文档内容
第 05 讲 椭圆及其性质
目录
01 考情透视·目标导航..........................................................................................................................2
02 知识导图·思维引航..........................................................................................................................3
03 考点突破·题型探究..........................................................................................................................4
知识点1：椭圆的定义.........................................................................................................................4
知识点2：椭圆的方程、图形与性质.................................................................................................4
解题方法总结........................................................................................................................................7
题型一：椭圆的定义与标准方程........................................................................................................7
题型二：椭圆方程的充要条件............................................................................................................8
题型三：椭圆中焦点三角形的周长与面积及其他问题....................................................................9
题型四：椭圆上两点距离的最值问题..............................................................................................11
题型五：椭圆上两线段的和差最值问题..........................................................................................12
题型六：离心率的值及取值范围......................................................................................................13
方向1：利用椭圆定义去转换...........................................................................................................13
方向2：利用a与c建立一次二次方程不等式................................................................................14
θ
方向3：利用最大顶角θ满足sin ≤e＜1........................................................................................14
2
方向4：坐标法...................................................................................................................................15
方向5：找几何关系，利用余弦定理...............................................................................................16
方向6：找几何关系，利用正弦定理...............................................................................................16
方向7：利用基本不等式...................................................................................................................17
方向8：利用焦半径的取值范围为 [a−c,a+c].............................................................................18
方向9：利用椭圆第三定义...............................................................................................................18
题型七：椭圆的简单几何性质问题..................................................................................................19
题型八：利用第一定义求解轨迹......................................................................................................22
题型九：椭圆的实际应用..................................................................................................................23
04真题练习·命题洞见........................................................................................................................26
