文档内容
2024年新高考改革适应性练习（3）（九省联考题型）
数学试题卷
（2024.2.6）
考生须知
1. 本卷共4页，四大题19小题，满分150分，答题时间120分钟；
2. 答题时须在答题卡上填涂所选答案（选择题），或用黑色字迹的签字笔规范书写答案与步骤（非选择题），
答在本试题卷上或草稿纸上的答案均属无效；
3. 考试结束时，考生须一并上交本试题卷，答题卡与草稿纸．
一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的．）
1. 设样本空间 包含等可能的样本点，且 ， ，则
A． 𝛺𝛺 = { 1 ,2,… B．,6} C． 𝐴𝐴 = {1,2, 3,4} D．𝐵𝐵 = {3,4,5,6} 𝑃𝑃(𝐴𝐴𝐵𝐵) =
1 1 1 1
2. 若复3数 满足 是纯虚数4，则 的最小值5是 6
2
A．1 𝑧𝑧 𝑧𝑧 B． |𝑧𝑧− 2| C．2 D．
3. 算术基本定理告诉我们，任 √2何一个大于1的自然数 ，如果 不为质数2√ ，2那么 可以唯一分解成
有限个素因数的乘积的形式．如，60可被分解为 𝑁𝑁 𝑁𝑁， 45可被分解为 𝑁𝑁 ．任何整除
2 1 1 2 1
的正整数 都叫作 的正因数．如，20的正因 2数×有31，×25， 4，5，10，20．则 3 4×2050 的正因数个
数 𝑁𝑁 是 𝑑𝑑 𝑁𝑁
A．4 B．7 C．42 D．48
4. 已知点 在直线 第一象限的图像上，则 的最小值是
1 1
A． (𝑎𝑎,𝑏𝑏) 2 𝑥𝑥+𝑦𝑦 −1 = 0 B． 𝑎𝑎+𝑏𝑏
C．3+2√2 D．2+2 √2
5. 已知1函+数2√2 ， ，则 2√2和 都单调递增的一个区间是
A． 𝑓𝑓(𝑥𝑥 )= s i n𝑥𝑥 B ．𝑔𝑔(𝑥𝑥)= co s 𝑥𝑥 𝑓𝑓 C �𝑔𝑔．(𝑥𝑥)� 𝑔𝑔� 𝑓𝑓 (𝑥𝑥)� D．
2𝜋𝜋 4𝜋𝜋 4𝜋𝜋 6𝜋𝜋 6𝜋𝜋 8𝜋𝜋 8𝜋𝜋
6. 已知�直5线, 5过� 点 ，且�与5两, 坐5�标轴围成的三角�形5 ,的5面�积是6，则满足�5条,件2𝜋𝜋的�直线 共有
A．1条 𝑙𝑙 (2 , 1) B．2条 C．3条 D．4条 𝑙𝑙
数学试题卷 第1页（共4页）
学科网（北京）股份有限公司7. 我们记 为函数 的 次迭代，即 ， ，…，
(𝑛𝑛) (1) (2) (𝑛𝑛)
𝑓𝑓 (𝑥𝑥．) 已知函数 𝑓𝑓(𝑥𝑥) 𝑛𝑛 ，则 𝑓𝑓 (𝑥𝑥)= 𝑓𝑓(𝑥𝑥) 𝑓𝑓 (𝑥𝑥)= 𝑓𝑓�𝑓𝑓(𝑥𝑥)� 𝑓𝑓 =
(𝑛𝑛−1) (2024)
A 𝑓𝑓．�𝑓𝑓 (𝑥𝑥)� B． 𝑔𝑔(𝑥𝑥)= 𝑥𝑥 | 𝑥𝑥| 𝑔𝑔 C． (𝑥𝑥)= D．
3 2021 4 2020 2 2022 2024
8. 若一𝑥𝑥四|面𝑥𝑥|体恰有一条长度大𝑥𝑥 于|𝑥𝑥|1的棱，则这个四𝑥𝑥面|体𝑥𝑥|体积的最大值是 𝑥𝑥
A． B． C． D．
√3 1 1 √2
3 2 3 2
二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要
