2024年新高考新结构题型数学选填压轴好题汇编02（学生版）(1)_2024年4月_01按日期_6号_2024届新结构高考数学合集_新结构数学选择填空专项突破

2024年新高考新结构题型数学选填压轴好题汇编 02
一、单选题
1 (2024·广东·一模)已知函数hx
1
 的定义域为R，且满足hx+1  +hx-1  =2,h2-x  是偶函数，
h2 
103
=0，若n∈Z，则  h(n)= ( )
n=-103
A.202 B.204 C.206 D.208
2 (2024·高三·湖南·阶段练习)设方程2x⋅log 2 x  =1的两根为x 1 ，x 2x 1 <x 2  ，则 ( )
1
A.0<x<1，x >2 B.x> C.0<xx <1 D.x+x >3
1 2 1 x 1 2 1 2
2
x2 y2 x2 y2
3 (2024·福建·二模)已知椭圆 + =1(a>b>0)与双曲线 - =1(m>0,n>0)有共同的
a2 b2 m2 n2
π
焦点F，F，且在第一象限内相交于点P，椭圆与双曲线的离心率分别为e ，e ．若∠FPF= ，则e⋅e 的
1 2 1 2 1 2 3 1 2
最小值是
1 2 3 3
A. B. C. D.
2 2 2 2
2cos40°+cos80°
4 (2024·高三·湖南长沙·阶段练习)求值： = ( )
sin80°
3 3
A. 3 B. C.- 3 D.-
3 3
5 (2024·陕西安康·二模)宋代理学家周敦颐的《太极图》和《太极图说》是象数和义理结合的表达．《朱
子语类》卷七五：“太极只是一个混沦底道理，里面包含阴阳、刚柔、奇偶，无所不有”．太极图(如下图)将平
衡美、对称美体现的淋漓尽致．定义：对于函数fx  ，若存在圆C，使得fx  的图象能将圆C的周长和面积
同时平分，则称fx  是圆C的太极函数．下列说法正确的是 ( )
①对于任意一个圆，其太极函数有无数个
②fx  =log 2x+1
1
2

1
+ x是x2+y+1
2
 2=1的太极函数
③太极函数的图象必是中心对称图形
④存在一个圆C，fx  =sinx+cosx是它的太极函数
A.①④ B.③④ C.①③ D.②③
6 已知定义在[0,1]上的函数f(x)满足：
①f(0)=f(1)=0；
②对所有x,y∈[0,1]，且x≠y，有f(x)-f(y) 
1
< x-y
2
 .
若对所有x,y∈[0,1]，f(x)-f(y)  <k，则k的最小值为1 1 1 1
A. B. C. D.
2 4 2π 8
π
7 (2024·高三·浙江杭州·专题练习)已知三棱锥S-ABC中，∠SAB=∠ABC= ,SB=4,AB=2,
2
π
BC= 3，SA和BC所成的角为 ，则该三棱锥外接球的表面积是 ( )
3
A.12π B.16π C.24π D.32π
8 已知等差数列a
n
2

a +1
中，a +a =2 记b = n ，n∈N*，则数列b
4 5 n a -1 n
n
 的前8项和为 ( )
A.0 B.4 C.8 D.16
π
9 (2024·高三·浙江·阶段练习)若3sinθ+cosθ= 10，则tanθ+
8

1
-
tanθ+ π
8

的值为 ( )
1 2
A.-7 B.-14 C. D.
7 7
x2 y2
10 (2024·高三·江苏镇江·开学考试)已知过坐标原点O且异于坐标轴的直线交椭圆 + =1(a>
a2 b2
b>0)于P,M两点，Q为OP中点，过Q作x轴垂线，垂足为B，直线MB交椭圆于另一点N，直线PM,PN
1
的斜率分别为k,k ，若kk =- ，则椭圆离心率为 ( )
1 2 1 2 2
1 3 3 6
A. B. C. D.
2 3 2 3
1 x2 y2
11 (2024·高三·江苏南京·开学考试)斜率为 的直线l经过双曲线 - =1(a>0,b>0)的左焦
2 a2 b2
点F，与双曲线左，右两支分别交于A，B两点，以双曲线右焦点F 为圆心的圆经过A，B，则该双曲线的离
1 2
心率为 ( )
15
A. 2 B. 3 C. 5 D.
3
x2 y2
12 (2024·高三·湖南长沙·阶段练习)双曲线C: - =1的右支上一点P在第一象限，F，F 分别为
9 16 1 2
双曲线C的左、右焦点，I为△PFF 的内心，若内切圆I的半径为1，则△PFF 的面积等于 ( )
1 2 1 2
32 16
A.24 B.12 C. D.
3 3
13 (2024·高三·江苏无锡·开学考试)已知函数fx 
x-1
=
 , x<2
2x-3 

