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9.2 椭圆（精练）（提升版）
题组一 椭圆定义及应用
1．（2022高三下·广东月考）设P为椭圆 上一点， 分别是C的左，右焦点．若
，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】椭圆 的长半轴长为3，
由椭圆的定义可知 ，
由 ，可得 ．故答案为：C
2．（2021·新高考Ⅰ）已知F,F 是椭圆C： 的两个焦点，点M在C 上，则|MF |·|MF |的
1 2 1 2
最大值为（ ）
A．13 B．12 C．9 D．6
【答案】C
【解析】由椭圆的定义可知a2=9,b2=4,|MF |+|MF |=2a=6，
1 2
则由基本不等式可得|MF ||MF |≤ ，
1 2
当且仅当|MF |=|MF |=3时，等号成立.故答案为：C
1 23．（2022·东北三省模拟）已知椭圆C： 上的动点P到右焦点距离的最小值为
，则 （ ）
A．1 B． C． D．
【答案】A
【解析】根据椭圆的性质，椭圆上的点到右焦点距离最小值为 ，
即 ，又 ，所以，由 ，所以 ；故答案为：A
4．（2022·柳州模拟）已知A（3，1），B（－3，0），P是椭圆 上的一点，则
的最大值为 ．
【答案】9
【解析】根据题意可得： a=4，b= ，c=3，
则点B为椭圆的左焦点，取椭圆的右焦点F(3，0)，
∴|PB|+|PF|=8，即|PB| =8-|PF|，
∵ ，即点A在椭圆内，
|PA|+ |PB|= |PA|-|PF|+8<|AF|+8=9，
当且仅当点P在AF的延长线上时，等号成立.
故答案为： 9
5．（2022·合肥模拟）已知 的内角 ． ， 的对边分别为 ， ， ，若
， ，则 面积的取值范围为 ．
【答案】【解析】 ， ，
由余弦定理得 ，所以 ，
即 ，又 ，
所以 在以 为焦点，长轴长为6的椭圆上（不在直线 上），如图以 为 轴，线段 中
垂线为 轴建立平面直角坐标系，设椭圆方程为 ，则 ，所以
，
当 是椭圆短轴顶点时， 到 的距离最大为 ，
所以 的最大值为 ，可无限接近于0，无最小值，
的取值范围是 ，
故答案为： ．6．（2022·佛山模拟）若椭圆 的焦点在y轴上，则实数k的取值范围是 .
【答案】（1，2）
【解析】因为椭圆 的焦点在y轴上，
所以 ，解得 ，即实数k的取值范围为（1，2）.
故答案为：（1，2）
7．（2022·郑州模拟）已知椭圆 的左、右焦点分别为F，F，O为坐标原点，椭圆上一点P
1 2
满足|OP|＝3，则△FPF 的面积为 ．
1 2
【答案】7
【解析】由题意得： ，解得： ，所以 ，设出 ，则 ，
解得： ，故 故答案为：7
8．（2022·贵州模拟）设P为椭圆 和双曲线 的一个公共点，且P在第一
象限，F是M的左焦点，则M的离心率为 ， .
【答案】 ；
【解析】M的离心率 ，
设M的右焦点为 ，因为 ，且M与N的焦点都在x轴上，所以椭圆M与双曲线N的焦点相同，
所以 ， ，解得 .
故答案为： ； .
9．（2022·株洲模拟）已知 、 是椭圆 的两个焦点，M为椭圆上一点，若 为直
角三角形，则 ．
【答案】
【解析】在椭圆 中， ， ， ，则 .
（1）若 为直角，则 ，该方程组无解，不合乎题意；
（2）若 为直角，则 ，解得 ，
；
（3）若 为直角，同理可求得 .
综上所述， .故答案为： .
10．（2022·奉贤模拟）已知曲线 的焦距是10，曲线上的点 到一个焦点的距离是2，则点
到另一个焦点的距离为 .【答案】 或10
【解析】由题意，曲线的半焦距为5，若曲线是焦点在x轴上的椭圆，则a>16，所以
，而椭圆上的点 到一个焦点距离是2，则点 到另一个焦点的距离为
；
若曲线是焦点在y轴上的椭圆，则02，不合题意，所以点P到上焦点的距离为2，则它到下焦点的距离
.故答案为： 或10.
