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9.3 双曲线（精讲）（提升版）
思维导图考点呈现例题剖析
考点一 双曲线的定义及应用
【例1-1】（2022内江期末）“ ”是“ 为双曲线”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】因为方程 表示双曲线，所以 ，
又当 时，方程 表示双曲线，
因此“ ”是“方程 表示双曲线”的充要条件.故答案为：C
【例1-2】（2022·成都模拟）设 ， 是双曲线 的左，右焦点，点P在双曲线C的右
支上，当 时， 面积为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】∵双曲线 ，∴ ，又点P在双曲线C的右支上， ，
所以 ， ，即 ，又 ，
∴ 面积为 .故答案为：B.
【例1-3】（2022·邯郸模拟）已知 ､ 是双曲线 的左､右焦点，点 为双曲线右支上一点，且 在以 为直径的圆上，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设 ， ，则 .
由双曲线定义知， ，又 ，故 ，
由于 在以 为直径的圆上，所以 ，故有
从而
故答案为：A
【例1-3】（2022·岳普湖模拟）已知双曲线 ，F，F 是双曲线的左右两个焦点，P在双曲线
1 2
上且在第一象限，圆M是△FPF 的内切圆.则M的横坐标为 ，若F 到圆M上点的最大距离
1 2 1
为 ，则△FPF 的面积为 .
1 2
【答案】1；【解析】双曲线的方程为 ，则 .
设圆 分别与 相切于 ，
根据双曲线的定义可知 ，根据内切圆的性质可知
①，
而 ②. 由①②得： ，所以 ，
所以直线 的方程为 ，即M的横坐标为1
设M的坐标为 ，则 到圆M上点的最大距离为 ，
即 ，解得 .
设直线 的方程为 ，即 .
到直线 的距离为 ，解得 .
所以线 的方程为 .由 且 在第一象限，解得 .
所以 .
所以△FPF 的面积为 .
1 2
故答案为：1；
【一隅三反】
1．（2022·潮州二模）若点P是双曲线 上一点， ， 分别为 的左、右焦点，则“
”是“ ”的（ ）．
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】由题意可知， ， ， ，
若 ，则 ， 或1（舍去），
若 ， ， 或13，
故“ ”是“ ”的充分不必要条件．故答案为：A．
2．（2021常州期中）已知双曲线 的右焦点为 ， 为双曲线左支上一点，点 ，
则 周长的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B【解析】曲线 右焦点为 ， 周长
要使 周长最小，只需 最小，如图：
当 三点共线时取到，故l=2|AF|+2a= 故答案为：B
3．（202郫都期中）双曲线 的两个焦点为 ， ，双曲线上一点 到 的距
离为11，则点 到 的距离为（ ）
A．1 B．21 C．1或21 D．2或21
【答案】B
【解析】不妨设 ， 分别为双曲线的左右焦点，
当P在双曲线的左支时，由双曲线的定义可知， ，又 =11，所以
，当P在双曲线的右支时，由双曲线的定义可知， ，又
=11，所以 ，又 ，所以右支上不存在满足条件的点P.故答案为：B.
4(2022广东）已知 ， 分别是双曲线 的左､右焦点，若P是双曲线左支上的点，且.则 的面积为（ ）
A．8 B． C．16 D．
【答案】C
【解析】因为P是双曲线左支上的点，所以 ，
两边平方得 ，
所以 .
在 中，由余弦定理得 ，
所以 ，所以 。故答案为：C
考点二 双曲线的离心率及渐近线
【例2-1】（2022高三下·安徽期中）已知 ， 是双曲线 的左､右焦点，
点P在双曲线的右支上，且 ， ，则双曲线C的离心率是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意可知， ， ，
又 ， ，即 ，
∴ ，即 ，∴ .故答案为：C.【例2-2】（2022·河南模拟）已知双曲线 的左、右焦点分别为 ， ，P
是双曲线上一点，且 （ 为坐标原点），若 内切圆的半径为 ，则C的
离心率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】 ，即为 ，即为 ，可得 ．
所以 ．
根据双曲线的对称性，不妨设点P在第一象限，如图所示，
由题意设 的内切圆切三边分别于G，D，E三点，则 ， ，
．
又 ，所以 ．
设 ，则 ，所以 ，所以切点D为双曲线的右顶点，所以 ，
．
在 中，由勾股定理得 ，
整理得 ，即 ，解得 ，
又因为 ，所以C的离心率为 ，故答案为：C．
【例2-3】（2022·德阳三模）设双曲线 的右焦点是F，左､右顶点分别是
，过 作 轴的垂线与双曲线交于 两点，若 ，则该双曲线的渐近线方程为（
）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设双曲线的半焦距为 ，则 ，将 ，代入双曲线 ，
得 ，不妨取 ， ，
又 ， ，∴ 的斜率 分别为：
， ，因为 ，故 ，即 ，即 ，
所以 ，故渐近线方程是 .
