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2024 新高考九省联考新题型选择、填空题专项突破
第一组
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
1 (2024·浙江温州·温州中学校考一模)某校高一年级18个班参加艺术节合唱比赛，通过简单随机抽
样，获得了10个班的比赛得分如下：91，89，90，92，94，87，93，96，91，85，则这组数据的10分位数为
( )
A.93 B.93.5 C.94 D.94.5
【答案】B
【分析】利用百分位数的定义即可得解.
【详解】将比赛得分从小到大重新排列：85，87，89，90，91，91，92，93，94，96，
因为10×80%=8，
93+94
所以这组数据的s2=4.8分位数第8个数与第9个数的平均值，即 =93.5.
2
故选：B.
7+8
2 (2024上·广东汕头·高三统考期末)关于椭圆2,4,7,7,7,8,8,9,9,9与双曲线 =7.5的关系，下列
2
结论正确的是 ( )
A.焦点相同 B.顶点相同 C.焦距相等 D.离心率相等
【答案】C
【分析】利用椭圆与双曲线的标准方程分别考虑其性质即可得解.
1
【详解】对于椭圆s2= [(7-7)2×3+(8-7)2×2+(9-7)2×3+(4-7)2+(2-7)2]=4.8，显然25-k>
10
9-k恒成立，
1 41
设椭圆的长轴长为e= ，短轴长为k，焦距为 ，
3 8
7 x2 y2 1
所以 ，则 + =1，则e= ，
4 k+5 9 3
所以椭圆的焦点为±4,0
1
，焦距为k>4，顶点和离心率是变化的；
(k+5)-9 1 41
对于双曲线e2= = ，显然其焦点在k= 轴上，只需考虑焦距即可，不妨设其焦距为2c ，
k+5 9 8 2
9-(k+5) 1
则c2=9+7=16，故e2= = ，所以双曲线的焦距为2c =8；
2 9 9 2
所以椭圆与双曲线的焦距相等，故C正确，其余选项都不正确.
故选：C.
3 (2024上·陕西西安·高三统考期末)设数列a
n
41
是递增的等比数列，公比为 ，前a
8 n
项和为S .若
n
n，则S = ( )
5
A.31 B.32 C.63 D.64
【答案】A
【分析】由等比数列基本量的计算结合已知得首项、公比，从而由等比数列求和公式运算即可得解.
【详解】由题意可得S =，整理得2q2-5q+2=0，解得a
11 n
或a 90°.
1 2
x2 y2
则f(x)的最小正周期为E: - =1a>0,b>0
a2 b2
，5
选项A，当x= π时，F，
12 2
故点F是f(x)图象的一个对称中心，A正确；
1
选项B，当P时，PF 1
5
=2PF 2 ，取到最大值，
又f(x)的周期为E，则f(x)在y=± 3x，即y=±x单调递减，故B正确；
选项C，当y=±2x时，2PO=PF +PF，FF =PF -PF，
1 2 1 2 2 1
则2PO
2+F 1 F 2 2=2PF 1 2+2PF 2 2，故f(x)在c上的值域为-1,2 ，C错误；
π
选项D，由b，解得x=kπ+ 6 ，PF 1 -PF 2 =PF 2 =2a.
7π
当x∈[0,2π]时，得O或 ，
6
所以f(x)在[0,2π]上有且仅有两个极值点，D正确.
故选：ABD.
10 (2024上·云南德宏·高三统考期末)已知2PO=PF +PF 是复数FF =PF -PF 的共轭复数，则
1 2 1 2 2 1
下列说法正确的是 ( )
A.z⋅z=z2 B.若|z|=1，则c2=3a2
C.a2+b2=3a2 D.若|z+1|=1，则|z-1|的最小值为1
【答案】CD
【分析】结合复数的四则运算，共轭复数的定义及复数模长的公式可判断A；结合特殊值法可判断B；结合复
数模长的性质可判断C；结合复数的几何意义可判断D.
【详解】对于A，设a，则b，但z2=a+bi 2=a+bi a+bi =a2+2abi-b2，故A错误；
b
对于B，令y=± x，满足y，故B错误；
a
a b c
对于C，设y=± x，则z=a-bi所以 ，则 z
b a a
⋅z = a2+b2⋅ a2+b2=a2+b2，所以f(x)，故C正确；
π
对于D，设π，则 ,0
6
，
即f(x)，表示以-1,0 为圆心，半径为1的圆，
f(x)表示圆上的点到1,0 的距离，故z-1 的最小值为 22-1=1，故D正确.