05课本典例·高考素材........................................................................................................................27
06易错分析·答题模板........................................................................................................................29
易错点：椭圆焦点位置考虑不周全..................................................................................................29
答题模板：求椭圆的标准方程..........................................................................................................29考点要求 考题统计 考情分析
2024年II卷第5题，5分
椭圆是圆雉曲线的重要内容，高考
2023年甲卷（理）第20题，12分 主要考查椭圆定义的运用、椭圆方程的
（1）椭圆的定义及其
2023年I卷II卷第5题，5分 求法以及椭圆的简单几何性质，尤其是
标准方程
2023年北京卷第19题，15分 对离心率的求解，更是高考的热点问
（2）椭圆的几何性质
2023年甲卷（理）第12题，5分 题，因方法多，试题灵活，在各种题型
2022年甲卷（理）第10题，5分 中均有体现．
复习目标：
（1）理解椭圆的定义、几何图形、标准方程．
（2）掌握椭圆的简单几何性质（范围、对称性、顶点、离心率）．
（3）掌握椭圆的简单应用．知识点1：椭圆的定义
平面内与两个定点 的距离之和等于常数 （ ）的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫
做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距，记作 ，定义用集合语言表示为：
注意：当 时，点的轨迹是线段；
当 时，点的轨迹不存在．
【诊断自测】已知点 ， ，动点 满足 ，则动点P的轨迹是（ ）
A．椭圆 B．直线 C．线段 D．不存在
知识点2：椭圆的方程、图形与性质
椭圆的方程、图形与性质所示．
焦点的位
焦点在 轴上 焦点在 轴上
置
图形
标准方程统一方程
参数方程
第一定义 到两定点 的距离之和等于常数2 ，即 （ ）
范围 且 且
、 、
顶点
、 、
轴长 长轴长 ，短轴长 长轴长 ，短轴长
对称性 关于 轴、 轴对称，关于原点中心对称
焦点
、 、
焦距
离心率
准线方程
点和椭圆
的关系
（ 为切点） （ 为切点）
切线方程
对于过椭圆上一点 的切线方程，只需将椭圆方程中 换为 ， 换为
可得
切点弦所
在的直线
方程
① ，（ 为短轴的端点）
焦点三角 ②
形面积③
焦点三角形中一般要用到的关系是
上焦半径：
左焦半径：
焦半径 下焦半径：
又焦半径：
焦半径最大值 ，最小值
通径
过焦点且垂直于长轴的弦叫通径：通径长= （最短的过焦点的弦）
设直线与椭圆的两个交点为 ， ， ，
则弦长
弦长公式
（其中 是消 后关于 的一元二次方程的 的系数， 是判别式）
【诊断自测】一个椭圆的两个焦点分别是 ， ，椭圆上的点 到两焦点的距离之和等于8，
则该椭圆的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
解题方法总结
过椭圆的焦点与椭圆的长轴垂直的直线被椭圆所截得的线段称为椭圆的通径，其长为 ．
（1）
①椭圆上到中心距离最小的点是短轴的两个端点，到中心距离最大的点是长轴的两个端点．
②椭圆上到焦点距离最大和最小的点是长轴的两个端点．
距离的最大值为 ，距离的最小值为 ．（2）椭圆的切线
①椭圆 上一点 处的切线方程是 ；
②过椭圆 外一点 ，所引两条切线的切点弦方程是 ；
③椭圆 与直线 相切的条件是 ．
题型一：椭圆的定义与标准方程
【典例1-1】（2024·全国·模拟预测）过四点 ， ， ， 中的三点的一个椭圆
标准方程可以是 ，这样的椭圆方程有 个．
【典例1-2】已知 ， 是椭圆 的两个焦点， 是 上的一点，若 ，且 ，
则 的长轴长与焦距的比值为（ ）
A． B． C． D．
【方法技巧】
（1）定义法：根据椭圆定义，确定 的值，再结合焦点位置，直接写出椭圆方程.
（2）待定系数法：根据椭圆焦点是在 轴还是 轴上，设出相应形式的标准方程，然后根据条件列出
的方程组，解出 ，从而求得标准方程.
注意：①如果椭圆的焦点位置不能确定，可设方程为 .
②与椭圆 共焦点的椭圆可设为 .
③与椭圆 有相同离心率的椭圆，可设为 （ ，焦点在 轴上）或（ ，焦点在 轴上）.
【变式1-1】方程 表示的曲线是 ，其标准方程是 .
【变式1-2】已知椭圆 的焦点在坐标轴上，且经过 和 两点，则椭圆 的标准方
程为 .
【变式1-3】已知椭圆 的左、右焦点为 ，且过点 则椭
圆标准方程为 ．
【变式1-4】（2024·高三·广东揭阳·期末）已知椭圆E： （ ），F是E的左焦点，
过E的上顶点A作AF的垂线交E于点B.若直线AB的斜率为 ， 的面积为 ，则E的标准方程
为 .
【变式1-5】过点 ，且与椭圆 有相同的焦点的椭圆标准方程是 ．
【变式1-6】（2024·山西太原·三模）已知点 分别是椭圆 的左、右焦点， 是 上一点，
的内切圆的圆心为 ，则椭圆 的标准方程是（ ）
A． B． C． D．
题型二：椭圆方程的充要条件
【典例2-1】（2024·山西吕梁·二模）若函数 ，且 的图象所过定点恰好在
椭圆 上，则 的最小值为（ ）
A．6 B．12 C．16 D．18
【典例2-2】方程 表示椭圆的充要条件是（ ）
A． B．
C． D． 或
【方法技巧】
表示椭圆的充要条件为： ；表示双曲线方程的充要条件为： ；
表示圆方程的充要条件为： .
【变式2-1】（2024·全国·模拟预测）命题“实数 ”是命题“曲线
表示椭圆”的一个（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
【变式2-2】（2024·高三·辽宁大连·期末）已知曲线“ 表示焦点在
轴上的椭圆”的一个充分非必要条件是（ ）
A． B．
C． D．
【变式2-3】对于方程 表示的曲线 ，下列说法正确的是（ ）
A．曲线 只能表示圆、椭圆或双曲线 B．若 为负角，则曲线 为双曲线
C．若 为正角，则曲线 为椭圆 D．若 为椭圆，则其焦点在 轴上
题型三：椭圆中焦点三角形的周长与面积及其他问题
【典例3-1】已知双曲线 ： 与椭圆 ： 有公共的焦点 ， ，
且 与 在第一象限的交点为M，若 的面积为1，则a的值为 ．
【典例3-2】（2024·广东惠州·模拟预测）已知椭圆的方程为 ，过椭圆中心的直线交椭圆于
A、B两点， 是椭圆的右焦点，则 的周长的最小值为（ ）
A．8 B． C．10 D．
【方法技巧】
焦点三角形的问题常用定义与解三角形的知识来解决，对于涉及椭圆上点到椭圆两焦点将距离问题常
用定义，即 .【变式3-1】（2024·高三·广东深圳·期中）已知 分别为椭圆 的左､右焦点， 为椭圆上
一点且 ，则 的面积为 .
