2=3,b2=1,∴c= =2.又∵焦点在x轴上,∴双曲线的焦点坐标为(-2,0),(2,0).
√a2+b2
易错警示 求双曲线焦点坐标的易错点
(1)焦点在x轴上还是y轴上,容易判断错误;
(2)双曲线与椭圆的标准方程中a,b,c的关系式容易混淆.
x2
3.(2015课标Ⅰ理,5,5分)已知M(x,y)是双曲线C: -y2=1上的一点,F,F 是C的两个焦点.若 ⃗M F ·⃗M F
0 0 2 1 2 1 2
<0,则y 的取值范围是( )
0
A.( √3 √3) B.( √3 √3)
- , - ,
3 3 6 6
C.( 2√2 2√2) D.( 2√3 2√3)
- , - ,
3 3 3 3
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{x2+ y2=3,
0 0
答案 A 若⃗M F ·⃗M F =0,则点M在以原点为圆心,半焦距c=√3为半径的圆上,则 x2 解得
1 2 0- y2=1,
2 0
y2 =1.可知: ⃗M F · ⃗M F <0⇒点M在圆x2+y2=3的内部⇒ y2 <1⇒y 0 ∈( - √3 , √3).故选A.
0 3 1 2 0 3 3 3
4.(2015课标Ⅱ理,11,5分)已知A,B为双曲线E的左,右顶点,点M在E上,△ABM为等腰三角形,且顶角为
120°,则E的离心率为( )
A.√5 B.2 C.√3 D.√2
答案 D
设双曲线E的标准方程为x2 -y2
=1(a>0,b>0),则A(-a,0),B(a,0),不妨设点M在第一象限内,则易得
a2 b2
M(2a, a),又M点在双曲线E上,于是(2a) 2 -(√3a) 2 =1,解得b2=a2,∴e=√ b2 = .
√3 1+ √2
a2 b2 a2
5.(2015湖南文,6,5分)若双曲线x2 -y2
=1的一条渐近线经过点(3,-4),则此双曲线的离心率为( )
a2 b2
√7 5 4 5
A. B. C. D.
3 4 3 3
答案 D 双曲线x2 -y2 =1的两条渐近线方程为y=±bx,则点(3,-4)在直线y=-bx上,即-4=-3b,所以
a2 b2 a a a
4a=3b,即 b = 4 ,所以e=√ b2 = 5 .故选D.
1+
a 3 a2 3
6.(2015重庆文,9,5分)设双曲线x2 -y2
=1(a>0,b>0)的右焦点是F,左、右顶点分别是A,A,过F作AA 的垂
1 2 1 2
a2 b2
线与双曲线交于B,C两点.若AB⊥AC,则该双曲线的渐近线的斜率为( )
1 2
1 √2
A.± B.± C.±1 D.±√2
2 2
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答案 C 不妨令B在x轴上方,因为BC过右焦点F(c,0),且垂直于x轴,所以可求得B,C两点的坐标分别为
(
b2
),(
b2
),又A,A 的坐标分别为(-a,0),(a,0),
c, c,- 1 2
a a
所以 =(
b2
), =(
b2
),
⃗A B c+a, ⃗A C c-a,-
1 a 2 a
因为AB⊥AC,所以 · =0,
1 2 ⃗A B ⃗A C
1 2
b2 b2
即(c+a)(c-a)- · =0,
a a
即c2-a2-b4 =0,所以b2-b4
=0,
a2 a2
故b2 =1,即b=1,又双曲线的渐近线的斜率为±b,故该双曲线的渐近线的斜率为±1.故选C.
a2 a a
7.(2014课标Ⅰ理,4,5分)已知F为双曲线C:x2-my2=3m(m>0)的一个焦点,则点F到C的一条渐近线的距离为(
)
A.√3 B.3 C.√3m D.3m
x2 y2
答案 A 由题意知,双曲线的标准方程为 - =1,其中a2=3m,b2=3,故c=√a2+b2=√3m+3,不妨设F
3m 3
1
为双曲线的右焦点,故F(√3m+3,0).其中一条渐近线的方程为y= x,即x-√my=0,由点到直线的距离公
√m
|√3·√m+1|
式可得d= = ,故选A.
√3
√1+(-√m) 2
评析 本题考查双曲线的方程、性质以及点到直线的距离公式等基础知识,考查考生对知识的灵活运用能
力和运算求解能力.