 ，若方程f fx
2-1, x≥2
  
1
= 的实
2
根个数为 ( )
A.4 B.8 C.10 D.12
14 (2024·陕西咸阳·模拟预测)已知圆C 1 :x- 3  2+y2=r2(0<r<4)与圆C 2 :x+ 3  2+y2=4-r  2
交点的轨迹为M，过平面内的点P作轨迹M的两条互相垂直的切线，则点P的轨迹方程为 ( )
5
A.x2+y2=5 B.x2+y2=4 C.x2+y2=3 D.x2+y2=
2
x2 y2
15 (2024·高三·河北保定·开学考试)已知A是左、右焦点分别为F,F 的椭圆E: + =1上异于左、
1 2 4 3
右顶点的一点，C是线段AF的中点，O是坐标原点，过F 作AF的平行线交直线CO于B点，则四边形
1 2 1AFBF 的面积的最大值为 ( )
1 2
3 3 3 3 3
A.2 B. C. D.
4 4 2
x2 y2
16 (2024·高三·山西晋城·开学考试)已知F，F 分别为椭圆C: + =1的两个焦点，P为椭圆上一
1 2 4 3
点，则PF 1
3
 2+PF 2  2+3PF 1  PF 2  的最大值为 ( )
A.20 B.16 C.64 D.24
tanα
17 (2024·高三·山西晋城·开学考试)已知
tanα+ π
4

2 π
=- ，则sin2α+
3 4
 = ( )
2 7 2 7 2 2
A. B. C.± D.±
10 10 10 10
18 (2024·高三·山西·阶段练习)在棱长为4的正方体ABCD-ABCD 中，E是CD的中点，F是CC
1 1 1 1 1
上的动点，则三棱锥A-DEF外接球半径的最小值为 ( )
A.3 B.2 3 C. 13 D. 15
π 1 2
19 (2024·高三·山西·阶段练习)已知e是自然对数的底数，a= ,b=e2sin ,c= ，则
2ln π e ln2
( )
A.a>b>c B.c>a>b C.a>c>b D.b>c>a
20 (2024·高三·重庆·阶段练习)将分别标有数字1，2，3，4，5的五个小球放入A，B，C三个盒子，每个
小球只能放入一个盒子，每个盒子至少放一个小球.若标有数字1和2的小球放入同一个盒子，且A盒子中
只放一个小球，则不同的放法数为 ( )
A.28 B.24 C.18 D.12
二、多选题
21 (2024·高三·广东·阶段练习)已知O为坐标原点，点F为抛物线C:y2=4x的焦点，点P4,4  ，直线l：
x=my+1交抛物线C于A，B两点(不与P点重合)，则以下说法正确的是 ( )
A. FA 
π
≥1 B.存在实数m，使得∠AOB<
2
2
C.若AF=2BF，则m=± D.若直线PA与PB的倾斜角互补，则m=-2
4
22 (2024·广东·一模)将圆柱OO 的下底面圆O 置于球O的一个水平截面内，恰好使得O 与水平截
1 2 1 1
面圆的圆心重合，圆柱OO 的上底面圆O 的圆周始终与球O的内壁相接(球心O在圆柱OO 内部)．已
1 2 2 1 2
3
知球O的半径为3，OO= ．若R为上底面圆O 的圆周上任意一点，设RO与圆柱OO 的下底面所成
1 2 2 1 2
的角为α，圆柱OO 的体积为V，则 ( )
1 2
π
A.α可以取到0,
2