【变式3-2】该椭圆 的左右焦点为 ，点 是 上一点，满足 ，则
的面积为 ．
【变式3-3】（2024·云南昆明·昆明市第三中学校考模拟预测）已知椭圆 的左、
右焦点分别为 为椭圆上一点，且 ，若 关于 平分线的对称点在椭圆 上，则
的面积为（ ）
A． B． C． D．
【变式3-4】（2024·河北唐山·统考三模）已知椭圆 的两个焦点分别为 ，点 为 上
异于长轴端点的任意一点， 的角平分线交线段 于点 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【变式3-5】（2024·高三·河北秦皇岛·开学考试）已知椭圆 的上顶点为 ，左焦点为 ，
线段 的中垂线与 交于 两点，则 的周长为 ．
【变式3-6】设 分别是离心率为 的椭圆 的左、右焦点，过点 的直线
交椭圆 于 两点，且 ，则 （ ）
A． B． C． D．
题型四：椭圆上两点距离的最值问题
【典例4-1】（2024·陕西安康·模拟预测）已知 为椭圆 上一点，若 的右焦
点 的坐标为 ，点 满足 ， ，若 的最小值为 ，则椭圆 的方程为
（ ）A． B．
C． D．
【典例4-2】已知 是椭圆 的上顶点，点 是椭圆上的任意一点，则 的最大值为
（ ）
A．2 B． C． D．
【方法技巧】
利用几何意义进行转化.
【变式4-1】如果点P是椭圆 上一个动点， 是椭圆的左焦点，那么 的最大值是 ，
最小值是 ．
【变式4-2】已知动点 在椭圆 上，过点P作圆 的切线，切点为M，
则 的最小值是 ．
【变式4-3】（2024·山东潍坊·二模）如图，菱形架ABCD是一种作图工具，由四根长度均为4的直杆
用铰链首尾连接而成.已知A，C可在带滑槽的直杆 上滑动；另一根带滑槽的直杆DH长度为4，且一端记
为H，另一端用铰链连接在D处，上述两根带滑槽直杆的交点P处有一栓子（可在带滑槽的直杆上滑动）.
若将H，B固定在桌面上，且两点之间距离为2，转动杆HD，则点P到点B距离的最大值为 .