故答案为：C
【一隅三反】
1．（2022·重庆市模拟）已知双曲线C： 的左右焦点分别为 ， ，点 在
轴上， 为等边三角形，且线段 的中点恰在双曲线C上，则双曲线C的离心率为
（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】C
【解析】如图所示，设 ， ，设线段 的中点为 ，则 在双曲线C的右支
上，
又 为等边三角形，所以 ，所以 ，所以连接 ，则在等边三角形 中 ，且 ，
所以 ，所以 ，即双曲线 的离心率为 .
故答案为：C.
2．（2022·保定模拟）已知F为双曲线 的右焦点，A为双曲线C上一点，
直线 轴，与双曲线C的一条渐近线交于B，若 ，则C的离心率 （ ）
A． B． C． D．2
【答案】B
【解析】由题意得 ，双曲线的渐近线方程为 ，
由双曲线的对称性，不妨设 均为第一象限点，
当 时 ，得 ，所以 ，
当 时， ，所以 ，
因为 ，所以 ，所以 ，得 ，所以 ，
所以双曲线的离心率为 ，故答案为：B
3．（2022·石嘴山模拟）已知双曲线 的左、右焦点分别为 ，P为双
由线C上的一点，若线段 与y轴的交点M恰好是线段 的中点， ，其中，O为坐标原点，则双曲线C的渐近线的方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设双曲线 的半焦距为 ，则点 ，由题意知 轴，
所以点 的横坐标为 ，由双曲线的对称性特点不妨设点P(c，y )(y >0)，
0 0
b2
所以 ，解得 ，所以点 ，所以点 的坐标为(0， )，
2a
b2 b2
所以⃗M F =(−c，− )，⃗MO=(0，− )，故
1 2a 2a
b2 b2 b4
⃗M F ⋅⃗MO=(−c，− )⋅(0，− )= =2b2 ，
1 2a 2a 4a2
所以 ，所以 .所以双曲线 的渐近线方程为 .故答案为：B.
考点三 双曲线的标准方程
【例3-1】（2022梧州期末）设双曲线C： （ ， ）的左焦点为F，直线
过点F且与双曲线C在第二象限的交点为P， ，其中O为坐标原点，则双
曲线C的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设左焦点F的坐标为 ，由点F过直线 ，
所以 ，解得 ，设右焦点为N，连接 ， ， .
由 ，故三角形 为直角三角形，即 ，
又因为直线斜率为 ，设直线倾斜角为 ，则 .
又 ，则 ， ，
由双曲线定义，则 ，
所以 ，
所以
所以双曲线C的方程为 .
故答案为：D.
【例3-2】．（202合肥期末）已知点 分别是等轴双曲线 的左、右焦点， 为坐标原点，点 在双曲线 上， ， 的面积为8，则双曲线 的方程为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】 ， 是 的中点，所以 ，
，则 ，
，解得 ，
所以双曲线方程为 ．
故答案为：D．
【一隅三反】
2．（2022·和平模拟）已知双曲线 的一条渐近线过点 ，且双曲线的一
个焦点在抛物线 的准线上，则双曲线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】因为 在双曲线 的一条渐近线 上， 故可得 ；因为抛物线 的准线为 ，故 ，
又 ；解得 ，
故双曲线方程为： .故答案为：D.
2．（2022宁波期末）已知双曲线 与双曲线 有相同的渐近线， 且它们的离心率不相
同， 则下列方程中有可能为双曲线 的标准方程的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】双曲线 中， ，则渐近线方程为 ，
离心率为 。
对于A， ，则离心率 ，故A错误；
对于B， ，则渐近线方程为 ，故B错误；
对于C， ，则离心率 ，故C错误；
对于D， ，则渐近线方程为 ，离心率 ，故D正确。
故选：D
3．（2022·湖北模拟）在平面直角坐标系中，已知圆 ： ，点 ， 是圆上任意一点，线段 的垂直平分线与直线 相交于点 ，设点 的轨迹为曲线 ，则曲线 的
方程为 .
