文档内容
第 05 讲 椭圆及其性质
目录
01 模拟基础练......................................................................................................................................2
题型一：椭圆的定义与标准方程........................................................................................................2
题型二：椭圆方程的充要条件............................................................................................................4
题型三：椭圆中焦点三角形的周长与面积及其他问题....................................................................5
题型四：椭圆上两点距离的最值问题................................................................................................7
题型五：椭圆上两线段的和差最值问题............................................................................................9
题型六：离心率的值及取值范围......................................................................................................11
题型七：椭圆的简单几何性质问题..................................................................................................15
题型八：利用第一定义求解轨迹......................................................................................................19
题型九：椭圆的实际应用..................................................................................................................22
02 重难创新练....................................................................................................................................24
03 真题实战练....................................................................................................................................36题型一：椭圆的定义与标准方程
1．已知 ， 是椭圆C的两个焦点，过 且垂直于y轴的直线交C于A，B两点，且 ，
则椭圆C的标准方程为 ．
【答案】
【解析】根据题意，如图：
，由椭圆的对称性可得： ，
又 ，由勾股定理可得： ，
所以 ， ，
又 ，则 ，
椭圆标准方程为 ．
故答案为： ．
2．已知椭圆 ： 的左、右焦点分别为 ， ，过坐标原点的直线交E于P，Q两点，
且 ，且 ， ，则 的标准方程为 .【答案】
【解析】连接 ，因为 ，
所以四边形 是平行四边形，
所以 ， ，
又 ，所以四边形 为矩形，
设
则由题意得 ，解得 ，
则 ，则标准方程为 ，
故答案为： .
3．已知椭圆两个焦点的坐标分别是 ， ，并且经过点 ，则它的标准方程为 ．
【答案】
【解析】因为椭圆的焦点在x轴上，所以设它的标准方程为 ，
由椭圆的定义知 ，
所以 ．
又因为 ，所以 ，
所以椭圆的标准方程为 .
故答案为： .
题型二：椭圆方程的充要条件
4．若方程 表示椭圆，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D． 且
【答案】D
【解析】 方程 表示椭圆，
，得 ，得 且 ．
故选：D．
5．若曲线 表示椭圆，则实数k的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为曲线 表示椭圆，即 表示椭圆
则应满足 即 ．
故选：D．
6．若方程 表示焦点在x轴的椭圆，则t的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C【解析】命题等价于 ，解得 .
故选：C.
7．（2024·河南·模拟预测）若方程 表示焦点在 轴上的椭圆，则（ ）
A． B．
C． D． 或
【答案】C
【解析】方程 可化为： ，
因为方程 表示焦点在 轴上的椭圆，
所以 ，解得 .
故选：C
8．设 为实数，若方程 表示焦点在 轴上的椭圆，则实数 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】 表示焦点在 轴上的椭圆，可得 ，解得 .
故选：D
题型三：椭圆中焦点三角形的周长与面积及其他问题
9．已知 是椭圆 的两个焦点， 为椭圆 上的一点，且 ，若
的面积为9，则 的值为 ．
【答案】3
【解析】，
，①
又
②
- 得： ，
① ②
的面积为9，
，
故答案为：3.
10．设椭圆 的左右焦点为 ，椭圆上点 满足 ，则 的面积为
.
【答案】
【解析】由椭圆定义可得 ，
则有 ，即 ， ，
又 ，
由 ，故 ，
故 .
故答案为： .
11．已知 ， 分别是椭圆C： 的左、右焦点，椭圆C的离心率为 ，P是C在
第一象限上的一点.若 ，则 .【答案】 /0.5
【解析】如图，记 ， ，
因为 ，则 ， ，
由椭圆的定义可得 ，
所以 ，则 ，
又 且 ，有 或 ，
解得 或 ，又点 在第一象限，所以 ，
得 ，则 .
故答案为： .
12．已知椭圆 的焦点为 、 ， 为该椭圆上任意一点（异于长轴端点），则 的周长为
（ ）
A．10 B．13 C．14 D．16
【答案】D
【解析】由题意可知： ，
则 ，
所以 的周长为 .
故选：D.题型四：椭圆上两点距离的最值问题
13．（2024·宁夏银川·二模）已知椭圆C： 的左焦点为 ， 为椭圆C上任意一点，则
的最小值为 ．
【答案】1
【解析】由椭圆C： 知： ，故 ，
所以 ，
所以， 的最小值为 .
