文档内容
2024年新高考改革适应性练习 2（九省联考题型）
数学试题卷
考生须知
1. 本卷共5页，四大题19小题，满分150分，答题时间120分钟；
2. 答题时须在答题卡上填涂所选答案（选择题），或用黑色字迹的签字笔规范书写答案与步骤（非选择题），
答在本试题卷上或草稿纸上的答案均属无效；
3. 考试结束时，考生须一并上交本试题卷，答题卡与草稿纸．
一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的．）
1. 某旅行社为迎节日搞活动旅游，经市场调查，某旅游线路销量 （人）与旅游价格 （元/人）负相
关，则其回归直线方程可能是 𝑌𝑌 𝑋𝑋
A． B．
C．𝑌𝑌 = −80𝑋𝑋+1600 D．𝑌𝑌 = 80𝑋𝑋+1600
2. 已知𝑌𝑌复=数−列80𝑋𝑋−满16足00 （ 为虚数单位），则𝑌𝑌 = 80的𝑋𝑋前−11600项0 和是
𝑛𝑛
A． {𝑧𝑧 𝑛𝑛} 𝑧𝑧B𝑛𝑛．= i i C． {𝑧𝑧𝑛𝑛} D．
3. “棱1柱+的i相邻两个侧面是矩1−形i”是“该棱柱为直−棱1柱+”i 的 −1−i
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
4. 斐波那契数列指的是这样一个数列 ： ， ，记 除以4的
余数为 ，则 {𝐹𝐹𝑛𝑛} 𝐹𝐹1 = 𝐹𝐹2 = 1 𝐹𝐹𝑛𝑛 = 𝐹𝐹𝑛𝑛−1+𝐹𝐹𝑛𝑛−2 (𝑛𝑛 ≥ 3) 𝐹𝐹𝑛𝑛
A．0 𝐺𝐺 𝑛𝑛 𝐺𝐺2 0 24 =B．1 C．2 D．3
5. 曼哈顿距离（Manhattan Distance）是由十九世纪的赫尔曼·闵可夫斯基所创词汇，是种使用在几何
度量空间的几何学用语，用以标明两个点在标准坐标系上的绝对轴距总和．同一平面上的两点
， ，其“曼哈顿距离”
𝐴𝐴(𝑥𝑥1,𝑦𝑦1) 𝐵𝐵(𝑥𝑥2,𝑦𝑦2)
则所有与点 的“曼哈顿距离𝑑𝑑”𝐴𝐴𝐴𝐴等=于|𝑥𝑥21的−点𝑥𝑥2构|+成|𝑦𝑦的1图−形𝑦𝑦2的| 周长为
A．8 (1 ,2) B． C．4 D．
8√2 4√2
数学试题卷 第1页（共5页）
学科网（北京）股份有限公司6. 已知以 为中心的椭圆 ，其一个长轴顶点为 ， 是 的一个靠近 的焦点，点 在 上，
设 是 𝑂𝑂以 为直径的 𝛺𝛺圆 ， 是以 为半径 𝑀𝑀的 圆𝑁𝑁， 则 𝛺𝛺 与 的位 𝑀𝑀置 关系为 𝑃𝑃 𝛺𝛺
A． 𝜔𝜔相1 切 𝑃𝑃𝑁𝑁 B．相交𝜔𝜔 2 𝑂𝑂𝑀𝑀 C．相离 𝜔𝜔1 𝜔𝜔2D ．无法确定
7. 将函数 向下平移 个单位长度得到 ．若 有两个零
𝑥𝑥
𝑥𝑥𝑒𝑒 ,𝑥𝑥 ≤ 0
