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2024年普通高等学校招生全国统一考试
高三第三次联合诊断检测数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的。
1.已知集合A={x|x²−1=0}集合B={a+1,a−1,3,}若A⊆B，则a=
A.-1 B.0 C.1 D.2
2.设复数z满足2z−iz=1,则z的虚部为
1 1
A. B.− C.3 D.−3
3 3
3.已知一种服装的销售量y(单位：百件)与第x周的一组相关数据统计如下表所示，若两变量 x，y的经验
回归方程为^y=−1.3x+7.9，则a=
x 1 2 3 4 5
y 6 6 a 3 1
A.2 B.3 C.4 D.5
π
4.若圆锥的母线长为2，且母线与底面所成角为 ，则该圆锥的侧面积为
4
A.❑√2π B.2π C.2❑√2π D.4π
5.重庆某高校去年招收学生来自成渝地区2400人，除成渝外的西部地区2000人，中部地区1400人，东部
地区1800人，港澳台地区400人.学校为了解学生的饮食习惯，拟选取40人做样本调研，为保证调研结果
的代表性，则从该校去年招收的成渝地区学生中不同的抽样结果种数为
A.C40 B.C24 C.C12 𝐷.C10
2400 2400 2400 2400
6.已知f(x)是定义域为R的奇函数且满足f(x)+f(2-x)=0，则f(20)=
A.-1 B.0 C.1 D.±1
7.当点P(−1,0)到直线l:(3λ+1)x+(λ+1)y−(4λ+2)=0的距离最大时，实数λ的值为
A.-1 B.1 C.-2 D.2
( π)
8.已知α∈ 0, ，且2sin2α=4cosα−3cos³α，则cos2α=
3
2 1 7 2❑√2
A. 𝐵. C. D.
9 3 9 3
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分。
9.命题“存在x>0，使得mx²+2x−1>0”为真命题的一个充分不必要条件是
A.m>-2 B.m>-1 C.m>0 D.m>1
10.已知双曲线C：x²−2y²=λ(λ≠0)，则其离心率可能为
❑√6
A.2 B.❑√3 C.❑√2 D.
2
11.若函数f (x)=alnx−2x²+bx既有极小值又有极大值，则
A.ab<0 B.a<0 C.b²+16a>0 D.|a-b|<4
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
学科网（北京）股份有限公司12.已知单位正方形ABCD，点E是BC边上一点，若BE=2CE，则⃗AE⋅⃗CE=_________
13.已知b>a>0，log₄a+log₂b=1，且|lga|=|lgb|，则a+b=_________
14.已知棱长为 1 的正方体ABCD−A₁B₁C₁D₁内有一个动点 M，满足 MA=MD₁，且 MB=1，则四棱锥
M−ADD₁A₁体积的最小值为_________
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.(13分)
ex
已知函数f (x)= .
x+a
(1)当a=1时，求f(x)在点(0，f(0))处的切线方程；
(2)若f(x)在区间(0,+∞)上单调递增，求实数a的取值范围.
16.(15分)
( π)
已知函数f (x)=❑√3sin 2ωx+ (ω＞0)的最小正周期为π.
3
(1)求函数f(x)的单调递增区间；
(2) 已 知 △ ABC 的 三 边 长 分 别 为 a ， b ， c ， 其 所 对 应 的 角 为 A ， B ， C ， 且
3
f (A)= ，⃗AB⋅⃗AC=2❑√3，a=❑√5，求该三角形的周长.
2
17.(15分)
我市开展了“暖冬计划”活动，为高海拔地区学校加装供暖器.按供暖器的达标规定：学校供暖器的噪声
不能超过50分贝、热效率不能低于70%.某地采购了一批符合达标要求的供暖器，经抽样检测，这批供暖
器的噪声(单位：分贝)和热效率的频率分布直方图如下图所示：
假设数据在组内均匀分布，且以相应的频率作为概率.
(1)求a，b的值；
(2)如果供暖器的噪声与热效率是独立的，从这批供暖器中随机抽2件，求恰有1件噪声不超过25分贝且
热效率不低于90%的概率；
x−50
(3)当x∈[90,100)，设供暖器的噪声不超过 (分贝)的概率为p₁，供暖器的热效率不低于x%的概率
2
为p₂，求p₁+p₂的取值范围.
学科网（北京）股份有限公司18.(17分)
设圆D：x²+ y²+2x−88=0与抛物线C：y²=2px(p＞0)交于E，F两点，已知||EF|=16.
(1)求抛物线C的方程；
(2)若直线l：4x+3 y−16=0与抛物线C交于A，B两点(点A在第一象限)，动点M(异于点A，B)在抛物
线C上，连接MB，过点A作AN//MB交抛物线C于点N，设直线AM与直线BN交于点P，当点P在直线l
的左边时，求：
①点P的轨迹方程；
②△PAB面积的取值范围.
19.(17分)
已知n≥4且n∈N∗，设S是空间中n个不同的点构成的集合，其中任意四点不在同一个平面上.d 表示
AB
点A，B间的距离，记集合τ(S)={d |∀ A,B∈S,A≠B).
AB
(1)若四面体ABCD满足：AB⊥平面BCD，BC⊥CD，且AB=BC=CD=1.
①求二面角C-AD-B的余弦值;
②若S={A,B,C,D}，求τ(S).
(2)证明：4card(τ(S))≥n−1.
1
参考公式：x2+x2+⋯+x2≥ (x +x +⋯+x ) 2
1 2 n n 1 2 n
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