故答案为：
14．已知 ，点 在点 ， 所在的一个平面内运动且 ，则 的最大值是 ，最小
值是 ．
【答案】 5 1
【解析】依题意知，点 的轨迹是以 ， 为焦点的椭圆，
， ，
∴ ， ．
∴ ， ．
故答案为：5；1．
15．过椭圆 的右焦点F且与长轴垂直的弦的长为 ，过点 且斜率为 的直
线与 相交于 两点，若 恰好是 的中点，则椭圆 上一点 到 的距离的最大值为 .
【答案】 /
【解析】法一：将 代入椭圆 的方程得 ，所以 ①，
设 ， ，则 ，
两式相减得 ，
又 ， ，所以 ②，
解①②得 ，所以 ，
所以 上的点 到焦点 的距离的最大值为 .
法二：将 代入椭圆 的方程得 ，所以 ①，直线 的方程是 ，即 ，
代入椭圆的方程并消去 整理得 ，
则 ，
设 ， ，则 ，即 ②，
解①②得 ，满足 ，所以 ，
所以 上的点 到焦点 的距离的最大值为 .
故答案为： .
16．已知椭圆 的离心率为 ， 为椭圆 上的一个动点，定点 ，则 的最
大值为 ．
【答案】
【解析】由椭圆 的离心率为 ，
可得 ，解得 ，所以椭圆的方程为 ，
设 ，则 ，
因为 ，当 时，可得 取得最大值，最大值为 ，
所以 的最大值为 .
故答案为： .
题型五：椭圆上两线段的和差最值问题
17．设实数 满足 的最小值为（ ）
A． B． C． D．前三个答案都不对
【答案】A
【解析】设 ，则 在椭圆 上，
又 ，
设 ，则 为椭圆的右焦点，
如图，设椭圆的左焦点为 ，则：，
当且仅当 三点共线且 在 之间时等号成立，
而 ，故 的在最小值为 ，
故选：A.
18．（2024·甘肃定西·统考模拟预测）已知椭圆C： 的左、右焦点分别为 ， ，A是C上一
点， ，则 的最大值为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．11
【答案】A
【解析】
设椭圆的半焦距为 ，则 ， ，
如图，连接 ，则 ，
而 ，当且仅当 共线且 在 中间时等号成立，
故 的最大值为 .
故选：A.
19．已知点P为椭圆 上任意一点，点M、N分别为 和 上的点，则
的最大值为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】C【解析】设圆 和圆 的圆心分别为 ,半径分别为 .
则椭圆 的焦点为 .
又 , ， ，
故 ，
当且仅当 分别在 的延长线上时取等号.
此时 最大值为 .
故选：C.
20．已知 ， 分别为椭圆 的两个焦点，P为椭圆上一点，则 的最大值为（ ）
A．2 B． C．4 D．
【答案】B
【解析】椭圆上的点P满足 ，
当点P为 的延长线与C的交点时，
达到最大值，最大值为 ．
故选：B
题型六：离心率的值及取值范围
21．已知椭圆 的左右焦点为 ， ，以 为直径的圆与椭圆有四个交点，则椭圆
离心率的范围为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为以 为直径的圆与椭圆有四个交点，所以 ，
即 ， ， ，所以 ，即 ，
又因为 ，所以椭圆离心率的取值范围为 ．
故选：A．
22．（2024·全国·模拟预测）已知椭圆 的右焦点为 ，过坐标原点 的直线 与椭圆 交于 ， 两点．在 中， ，且满足 ，则椭圆 的离心率为
．
【答案】
【解析】设椭圆 的左焦点为 ，连接 ， ，根据对称性可知四边形 为平行四边形，
又 ，所以 ，
又 ，
又 ， ，
即 ，
，
所以 ，
所以 ，
即 ，
所以 ，解得 或 ．
又因为 ，所以 ．
故答案为：
23．（2024·高三·河北保定·开学考试）如图，设椭圆 的左焦点为 ，上顶点为 ，
右顶点为 ，且 ，则 的离心率为 .【答案】
【解析】因为 ，则 ，
所以 为直角三角形，又 ，
得 ， .
故答案为：
24．（2024·高三·福建·开学考试）已知椭圆 的右焦点F与抛物线 焦点重合，M
是椭圆与抛物线的一个公共点， ，则椭圆的离心率为 .
【答案】
【解析】设椭圆 其右焦点为 ，椭圆上一点 ，
则 ，
此公式为椭圆的焦半径公式.