27π
中的任意一个值 B.V= cos2α1+2sinα
2

81π
C.V的值可以是任意小的正数 D.V =
max 4
23 (2024·高三·湖南·阶段练习)已知体积为2的四棱锥P-ABCD，底面ABCD是菱形，AB=2，PA
=3，则下列说法正确的是 ( )π
A.若PA⊥平面ABCD，则∠BAD为
6
B.过点P作PO⊥平面ABCD，若AO⊥BD，则BD⊥PC
π
C.PA与底面ABCD所成角的最小值为
6
D.若点P仅在平面ABCD的一侧，且AB⊥AD，则P点轨迹长度为3 3π
24 (2024·高三·湖南长沙·阶段练习)已知函数fx
4
 =x+1  ex-x-1  ，则下列说法正确的有
A. fx  有唯一零点 B. fx  无最大值
C. fx  在区间1,+∞  上单调递增 D.x=0为fx  的一个极小值点
25 (2024·高三·山东济南·期末)已知函数fx  的定义域为R，且fx+y  =fx  +fy  +1，f1  =0，
则 ( )
A. f0  =-1 B. fx  有最小值 C. f2024  =2023 D. fx  +1是奇函数
26 (2024·高三·山东德州·期末)双曲线具有以下光学性质：从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线
反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点．由此可得，过双曲线上任意一点的切线平分该
x2
点与两焦点连线的夹角．已知F,F 分别为双曲线C: -y2=1的左，右焦点，过C右支上一点
1 2 3
Ax 0 ,y 0  x 0 > 3  作双曲线的切线交x轴于点M，交y轴于点N，则 ( )
A.平面上点B4,1  ,AF 2  +AB  的最小值为 37-2 3
B.直线MN的方程为xx -3yy =3
0 0
C.过点F 1 作F 1 H⊥AM，垂足为H，则OH  =2(O为坐标原点)
D.四边形AFNF 面积的最小值为4
1 2
27 (2024·高三·浙江杭州·专题练习)数列a n 
1
满足a n+1 = 4 a n -6  3+6(n=1,2,3⋯)，则 ( )
A.当a=3时，a
1 n
 为递减数列，且存在M∈R，使a >M恒成立
n
B.当a=5时，a
1 n
 为递增数列，且存在M≤6，使a <M恒成立
n
C.当a=7时，a
1 n
 为递减数列，且存在M≥6，使a >M恒成立
n
D.当a=9时，a
1 n
 递增数列，且存在M∈R，使a <M恒成立
n
28 (2024·高三·吉林·阶段练习)在《九章算术》中，底面是直角三角形的直三棱柱被称为“堑堵”.如图，
在堑堵ABC-ABC 中，P是BB 的中点，AA=AC=BC=2，若平面α过点P，且与AC 平行，则
1 1 1 1 1 1
( )10
A.异面直线AC 与CP所成角的余弦值为
1 10
1
B.三棱锥C-ACP的体积是该“堑堵”体积的
1 3
3 3
C.当平面α截棱柱的截面图形为等腰梯形时，该图形的面积等于
2
D.当平面α截棱柱的截面图形为直角梯形时，该图形的面积等于2 2
29 (2024·高三·湖南株洲·期末)已知点A(-2,0),B(2,0),N(0,- 2)动点M满足直线AM和BM的斜
1
率之积为- ，记点M的轨迹为曲线C，过坐标原点的直线交C于P,Q两点，点P在第一象限，PE⊥x
2
轴，垂足为E，连接QE并延长交C于点G，则 ( )
x2 y2
A.曲线C的方程为： + =1 B.△PQG为直角三角形
4 2
16
C.△PAN面积最大值为2 D.△PQG面积最大值为
9
30 (2024·高三·江苏镇江·开学考试)正方体ABCD-ABCD的8个顶点中的4个不共面顶点可以确
1 1 1 1
定一个四面体，所有这些四面体构成集合V，则 ( )
A.V中元素的个数为58
B.V中每个四面体的体积值构成集合S，则S中的元素个数为2
C.V中每个四面体的外接球构成集合O，则O中只有1个元素
D.V中不存在四个表面都是直角三角形的四面体
31 (2024·高三·江苏镇江·开学考试)已知函数fx
5
 =sinx+cos2x  ，则下列说法正确的是 ( )
A.2π是fx  的一个周期
B. fx  的最小值是-2
C.存在唯一实数a∈0,2  ，使得fx+a  是偶函数
D. fx  在0,π  上有3个极大值点
32 (2024·高三·江苏南京·开学考试)如图，该几何体是由正方形ABCD沿直线AB旋转90°得到的，已
 