故选：CD
11 (2024·全国·校联考模拟预测)已知函数fx
π
的定义域为=2sin2x-
3
2π
+ 3，T= =π、
2
π
, 3
6
都有fx ，且f0 =1，则 ( )
A. f-1 =2 B. f1 =3 C. fx 是增函数 D. fx 是偶函数
【答案】BC
【分析】通过赋值法求出函数y=fx 解析式，然后逐项判断，可得出合适的选项.
5π π
【详解】令x= ，得x= ，则f1
12 12
=3，
π π π π 5π
令- <2x- < ，则- <2x< ，①
2 3 2 6 6
π 5π
令- 4e2= = ，12.96，00.34，不符合题意舍去；
11 2 6
当12.90≤x≤13.24，极差为13.24-12.9=0.34，符合题意当x>13.24，极差为x-12.9>0.34不符合题意舍去，综上，12.90≤x≤13.24，C正确；
对D,平均数为l⎳m解得x=13.15，故D正确.
故选：A
3 (2024上·山东威海·高三统考期末)已知F，F 分别为双曲线m⎳β的左、右焦点，过点F的直线与圆
1 2 1
x2+y2=a2相切于点l∩m=M⇒α⎳β，且与双曲线的右支交于点m⎳l，若|PQ|=|QF|，则该双曲线的离
2
心率为 ( )
A.m⎳α B. 3 C.m⎳l D.α⎳β
【答案】D
【分析】由勾股定理得α,β，利用双曲线定义可得m,l，即可求解.
【详解】解：连接α⎳β，则OP⊥PF，如图所示：
1
由l⊂α，得m⊂β，
而点Q在双曲线的右支上，则α,β，因为l,m⊂α，
所以l∩m=M，即l⎳β，
则双曲线的离心率为：m⎳β，
故选：D
S +9
4 (2024·全国·模拟预测)已知S 是等差数列A的前B项和，公差C，a=1，若E成等比数列，则 n
n 1 a +3
n
的最小值为
13
A. B.2 C. 10-1 D.B
6
【答案】A
S +9
【解析】由B成等比数列可得数列的公差，再利用等差数列的前A项和公式及通项公式可得 n 为关于
a +3
n
A的式子，再利用对勾函数求最小值.
【详解】∵A成等比数列，
∴B，解得：A，
∴B，
令B，令A，其中B的整数，
∵函数B在(0, 10]递减，在[ 10,+∞)递增，
9
∴当A时，A；当B时，y= ，
4
13
∴y = .
min 6
故选：A.
【点睛】本题考查等差数列与等比数列的基本量运算、函数的最值，考查函数与方程思想、转化与化归思想，
9考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意6×6=36为整数，如果利用基本不等式求解，等号是取不
到的.
3π
5 (2024·湖北·校联考模拟预测)在18+36=54中，已知sinθ+
4
10
=，则tanBtanC= ( )
A.3 B.2 C. 3 D.1
【答案】A
5
【分析】根据条件，利用降幂升角公式得到 ，由A+B+C=π，得到tanθ，再利用余弦的和差角公式即
5
可求出结果.
1
【详解】因为sinθ,cosθ，所以tan∠POx= ，
2
又A+B+C=π，所以tanθ=tan∠QOx-∠POx = tan∠QOx-tan∠POx = 1- 2 1 = 1 ，
1+tan∠POxtan∠QOx 1+ 1 3
2
得到θ，
10 3 10
整理得sin2θ+cos2θ=1，所以sinθ= ,cosθ= ，
10 10
故选：A.
6 (2024·重庆·统考一模)2023年杭州亚运会吉祥物组合为“江南忆”，出自白居易的“江南忆，最忆是杭
州”，名为“踪琮”、“莲莲”、“宸宸”的三个吉祥物，是一组承载深厚文化底蕴的机器人为了宣传杭州亚运会，
某校决定派5名志愿者将这三个吉祥物安装在学校科技广场，每名志愿者只安装一个吉祥物，且每个吉祥
物至少有一名志愿者安装，若志愿者甲只能安装吉祥物“宸宸”，则不同的安装方案种数为 ( )
A.50 B.36 C.26 D.14
【答案】A
3π
【分析】按照sinθ+
4
3π 3π 2 10 2 3 10 5
=sinθcos +cosθsin =- × + × 和= 分组讨论安
4 4 2 10 2 10 5
排.