因为椭圆 的右焦点F与抛物线 焦点重合，
所以 ，
设 是椭圆与抛物线的一个公共点，因为 ，
根据抛物线的定义， ，
即 ①
又由椭圆的焦半径公式有 ②
由①②解得 ，所以离心率 .
故答案为：
25．（2024·高三·河北沧州·期中）已知 为椭圆 的两个焦点， 为椭圆 上一
点，且 的周长为6，面积的最大值为 ，则椭圆 的离心率为 .
【答案】 /0.5
【解析】依题意， 的周长为 ，
所以 面积的最大值为 ，
又 ，整理得 ,即 ,
解得 ，故椭圆 的离心率为 ，
故答案为：
26．已知 为椭圆 的两个焦点， 为 上一点，若 的三边 成等差数列，则
的离心率为 ．
【答案】 /0.5
【解析】因为 成等差数列，
所以 ，
所以 ．
故答案为： ．
27．如图所示，已知椭圆 的左右焦点分别为 ，点 在 上，点 在 轴上，
，则 的离心率为 .【答案】 /
【解析】设 ，依题意， ，因点 在 轴上，则 ， ，
又因 则 ，化简得 ，在 中， ，故
,
在 中由余弦定理， ,即 ，
解得： ，即 ，则离心率为 .
故答案为： .
题型七：椭圆的简单几何性质问题
28．（多选题）连接椭圆 的三个顶点所围成的三角形面积为 ，记椭圆C的右焦
点为 ，则（ ）
A． B．椭圆 的离心率为
C．椭圆 的焦距为 D．椭圆 上存在点P，使
【答案】BD
【解析】椭圆 的左顶点为 ，右顶点为 ，上顶点为 ，下顶点为
，
因为连接椭圆的三个顶点所围成的三角形面积为 ，
若为左、右顶点与上（下）顶点时，则 ，解得 ，符合题意；若为上、下顶点与左（右）顶点时，则 ，解得 ，符合题意；
综上可得 ，故A错误；
则椭圆方程为 ，所以 ，则椭圆 的离心率 ，故B正确；
椭圆 的焦距为 ，故C错误，
因为椭圆C的右焦点为 ，所以 ，即 ，
所以在椭圆 上存在点P，使 ，故D正确.
故选：BD
29．（多选题）（2024·福建厦门·一模）设椭圆 的左、右焦点分别为 ， ，过
的直线与 交于A，B两点，若 ，且 的周长为8，则（ ）
A． B． 的离心率为
C． 可以为 D． 可以为直角
【答案】AC
【解析】由 ，如下图 周长为 ，故 ，
所以，椭圆离心率为 ，A对，B错；
当 轴，即 为通径时 ，且 ，
所以 ，故 可以为 ，C对；
由椭圆性质知：当 为椭圆上下顶点时 最大，此时 ，
且 ，故 ，即 不可能为直角，D错.
故选：AC30．（多选题）若矩形 的所有顶点都在椭圆 上，且 ， ，点
是 上与 不重合的动点，则（ ）
A． 的长轴长为4 B．存在点 ，使得
C．直线 的斜率之积恒为 D．直线 的斜率之积恒为
【答案】ABD
【解析】因为矩形 的顶点都在椭圆上，根据椭圆的对称性可得 关于原点对称， 关于原点对
称，
由 ， ，可得 ，即椭圆焦点在 轴上，
如图所示，又 ， ，易得 ， ， ， .
对于A，将点 代入椭圆方程可得 ，解得 ，椭圆的方程为 ，所以椭圆的长
轴长为4，故A正确；
对于B，设点P(x,y)，且 ， ，则 ， ，所以
，又 ，
即当 时， ，故B正确；
对于C，当点 是左顶点时， ，则 ， ，
所以 ，故C错误；
对于D，设点P(x,y)，且 ， ，
则 ， ，
所以 ，故D正确.