点 𝑓𝑓(𝑥𝑥)= � ，则 的值 不可能是 𝑚𝑚 (𝑚𝑚 ∈ 𝑅𝑅) 𝑔𝑔(𝑥𝑥) 𝑔𝑔(𝑥𝑥)
ln𝑥𝑥−𝑥𝑥+1,𝑥𝑥 > 0
A．𝑥𝑥1 1 , 𝑥𝑥2 ( 𝑥𝑥1 < 𝑥𝑥2) B 𝑥𝑥． 1+𝑥𝑥2 C． D．
1 1
2 1 −𝑒𝑒 −𝑒𝑒
8. 过正四面体 的顶点𝑒𝑒 作−截𝑒𝑒 面，若满足：①𝑒𝑒截面+是1等腰三角形：②𝑒𝑒 截−面1与底面 成 的
二面角．这样 𝐴𝐴𝐵𝐵的𝐴𝐴截𝐴𝐴 面个数为 𝐴𝐴 𝐵𝐵𝐴𝐴𝐴𝐴 75°
A．6 B．12 C．18 D．24
二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要
求．全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分．）
9. 在正六边形 中，
A． 𝐴𝐴𝐵𝐵𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 𝐹𝐹 B．
𝐴𝐴����𝐴𝐴�⃗−�𝐴𝐴���𝐴𝐴�⃗ =�𝐵𝐵���𝐹𝐹�⃗ 𝐴𝐴����𝐴𝐴�⃗+�𝐴𝐴���𝐴𝐴�⃗ = 3𝐴𝐴����𝐴𝐴�⃗
C． D． 在 上的投影向量为
2
10. 已知𝐴𝐴��直��𝐴𝐴�⃗线·𝐴𝐴����𝐵𝐵�⃗ =与��𝐴𝐴���𝐵𝐵�⃗�经过坐标原点 ，且 𝐴𝐴����𝐴𝐴�，⃗ 𝐴𝐴����𝐴𝐴�⃗ 均在圆 𝐴𝐴����𝐴𝐴�⃗
2 2
上，则以 下𝐴𝐴𝐴𝐴说 法 𝐵𝐵正𝐴𝐴确 的有 𝑂𝑂 𝐴𝐴𝐴𝐴 ⊥ 𝐵𝐵𝐴𝐴 𝐴𝐴,𝐵𝐵,𝐴𝐴,𝐴𝐴 𝑃𝑃:𝑥𝑥 −6𝑥𝑥+𝑦𝑦 −8𝑦𝑦−9 = 0
A．圆心 到直线 的距离的最小值为5
B．弦 𝑃𝑃 𝐴𝐴𝐴𝐴 的中点满足四点共圆
C．四 边𝐴𝐴𝐵𝐵形,𝐵𝐵𝐴𝐴,𝐴𝐴𝐴𝐴,的𝐴𝐴𝐴𝐴面 积的取值范围是
D． 𝐴𝐴𝐵𝐵𝐴𝐴𝐴𝐴 �6√34,43�
11. 对正6整|𝑂𝑂数𝐴𝐴|+，3|若𝑂𝑂𝐴𝐴其|不≥能2√ 被2|任𝑂𝑂𝐴𝐴意|一·|𝑂𝑂个𝐴𝐴完| 全平方数整除，则称其为“无平方因子数”，并记其的素因子
个数为 𝑁𝑁． 由所有“无平方因子数”构成的集合记作 ．则数论函数“缪比乌斯函数”定义如下
𝑑𝑑𝑛𝑛 𝑆𝑆
1 ,𝑛𝑛 = 1
𝑑𝑑𝑛𝑛
𝜇𝜇(𝑛𝑛)= �(−1) ,𝑛𝑛 ∈𝑆𝑆
则下列运算正确的有
0 ,𝑛𝑛 ∉ 𝑆𝑆
A．
B．𝜇𝜇(1)+𝜇𝜇(2)= 0
𝜇𝜇(1)+𝜇𝜇(2)+𝜇𝜇(4) = 1
数学试题卷 第2页（共5页）
学科网（北京）股份有限公司C．
D．𝜇𝜇(1)+𝜇𝜇(2)+𝜇𝜇(4)+𝜇𝜇(8) = 0
𝑛𝑛
𝜇𝜇(1)+𝜇𝜇(2)+⋯+𝜇𝜇(2 )= 1 (𝑛𝑛 ≥ 4)