【变式4-4】点 在圆 上移动，点 在椭圆 上移动，则线段 的最大值
为 ．
【变式4-5】已知点 ，P是椭圆 上的动点，则 的最大值是 ．
【变式4-6】已知圆 ，动圆 满足与 外切且 与内切，
若 为 上的动点，且 ，则 的最大值为（ ）A． B． C．4 D．
题型五：椭圆上两线段的和差最值问题
【典例5-1】已知点 在椭圆 上，点 ，则 的最大值为
（ ）
A． B．4 C． D．5
【典例5-2】已知椭圆 的右焦点为 ，点 ，点 是 上的动点，则 的
最小值为（ ）
A．5 B． C．10 D．
【方法技巧】
在解析几何中，我们会遇到最值问题，这种问题，往往是考察我们定义．求解最值问题的过程中，
如果发现动点 在圆锥曲线上，要思考并用上圆锥曲线的定义，往往问题能迎刃而解．
【变式5-1】设椭圆 的右焦点为 ，动点 在椭圆 上，点 是直线 上的
动点，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【变式5-2】已知椭圆方程 是其左焦点，点 是椭圆内一点，点 是椭圆上任意一点，
若 的最大值为 ，最小值为 ，那么 （ ）
A． B．4 C．8 D．
【变式5-3】设 是椭圆 上一点， ， 分别是两圆 和 上的
点，则 的最小值、最大值分别为（ ）
A．8，11 B．8，12 C．6，10 D．6，11题型六：离心率的值及取值范围
方向1：利用椭圆定义去转换
【典例6-1】（2024·高三·江苏南京·开学考试）已知 是椭圆 上一点， 是
的两个焦点， ，点 在 的平分线上， 为原点， ，且 ．则 的离
心率为（ ）
A． B． C． D．
【典例6-2】椭圆 与双曲线 有公共的焦点 、 ， 与 在第一象限内交
于点 ， 是以线段 为底边的等腰三角形，若椭圆 的离心率的范围是 ，则双曲线
的离心率取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式6-1】椭圆C： 的左、右焦点分别为 、 ，直线 过
且与椭圆交于A、B两点（A在B左侧），若 ，则C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【变式6-2】已知O为坐标原点，F为椭圆C： 的右焦点，若C上存在一点P，使
得 为等边三角形，则椭圆C的离心率为 .
方向2：利用a与c建立一次二次方程不等式
【典例7-1】（2024·高三·河北承德·开学考试）已知椭圆 的左､右焦点分别为
上一点 满足 ，若 ，则 的离心率为（ ）A． B． C． D．
【典例7-2】（2024·陕西铜川·模拟预测）已知 是椭圆 的左、右焦点，若
上存在不同的两点 ，使得 ，则 的离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【变式7-1】已知直线 过椭圆 的一个焦点与 交于 两点，若当 垂直于
轴时 ，则 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【变式7-2】已知 ， 分别是椭圆 的左、右焦点， 是坐标原点， 是椭圆
上一点， 与 轴交于点 ．若 ， ，则椭圆 的离心率为（ ）
A． 或 B． 或 C． 或 D． 或
θ
方向3：利用最大顶角θ满足sin ≤e＜1
2
【典例8-1】（2024·四川成都·高三树德中学校考开学考试）已知 、 是椭圆的两个焦点，满足
的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【典例8-2】设 、 是椭圆 的左、右焦点，若椭圆外存在点 使得 ，
则椭圆的离心率的取值范围______．
【变式8-1】已知 ， 分别是某椭圆的两个焦点，若该椭圆上存在点 使得 （
， 是已知数），则该椭圆离心率的取值范围是________.【变式8-2】（2024·广东·广州市真光中学高三开学考试）已知椭圆 的左、右焦点
分别为 ， ，若椭圆上存在一点 使得 ，则该椭圆离心率的取值范围是________．
方向4：坐标法
【典例9-1】焦点在x轴椭圆中截得的最大矩形的面积范围是 ，则椭圆离心率的范围是
（ ）
A． B． C． D．
【典例9-2】（2024·陕西安康·模拟预测）已知椭圆 的左､右焦点分别为 ，
以 为圆心的圆交 轴正半轴于点 ，交 轴于 两点，线段 与 交于点 .若 的面积为
（ 为椭圆的半焦距），则 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【变式9-1】（2024·新疆乌鲁木齐·三模）设M，N，P是椭圆 上的三个点，O为
坐标原点，且四边形OMNP为正方形，则椭圆的离心率为 ；
【变式9-2】（2024·山东泰安·模拟预测）已知椭圆C： 的左，右焦点分别为
， ，点M，N在C上，且满足 且 ，若 ，则C
的离心率为 .