故选：ABD.31．（多选题）（2024·湖北·模拟预测）已知 是椭圆 的两个焦点，点P在椭圆E上，则
（ ）
A．点 在x轴上 B．椭圆E的长轴长为4
C．椭圆E的离心率为 D．使得 为直角三角形的点P恰有6个
【答案】BC
【解析】由题意 的长半轴长 ，短半轴长 ，焦半距 ，
椭圆 的焦点在y轴上，A错误；
椭圆E的长轴长为 ，B正确；
椭圆E的离心率为 ，C正确；
椭圆的右顶点 ，焦点 ，
所以 ，
则 ，即 为锐角，
故根据椭圆的对称性可知，使得 为直角三角形的点P恰有4个（以 或 为直角），D错误．
故选：BC．
32．（多选题）（2024·高三·河南·期中）已知F，F 分别是椭圆 的左、右焦点，且
1 2
，直线 与椭圆的另一个交点为B，且 ，则下列结论中正确的是（ ）
A．椭圆的长轴长是短轴长的 倍 B．线段 的长度为C．椭圆的离心率为 D． 的周长为
【答案】BC
【解析】
由 ，可设 ，又 ，
可得 ，解得 ，即 ，
将 的坐标代入椭圆方程，可得 ，
化为 ，即 ，故A错误；
，故B正确;
椭圆的离心率 ，故C正确;
的周长为 ，故D错误.
故选：BC.
33．（多选题）（2024·全国·二模）已知圆O： 经过椭圆C： （ ）的两个焦
点 ， ，且P为圆O与椭圆C在第一象限内的公共点，且 的面积为1，则下列结论正确的是
（ ）
A．椭圆C的长轴长为2 B．椭圆C的短轴长为2
C．椭圆C的离心率为 D．点P的坐标为
【答案】BD【解析】因为圆O： 经过椭圆C： （ ）的两个焦点 ， ，
所以 ，
又P为圆O与椭圆C在第一象限内的公共点，
则 ，故 ，代入圆方程可得 ，所以 ，故点P
的坐标为 ，故D正确；
将点P的坐标 代入椭圆方程可得 ，又 ，解得 ，
故椭圆C的长轴长为 ，短轴长为 ，故A不正确，B正确；
则椭圆C的离心率为 ，故C不正确.
故选：BD.
题型八：利用第一定义求解轨迹
34．（2024·安徽·二模）已知定点 ， ， ，以 为一个焦点作过 ， 两点的椭圆，
则椭圆的另一个焦点 的轨迹方程是 ．
【答案】
【解析】 在以 为焦点的椭圆上，
，
，
则可得 的轨迹为以 为焦点的双曲线的下支，
设双曲线方程为 ，
则可得 ，即 ， ， ，
则焦点 的轨迹方程是 .
故答案为： .
35． 已知 ， 是圆 上一动点，线段 的垂直平分线交 于点 ，则动点 的轨迹方程为 .
【答案】
【解析】由题意，可知圆 的标准方程为 ，圆心为 ，半径为6．
∵线段 的垂直平分线交 于点 ，如图，
∴ ，
∴ ，
∴点 的轨迹是以 ， 为焦点的椭圆，
∴ ， ， ，
∴其轨迹方程为 ．
故答案为： ．
36．（2024·高三·广东揭阳·期中）设 ， 两点的坐标分别为 ， ，直线 、 相交于点 ，
且它们的斜率之积是 ，则点 的轨迹方程是 .
【答案】
【解析】设点 的坐标为 ，点 的坐标是 ，
所以直线 的斜率 .
同理，直线 的斜率 .
由已知，有 ，化简，得点 的轨迹方程为 .
所以点 的轨迹是除去 ， 两点的椭圆.
故答案为：37．若 的两个顶点 ， ，周长为 ，则第三个顶点 的轨迹方程是 ．
【答案】
【解析】因为 的两个顶点 ， ，所以 ，
因为三角形周长为 ，即 ，
所以 ，
由椭圆的定义：动点 到定点 ， 两点的距离之和等于定值 ，且距离之和大于两定点间的
距离，
所以点 的轨迹是以 ， 为焦点， 的椭圆，
所以 ， ， ，
可得椭圆的方程为： ，
又因为 三点不共线，所以点 不能在 轴上，
所以顶点 的轨迹方程是： ，
故答案为：
38．圆 与 的位置关系为 ；与圆 ， 都内切的动圆圆心的
轨迹方程为 ．
【答案】 内含
【解析】依题意，圆心 ，半径 ，圆心 ，半径 ，
所以 ，则两圆内含；
设动圆的圆心 ，半径为 ，则 ，
，依椭圆的定义知， 的轨迹为椭圆，其中 ，
又 ，
所以 的轨迹方程为 .
故答案为：内含； .