【答案】
【解析】因为 在线段 的垂直平分线上，所以 ，所以
，
由双曲线的定义知点 的轨迹是以 为焦点， 为实轴长的双曲线，则 ， ，得
，所以曲线 的方程为 ，故答案为：
4．（2022·广州模拟）写出一个同时满足下列性质①②③的双曲线方程 ．
①中心在原点，焦点在y轴上；②一条渐近线方程为 ﹔③焦距大于10
【答案】 （答案不唯一，写出一个即可）
【解析】由①中心在原点，焦点在y轴上知，可设双曲线方程为：
由②一条渐近线方程为 知， ，即
由③知， ，即 ，
则可取 （此处也可取大于 的其他数）
又 ， ，则同时满足下列性质①②③的一个双曲线方程为：
故答案为： （答案不唯一， 写出一个即可）.
考点四 直线与双曲线的位置关系
【例4-1】（2022·全国·高三专题练习）过 且与双曲线 有且只有一个公共点的直线有
（ ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
【答案】D
【解析】当斜率不存在时，过 的直线与双曲线没有公共点；
当斜率存在时，设直线为 ，联立 ，得 ①.
当 ，即 时，①式只有一个解；
当 时，则 ，解得 ；
综上可知过 且与双曲线 有且只有一个公共点的直线有4条.故选：D.
【例4-2】（2022·山东）已知直线l的方程为 ，双曲线C的方程为 .若直线l与双曲线C
的右支相交于不同的两点，则实数k的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】联立 整理得 ，因为直线 与双曲线 的右支交于不同的两点，所以 ，解得 ，所以实数k的取值范围为 .故选：D.
【一隅三反】
1．（2022·上海）若过点 的直线 与双曲线 : 的右支相交于不同两点，则直线 斜率的取
值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意可得直线 斜率存在，设直线 的方程为 ，
设交点 ，联立 可得 ，
由题意可得 解得： ，故选：D．
2．（2023·全国·高三专题练习（理））若在区间 内随机取一个实数 ，则直线 与双曲线
的左、右两支各有一个交点的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】双曲线的渐近线斜率为 ，则 ，即 ，故所求概率为 ，
故选：B.2．（2022·安徽 ）直线 与双曲线 没有公共点，则斜率k的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】联立直线 和双曲线： ，消去 得 ，
当 ，即 时，此时方程为 ，解得 ，此时直线与双曲线有且只有一个交点；
当 ，此时 ，
解得 或 ，所以 时直线与双曲线无交点；故选：A
考点五 弦长与中点弦
【例5】（2022云南）已知双曲线 ，过点 的直线l与双曲线C交于M､N两点，若P为
线段MN的中点，则弦长|MN|等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题设，直线l的斜率必存在，设过 的直线MN为 ，联立双曲线：
设 ，则 ，所以 ，解得 ，
则 ， .弦长|MN| .故选：D.
【一隅三反】
1．（2022·山西）过双曲线 的右焦点作倾斜角为30°的直线l，直线l与双曲线交于不同的两点
A，B，则AB的长为______．【答案】
【解析】双曲线 的右焦点为 ，所以直线l的方程为 ．由 ，得
．设 ， ，则 ， ，
所以 ．
故答案为：
2（2022·湖南岳阳·三模）已知F，F 分别为双曲线C: 的上、下焦点，过点F 作y轴的垂线交
1 2 2
双曲线C于P，Q两点，则△PFQ的面积为________．
1
【答案】
【解析】双曲线C: 的上、下焦点 .
令 代入 ，解得： ，所以 .
所以 ，所以△PFQ的面积为 .
1
故答案为：
3．（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线 的左､右焦点分别为 过左焦点 作斜率为2的
直线与双曲线交于A，B两点，P是AB的中点，O为坐标原点，若直线OP的斜率为 ，则b的值是（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】D
【解析】设 、 ，则 ， ，
两式相减可得 ，
为线段 的中点， ， ，
，又 ， ，
，即 ， ，
故选：D.
4．（2022·山东烟台·三模）过双曲线 ： （ ， ）的焦点且斜率不为0的直线交 于
A， 两点， 为 中点，若 ，则 的离心率为（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】D
【解析】不妨设过双曲线 的焦点且斜率不为0的直线为 ，令
由 ，整理得
则 ，
则 ，由 ，可得则有 ，即 ，则双曲线 的离心率
故选：D