知点G是圆弧CE的中点，点H是圆弧DF上的动点(含端点)，则下列结论正确的是 ( )A.不存在点H，使得CH⊥平面BDG
B.存在点H，使得平面AHE⎳平面BDG
7
C.存在点H，使得直线EH与平面BDG的所成角的余弦值为
3
1
D.不存在点H，使得平面BDG与平面CEH的夹角的余弦值为
3
33 (2024·高三·江苏无锡·开学考试)如图，在正方体ABCD-ABCD 中，E为棱BC上的动点，F为
1 1 1 1
棱BB的中点，则下列选项正确的是 ( )
1
A.直线AD 与直线EF相交
1 1
B.当E为棱BC上的中点时，则点E在平面ADF的射影是点F
1
C.不存在点E，使得直线AD 与直线EF所成角为30°
1
D.三棱锥E-ADF的体积为定值
1
34 (2024·全国·一模)设a为常数，f(0)= ,f(x+y)=f(x)f(a-y)+f(y)f(a-x)，则( )．
2
1 1
A. f(a)= B. f(x)= 成立
2 2
C. f(x+y)=2f(x)f(y) D.满足条件的f(x)不止一个
35 (2024·高三·河北保定·开学考试)如图，在三棱锥P-ABC中，∠ACD=60°,2AC=BC=PB=
PC，平面PBC⊥平面ABC,D是BC的中点，PD=4 3，则 ( )
32 3 π
A.三棱锥P-ABC的体积为 B.PA与底面ABC所成的角为
3 4
208π
C.PA=8 D.三棱锥P-ACD的外接球的表面积为
3
636 (2024·高三·河北保定·开学考试)已知fx+1
7
 是奇函数，fx  的图象关于直线x=-1对称，则下
列结论正确的为 ( )
A. fx  是周期为4的周期函数 B. fx-5  为偶函数
C. fx  的图象关于点-3,0  对称 D. f5  =0
37 (2024·高三·山西晋城·开学考试)设函数fx  的定义域为R，且满足fx+2  +fx  =0，f-x  +
fx  =0，当x∈0,1  时，fx  =xlnx，则 ( )
A. fx  是周期为4的函数
B. f2024  =0
C. fx  的取值范围为 - 2 , 2
 e e

D. efx    =1在区间 0, 2023
 2
 内恰有1011个实数解
38 (2024·高三·山西晋城·开学考试)已知函数fx 
x-1
=
 ex+k
，其导函数为f x
x
 ，且f1  =1，记
gx  =xfx  ，则下列说法正确的是 ( )
A. f x  >0恒成立
B.函数gx  的极小值为0
C.若函数y=gx  -m在其定义域内有两个不同的零点，则实数m的取值范围是0,1 
D.对任意的x 1 ,x 2 ∈2,+∞  x+x ，都有f 1 2 2  ≤ fx 1  +fx 2  2
39 (2024·高三·山西·阶段练习)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠DAB
=60°，侧面PAD为正三角形，且平面PAD⊥平面ABCD，则 ( )
A.AD⊥PB
B.在棱PB上存在点M，使得AM⊥平面PBC
C.平面PAD与平面PBC的交线平行于平面ABCD
15
D.C到平面PBD的距离为
5
40 (2024·高三·山西·阶段练习)已知定义域为R的函数fx  的导函数为f x  ，若函数f4x+1  和f
x+2  均为偶函数，且f 2  =-1,f1  =1，则 ( )
2023
A. f i
i=1

2024
 =-1 B. f i
i=1

2023
 =0 C. fi
i=1

2024
 =2023 D. fi
i=1
  =0
x2 y2
41 (2024·高三·重庆·阶段练习)如图，已知双曲线C: - =1(a>0,b>0)的左､右焦点分别为F
a2 b2 1
-3,0  ,F 23,0  ，点A在C上，点B在y轴上，A,F,B三点共线，若直线BF的斜率为 3，直线AF的斜率 2 1 15 3
为- ，则 ( )
11
3
A.C的渐近线方程为y=±2x B.C的离心率为
2
C. AB
8
 =16 D.△ABF的面积为16 3 1
三、填空题
      
42 (2024·浙江·模拟预测)已知平面向量a、b、c、e，满足a⊥b，a 

=2b 
   
，c=a+b，e  =1，若a
2
-6a

⋅
e

+8=0，则c

⋅e

-
1
c
2的最大值是
.
3
43 (2024·高三·山东菏泽·开学考试)已知cosα+β 
1 α-β α+β
=- ，cosα+cosβ=1，则cos cos =
3 2 2
sinα+β
，