方向5：找几何关系，利用余弦定理
【典例10-1】（2024·湖南·三模）已知 是椭圆 的左、右焦点，O是坐标原
点，过 作直线与C交于A，B两点，若 ，且 的面积为 ，则椭圆C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【典例10-2】（2024·河南洛阳·模拟预测）已知 为椭圆 上一点， 分别
为其左、右焦点， 为坐标原点， ，且 ，则 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【变式10-1】（2024·江苏泰州·模拟预测）已知 ， 分别是椭圆 ： 的左、右
焦点，过 的直线与 交于点 ，与 轴交于点 ， ， ，则 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
方向6：找几何关系，利用正弦定理
【典例11-1】已知 ， 分别为椭圆 的两个焦点，P是椭圆E上的点，
，且 ，则椭圆E的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【典例11-2】已知椭圆 ＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F，F，且|FF|＝2c，若椭圆上存在
1 2 1 2
点M使得 中， ，则该椭圆离心率的取值范围为( )
A．(0， －1) B． C． D．( －1,1)
【变式11-1】过椭圆 的左、右焦点 ， 作倾斜角分别为 和 的两条直线 ，
．若两条直线的交点P恰好在椭圆上，则椭圆的离心率为（ ）
A． B．C． D．
【变式11-2】（2024·江苏连云港·模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为 ， ，其右顶点为A，
若椭圆上一点P，使得 ， ，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
方向7：利用基本不等式
【典例12-1】（2024·安徽马鞍山·模拟预测）已知 是椭圆 的两个焦点，
点 在 上，且 ，则椭圆 的离心率是（ ）
A． B． C． D．
【典例12-2】设椭圆 的右焦点为 ，椭圆 上的两点 ， 关于原点对你，且
满足 ， ，则椭圆 的离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【变式12-1】设 、 分别是椭圆 ： 的左、右焦点， 是椭圆 准线上一点，
的最大值为60°，则椭圆 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【变式12-2】（2024·山西运城·高三期末（理））已知点 为椭圆 的左顶点，
为坐标原点，过椭圆的右焦点F作垂直于x轴的直线l，若直线l上存在点P满足 ，则椭圆离
心率的最大值______________.方向8：利用焦半径的取值范围为 [a−c,a+c]
【典例13-1】在平面直角坐标系 中，椭圆 上存在点 ，使得 ，
其中 、 分别为椭圆的左、右焦点，则该椭圆的离心率取值范围是________．
【典例13-2】（2024·广西南宁·二模（理））已知椭圆 的左、右焦点分别为 ，
，若椭圆上存在一点 使 ，则该椭圆的离心率 的取值范围是______.
【变式13-1】已知P为椭圆 上一点， 为椭圆焦点，且 ，则椭
圆离心率的范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式13-2】（2024·全国·模拟预测）若直线 与椭圆 相交于
两点，以 为直径的圆经过左焦点 ，且 ，则椭圆 的离心率的取值范围是 ．
方向9：利用椭圆第三定义
【典例14-1】已知椭圆C： （ ），点A，B为长轴的两个端点，若在椭圆上存在点
P，使 ，则椭圆的离心率 的取值范围是______．
【典例14-2】（2024·全国·模拟预测）已知直线 与椭圆 交于 两点，
是椭圆上异于 的一点．若椭圆 的离心率的取值范围是 ，则直线 ， 斜率之积的取
值范围是（ ）
A． B．
C． D．【变式14-1】（2024·河南新乡·新乡市第一中学校考模拟预测）已知椭圆 的左
顶点为 ，点 是椭圆 上关于 轴对称的两点.若直线 的斜率之积为 ，则 的离心率为
（ ）
A． B． C． D．
【方法技巧】
求离心率的本质就是探究 之间的数量关系，知道 中任意两者间的等式关系或不等关系便可
求解出 的值或其范围.具体方法为方程法、不等式法、定义法和坐标法.