题型九：椭圆的实际应用
39．（2024·重庆·三模）如图所示，“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点
变轨进入以月球球心 为一个焦点的椭圆轨道I绕月飞行，之后卫星在 点第二次变轨进入仍以 为一个
焦点的椭圆轨道II绕月飞行，最终卫星在 点第三次变轨进入以 为圆心的圆形轨道III绕月飞行，若用
和 分别表示椭圆轨道I和II的焦距，用 和 分别表示椭圆轨道I和II的长轴的长，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】如图可知， ， ， ，A不正确；
， ， ；B不正确；
由 ， 可知 ，C不正确；
，可得 ，故 ，
即 ， ， ，即 ，D正确，
故选:D.
40． 2022年神舟接力腾飞，中国空间站全面建成，我们的“太空之家”遨游苍穹．太空中飞船与空间站
的对接，需要经过多次变轨．某飞船升空后的初始运行轨道是以地球的中心为一个焦点的椭圆，其远地点
（长轴端点中离地面最远的点）到地面的距离为 ，近地点（长轴端点中离地面最近的点）到地面的距离为 ，地球的半径为R，则该椭圆的短轴长为 （用 ， ，R表示）．
【答案】
【解析】设椭圆的长半轴长为a，短半轴长为b，半焦距为c，
由题意可知 ， ，
所以 ．
所以 ，所以 ．
故答案为： .
41．如图所示，为完成一项探月工程，某月球探测器飞行到月球附近时，首先在以月球球心F为圆心的圆
形轨道Ⅰ上绕月球飞行，然后在P点处变轨进入以F为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月球飞行，最后在Q点处
变轨进入以F为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月球飞行，设圆形轨道Ⅰ的半径为R，圆形轨道Ⅲ的半径为r，则椭圆
轨道Ⅱ的离心率为 .（用R、r表示）
【答案】
【解析】由F为椭圆轨道Ⅱ的焦点，若 分别为长轴长、焦距，则 ，故 ，
所以椭圆轨道Ⅱ的离心率为 .
故答案为：1．（2024·广东·一模）已知点F，A分别是椭圆 的左焦点、右顶点， 满足
，则椭圆的离心率等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
， ，
，即 ，
整理得 ，即 ，
等号两边同时除以 得 ，即 ，求得 ，
， ，
故选：B.
2．（2024·辽宁·模拟预测）已知焦点在 轴上的椭圆 的短轴长为2，则其离心率为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由椭圆 的短轴长为2，知 ， ，即 ， ，
因此 ，又椭圆的离心率 ，
故选：A.
3．（2024·河南周口·模拟预测）已知椭圆 的一个焦点为F，点P，Q是C上关于原点对称的
两点．则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由对称性和椭圆定义可知 ，其中 ，
故 ，
不妨设 ， ， ，
则 ，
故当 时， 取得最小值，最小值为4，
当 时， 取得最大值，最大值为64，
故 ，
故当 时， 取得最小值，最小值为51，
当 时， 取得最大值，最大值为 ，
故 的取值范围是 .
故选：C
4．（2024·湖北武汉·模拟预测）设椭圆 的左右焦点为 ，右顶点为 ，已知点
在椭圆 上，若 ，则椭圆 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
x2 y2
【解析】由椭圆E: + =1(a>b>0)，可得 ，
a2 b2
不妨设点 在第一象限，由椭圆的定义知 ，
因为 ，可得 ，即 ，
可得 ，所以 ，所以 的面积为 ，可得 ，解得 ，
又因为 ，可得 ，即 ，
将点 代入椭圆的方程，可得 ，整理得 ，
因为 ，可得 ，即 ，
解得 和 （舍去），即椭圆 的离心率为 .
故选：D.
5．（2024·浙江·模拟预测）已知 ， 分别为椭圆C： 的左右焦点，过 的一条直
线与C交于A，B两点，且 ， ，则椭圆长轴长的最小值是（ ）
A． B． C．6 D．
【答案】B
【解析】设 ，则 ， ， ，
由 ，可得 ，则 ，有 ，
所以 ，
当且仅当 ，即 时取等号．
则椭圆长轴长的最小值是 .
故选：B．6．（2024·陕西咸阳·模拟预测）设 ， 分别是椭圆 的左、右焦点，过 的直线
交椭圆于 ， 两点，且 ， ，则椭圆 的离心率为（ ）.
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为 ，不妨令 ，
由过 的直线交椭圆于 ， 两点，由椭圆的定义可得， ，|BF |+|BF |=2a，
1 2
则 ， ，
又因为 ，所以 ，则 和 都是直角三角形，
由勾股定理可得， ，
即 ，解得 ，
所以 ， ，
又 ， ，
所以 ，解得 ，
所以椭圆 的离心率为 .