11．（2021·岳阳模拟）椭圆 的左、右焦点分别为 ，点P在椭圆上，如果
的中点在y轴上，那么 是 的 倍
【答案】5
【解析】由题得 ，
由题得 轴，当 时， ，所以 ,
所以 ,所以 是 的5倍.故答案为：5
12．（2022·新高考Ⅰ卷）已知椭圆C： C的上顶点为A，两个焦点为离心率为 ，过 且垂直于 的直线与C交于D，E两点， 则△ADE的周长是
．
【答案】13
题组二 椭圆的标准方程
【解析】椭圆离心率为 ，则a=2c， ，可设C： ，
则|AF |=|AF|=|FF|=2c，
1 2 1 2
则△AF F 为正三角形，则直线DE的斜率 ，
1 2
由等腰三角形性质可得，|AE|=|EF |， |AD|=|DF |， 由
2 2
椭圆性质得△ADE的周长=|DE|+|DF |+|EF|=4a，
2 2
设D（x，y），E（x，y），直线DE为 ，
1 1 2 2
与椭圆方程联立，得13x2+8cx-32c2=0，
则 ，
则 ，
解得 ，
即△ADE的周长=4a=13
故答案为：131．（2022·安徽合肥）已知椭圆 的右焦点为F，椭圆上的两点P､Q关于原点对称，
若 6，且椭圆C的离心率为 ，则椭圆C的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由椭圆的定义及椭圆的对称性可得 由椭圆C的离心率为 得
，所以 故选：A
2．（2021·四川自贡·高三（文））古希腊数学家阿基米德用“逼近法”得到椭圆面积的4倍除以圆周率
等于椭圆的长轴长与短轴长的积．已知椭圆C的中心在原点，焦点F，F在y轴上，其面积为8 π，过
1 2
点F的直线l与椭圆C交于点A，B且△FAB的周长为32，则椭圆C的方程为（ ）
1 2
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】∵焦点F，F在y轴上，
1 2
∴可设椭圆标准方程为 ，
由题意可得 ，
∴ ，即 ，
∵△FAB的周长为32，
2
∴4a＝32，则a＝8，∴ ，
故椭圆方程为 ．
故选：B．3．（2022云南）阿基米德不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面
积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.若椭圆 的焦点在 轴上，且椭圆 的离心率为 ，
面积为 ，则椭圆 的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设椭圆 的标准方程为 ( )，焦距为 ，
则： 解得
故选：D
4．（2022海南）已知椭圆 的两个焦点分别为 ， ，过 的直线与 交于 ， 两点．若
， ，则椭圆 的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】 ，所以可得 ，
又因为 ，
所以可得 ，即 为短轴的顶点，
设 为短轴的上顶点 ， ， ，
所以 ，
所以直线 的方程为： ，由题意设椭圆的方程为： ，则 ，
联立 ，整理可得： ，
即 ，可得 ，
代入直线的方程可得 ，
所以 ，
因为 ，
所以 ，整理可得： ，
解得： ，可得 ，
所以椭圆的方程为： ，
故选：D．
5．（2021·山西太原五中高三（文））已知两定点 、 和一动点 ，若 是 与
的等差中项，则动点 的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】 、 ， ，
是 与 的等差中项，则 ，即 ，
点 在以 、 为焦点的椭圆上，， ， ， ，因此，椭圆的方程是 .
故选：B.