题型七：椭圆的简单几何性质问题
【典例15-1】（多选题）（2024·高三·广西南宁·开学考试）椭圆C： 的焦点为
， ，上顶点为A，直线 与椭圆C的另一个交点为B，若 ，则（ ）
A．椭圆C的焦距为2 B． 的周长为8
C．椭圆C的离心率为 D． 的面积为
【典例15-2】（多选题）已知椭圆 ，且两个焦点分别为 ， ， 是椭圆 上任意一点，
以下结论正确的是（ ）
A．椭圆 的离心率为 B． 的周长为12
C． 的最小值为3 D． 的最大值为16
【方法技巧】
标准方程图形
焦点 ， ，
焦距
范围 ， ，
对称
性
关于 轴、 轴和原点对称
性
质
顶点 ， ，
轴 长轴长 ，短轴长
离心
（注：离心率越小越圆，越大越扁）
率
【变式15-1】（多选题）（2024·安徽·模拟预测）已知椭圆 的左、右焦点分别为 ，
，P是C上的任意一点，则（ ）
A．C的离心率为 B．
C． 的最大值为 D．使 为直角的点P有4个
【变式15-2】（多选题）（2024·安徽合肥·一模）已知椭圆 的左､右顶点分别为 ，左
焦点为 为 上异于 的一点，过点 且垂直于 轴的直线与 的另一个交点为 ，交 轴于点 ，
则（ ）
A．存在点 ，使
B．
C． 的最小值为
D． 周长的最大值为8
【变式15-3】（多选题）（2024·高三·安徽合肥·期末）已知椭圆C： 的左、右焦点分别为， ，P是C上一点，则（ ）
A． B． 的最大值为8
C． 的取值范围是 D． 的取值范围是
【变式15-4】（多选题）（2024·黑龙江齐齐哈尔·三模）在平面直角坐标系xOy中，长、短轴所在直
线不与坐标轴重合的椭圆称为“斜椭圆”，将焦点在坐标轴上的椭圆绕着对称中心顺时针旋转 ，即得
“斜椭圆” ，设 在 上，则（ ）
A．“斜椭圆”的焦点所在直线的方程为 B． 的离心率为
C．旋转前的椭圆标准方程为 D．
【变式15-5】（多选题）已知椭圆 的左､右焦点分别为 ，过点 的直线 交
椭圆于 两点，若 的最小值为4，则（ ）
A．椭圆的短轴长为
B． 的最大值为8
C．离心率为
D．椭圆上不存在点 ，使得
【变式15-6】（多选题）（2024·江西南昌·三模）将椭圆 上所有的点绕原点旋
转 角，得到椭圆 的方程： ，则下列说法中正确的是（ ）
A． B．椭圆 的离心率为
C． 是椭圆 的一个焦点 D．
题型八：利用第一定义求解轨迹
【典例16-1】动点 与定点 的距离和 到定直线 ： 的距离的比是常数 ，则动点
的轨迹方程是 .【典例16-2】 中， ， ，AC，AB边上的两条中线之和为39，则 的重心
的轨迹方程为 .
【方法技巧】
常见考题中，会让我们利用圆锥曲线的定义求解点P的轨迹方程，这时候要注意把动点P和满足焦点
标志的定点连起来做判断． 焦点往往有以下的特征：（1）关于坐标轴对称的点；（2）标记为F的点；
（3）圆心；（4）题上提到的定点等等．当看到满足以上的标志的时候要想到曲线的定义，把曲线和满足
焦点特征的点连起来结合曲线定义判断．注意：在求解轨迹方程的题中，要注意x和y的取值范围.
【变式16-1】已知B( ，0)是圆A： 内一点，点C是圆A上任意一点，线段BC
的垂直平分线与AC相交于点D.则动点D的轨迹方程为 .
