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五年（2019-2023）年高考真题分项汇编
专题 08 平面解析几何（解答题）
平面解析几何在高考中考查比例较大，一般是1+1+1模式或者是2+1+1模式。在选题中，解析几何解答题
中难度一般较大，计算量比较大.主要知识点是
考点01 椭圆及其性质
考点02 双曲线及其性质
考点03 抛物线及其性质
考点04 解析几何定点定值问题
考点05 解析几何综合性问题
考点 01 椭圆及其性质
1.(2020年新高考全国卷Ⅱ数学(海南)·第21题)已知椭圆C： 过点M(2，3),点A
为其左顶点，且AM的斜率为 ，
(1)求C的方程；
(2)点N为椭圆上任意一点，求△AMN的面积的最大值．
2.(2020江苏高考·第18题)在平面直角坐标系 中，已知椭圆 的左、右焦点分别为
，点 在椭圆 上且在第一象限内， ，直线 与椭圆 相交于另一点 ．
1(1)求 的周长；
(2)在 轴上任取一点 ，直线 与椭圆 的右准线相交于点 ，求 的最小值；
(3)设点 在椭圆 上，记 与 的面积分别为 ，若 ，求点 的坐标．
3.(2020年高考课标Ⅲ卷理科·第20题)已知椭圆 的离心率为 ， ， 分别
为 的左、右顶点．
(1)求 的方程；
(2)若点 在 上，点 在直线 上，且 ， ，求 的面积．
25．(2023年北京卷·第19题)已知椭圆 离心率为 ，A、C分别是E的上、
的
下顶点，B，D分别是 的左、右顶点， ．
(1)求 的方程；
(2)设 为第一象限内E上的动点，直线 与直线 交于点 ，直线 与直线 交于点
．求证： ．
6.(2023年天津卷·第18题)设椭圆 的左右顶点分别为 ，右焦点为 ，已知
．
(1)求椭圆方程及其离心率；
(2)已知点 是椭圆上一动点(不与端点重合)，直线 交 轴于点 ，若三角形 的面积是三角
形 面积的二倍，求直线 的方程．
7.(2022高考北京卷·第19题)已知椭圆： 的一个顶点为 ，焦距为 ．
(1)求椭圆E的方程；
(2)过点 作斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点B，C，直线AB，AC分别与x轴交于点M，
N，当 时，求k的值．
38.(2022年浙江省高考数学试题·第21题)如图，已知椭圆 ．设A，B是椭圆上异于 的两
点，且点 在线段 上，直线 分别交直线 于C，D两点．
(1)求点P到椭圆上点的距离的最大值；
(2)求 的最小值．
9 .(2021高考北京·第20题)已知椭圆 一个顶 点 ，以椭圆 的四个顶
点为顶点的四边形面积为 ．
(1)求椭圆E的方程；
(2)过点P(0，-3)的直线l斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点B，C，直线AB，AC分别与直线交
y=-3交于点M，N，当|PM|+|PN|≤15时，求k的取值范围．
410.(2020天津高考·第18题)已知椭圆 的一个顶点为 ，右焦点为 ，且
，其中 为原点．
(Ⅰ)求椭圆 的方程；
(Ⅱ)已知点 满足 ，点 在椭圆上( 异于椭圆的顶点)，直线 与以 为圆心的圆相切
于点 ，且 为线段 的中点．求直线 的方程．
11.(2019·上海·第20题)已知椭圆 ， 为左、右焦点，直线 过 交椭圆于A、B两点.
(1)若AB垂直于 轴时，求 ；
(2)当 时， 在 轴上方时，求 的坐标；
(3)若直线 交 轴于M，直线 交 轴于N，是否存在直线 ，使 ，若存在，求
出直线 的方程；若不存在，请说明理由.