故选：B.
7．（2024·江西新余·模拟预测）已知焦点在 轴上的椭圆 的左右焦点分别为 ，经过 的直线 与
交于 两点，若 ， ， ，则 的方程为：（ ）.
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为 ，可知 ，则 ， ，
可得 ， ，即 ， ，则 ，
由椭圆定义可得 ，即 ，
且 ，则 ，
即 ，可得 ， ，
所以椭圆 的方程为 .
故选：A.
8．（2024·内蒙古包头·三模）设O为坐标原点， ， 为椭圆C： 的左，右两个焦点，点R在
C上，点 是线段 上靠近点 的三等分点，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设 ，由题意可得 ，则 ，
则 ， ，
由 ，则 ，
由 在 上，则有 ，即 ，
即有 ，整理得 ，
即 ，故 或 ，
由 可知 ， 不符，故舍去，即有 ，则 .
故选：C.
9．（2024·全国·模拟预测）已知椭圆 过点 ，其右顶点 ，上顶点
．那么以下说法正确的是（ ）
A．设 是半焦距 到 的其中一个焦点的距离，那么必然有
B． 到直线 的距离 不是定值
C． 和 没有交点
D．三角形 面积的取值范围是
【答案】C
【解析】因为椭圆 过点 ，
所以 ，不妨设 ， ，那么 ， ，
A注意到当 的时候 ，但是 ，从而A错误
B直线 是 ，计算 ，B错误．
C ，从而有 ，同理 ．
显然曲线 在直线 所围成的矩形内，
椭圆 在直线 所围成的矩形内，
由 ，显然椭圆和 没有交点．C正确·D因为 ，所以 ，从而 ，D错误
故选：C
10．（多选题）（2024·四川·一模）已知椭圆 的左顶点为 ，左、右焦点分别为 ，过点
的直线与椭圆相交于 两点，则（ ）
A．
B．
C．当 不共线时， 的周长为
D．设点 到直线 的距离为 ，则
【答案】BCD
【解析】
对于A，由题意知： ， ， ， ，A错误；
对于B， 为椭圆 的焦点弦， ，B正确；
对于C， ，
的周长为 ，C正确；
对于D，作 垂直于直线 ，垂足为 ，
设P(x ,y )，则 ，
0 0
， ，
， ，D正确.
故选：BCD.
11．（多选题）（2024·河南·模拟预测）已知椭圆 的上顶点为 ，右顶点为
A，左、右焦点分别为 ， ．若P为C上与点A，B不重合的动点，直线PA与y轴交于点
M，直线PB与x轴交于点N，则（ ）A．C的方程为 B． 面积的最大值为2
C．坐标原点O到直线AB的距离为 D．
【答案】BCD
【解析】
A项，由椭圆上顶点为 得， ，
由 知 ，由对称性可得 ，
所以 ，即 ，则 ，
椭圆方程为 ，故A错误；
B项，由A项可知， 为定值，
故当点 到 距离最大时， 面积最大，
即当 为短轴端点时取最大值，最大值为 ，故B正确；
C项，在 中， ，
设 为斜边 上的高，由 ，
可得点 到直线 的距离为 ，故C正确；
D项，设 ，由 ，
所以直线 方程为 ，令 ，可得 ，
直线 方程为 ，令 ， .
由点 在椭圆上，则 ， ，则
，故D正确.
故选：BCD.
12．（多选题）（2024·江西·模拟预测）已知 ， ， ，动点 满足 与 的斜率之
积为 ，动点 的轨迹记为 ，过点 的直线交 于 ， 两点，且 ， 的中点为 ，则（ ）
A． 的轨迹方程为
B． 的最小值为1
C．若 为坐标原点，则 面积的最大值为
D．若线段 的垂直平分线交 轴于点 ，则 点的横坐标是 点的横坐标的 倍
【答案】BCD
【解析】对于选项A，设M(x,y)，因为A(−2,0)， ，所以 ，化简得
，故A错误；
对于选项B，因为 ，则 ， ，则 ，
所以 为椭圆的右焦点，则 ，故B正确；
对于选项C，设 的方程 ，代入椭圆方程，得 ，
设 ，则 ， ，
所以 ，令 ，则 ，
令 ，则 ， 在 为增函数，
， ，
所以 ，当且仅当 时即 等号成立，故C正确；
对于选项D，因为 ， ， ，
所以 ，则 ，
设 ，则 ，则 ，
所以 ，则 点的横坐标是 点的横坐标的 倍，故D正确.