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8.(2014课标Ⅰ文,4,5分)已知双曲线x2 -y2
=1(a>0)的离心率为2,则a=( )
a2 3
√6 √5
A.2 B. C. D.1
2 2
答案 D
由双曲线方程知b2=3,从而c2=a2+3,又e=2,因此c2 =a2+3=4,又a>0,所以a=1,故选D.
a2 a2
9.(2013课标Ⅰ理,4,5分)已知双曲线C:x2 -y2 =1(a>0,b>0)的离心率为√5,则C的渐近线方程为( )
a2 b2 2
1 1
A.y=± x B.y=± x
4 3
1
C.y=± x D.y=±x
2
b √5 1 1
答案 C ∵ =√e2-1= -1= ,∴C的渐近线方程为y=± x.故选C.
a 4 2 2
10.(2011课标全国理,7,5分)设直线l过双曲线C的一个焦点,且与C的一条对称轴垂直,l与C交于A,B两点,
|AB|为C的实轴长的2倍,则C的离心率为( )
A.√2 B.√3 C.2 D.3
答案 B
不妨设双曲线C为x2 -y2 =1(a>0,b>0),并设l过F(c,0)且垂直于x轴,则易求得|AB|=2b2
,
2
a2 b2 a
∴2b2 =2×2a,b2=2a2,∴离心率e= c =√ b2 = ,故选B.
1+ √3
a a a2
11.(2016课标Ⅱ,11,5分)已知F,F
是双曲线E:x2 -y2
=1的左,右焦点,点M在E上,MF 与x轴垂
1 2 1
a2 b2
1
直,sin∠MFF= ,则E的离心率为( )
2 1
3
3
A.√2 B. C.√3 D.2
2
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答案 A 解法一:不妨设M在第二象限,由MF⊥x轴,可得M( b2 ),∴|MF|=b2 .由sin∠MFF=1,可得
1 -c, 1 2 1
a a 3
1
b2 b2
cos∠MFF=
√
1-
(1) 2
=
2√2
,又tan∠MFF=
|M F
1
|
= a ,∴ a =
3
,∴b2=
√2
ac,∵c2=a2+b2⇒b2=c2-
2 1 3 3 2 1 |F F | 2√2 2
1 2 2c 2c
3
√2 √2
a2,∴c2-a2- ac=0⇒e2- e-1=0,∴e=√2.故选A.
2 2
解法二:不妨设M在第二象限,由MF⊥x轴,得M(
b2 ),∴|MF|=b2
,由双曲线的定义可得|MF|=2a+|
1 -c, 1 2
a a
b2
MF|=2a+
b2
,又sin∠MFF=
|M F
1
|
=
a
=
1
⇒a2=b2⇒a=b,∴e=
√
1+
(b) 2
=√2.故选A.
1 a 2 1 |M F | b2 3 a
2 2a+
a
12.(2016浙江,7,5分)已知椭圆C:
x2 +y2=1(m>1)与双曲线C:x2
-y2=1(n>0)的焦点重合,e,e 分别为C,C 的
1 2 1 2 1 2
m2 n2
离心率,则( )
A.m>n且ee>1 B.m>n且ee<1
1 2 1 2
C.m<n且ee>1 D.m<n且ee<1
1 2 1 2
答案 A 在椭圆中,a=m,c= ,e=√m2-1.在双曲线中,a=n,c= ,e=√n2+1.因为c=c,所
1 1 √m2-1 1 2 2 √n2+1 2 1 2
m n
以n2=m2-2.从而 e2·
e2=(m2-1)(n2+1)= (m2-1) 2
,令t=m2-1,则t>1, e2· e2=
t2
>1,即e
1
e
2
>1.结合
1 2 m2·n2 m2·(m2-2) 1 2 t2-1
图形易知m>n,故选A.
思路分析 根据焦点重合可得m2与n2之间的关系,进而建立 e2e2关于m的解析式,然后判定范围即可.
1 2
x2
13.(2018上海,2,4分)双曲线 -y2=1的渐近线方程为 .
4
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1
答案 y=± x
2
解析 本题主要考查双曲线的渐近线方程.
x2
解法一:由双曲线 -y2=1知a2=4,b2=1,
4
1
∴a=2,b=1,∴该双曲线的渐近线方程为y=± x.
2
x2 x2
解法二:令双曲线 -y2=1中的“1”为“0”,即可得到双曲线的渐近线方程,即 -y2=0,∴该双曲线的渐近线
4 4
1
方程为y=± x.