= .
sinα+sinβ
44 某同学在学习和探索三角形相关知识时，发现了一个有趣的性质：将锐角三角形三条边所对的外接
圆的三条圆弧(劣弧)沿着三角形的边进行翻折，则三条圆弧交于该三角形内部一点，且此交点为该三角形
的垂心(即三角形三条高线的交点).如图，已知锐角△ABC外接圆的半径为2，且三条圆弧沿△ABC三边
翻折后交于点P.若AB=3，则sin∠PAC= ；若AC:AB:BC=6:5:4，则PA+PB+PC的值为
.
45 (2024·高三·上海宝山·期中)如图，画一个正三角形，不画第三边；接着画正方形，对这个正方形，不
画第四边，接着画正五边形；对这个正五边形不画第五边，接着画正六边形；⋯⋯，这样无限画下去，形成一
条无穷伸展的等边折线．设第n条线段与第n+1条线段所夹的角为θ n n∈N*,θ n ∈0,π    ，则θ = 2022
．46 (2024·全国·模拟预测)已知圆锥SO的母线SA=5，侧面积为15π，则圆锥SO的内切球半径为
；若正四面体A-BCD 能在圆锥SO内任意转动，则正四面体A-BCD 的最大棱长为 ．
1 1 1 1 1 1 1 1
47 (2024·四川资阳·模拟预测)若函数fx
9
 =ex+cosx+a-1  x存在最小值，则a的取值范围是
．
48 (2024·高三·山东青岛·期中)已知四边形ABCD，Fn∈N*
n
 为边BC边上一点，连接AF 交BD于
n
E n∈N* n  ，点E n 满足21+a n 
 
E n F n -E n C=a n+1 -2 

E B，其中a n n 

是首项为1的正项数列，BC=λ ⋅ n

BF，则λ
n n
 的前n项T= .
n
49 (2024·高三·江苏苏州·阶段练习)过抛物线y2=6x的焦点F的直线交抛物线于A,B两点，C在抛物
线的准线上，则∠ACB的最大值为 ；若△ACB为等边三角形，则其边长为 .
50 (2024·高三·江苏镇江·开学考试)如果函数fx  在区间a,b  上为增函数，则记为f(x)a,b  ，函数
fx  在区间a,b  上为减函数，则记为f(x)
a,b 
4 ．已知x+
x
 m,3  ，则实数m的最小值为 ；函数
fx  =2x3-3ax2+12x+1，且f(x)
1,2 
,f(x)2,3  ，则实数a= ．
51 (2024·高三·江苏镇江·开学考试)已知AB是圆锥PO的底面直径，C是底面圆周上的一点，PC=
AB=2,AC= 3，则二面角A-PB-C的余弦值为 ．
n+lnn=3

52 (2024·高三·江苏南京·开学考试)已知实数m，n满足
 1+lnm=e2-lnm
，则mn= .
53 (2024·高三·江苏无锡·开学考试)“曼哈顿距离”是人脸识别中的一种重要测距方式，其定义如下：设
Ax 1 ,y 1  ，Bx 2 ,y 2  ，则A，B两点间的曼哈顿距离dA,B  = x 1 -x 2+   y 1 -y 2  ．已知M4,6  ，点N在圆C:x2
+y2+6x+4y=0上运动，若点P满足dM,P  =2，则PN  的最大值为 ．
54 (2024·高三·河北保定·开学考试)对于函数fx 
1
，若在定义域内存在实数x，满足f
x
 =-fx  ，则
称fx  为“局部反比例对称函数”.若fx 
1 1
= x3- mx2+m2-3
3 2
 x+5的导函数f x  是定义在区间
2,+∞  上的“局部反比例对称函数”，则实数m的最大值与最小值之差为 .
   
55 (2024·高三·河北保定·开学考试)已知平面向量a,b是非零向量，2a-b 
 
⊥2a+b 

，向量b在向
 
  a⋅b  
量a方向上的投影向量为-a，则 = ；向量a,b的夹角为 .

|a|2
56 (2024·全国·高考真题)如图在平面四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=75°，BC=2，则AB的取值范围是 ．
57 (2024·高三·山西·阶段练习)锐角△ABC的内角A的对边为a，若△ABC的面积是a2，则
sinA
的最小值是 ．
cosBcosC
58 (2024·高三·山西·阶段练习)已知抛物线E:x2=4y与圆C:x2+y-1
10
 2=16的公共点为A,B，则
AB  = ；若P为圆C的劣弧AB上不同于A,B的一个动点，过点P作垂直于x轴的直线l交抛物线
E于点N,l不经过原点，则△CPN周长的取值范围是 ．
59 (2024·高三·重庆·阶段练习)已知函数fx 
2x, x≤0

=2lnx,
x>0
，gx
x
 =x2+2x+1-2λ,λ∈R，若关于
x的方程f gx    =λ有6个解，则λ的取值范围为 .