故选：BCD.
13．（2024·广东佛山·模拟预测）定义离心率 的椭圆为“西瓜椭圆”.已知椭圆
是“西瓜椭圆”，则 .若“西瓜椭圆” 的右焦点为
，直线 与椭圆 交于 两点，以线段 为直径的圆过点 ，则 ．
【答案】 36
【解析】 椭圆 是"西瓜椭圆"，离心率 ，
解得 .
设 ，
联立 消去 并整理得
，
，即 ，
，
，易知 ，
以线段AB为直经的圆经过点 ，
， ，
， ，又 ，
代入上式并化简得 ，解得 .
故答案为：36，
14．（2024·山东济南·三模）已知 是椭圆 的左，右焦点，点 为椭圆上一点，
为坐标原点， 为正三角形，则该椭圆的离心率为 .
【答案】
【解析】依题意 ，
不妨设点 在第一象限，则点 ，
易知 ，
由椭圆的定义知： ，
所以 ，所以 .
故答案为：
15．（2024·山东·二模）已知椭圆 的焦点分别是 ， ，点 在椭圆上，如果 ，
那么点 到 轴的距离是 .
【答案】
【解析】由椭圆方程得， ， ，设 ，
则： ， ；
由 得： （1）；
又点 在椭圆上，可得 （2）；
（1）（2）联立消去 得， ；即 ；
故点 到 轴的距离是 ．
故答案为： ．
16．（2024·浙江杭州·模拟预测）椭圆 ： （ ）的左、右焦点分别为 ， ，过 且
斜率为 的直线与椭圆交于 ， 两点（ 在 左侧），若 ，则 的离心率为
.
【答案】 /0.4
【解析】设椭圆 的半焦距为c，取 中点 ，连接 ，则 ，
由 ，得 ，于是 ，则 ， ，
由直线 的斜率为 ，得 ，即 ，
而 ，解得 ，即 ，，于是 ，解得 ，
所以 的离心率为 .
故答案为：
1．（2022年高考全国甲卷数学真题）已知椭圆 的离心率为 ， 分别为C的
左、右顶点，B为C的上顶点．若 ，则C的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为离心率 ，解得 ， ，
分别为C的左右顶点，则 ，
B为上顶点，所以 .
所以 ，因为
所以 ，将 代入，解得 ，
故椭圆的方程为 .
故选：B.2．（2022年高考全国甲卷数学真题）椭圆 的左顶点为A，点P，Q均在C上，且
关于y轴对称．若直线 的斜率之积为 ，则C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】[方法一]：设而不求
设 ，则
则由 得： ，
由 ，得 ，
所以 ，即 ，
所以椭圆 的离心率 ，故选A.
[方法二]：第三定义
设右端点为B，连接PB，由椭圆的对称性知：
故 ，
由椭圆第三定义得： ，
故
所以椭圆 的离心率 ，故选A.
3．（2021年全国高考乙卷数学试题）设 是椭圆 的上顶点，若 上的任意一点
都满足 ，则 的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设 ，由 ，因为 ， ，所以，
因为 ，当 ，即 时， ，即 ，符合题意，由 可得
，即 ；
当 ，即 时， ，即 ，化简得， ，显然该
不等式不成立．
故选：C．
4．（2021年全国新高考I卷数学试题）已知 ， 是椭圆 ： 的两个焦点，点 在 上，则
的最大值为（ ）
A．13 B．12 C．9 D．6
【答案】C
【解析】由题， ，则 ，
所以 （当且仅当 时，等号成立）．
故选：C．
5．（2022年新高考全国I卷数学真题）已知椭圆 ，C的上顶点为A，两个焦点为
， ，离心率为 ．过 且垂直于 的直线与C交于D，E两点， ，则 的周长是
．
【答案】13
【解析】∵椭圆的离心率为 ，∴ ，∴ ，∴椭圆的方程为
，不妨设左焦点为 ，右焦点为 ，如图所示，∵
，∴ ，∴ 为正三角形，∵过 且垂直于 的直线与C交于
D，E两点， 为线段 的垂直平分线，∴直线 的斜率为 ，斜率倒数为 ， 直线 的方程：
，代入椭圆方程 ，整理化简得到： ，
判别式 ，∴ ，
∴ ， 得 ，
∵ 为线段 的垂直平分线，根据对称性， ，∴ 的周长等于 的周长，
利用椭圆的定义得到 周长为
.