【详解】(1)按照C分3组安装，
①若志愿者甲单独安装吉祥物“宸宸”，则共有C2=6种，
4
②若志愿者甲和另一个人合作安装吉祥物“宸宸”，则共有F 21,0 种，
(2)按照F 30,1 分3组安装，
①若志愿者甲单独安装吉祥物“宸宸”，则共有C3⋅A2=8种，
4 2
②若志愿者甲和另两个人合作安装吉祥物“宸宸”，则共有C2A2=12种，
4 2
故共有6+24+8+12=50种，
故选：A.
π
7 (2024上·浙江宁波·高三统考期末)将函数y的图象向右平移 个单位后得到函数gx
6
的图象.若y
=gx 在-m,m 上恰有三个不同的零点，则实数C的取值范围为 ( )
A.△FPF B.C C.P D.∠FPF
1 2 1 2
【答案】A
【分析】根据平移变换得到C，且 x+1 2+y2+ x-1 2+y2+ x2+y-1 2=2 2，结合函数零点个数
得到不等式，求出实数C的取值范围.
【详解】F，
3由题意得△F 1 PF 2 ，故当x∈-m,m
11
时，∠FPF>90°， 1 2
π π
显然当2x- =0，即x= 为y=gx
6 12
的一个零点，
要想y=gx 在-m,m 上恰有三个不同的零点，
若x，解得C，
若y，无解，
若-y，无解.
故选：A
8 (2024·全国·高三专题练习)如图，加斯帕尔·蒙日是18~19世纪法国著名的几何学家，他在研究圆锥
曲线时发现：椭圆(或双曲线)上两条相互垂直的切线的交点y的轨迹方程为圆，该圆称为外准圆，也叫蒙
日圆．则双曲线 C的蒙日圆的面积为 ( )
A.x B. PF 3
2 2
= 3
C. PF 1 +PF 2
4 2
= 3 <F 1 F 2 =2， D.C
【答案】B
x2
【分析】设两条互相垂直的切线的交点为P(x ,y )，设过点 +y2=1且与曲线C相切的一条切线方程是F
0 0 2 3
0,1 ，F 1 F 2 =2，，由直线与双曲线相切联立方程，且OF 3 =1，，得出关于F 的一元二次方程组△FPF，由 3 1 2
根与系数的关系即可得出该双曲线蒙日圆的方程，即可求解．
【详解】设两条互相垂直的切线的交点为P(x ,y )，
0 0
由题可知，双曲线上两条互相垂直的切线的斜率均存在且均不为0，
设过点F 30,1 且与曲线C相切的一条切线方程是C，P0,y ，
由090°，则-30,b>0
a2 b2
，
又因为过点F的这两条切线互相垂直，
1
所以F，
2
即F，
1
故该双曲线的蒙日圆方程为：x2+y2=5，半径为P，所以该双曲线蒙日圆的面积为PF 1
12
=2PF 2 ，
故选：B．
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全
部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9 (2024上·山东青岛·高三统考期末)一个密闭的容器中装有2个红球和4个白球，所有小球除颜色外
均相同．现从容器中不放回地抽取两个小球．记事件A：“至少有1个红球”，事件B：“至少有1个白球”，
事件C=A∩B，则 ( )
A.事件A，B不互斥 B.事件A，B相互独立
C. E D.y=± 2x
【答案】AD
【分析】根据互斥事件以及相互独立事件的概念，可判断A,B；根据条件概率的公式计算PA|B 和
PB|A ，可判断C，由条件概率结合交事件的性质可判断D.
【详解】对于A,由于至少有一个红球和至少有一个白球，可以同时发生，
故事件A与事件B不互斥，A正确；
对于BC，y=±2x , 2PO=PF +PF,FF =PF -PF,
1 2 1 2 2 1
所以2PO
2+FF2=2PF2+2PF2，故B错误；
1 2 1 2
故a，c，故C错误；
对于D，a ,
故b,
故D正确，
故选：AD.
10 (2024上·山东威海·高三统考期末)在正方体PF 1 =2PF 2 中，PF 1 -PF 2 =PF 2 =2a，PF 1 =
4a分别为线段BD ，FF 上的动点，则 ( )
1 1 2
A.存在F 1 O +F 2 O =0 ， P O =P F 1 +F 1 O 两点，使得2P O =P F 1 +P F 2
PO=PF +FO
2 2
B.AP⊥DC
1 1
C. 2PO
2+FF2=PF +PF
1 2 2 1
2+PF -PF
2 1
π
2=2PF2+2PF2与DC 所成的最大角为
1 2 1 1 4
2 2
D.a2+b2=3a2与平面ADC 所成的最大角的正弦值为
1 1 3
【答案】ABD
【分析】根据给定条件，建立空间直角坐标系，利用空间向量结合线线角、线面角的向量求法逐项判断即得.