考点 02 双曲线及其性质
1．(2023年新课标全国Ⅱ卷·第21题)已知双曲线C的中心为坐标原点，左焦点为 ，离心率为
．
(1)求C的方程；
(2)记C 左的、右顶点分别为 ， ，过点 的直线与C的左支交于M，N两点，M在第二象限，
直线 与 交于点P．证明:点 在定直线上．
52.(2022新高考全国II卷·第21题)已知双曲线 的右焦点为 ，渐近线方程
为 ．
(1)求C的方程；
(2)过F的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点，点 在C上，且．
．过P且斜率为 的直线与过Q且斜率为 的直线交于点M．从下面①②③中
选取两个作为条件，证明另外一个成立：
①M在 上；② ；③ ．
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．
3．(2021年新高考Ⅰ卷·第21题)在平面直角坐标系 中，已知点 、
，点 的轨迹为 ．
(1)求 的方程；
(2)设点 在直线 上，过 两条直线分别交 于 、 两点和 ， 两点，且
的
，求直线 的斜率与直线 的斜率之和．
4.(2022新高考全国I卷·第21题)已知点 在双曲线 上，直线l交C于P，Q
两点，直线 的斜率之和为0．
(1)求l 的斜率；
(2)若 ，求 的面积．
6考点 03 抛物线及其性质
1.(2023年全国甲卷理科·第20题)已知直线 与抛物线 交于 两点，
且 ．
(1)求 ；
(2)设F为C的焦点，M，N为C上两点， ，求 面积的最小值．
2.(2021年高考浙江卷·第21题)如图，已知F是抛物线 的焦点，M是抛物线的准线与x轴
的交点，且 ，
(1)求抛物线的方程；
(2)设过点F的直线交抛物线与A､B两点，斜率为2的直线l与直线 ，x轴依次交于点P，
Q，R，N，且 ，求直线l在x轴上截距的范围．
73.(2021年高考全国乙卷理科·第21题)已知抛物线 的焦点为 ，且 与圆
上点的距离的最小值为 ．
(1)求 ；
(2)若点 在 上， 是 的两条切线， 是切点，求 面积的最大值．
4.(2021年高考全国甲卷理科·第20题)抛物线C的顶点为坐标原点O．焦点在x轴上，直线l： 交C
于P，Q两点，且 ．已知点 ，且 与l相切．
(1)求C， 的方程；
(2)设 是C上的三个点，直线 ， 均与 相切．判断直线 与 的位置关
系，并说明理由．
5.(2020年浙江省高考数学试卷·第21题)如图，已知椭圆 ，抛物线 ，
点A是椭圆 与抛物线 的交点，过点A的直线l交椭圆 于点B，交抛物线 于M(B，M不同于
A)．
8(Ⅰ)若 ，求抛物线 的焦点坐标；
(Ⅱ)若存在不过原点的直线l使M为线段AB的中点，求p的最大值．
6.(2022年高考全国甲卷数学(理)·第20题)设抛物线 的焦点为F，点 ，过F的直
线交C于M，N两点．当直线MD垂直于x轴时， ．
(1)求C的方程；
(2)设直线 与C 的另一个交点分别为A，B，记直线 的倾斜角分别为 ．当 取得
最大值时，求直线AB的方程．
7.(2019·浙江·第21题)如图，已知点 为抛物线 的焦点．过点 的直线交抛物线于
， 两点，点 在抛物线上，使得 的重心 在 轴上，直线 交 轴于 点，且 在点
的右侧，记 ， 的面积分别为 ， ．
(Ⅰ)求 的值及抛物线的准线方程；
(Ⅱ)求 的最小值及此时点 的坐标．
8.(2019·全国Ⅲ·理·第21题)已知曲线C：y= ，D为直线y= 上的动点，过D作C的两条切线，
切点分别为A，B．
(1)证明：直线AB过定点：
(2)若以E(0， )为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求四边形ADBE的面积．
99.(2019·全国Ⅰ·理·第19题)已知抛物线 的焦点为 ，斜率为 的直线 与 的交点为 ，