【变式16-2】一个动圆与圆 外切，与圆 内切，则这个动圆圆心
的轨迹方程为 ．
【变式16-3】已知 是椭圆 中垂直于长轴的动弦， 是椭圆长轴的两个端点，
则直线 和 的交点 的轨迹方程为 ．
【变式16-4】已知在 中，AB＝8，以AB的中点为原点O，AB所在直线为x轴，建立平面直角坐
标系，设 ， ，若 ，则
点P的轨迹方程为 ．
【变式16-5】已知圆 ，圆 ，动圆 与圆 外切并与圆 内切，
则圆心 的轨迹方程为
【变式16-6】（2024·辽宁鞍山·二模）在平面直角坐标系中，△ABC满足A(-1，0)，B(1，0)，
， ，∠ACB的平分线与点P的轨迹相交于点I，存在非零实数 ，
使得 ，则顶点C的轨迹方程为 ．
【变式16-7】（2024·湖南·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知两定点 ， ，动点P
到 ， 的距离之和为 ，若存在一点P满足 的面积为 ，写出满足条件的一
个动点P的轨迹方程 ．
【变式16-8】（2024·广东江门·二模）已知圆 内切于圆 ，圆 内切于圆
，则动圆 的圆心的轨迹方程为 .【变式16-9】已知点P为椭圆 上的任意一点，O为原点，M满足 ，则点M的轨
迹方程为 ．
题型九：椭圆的实际应用
【典例17-1】（2024·全国·模拟预测）我国在2022年完成了天宫空间站的建设，根据开普勒第一定律，
天宫空间站的运行轨道可以近似为椭圆，地球处于该椭圆的一个焦点上．已知某次变轨任务前后，天宫空
间站的近地距离（天宫空间站与地球距离的最小值）不变，远地距离（天宫空间站与地球距离的最大值）
扩大为变轨前的3倍，椭圆轨道的离心率扩大为变轨前的2倍，则此次变轨任务前的椭圆轨道的离心率为
（ ）
A． B． C． D．
【典例17-2】开普勒第一定律指出，所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点
上.若某行星距太阳表面的最大距离为 ，最小距离 ，太阳半径为 ，则该行星运行轨迹椭圆的离心率为
（ ）
A． B．
C． D．
【方法技巧】
椭圆在实际应用中极为广泛，体现在建筑、产品设计、物理学、工程学及计算机科学等多个领域。例
如，在建筑中，椭圆形设计用于体育场馆和会展中心等，增强视觉效果与空间利用率；在物理学中，椭圆
轨道描述行星绕太阳的运动路径；在密码学中，椭圆曲线密码保障互联网数据安全；在图形图像处理中，
椭圆拟合技术助力物体轮廓检测。椭圆的应用多样且重要，展现了其在现代科技中的核心价值。
【变式17-1】（2024·河北·一模）中国国家大剧院的外观被设计成了半椭球面的形状.如图，若以椭球
的中心为原点建立空间直角坐标系，半椭球面的方程为 （ ， ，且a，b，c不
全相等）.若该建筑的室内地面是面积为 的圆，给出下列结论：① ；② ；③ ；
④若 ，则 ，其中正确命题的个数为（ ）A．1 B．2 C．3 D．4
【变式17-2】 2021年2月10日，天问一号探测器顺利进入火星的椭圆环火轨道（将火星近似看成一
个球体，球心为椭圆的一个焦点）．2月15日17时，天问一号探测器成功实施捕获轨道远火点（椭圆轨
迹上距离火星表面最远的一点）平面机动，同时将近火点高度调整至约265km．若此时远火点距离约为
11945km，火星半径约为3395km，则调整后天问一号的运行轨迹（环火轨道曲线）的焦距约为（ ）
A．11680km B．5840km C．19000km D．9500km
【变式17-3】（2024·江苏泰州·模拟预测）我国自主研发的“嫦娥四号”探测器成功着陆月球，并通
过“鹊桥”中继星传回了月球背面影像图．假设“嫦娥四号”在月球附近一点P变轨进入以月球球心F为
一个焦点的椭圆轨道绕月飞行，其轨道的离心率为e，设月球的半径为R，“嫦娥四号”到月球表面最近
的距离为r，则“嫦娥四号”到月球表面最远的距离为（ ）
A． B．
C． D．
【变式17-4】（2024·云南曲靖·模拟预测）某单位使用的圆台形纸杯如图所示，其内部上口直径､下口
直径､母线的长度依次等于 ，将纸杯盛满水后再将水缓慢倒出，当水面恰好到达杯底（到达
底面圆“最高处”）的瞬间的水面边缘曲线的离心率等于 .