求．全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个正确选项，每选对一个得3分；若只有3个
正确选项，每选对一个得2分．）
9. 已知函数 ，下列说法正确的是
3
A．函数 𝑓𝑓(𝑥𝑥)= 𝑥𝑥 −2𝑥𝑥 无零点
′
B．直线 𝑔𝑔(𝑥𝑥)= 𝑓𝑓(𝑥𝑥)与+𝑓𝑓 (𝑥𝑥) 相切
C．存在 无2𝑥𝑥数+个𝑦𝑦 =0 ， 𝑦𝑦 = 𝑓𝑓(𝑥𝑥在) 区间 上不单调
D．存在 ，𝑎𝑎 >使0得 对 𝑓𝑓于(𝑥𝑥任) 意 ， (−𝑎𝑎,𝑎𝑎)
10. 若一个人 𝑚𝑚一次>仅0 能爬 1 级或 2 级 𝑛𝑛台 阶𝑓𝑓(，𝑛𝑛)记≤ 𝑓𝑓(为𝑛𝑛+爬𝑚𝑚)级 台阶时不同的爬法数 ．关于数列
∗
，下列说法正确的是 𝑎𝑎𝑛𝑛 𝑛𝑛 (𝑛𝑛 ∈ 𝑁𝑁 )
A{𝑎𝑎．𝑛𝑛}函 数 单调递增 B． 的值为12
C． 𝑓𝑓(𝑛𝑛)=𝑎𝑎𝑛𝑛 D．𝑎𝑎1+𝑎𝑎3+𝑎𝑎5
2 2 2
11. 如右𝑎𝑎图1+，𝑎𝑎已2知+抛⋯物+线𝑎𝑎10 =的2焦32点为 ，准线方程为2𝑎𝑎1 +𝑎𝑎2 +，⋯点+𝑎𝑎1是0 = 8上9的×一14动4点．过点 作 的
垂线，垂足为 ．过 点𝐶𝐶 作 的 𝐹𝐹切 线，该切线与 𝑙𝑙:𝑥𝑥 =轴−分1 别交于 𝑃𝑃 𝐶𝐶 两个不同的点．下列 𝑃𝑃说 法 𝑙𝑙 正
确的是 𝑄𝑄 𝑃𝑃 𝐶𝐶 𝑥𝑥,𝑦𝑦 𝐴𝐴,𝐵𝐵
A．抛物线 的标准方程为
2
B． 三 𝐶𝐶 点共线当且仅当 𝑦𝑦 = 2𝑥𝑥
C．当𝑄𝑄,𝐵𝐵,𝐹𝐹 时，都有 |𝑃𝑃𝐹𝐹|= 4
D．当 |𝑃𝑃𝐹𝐹|≠ 1 时， 𝑃𝑃𝐴𝐴恒⊥为𝑄𝑄等𝐹𝐹 腰三角形
三、填空题 |（𝑃𝑃𝐹𝐹本|题≠共1 3小△题𝑃𝑃，𝐴𝐴每𝐹𝐹 小题5分，共15分．）
12. 在棱长为1的正方体 中，三棱锥 的体积是_________．
13. 从集合 𝐴𝐴𝐵𝐵𝐶𝐶𝐴𝐴中−任𝐴𝐴1选𝐵𝐵12𝐶𝐶1个𝐴𝐴1不 同的非零整 𝐶𝐶数−作𝐴𝐴为𝐵𝐵1二𝐴𝐴1次 函数 的系数，则
2
所有满 足{𝑥𝑥|−4≤的𝑥𝑥顶≤点2在02第4}一 象限或第三象限的有序数对 共有__ 𝑓𝑓_(_𝑥𝑥_)__=__𝑎𝑎组𝑥𝑥 ．+ 𝑏𝑏𝑥𝑥
𝑓𝑓(𝑥𝑥) (𝑎𝑎,𝑏𝑏)
数学试题卷 第2页（共4页）
学科网（北京）股份有限公司14. 已知向量 满足 ， ， ，则 的最大值
是______ _𝒂𝒂_,_𝒃𝒃．,𝒄𝒄 𝒂𝒂+𝒃𝒃+𝒄𝒄 = 𝟎𝟎 (𝒂𝒂−𝒃𝒃) ⊥ (𝒂𝒂−𝒄𝒄) |𝒃𝒃−𝒄𝒄| = 3 |𝒂𝒂|+|𝒃𝒃|+|𝒄𝒄|
四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）
15.（13分）
已知正方体 ．
（1）证明： 𝐴𝐴𝐵𝐵𝐶𝐶𝐴𝐴−𝐴𝐴1𝐵𝐵1；𝐶𝐶1 𝐴𝐴1
（2）求二面𝐴𝐴角𝐴𝐴1 ⊥ 𝐴𝐴1𝐶𝐶 ．
𝐵𝐵−𝐴𝐴1𝐶𝐶−𝐴𝐴
16.（15分）
已知定义在 上的函数 ．
4 3 2
（1）若原点 𝑅𝑅是 的 𝑓𝑓一(𝑥𝑥个)=极𝑎𝑎值𝑥𝑥点+，𝑏𝑏证𝑥𝑥 明+：𝑐𝑐𝑥𝑥 +𝑑𝑑的𝑥𝑥 所(𝑎𝑎有≠零0)点也是其所有极值点；