，与 轴的交点为 ．
(1)若 ，求 的方程；
(2)若 ，求 ．
10.(2019·北京·理·第18题)已知抛物线C：x2=−2py经过点(2，−1)．
(Ⅰ)求抛物线C的方程及其准线方程；
(Ⅱ)设O为原点，过抛物线C的焦点作斜率不为0的直线l交抛物线C于两点M，N，直线y=−1分别
交直线OM，ON于点A和点B．求证：以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点．
考点 04 圆锥曲线的定点定值问题
1.(2021年新高考全国Ⅱ卷·第20题)已知椭圆C的方程为 ，右焦点为 ，且
离心率为 ．
(1)求椭圆C的方程；
(2)设M，N是椭圆C上的两点，直线 与曲线 相切．证明：M，N，F三点共线的
充要条件是 ．
102.(2020年高考课标Ⅰ卷理科·第20题)已知A、B分别为椭圆E： (a>1) 左、右顶点，G为E
的
的上顶点， ，P为直线x=6上的动点，PA与E的另一交点为C，PB与E的另一交点为D．
(1)求E 的方程；
(2)证明：直线CD过定点．
3.(2020年新高考全国Ⅰ卷(山东)·第22题)已知椭圆C： 的离心率为 ，且过点
A(2，1)．
(1)求C的方程：
(2)点M，N在C上，且AM⊥AN，AD⊥MN，D为垂足．证明：存在定点Q，使得|DQ|为定值．
4.(2022年高考全国乙卷数学(理)·第20题)已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，且过
两点．
(1)求E的方程；
(2)设过点 的直线交E于M，N两点，过M且平行于x轴的直线与线段AB交于点T，点H满
足 ．证明：直线HN过定点．
考点 05 解析几何综合类问题
111.(2023年新课标全国Ⅰ卷·第22题)在直角坐标系 中，点 到 轴的距离等于点 到点 的距
离，记动点 的轨迹为 ．
(1)求 的方程；
(2)已知矩形 有三个顶点在 上，证明：矩形 的周长大于 ．
2 .(2023年全国乙卷理科·第20题)已知椭圆 的离心率是 ，点 在
上．
(1)求 方的程；
(2)过点 的直线交 于 两点，直线 与 轴的交点分别为 ，证明：线段
的中点为定点．
3 .(2020年高考课标Ⅱ卷理科·第19题)已知椭圆C ： (a>b>0) 右焦点F与抛物线C 的焦点
1 的2
重合，C 的中心与C 的顶点重合．过F且与x轴垂直的直线交C 于A，B两点，交C 于C，D两点，
1 2 1 2
且|CD|= |AB|．
(1)求C 的离心率；
1
(2)设M是C 与C 的公共点，若|MF|=5，求C 与C 的标准方程．
1 2 1 2
124.(2019·天津·理·第18题)设椭圆 的左焦点为 ，上顶点为 ．已知椭圆的短轴
长为4，离心率为 ．
(Ⅰ)求椭圆的方程；
(Ⅱ)设点 在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点 为直线 与 轴的交点，点 在 轴的负
半轴上．若 ( 为原点)，且 ，求直线 的斜率．
5.(2019·全国Ⅱ·理·第21题)已知点 ， ，动点 满足直线 与 的斜
率之积为 ．记 的轨迹为曲线 ．
求 的方程，并说明 是什么曲线；
过坐标原点的直线交 于 两点，点 在第一象限， 轴，垂足为 ，连结 并延长
交 于点 ．
证明： 是直角三角形；
求 面积的最大值．
136.(2019·江苏·第 17 题)如图，在平面直角坐标系 中，椭圆 : 的焦点为
， ．过 作 轴的垂线 ，在 轴的上方， 与圆 : 交于点 ，与
椭圆 交于点 .连结 并延长交圆 于点 ，连结 交椭圆 于点 ，连结 ．
已知 ．
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)求点 的坐标．
14