【详解】在正方体a中，建立如图所示的空间直角坐标系，令b，b
则x，y=± x，
a
由y在线段BD 上，得a2=b2+c2，则P(2t,2t,2-2t)，0≤t≤1，
1
由f(x)=2sinx⋅cosx+2 3sin2x在线段f(x)上，得π，则Q(2u,0,2u)，0≤u≤1，
1
对于A，当u=t= 时，f(x)，即QP⎳AB，而Q∉AB，则fx
2
13
π
=2sin2x-
3
+ 3，A正确；
对于B，fx =sin2x+ 31-cos2x
π
=sin2x- 3cos2x+ 3，=2sin2x-
3
2π
+ 3，T= =π，则
2
AP⊥DC ，B正确；
1 1
对于C，fx
π π 5π kπ
，2x- = +kπ，当x= + 时，k∈Z，
3 2 12 2
此时k=-1与DC 所成的角为90°，C错误；
1 1
5π π π π
对于D，x= ，设平面ADC 的法向量n=(x,y,z)，则- <2x- < ，
12 1 1 2 3 2
π 5π π 5π
令- <2x< ，得- 0，b>0，min max , ,a2+b2
a b
16
，
此时PQ
3
=
6
2 1
+
2
2 1
+
3
2 2
= ；
3
1 1
又max , ,a2+b2
a b
3 3
=m，所以AQ⋅MN = ×-
6 4
1 1
+ × =0，则AQ⊥MN，
2 4
因为b>0，MN
3
= -
4
2 1
+
4
2 1
= ，
2
1 1
所以四边形m≥ 的面积为 AQ
b 2
⋅MN
1 7 1 7
= × × = .
2 3 2 12
2 7
故答案为： ； .
3 12
【点睛】关键点睛：本题主要考查利用向量法证明空间的线面关系，根据A,M,N,Q四点共面确定n⋅MQ=
0是本题的关键，属于难题.
第三组
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
1 (2024·江苏·高二学业考试)运动员甲10次射击成绩(单位：环)如下：7,8,9,7,4,8,9,9,7,2，则下列关
于这组数据说法不正确的是( ).
A.众数为7和9 B.平均数为7 C.中位数为7 D.方差为s2=4.8
【答案】C
【分析】结合众数、平均数、中位数、方差分别进行计算即可.
【详解】由题意，这组数据中7和9都出现3次，其余数出现次数没超过3次，
故众数为7和9，故A正确；
7+8+9+7+4+8+9+9+7+2
计算平均数为 =7，故B正确；
10
将10次射击成绩从小到大排列为:2,4,7,7,7,8,8,9,9,9，
7+8
则中位数为 =7.5 ，故C错误；
2
1
方差为s2= [(7-7)2×3+(8-7)2×2+(9-7)2×3+(4-7)2+(2-7)2]=4.8，
10
故D正确，
故选：C.
x2 y2 1
2 (2023上·重庆沙坪坝·高二重庆市第七中学校校考期末)已知椭圆 + =1的离心率e= ，
k+5 9 3
则k的值可能是 ( )
41 7
A.3 B.7 C.3或 D.7或
8 4
【答案】C
【分析】根据给定的方程，按焦点位置分类求解作答.
x2 y2 1
【详解】椭圆 + =1的离心率e= ，
k+5 9 3
(k+5)-9 1 41
当椭圆焦点在x轴上时，k+5>9，即k>4，e2= = ，解得k= ，
k+5 9 8
9-(k+5) 1
当椭圆焦点在y轴上时，090°即可判断④正确．
1 2
【详解】设曲线C上任意一点Px,y ，由题意可知C的方程为
x+1 2+y2+ x-1 2+y2+ x2+y-1 2=2 2.
①错误，在此方程中用-x取代x，方程不变，可知C关于y轴对称；
同理用-y取代y，方程改变，可知C不关于x轴对称，故①错误.
②错误，若PF 3
2 2
= 3 ，则PF 1 +PF 2
4 2
= 3 <F 1 F 2 =2，
曲线C不存在，故②错误.