【变式17-5】（多选题）（2024·河北·三模）已知一个装有半瓶水的圆柱形玻璃杯，其底面半径为
，玻璃杯高为 （玻璃厚度忽略不计），其倾斜状态的正视图如图所示， 表示水平桌面．当玻
璃杯倾斜时，瓶内水面为椭圆形，阴影部分 为瓶内水的正视图．设 ，则下列结论正确的
是（ ）A．当 时，椭圆的离心率为
B．当椭圆的离心率最大时，
C．当椭圆的焦距为4时，
D．当 时，椭圆的焦距为6
【变式17-6】甲､乙两名探险家在桂林山中探险，他们来到一个山洞，洞内是一个椭球形，截面是一
个椭圆，甲､乙两人分别站在洞内如图所示的A､B两点处，甲站在A处唱歌时离A处有一定距离的乙在B
处听得很清晰，原因在于甲､乙两人所站的位置恰好是洞内截面椭圆的两个焦点，符合椭圆的光学性质，
即从一个焦点发出光经椭圆反射后经过另一个焦点.现已知椭圆： 上一点M，过点M作切线
l，A，B两点为左右焦点， ，由光的反射性质：光的入射角等于反射角，则椭圆中心O到
切线l的距离为 .
1．（2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题）已知曲线C： （ ），从C上任意一点P向x
轴作垂线段PP'， 为垂足，则线段PP'的中点M的轨迹方程为（ ）
A． （ ） B． （ ）
C． （ ） D． （ ）2．（2023年高考全国甲卷数学真题）设 为椭圆 的两个焦点，点 在 上，若
，则 （ ）
A．1 B．2 C．4 D．5
3．（2023年高考全国甲卷数学真题）设O为坐标原点， 为椭圆 的两个焦点，点 P
在C上， ，则 （ ）
A． B． C． D．
4．（2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题）设椭圆 的离心率分别为
．若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
1．已知椭圆 ，直线 ．椭圆上是否存在一点，使得：
（1）它到直线l的距离最小？最小距离是多少？
（2）它到直线l的距离最大？最大距离是多少？
2．如图，矩形ABCD中， ， ．E，F，G，H分别是矩形四条边的中点，
R，S，T是线段OF的四等分点， ， ， 是线段CF的四等分点．证明直线ER与 、ES与 、
ET与 的交点L，M，N都在椭圆 上．3．一动圆与圆 外切，同时与圆 内切，求动圆圆心的轨迹方程，
并说明它是什么曲线?
4．如图， 轴，垂足为D，点M在DP的延长线上，且 ，当点P在圆 上运
动时，求点M的轨迹方程，并说明轨迹的形状．5．如图，圆 的半径为定长 ， 是圆 内一个定点， 是圆 上任意一点．线段 的垂直平分线
和半径 相交于点 ，当点 在圆上运动时，点 的轨迹是什么？为什么？
易错点：椭圆焦点位置考虑不周全
易错分析： 考虑椭圆焦点位置时，易错点在于未全面分析椭圆的长短轴与坐标轴的关系。若仅依据
直观判断，可能误设焦点位置，导致后续计算错误。因此，应准确判断椭圆的长轴、短轴与x、y轴的相对
位置，再确定焦点坐标，避免误判。
【易错题1】已知椭圆中心在原点，焦点在 轴上，焦距等于 ，离心率等于 ，则此椭圆的方程是
（ ）
A． B． C． D．
【易错题2】已知椭圆的长轴长为8，离心率为 ，则此椭圆的标准方程是（ ）
A． B． 或C． D． 或
答题模板：求椭圆的标准方程
1、模板解决思路
求椭圆的标准方程一般“先定型，再定量”，即先确定焦点是在 x 轴上还是在y轴上，再设出相应的
标准方程，由已知条件确定 的值.
2、模板解决步骤
第一步：根据条件判断椭圆的焦点位置，设出椭圆的方程.
第二步：根据已知条件建立方程，求出待定系数。
第三步：写出椭圆的方程.
【典型例题1】中心位于坐标原点，对称轴为坐标轴的椭圆 的上、下焦点分别为 ，右顶点为 ，若
的长轴长为 ， ，则 的标准方程为 ．
【典型例题2】已知 是椭圆 的左､右焦点， 为椭圆的上顶点， 在 轴上，
，且 .若坐标原点 到直线 的距离为3，则椭圆 的标准方程为 .