6．（2022·陕西模拟）已知椭圆 的离心率是 ，若以 为圆心且与
椭圆 有公共点的圆的最大半径为 ，此时椭圆 的方程是 ．
【答案】
【解析】由已知 ，所以 ，则 ，
设椭圆上的任一点 的坐标为 ，
则
，
若 ，则当 时， ，由 得 ，满足题意，
此时 ，椭圆方程为 ，
若 ，则 时， ，则 ，即 ，
但 时， ， 无解．
综上，椭圆方程为 ．
故答案为： ．题组三 椭圆的离心率
1．（2021·芜湖模拟）已知方程 表示椭圆，且该椭圆两焦点间的距离为4，则离心
率 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为方程 表示椭圆，所以 ， ，所以
，所以 ，因为焦距为 ，所以 ，
解得 ，所以 ， 所以 故答案为：B
2．（2022·安徽模拟）一个底面半径为1，高为3的圆柱形容器内装有体积为 的液体，当容器倾斜
且其中液体体积不变时，液面与容器壁的截口曲线是椭圆，则该椭圆离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】当液面倾斜至如图所示位置时，
设 ， .因为圆柱底面积为 ，故液体体积为
，解得 ，即 ，
，故 ，所以 ， ，
即 ，所以离心率 ，即椭圆离心率的取值范围是 .
故答案为：
3．（2022·枣庄模拟）已知点 分别为椭圆 的左、右焦点，点P为直线
上一个动点．若 的最大值为 ，则椭圆C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】根据对称性，不妨设点 在第一象限且坐标为 ，如图，
记直线 与 轴的交点为 ，设 ，则 ，由于 ，故 ，
所以， ，
所以 ，
因为 ， ，当且仅当 时等号成立，即
时等号成立，
所以 ，
整理得 ，
所以 ，解得 ，
所以 ，即椭圆C的离心率为 .
故答案为：D
4（2022·柯桥模拟）已知椭圆 ，则该椭圆的离心率 （ ）
A． B． C． D．【答案】C
【解析】因为椭圆 的方程为 ，即 ，
故 ，又 ，故 .
故答案为：C.
5．（2023高三上·江汉开学考）已知椭圆 ： 的两个焦点为 ， ，过 的直
线与 交于A，B两点.若 ， ，则 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设 ，则 ， .
由椭圆的定义可知 ，所以 ，所以 ， .
在△ABF 中， .
1
所以在△AF F 中， ，
1 2
即 整理可得： ，
所以
故答案为：C6．（2022·岳阳模拟）已知椭圆 及圆O： ，如图，过点 与
椭圆相切的直线l交圆O于点A，若 ，则椭圆离心率的为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意得 是等边三角形，则直线 的倾斜角为 ，其斜率为 ，故直线 的方程为
，代入椭圆方程整理得 ，其判别式
，化简可得 ，则 ，又
，所以 ，
故答案为：A.7．（2022·湖南模拟）中心在坐标原点O的椭圆的上顶点为A，左顶点为B，左焦点为F．已知
，记该椭圆的离心率为e，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】根据角平分线定理 ，
结合 及离心率 有 ，
化简得 ．
设
又 ，
，
当 时， 恒成立，故 在 上单调递减，
所以 。
故答案为：C.
8（2022·毕节模拟）已知 ， 是椭圆 的左、右焦点， 是椭圆 的左顶点，
点 在过 且斜率为 的直线上， 为等腰三角形， ，则椭圆 的离心率为
（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题知 ，所以直线 的方程为 ，
因为 ，所以直线 的倾斜角为 ，
所以直线 的方程为 ．
联立 ，解得 ， ．
因为 为等腰三角形， ，
所以 ，即 ，
整理得： ．
所以椭圆 的离心率为 ．
故答案为：D.
9．（2022·安徽模拟）已知椭圆 ）的左､右焦点分别为 和
为C上一点，且 的内心为 ，则椭圆C的离心率为（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【解析】连接 ，延长 交 轴于 ，则
，又 ， ，
所以 ，
故 ，即 ，
又 ，
所以 ，即 .
故答案为：D.10．（2022·辽宁模拟）已知 分别为椭圆 的左，右焦点，直线
与椭圆C的一个交点为M，若 ，则椭圆的离心率为 ．
【答案】
【解析】由题可知， 为直角三角形， ，直线 过原点 ， ，故
，
又 ，则 ，
在 中， ，即 ，
又 ，解得： 或 （舍去）.
故答案为： .