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．）
12. 已知钝角 的面积为3， ， ，则 的值是_________．
13. 若函数 △𝐴𝐴𝐵𝐵𝐴𝐴 𝐴𝐴𝐵𝐵 = 4 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 1 的四个 𝐴𝐴���� 零𝐵𝐵�⃗·点𝐴𝐴���� 是𝐴𝐴�⃗ 以0为首项的等差数列，则
2 𝑥𝑥−3 3−𝑥𝑥
______ 𝑓𝑓__(𝑥𝑥_．)= (𝑥𝑥 −6𝑥𝑥+𝑚𝑚)(𝑒𝑒 +𝑒𝑒 −𝑛𝑛) 𝑚𝑚+ 𝑛𝑛 =
14. 若 一个三位数中的任意两个相邻数码的差不超过 1，则称其为“平稳数”，则所有“平稳数”的个
数为_________．
四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）
15.（15分）
已知在 中，角 所对的边分别为 ，且 ．
（1）求 △𝐴𝐴；𝐵𝐵𝐴𝐴 𝐴𝐴,𝐵𝐵,𝐴𝐴 𝑎𝑎,𝑏𝑏,𝑐𝑐 tan𝐴𝐴+tan𝐵𝐵−√3tan𝐴𝐴tan𝐵𝐵+√3 =0
（2）若 𝐴𝐴 ，求 面积 的最大值．
𝑎𝑎+𝑏𝑏 = 4 △𝐴𝐴𝐵𝐵𝐴𝐴 𝑆𝑆
16.（17分）
如图1，已知正方体 ′ ′ ′ ′的棱长为2， 为 的中点，
′
为 的中点． 𝐴𝐴𝐵𝐵𝐴𝐴𝐴𝐴−𝐴𝐴𝐵𝐵𝐴𝐴𝐴𝐴 𝑀𝑀 𝐵𝐵𝐵𝐵 𝑁𝑁
𝐴𝐴𝐴𝐴（ 1）证明： 平面 ′；
（2）求平面𝐵𝐵𝑁𝑁//′ 与平 𝐴𝐴面𝑀𝑀𝐴𝐴′ ′ ′ ′夹角的余弦值.
𝐴𝐴𝑀𝑀𝐴𝐴 𝐴𝐴𝐵𝐵𝐴𝐴𝐴𝐴 图1
17.（17分）
已知抛物线 ，直线 ，且点 在抛物线上．
2
（1）若点 𝑦𝑦 =在2直𝑥𝑥线 上， 𝑙𝑙且:𝑦𝑦四=边𝑥𝑥形−4 是 菱𝐵𝐵,形𝐴𝐴 ，求直线 的方程；
𝐴𝐴,𝐴𝐴 𝑙𝑙 𝐴𝐴𝐵𝐵𝐴𝐴𝐴𝐴 𝐵𝐵𝐴𝐴
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学科网（北京）股份有限公司（2）若点 为抛物线和直线 的交点（位于 轴下方），点 在直线 上，且四边形 是菱形，
求直线 的斜 𝐴𝐴率 ． 𝑙𝑙 𝑥𝑥 𝐴𝐴 𝑙𝑙 𝐴𝐴𝐵𝐵𝐴𝐴𝐴𝐴
𝐵𝐵𝐴𝐴
18.（17分）
已知函数 ．
𝑥𝑥
（1）若 𝑓𝑓(𝑥𝑥)，=求𝑎𝑎 −log𝑎𝑎𝑥𝑥 过,𝑎𝑎点∈(0,1)的∪(切1,线+方∞)程 ；
（2）若 𝑎𝑎 = 𝑒𝑒在 其定 𝑦𝑦义=域𝑓𝑓上(𝑥𝑥没) 有零 (点0,，1)求 的取值范围．
𝑓𝑓(𝑥𝑥) 𝑎𝑎
19.（17分）
概率论中有很多经典的不等式，其中最著名的两个当属由两位俄国数学家马尔科夫和切比雪夫分