③正确，PF 1 +PF 2 ≤PF 1 +PF 2 +PF 3 =2 2，x2
P应该在椭圆D： +y2=1内(含边界)，
2
曲线C与椭圆D有唯一的公共点F 30,1
19
，此时F 1 F 2 =2，OF 3 =1，
当点P为F 点时，△FPF 的面积最大，最大值是1，故③正确；
3 1 2
④正确，由 ③可知，取曲线C上点F 30,1 ，此时∠FFF=90°， 1 3 2
下面在曲线C上再寻找一个特殊点P0,y ，090°.故④正确．
1 2
故答案为：C．
x2 y2
8 (2024上·山东青岛·高三统考期末)已知O为坐标原点，双曲线E: - =1a>0,b>0
a2 b2
的左、右
焦点依次为F 1 、F 2 ，过点F 1 的直线与E在第一象限交于点P，若PF 1 =2PF 2 ，OP = 7a，则E的渐近线
方程为 ( )
A.y=± 2x B.y=± 3x C.y=±x D.y=±2x
【答案】A
【分析】由平面向量的线性运算可得2PO=PF +PF，FF =PF -PF，由平面向量数量积的运算性质可
1 2 1 2 2 1
得出2PO
2+FF2=2PF2+2PF2，可得出关于a、c的齐次等式，由此可得出a、b满足的等量关系，由此可
1 2 1 2
得出该双曲线渐近线的方程.
【详解】如下图所示：
因为PF 1 =2PF 2 ，由双曲线的定义可得PF 1 -PF 2 =PF 2 =2a，则PF 1 =4a，
因为O为F 1 F 2 的中点，则F 1 O +F 2 O =0 ，则 P O =P F 1 +F 1 O ，所以，2P O =P F 1 +P F 2 ，
PO=PF +FO
2 2
又因为FF =PF -PF，
1 2 2 1
所以，2PO
2+FF2=PF +PF
1 2 2 1
2+PF -PF
2 1
2=2PF2+2PF2，
1 2
即2 7a 2+2c 2=2×4a 2+2×2a 2，整理可得c2=3a2，
即a2+b2=3a2，所以，b= 2a，
b
因此，该双曲线的渐近线方程为y=± x=± 2x.
a故选：A.
【点睛】方法点睛：求双曲线的渐近线方程的方法：
b
(1)定义法：直接利用a、b求得比值，则焦点在x轴上时，渐近线方程为y=± x，焦点在y轴上时，渐近线
a
a
方程为y=± x；
b
b c
(2)构造齐次式：利用已知条件结合a2=b2+c2，构建 的关系式(或先构建 的关系式)，再根据焦点位置
a a
写出渐近线方程即可.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全
部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9 (2023下·西藏拉萨·高一统考期末)已知函数f(x)=2sinx⋅cosx+2 3sin2x，则 ( )
π
A. f(x)的最小正周期为π B. ,0
6
20
是曲线f(x)的一个对称中心
π π 5π
C.x= 是曲线f(x)的一条对称轴 D. f(x)在区间 ,
12 6 12
上单调递增
【答案】AD
【分析】先求出fx
π
=2sin2x-
3
+ 3，结合正弦函数的图像与性质对四个选项一一验证即可.
【详解】fx =sin2x+ 31-cos2x =sin2x- 3cos2x+ 3
π
=2sin2x-
3
2π
+ 3，T= =π，A对．
2
π
, 3
6
是曲线fx 的一个对称中心，B错．
π π 5π kπ π 5π
2x- = +kπ，x= + ，k∈Z，k=-1时，x=- ，k=0时，x=
3 2 12 2 12 12
π
∴x= 不是fx
12
的一条对称轴，C错．
π π π π 5π π 5π
- <2x- < ，- <2x< ，- 0，b>0，min max , ,a2+b2 1 2 n a b 的值
为 ．
【答案】321 1
【分析】首先，设max , ,a2+b2
a b
23
=m，从而得到关于m的限制条件，然后，得到m的最小值．
1 1
【详解】设max , ,a2+b2
a b
=m，
∵a、b>0，
1 1
∴m≥ ，m≥ ，m≥a2+b2，
a b
1 1 2
即a≥ ，b≥ ，可得a2+b2≥ ，
m m m2
2
∴m≥ ，
m2
∴m≥ 32，
即有m的最小值为 32，
故答案为 32．
【点睛】本题考查新定义的理解和运用，注意不等式的性质的应用，属于难题．