故答案为：13.
6．（2021年浙江省高考数学试题）已知椭圆 ，焦点 ， ，若过
的直线和圆 相切，与椭圆在第一象限交于点P，且 轴，则该直线的斜率是
，椭圆的离心率是 .
【答案】
【解析】
如图所示：不妨假设 ，设切点为 ，，
所以 , 由 ，所以 ， ，
于是 ，即 ，所以 ．
故答案为： ； ．
7．（2024年北京高考数学真题）已知椭圆 ： ，以椭圆 的焦点和短轴端点为顶点
的四边形是边长为2的正方形.过点 且斜率存在的直线与椭圆 交于不同的两点 ，过点
和 的直线 与椭圆 的另一个交点为 ．
(1)求椭圆 的方程及离心率；
(2)若直线BD的斜率为0，求t的值．
【解析】（1）由题意 ，从而 ，
所以椭圆方程为 ，离心率为 ；
（2）直线 斜率不为0，否则直线 与椭圆无交点，矛盾，
从而设 ， ，
联立 ，化简并整理得 ，
由题意 ，即 应满足 ，
所以 ，
若直线 斜率为0，由椭圆的对称性可设 ，
所以 ，在直线 方程中令 ，得 ，
所以 ，
此时 应满足 ，即 应满足 或 ，
综上所述， 满足题意，此时 或 .
8．（2024年高考全国甲卷数学真题）已知椭圆 的右焦点为 ，点 在 上，
且 轴．
(1)求 的方程；
(2)过点 的直线交 于 两点， 为线段 的中点，直线 交直线 于点 ，证明：
轴．
【解析】（1）设F(c,0)，由题设有 且 ，故 ，故 ，故 ，
故椭圆方程为 .
（2）直线 的斜率必定存在，设 ，A(x ,y )，B(x ,y )，
1 1 2 2
由 可得 ，
故 ，故 ，
又 ，
而 ，故直线 ，故 ，
所以，
故 ，即 轴.
9．（2024年天津高考数学真题）已知椭圆 椭圆的离心率 ．左顶点为 ，下顶点
为 是线段 的中点，其中 ．
(1)求椭圆方程．
(2)过点 的动直线与椭圆有两个交点 ．在 轴上是否存在点 使得 ．若存在求出这
个 点纵坐标的取值范围，若不存在请说明理由．
【解析】（1）因为椭圆的离心率为 ，故 ， ，其中 为半焦距，
所以 ，故 ，
故 ，所以 ， ，故椭圆方程为： .
（2）
若过点 的动直线的斜率存在，则可设该直线方程为： ，
设 ，
由 可得 ，
故 且而 ，
故
，
因为 恒成立，故 ，解得 .
若过点 的动直线的斜率不存在，则 或 ，
此时需 ，两者结合可得 .
综上，存在 ，使得 恒成立.
10．（2023年天津高考数学真题）已知椭圆 的左右顶点分别为 ，右焦点为 ，
已知 ．
(1)求椭圆的方程和离心率；
(2)点 在椭圆上（异于椭圆的顶点），直线 交 轴于点 ，若三角形 的面积是三角形 面积
的二倍，求直线 的方程．
【解析】（1）如图，由题意得 ，解得 ，所以 ，
所以椭圆的方程为 ，离心率为 .
（2）由题意得，直线 斜率存在，由椭圆的方程为 可得 ，
设直线 的方程为 ，
联立方程组 ，消去 整理得： ，
由韦达定理得 ，所以 ，
所以 ， .
所以 , , ，
所以 ，
所以 ，即 ，
解得 ，所以直线 的方程为 .
11．（2022年新高考天津数学高考真题）椭圆 的右焦点为F，右顶点A和上顶点为B
满足 ．
(1)求椭圆的离心率 ；
(2)直线l与椭圆有唯一公共点M，与y轴相交于点N（N异于M）．记O为原点，若 ，且的面积为 ，求椭圆的方程．
【解析】（1） ，
离心率为 .
（2）由（1）可知椭圆的方程为 ，
易知直线 的斜率存在，设直线 的方程为 ，
联立 得 ，
由 ，①
， ，
由 可得 ，②
由 可得 ，③
联立①②③可得 ， ， ，故椭圆的标准方程为 ．