别提出的马尔科夫（Markov）不等式和切比雪夫（Chebyshev）不等式．马尔科夫不等式的形式如下：
设 为一个非负随机变量，其数学期望为 ，则对任意 ，均有
𝑋𝑋 𝐴𝐴(𝑋𝑋) 𝜀𝜀 > 0
𝐴𝐴(𝑋𝑋)
马尔科夫不等式给出了随机变量取值不𝑃𝑃(小𝑋𝑋于≥某𝜀𝜀)正≤数的概率上界，阐释了随机变量尾部取值概率与
𝜀𝜀
其数学期望间的关系．当 为非负离散型随机变量时，马尔科夫不等式的证明如下：
设 的分布列为 𝑋𝑋 其中 ， ，
𝑋𝑋， 则对任意 𝑃𝑃(𝑋𝑋，= 𝑥𝑥𝑖𝑖)= 𝑝𝑝𝑖𝑖 (𝑖𝑖 = 1,2,…,𝑛𝑛) 𝑝𝑝𝑖𝑖 ∈ (0,+∞) 𝑝𝑝1+𝑝𝑝2+⋯+𝑝𝑝𝑛𝑛 = 1 𝑥𝑥𝑖𝑖 ∈
[0,+∞) 𝜀𝜀 > 0
𝑛𝑛
𝑥𝑥𝑖𝑖 1 1 𝐴𝐴(𝑋𝑋)
𝑃𝑃(𝑋𝑋 ≥ 𝜀𝜀)= �𝑝𝑝𝑖𝑖 ≤ � 𝑝𝑝𝑖𝑖 = � 𝑥𝑥𝑖𝑖𝑝𝑝𝑖𝑖 ≤ �𝑥𝑥𝑖𝑖𝑝𝑝𝑖𝑖 =
其中符号 𝑥𝑥𝑖𝑖≥𝜀𝜀 𝑥𝑥𝑖𝑖≥𝜀𝜀 𝜀𝜀 𝜀𝜀𝑥𝑥𝑖𝑖≥𝜀𝜀 𝜀𝜀 𝑖𝑖=1 𝜀𝜀
�𝐴𝐴𝑖𝑖
表示对所有满足 的指标 所对应的
𝑥𝑥
求
𝑖𝑖≥𝜀𝜀
和．
切比雪夫不等式的 𝑥𝑥𝑖𝑖形≥式𝜀𝜀 如下： 𝑖𝑖 𝐴𝐴𝑖𝑖
设随机变量的 数学期望为 ，方差为 ，则对任意 ，均有
𝑋𝑋 𝐴𝐴(𝑋𝑋) 𝐴𝐴(𝑋𝑋) 𝜀𝜀 > 0
𝐴𝐴(𝑋𝑋)
【类比探究】 𝑃𝑃(|𝑋𝑋−𝐴𝐴(𝑋𝑋)|≥ 𝜀𝜀)≤ 2
𝜀𝜀
（1）根据以上参考资料，证明切比雪夫不等式对离散型随机变量 成立；
𝑋𝑋
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学科网（北京）股份有限公司【实际应用】
（2）已知正整数 ．在一次抽奖游戏中，有 个不透明的箱子依次编号为 ，编号为
的箱子中 𝑛𝑛装≥有5编 号为 的 个大 𝑛𝑛 小､质地均相同的小球．主持人 1,邀2,…请,𝑛𝑛 位嘉宾从
每 𝑖𝑖 (个1箱≤子𝑖𝑖 ≤中𝑛𝑛随) 机抽取一个球，记从 编0,1号,…为,𝑖𝑖 的 箱𝑖𝑖+子1中 抽取的小球号码为 ，并记 𝑛𝑛
𝑖𝑖 𝑋𝑋𝑖𝑖
𝑛𝑛
𝑋𝑋𝑖𝑖
𝑋𝑋 = �
对任意的 ，是否总能保证 （假𝑖𝑖=设1 𝑖𝑖嘉宾和箱子数能任意多）？并证明你的结论．
【理论 𝑛𝑛 拓展】 𝑃𝑃(𝑋𝑋 ≤ 0.1𝑛𝑛)≥ 0.01
（3）已知 重伯努利试验中每次试验中事件 出现的概率 ，请用切比雪夫不等式估计
，使得事件 𝑛𝑛出 现的频率在0.74和0.76之间的概 𝐴𝐴率 不低于0.9 0𝑃𝑃．= 0.75
𝑛𝑛 𝐴𝐴
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