11．（2022·海宁模拟）如图，点F为椭圆 的左焦点，直线 分别与椭圆
C交于A，B两点，且满足 ，O为坐标原点，若 ，则椭圆C的离心
率 ．【答案】
【解析】由题知：
令
连接 ，
所以 ，
且 ，
从而 ．故答案为： ．
题组四 直线与椭圆的位置关系
1．（2022·四川成都）已知椭圆 ，过定点 的直线l与椭圆交于不同的两点A、B，O为坐
标原点，若 为锐角，则直线l的斜率k的取值范围为（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由题意设直线l的方程为 ， 、 ，
联立方程 得 ，则
∴ ， ，
∵ 为锐角，则 ，即 ，
，
解得 ，又∵ ，∴ ．
故选：C2．（2022·全国·专题练习）直线 与椭圆 相交 两点，点 是椭圆上的动点，则
面积的最大值为（ ）
A．2 B． C． D．3
【答案】B
【解析】由题意联立方程组 ，解得 或 ，
因为 两点在椭圆上关于原点对称，不妨取 ，
则 ,
设过点C与AB平行的直线为 ，则 与AB的距离即为点C到AB的距离，也就是 的
边AB上的高，
当 与椭圆相切时， 的边AB上的高最大， 面积也最大，
联立 ，得： ，
令判别式 ，解得 ，
此时 与 间的距离也即是 的边AB上的高为 ，
所以 的最大面积为 ，
故选：B.
3．（2022·江苏省）椭圆 上的点P到直线x+ 2y- 9= 0的最短距离为（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设与已知直线平行，与椭圆相切的直线为 ，则
所以
所以椭圆上点P到直线 的最短距离为
故选：A
4．（2022·全国·高三专题练习）直线 和曲线 的位置关系为_____.
【答案】相交
【解析】曲线 为： 可得
直线 恒过 ，由 知定点 在椭圆内部，
所以直线 与椭圆 的位置关系为相交.
故答案为：相交.
5．（2022·全国·专题练习）不论 为何值，直线 与椭圆 有公共点，则实数 的范围是
__.
【答案】
【解析】方法一： 把直线 代入椭圆 1，
化为 ．其中 ．(注意这个坑)，直线 与椭圆 1有公共点，
恒成立，
化简为 ．上式对于任意实数 都成立， ，解得 ．
实数 的范围是 ．
方法二：因为直线 恒过定点
所以代入 得 即
因为 是椭圆，所以
故 的取值范围是 ．
故答案为： ．
6．（2022·全国·高二专题练习）椭圆 上的点到直线 的距离的最大值为______.
【答案】
【解析】设与直线 平行的直线 与椭圆 相切，
由 得 ，
由 得， ，解得
设直线 与直线 的距离为 ，
当 时，直线为 ，则 ，当 时，直线为 ，则 ，
因为 ，
所以椭圆 1上的点到直线 的距离的最大值为 .
故答案为：
7．（2022·全国·单元测试）直线 与椭圆 相交于A、B两点，椭圆上的点P使△PAB的面
积等于12，这样的点P共有______个.
【答案】2
【解析】
易知直线 过点 ，则 即为直线与椭圆交点，不妨设 ，
，
设 到直线 的距离为 ，则 ，解得 ，作与直线 平行且与椭圆相切的直线 ，设
，联立椭圆方程 化简得 ，由 解得 ，则 或
，
又因为 与 距离为 ， 与 距离为
，
故这样的点P共有2个.
故答案为：2.
8．（2022·云南）椭圆 的中心在坐标原点 ，焦点在 轴上，椭圆 经过点 且长轴长为 .
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)过点 且斜率为1的直线 与椭圆 交于 ， 两点，求弦长 .
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）
由题意设椭圆的方程为 ，
因为椭圆 经过点 且长轴长为 ，
所以 ，
所以椭圆方程为 ，（2）
因为直线 过点 且斜率为1，
所以直线 的方程为 ，
设 ，
将 代入 ，得 ，
整理得 ，
所以 ，
所以
题组五 弦长及中点弦
1．（2022·福建）已知直线 ，椭圆 ．若直线l与椭圆C交于A，B两点，则线段AB
的中点的坐标为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由题意知，
，消去y，得 ，
则 ， ，所以A、B两点中点的横坐标为： ，
所以中点的纵坐标为： ，
即线段AB的中点的坐标为 .