（2）若 的 𝑓𝑓4(𝑥𝑥个) 零点成公差为2的等差𝑓𝑓数(𝑥𝑥列) ，求 的最大零点与最小零点之差．
′
𝑓𝑓(𝑥𝑥) 𝑓𝑓 (𝑥𝑥)
17.（15分）
设点 在椭圆 内，直线 ．
2 2
𝑥𝑥 𝑦𝑦 2 2 2 2 2 2
2 2
（1） 𝑆𝑆求(1,1与) 的交 𝐶𝐶点:个𝑎𝑎 数+；𝑏𝑏 = 1(𝑎𝑎 > 𝑏𝑏 > 0) 𝑙𝑙:𝑏𝑏 𝑥𝑥 +𝑎𝑎 𝑦𝑦 −𝑎𝑎 𝑏𝑏 = 0
（2）设 𝑙𝑙 为 𝐶𝐶 上的动点，直线 与 相交于 两点．给出下列命题：
①存在点 𝑃𝑃 ， 𝑙𝑙使 得 𝑃𝑃𝑆𝑆成 等 𝐶𝐶差 数列； 𝑀𝑀,𝑁𝑁
1 1 1
②存在点 𝑃𝑃 ，使得 |𝑃𝑃𝑃𝑃|,|𝑃𝑃𝑃𝑃|,|𝑃𝑃𝑃𝑃| 成等差数列；
③存在点 𝑃𝑃 ，使得 |𝑃𝑃𝑀𝑀|,|𝑃𝑃𝑆𝑆|,|𝑃𝑃𝑁𝑁| 成等比数列；
请从以上三 𝑃𝑃 个命题中 |𝑃𝑃选𝑀𝑀择|,|一𝑃𝑃𝑆𝑆个|,|，𝑃𝑃𝑁𝑁证|明 该命题为假命题．（若选择多个命题分别作答，则按所做的第
一个计分．）
18.（17分）
2024部分省市的高考数学推行8道单选，3道多选的新题型政策．单选题每题5分，选错不得分，
多选题每题完全选对6分，部分选对部分分（此处直接视作3分），不选得0分．现有小李和小周参与
一场新高考数学题，小李的试卷正常，而小周的试卷选择题是被打乱的，所以他11题均认为是单选题
来做．假设两人选对一个单选题的概率都是 ，且已知这四个多选题都只有两个正确答案．
1
（1）记小周选择题最终得分为 ，求 4 ．
𝑋𝑋 𝐸𝐸(𝑋𝑋)
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学科网（北京）股份有限公司（2）假设小李遇到三个多选题时，每个题他只能判断有一个选项是正确的，且小李也只会再选 1
个选项，假设他选对剩下1个选项的概率是 ，请你帮小李制定回答4个多选题的策略，使
1
得分最高． 𝑝𝑝0�𝑝𝑝0 ≥ 3�
19.（17分）
信息论之父香农（Shannon）在1948年发表的论文“通信的数学理论”中指出，任何信息都存在冗
余，冗余大小与信息中每个符号（数字、字母或单词）的出现概率或者说不确定性有关．
香农借鉴了热力学的概念，把信息中排除了冗余后的平均信息量称为“信息熵”，并给出了计算信
息熵的数学表达式．
设随机变量 所有取值为 ，且 （ ）， ，
定义 的信息熵 𝑋𝑋 1,2,…,𝑛𝑛 𝑃𝑃(𝑥𝑥 = 𝑖𝑖)= 𝑃𝑃𝑖𝑖 > 0 𝑖𝑖 = 1,2,…,𝑛𝑛 𝑃𝑃1+𝑃𝑃2+⋯+𝑃𝑃𝑛𝑛 = 1
𝑋𝑋
𝑛𝑛
𝐻𝐻(𝑋𝑋) = −�𝑃𝑃𝑖𝑖log2𝑃𝑃𝑖𝑖
（1）当 时，求 的值； 𝑖𝑖=1
（2）当 𝑛𝑛 = 1 时，若 𝐻𝐻(𝑋𝑋) ，探究 与 的关系，并说明理由；
1
𝑛𝑛 = 2 𝑃𝑃1 ∈�0,2� 𝐻𝐻(𝑋𝑋) 𝑃𝑃1
（3）若 ， ，求此时的信息熵 ．
1
𝑃𝑃1 = 𝑃𝑃2 = 2 𝑛𝑛−1 𝑃𝑃𝑘𝑘+1 = 2𝑃𝑃𝑘𝑘 (𝑘𝑘 = 2,3,⋯,𝑛𝑛) 𝐻𝐻(𝑋𝑋)
数学试题卷 第4页（共4页）
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