2
14.(2018江苏,8,5分)在平面直角坐标系xOy中,若双曲线x2 -y2
=1(a>0,b>0)的右焦点F(c,0)到一条渐近线的
a2 b2
√3
距离为 c,则其离心率的值是 .
2
答案 2
解析 本题考查双曲线的性质.
双曲线的一条渐近线方程为bx-ay=0,则F(c,0)到这条渐近线的距离为 |bc| =√3c,∴b=√3c,∴b2=3
√b2+(-a) 2 2 2 4
c
c2,又b2=c2-a2,∴c2=4a2,∴e= =2.
a
15.(2017课标Ⅰ理,15,5分)已知双曲线C:x2 -y2
=1(a>0,b>0)的右顶点为A,以A为圆心,b为半径作圆A,圆A
a2 b2
与双曲线C的一条渐近线交于M,N两点.若∠MAN=60°,则C的离心率为 .
2√3
答案
3
解析 本题考查双曲线的几何性质和圆的性质.
b
不妨设点M、N在渐近线y= x上,如图,△AMN为等边三角形,且|AM|=b,
a
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b √3 b
则A点到渐近线y= x的距离为 b,又将y= x变形为一般形式为bx-ay=0,则A(a,0)到渐近线bx-ay=0的
a 2 a
距离d= |ba| =|ab|,所以|ab|=√3b,即a=√3,
√a2+b2 c c 2 c 2
c 2√3
所以双曲线离心率e= = .
a 3
16.(2017课标Ⅲ文,14,5分)双曲线x2 -y2 =1(a>0)的一条渐近线方程为y=3x,则a= .
a2 9 5
答案 5
3 3
解析 由题意可得 = ,所以a=5.
a 5
y2
17.(2017北京理,9,5分)若双曲线x2- =1的离心率为√3,则实数m= .
m
答案 2
解析 本题考查双曲线的性质.
由题意知,a2=1,b2=m.
∵e= c =√ b2 =√ m= ,∴m=2.
1+ 1+ √3
a a2 1
18.(2016山东理,13,5分)已知双曲线E:x2 -y2
=1(a>0,b>0).若矩形ABCD的四个顶点在E上,AB,CD的中点
a2 b2
为E的两个焦点,且2|AB|=3|BC|,则E的离心率是 .
答案 2
2b2 4b2
解析 由已知得|AB|=|CD|= ,|BC|=|AD|=|FF|=2c.因为2|AB|=3|BC|,所以 =6c,又b2=c2-a2,所以2e2-
1 2
a a
1
3e-2=0,解得e=2,或e=- (舍去).
2
评析 本题考查了双曲线的基本性质,利用2|AB|=3|BC|和b2=c2-a2构造关于离心率e的方程是求解的关键.
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19.(2016北京理,13,5分)双曲线x2 -y2
=1(a>0,b>0)的渐近线为正方形OABC的边OA,OC所在的直线,点B
a2 b2
为该双曲线的焦点.若正方形OABC的边长为2,则a= .
答案 2
解析 由OA、OC所在直线为渐近线,且OA⊥OC,知两条渐近线的夹角为90°,从而双曲线为等轴双曲线,则
其方程为x2-y2=a2.OB是正方形的对角线,且点B是双曲线的焦点,则c=2√2,根据c2=2a2可得a=2.
评析 本题考查等轴双曲线及其性质.
20.(2015北京理,10,5分)已知双曲线x2
-y2=1(a>0)的一条渐近线为 x+y=0,则a= .
√3
a2
√3
答案
3
解析 由双曲线x2 -y2=1(a>0)知其渐近线方程为y=±1x,又因为a>0,所以1= ,解得a=√3.
√3
a2 a a 3
21.(2014浙江理,16,4分)设直线x-3y+m=0(m≠0)与双曲线x2 -y2
=1(a>0,b>0)的两条渐近线分别交于点A,B.
a2 b2
若点P(m,0)满足|PA|=|PB|,则该双曲线的离心率是 .
√5
答案
2
{x-3 y+m=0,
解析 由 得A( am bm ),
b ,
y= x 3b-a 3b-a
a
由
{x-3 y+m=0,
得B( am bm ),则线段AB的中点为M( a2m 3b2m ).由题意得
b - , ,
y=- x 3b+a 3b+a 9b2-a2 9b2-a2
a
5 √5
PM⊥AB,∴k =-3,得a2=4b2=4c2-4a2,故e2= ,∴e= .
PM 4 2
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