故选：B
2．（2021·全国·课时练习）已知双曲线方程 ，则以 为中点的弦所在直线 的方程是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设直线 交双曲线 于点 、 ，则 ，
由已知得 ，两式作差得 ，
所以， ，即直线 的斜率为 ，
故直线 的斜率为 ，即 .经检验满足题意
故选：B.
3．（2022·湖南·永州市第一中学 ）已知椭圆 的一个顶点为 ，直线 与椭圆 交于
两点，若 的左焦点为 的重心，则直线 的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B【解析】设 ， ， ， ，椭圆 的左焦点为 ，
点 ，且椭圆左焦点 恰为 的重心，
，
， ①
， ，
两式相减得：
将①代入得： ，即直线 的斜率为 ，
直线 过 中点 ，
直线 的方程为
所以直线 的方程为 .
故选：B
4．（2022·广东）斜率为 的直线 与椭圆 相交于 ， 两点，且 过 的左焦点，
线段 的中点为 ， 的右焦点为 ，则 的周长为______.
【答案】
【解析】由题意知：直线l的方程为 ，
当 时， ，所以 ，
设 ， ，则 则 ，整理得 ，
所以 ，
则 的周长为 .
故答案为： .
5．（2022·上海市 ）已知直线 交椭圆 于 两点，且线段 的中点为 ，则直线 的斜率
为______.
【答案】
【解析】由题意，设 ，因为 的中点为 ，所以 .
又 .
于是 ，即所求直线的斜率为 .
故答案为： .
6．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆 ( )与直线 交于A、B两点，
，且 中点的坐标为 ，则此椭圆的方程为________．
【答案】【解析】由于 的中点坐标为 且满足直线方程 ，
即有 ，解得 ，则 的中点坐标为 ．
设 ， ，由 得 ，
则 ，
∵ 的中点坐标为 ，∴ ，即 ，
则 ，即 ，故 ，
又 ，
解得 ，故 ．
∴椭圆方程为 ．
故答案为： ．
7．（2022·江苏 ）若椭圆 的弦AB被点 平分，则AB所在的直线方程为______．
【答案】
【解析】设直线与椭圆的交点为
为 的中点， ；
两点在椭圆上，则
两式相减得 ；则 ； ；
故所求直线的方程为 ，即 ；
故答案为：
8．（2022·河北 ）已知椭圆 的一个焦点与抛物线 的焦点重合，过点
且斜率为 的直线交椭圆 于 ， 两点，若 是线段 的中点，则椭圆 的方程为 __．
【答案】
【解析】根据题意，抛物线 的焦点为 ，则椭圆 的焦点在 轴上，且 ，
可以设该椭圆的标准方程为： ，则 ，①
设 点坐标为 ， ， 点坐标为 ， ，有 ②， ③，
② ③可得： ④，
又由直线 的斜率为 ，则 ，
的中点 的坐标为 ，则 、 ，
代入④中，可得 ，
又由 ，则 ， ，
故要求椭圆的标准方程为： ；
故答案为： ．
9．（2021·黑龙江 ）已知椭圆 ，过 点作直线 交椭圆 于 ， 两点，且点 是 的中点，则直线 的方程是___________.
【答案】
【解析】设 ，
因为点 是 的中点，可得 ，
由 ，两式相减得 ，
即 ，所以直线 的方程为 ，即 .
故答案为： .
10．（2022·湖南邵阳 ）椭圆方程为 椭圆内有一点 ，以这一点为中点的弦所在
的直线方程为 ，则椭圆的离心率为______．
【答案】
【解析】设直线 与椭圆交于 ，则 .
因为AB中点 ,则 .又 ，相减得： .
所以 所以
所以 ，所以 ，即离心率 .故答案为： .
