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考点 22 抛物线（核心考点讲与练）
1.抛物线的定义
(1)平面内与一个定点F和一条定直线l(F∉l)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.定点F叫做抛物线的焦点，
定直线l叫做抛物线的准线.
(2)其数学表达式：{M||MF|＝d}(d为点M到准线l的距离).
2.抛物线的标准方程与几何性质
图形
y2＝2px y2＝－2px x2＝2py x2＝－2py
标准
(p>0) (p>0) (p>0) (p>0)
方程
p的几何意义：焦点F到准线l的距离
顶点 O(0，0)
对称轴 y＝0 x＝0
焦点 F F F F
性 离心率 e＝1
质 准线方
x＝－ x＝ y＝－ y＝
程
范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R
开口方
向右 向左 向上 向下
向
1.求抛物线的标准方程的方法：
①求抛物线的标准方程常用待定系数法，因为未知数只有p，所以只需一个条件确定p值即可．
②因为抛物线方程有四种标准形式，因此求抛物线方程时，需先定位，再定量．
（2）利用抛物线的定义解决此类问题，应灵活地运用抛物线上的点到焦点的距离与到准线距离的等价转
化．“看到准线想到焦点，看到焦点想到准线”，这是解决抛物线焦点弦有关问题的有效途径．
2.确定及应用抛物线性质的技巧：①利用抛物线方程确定及应用其焦点、准线等性质时，关键是将抛物线方程化成标准方程．
②要结合图形分析，灵活运用平面几何的性质以图助解．
3.(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系．
(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|
AB|＝x＋x＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．
1 2
(3)研究直线与抛物线的位置关系与研究直线与椭圆、双曲线的位置关系的方法类似，一般是联立两曲线方
程，但涉及抛物线的弦长、中点、距离等问题时，要注意“设而不求”、“整体代入”、“点差法”以及定义的
灵活应用．
抛物线的定义与方程
一、单选题
1．（2022·广东·二模）已知抛物线E： ，圆F： ，直线l： （t为实数）与抛物
线E交于点A，与圆F交于B，C两点，且点B位于点C的右侧，则△FAB的周长可能为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】B
【分析】先判断出抛物线焦点和圆心重合，由抛物线定义得 ，又 ，可得△FAB的周长为
，又知 ，即可求解.
【详解】
由题意知：抛物线焦点 恰为圆心 ，抛物线准线 ，圆半径为2，可得圆 与 相切，设直线
l： 与准线 交于 ，
由抛物线定义知： ，又 ，故△FAB的周长为 ，由图知 ，故 ，结合选项知：△FAB的周长可能为5.
故选：B.
2．（2022·江苏·海安高级中学二模）已知抛物线 的焦点为F，准线为l．点P在C上，直线PF
交x轴于点Q，且 ，则点P到准线l的距离为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【分析】根据抛物线的定义即可求解.
【详解】设 ， ，∵ ， ,
∴ ，∴ ，
∴P到l的距离 ，
故选：C．
3.（2021北京市第八中学高三10月月考）已知抛物线 第一象限上一点 到其焦点的距离为 ，则
点 的纵坐标为（ ）
A． B． C． D．
【
答案】D
【分析】设点 ，其中 ，利用抛物线的定义可求得 的值，即为所求.
【详解】设点 ，其中 ，抛物线 的准线方程为 ，
由抛物线的定义可得 ， ，解得 .
故选：D.
二、多选题4．（2022·广东韶关·二模）已知抛物线 的焦点为F，准线l交x轴于点D，直线m过D且交C
于不同的A，B两点，B在线段AD上，点P为A在l上的射影．线段PF交y轴于点E，下列命题正确的是
（ ）
A．对于任意直线m，均有AE⊥PF
B．不存在直线m，满足
C．对于任意直线m，直线AE与抛物线C相切
D．存在直线m，使|AF|+|BF|=2|DF|
【答案】AC
【分析】A选项由E为线段PF的中点以及抛物线定义即可判断；B选项由 及抛物线方程求出
坐标，再说明 三点共线，即存在直线 即可；C选项设 ，表示出直线AE，联立抛物线，
利用 即可判断；D选项设出直线 ，联立抛物线得到 ，通过焦半径公式结合基本不等式得
即可判断.
【详解】A选项，如图1，由抛物线知O为DF的中点， 轴，所以E为线段PF的中点，由抛物线的
定义知 ，所以 ，所以A正确；
B选项，如图2，设 ， ， ， ， ，E为线段PF的中点，则 ，，
由 得 ，解得 ， ，又 ，故 ，
，又 ，
可得 ， ，故存在直线m，满足 ，选项B不正确．
C选项，由题意知，E为线段PF的中点，从而设 ，则 ，
直线AE的方程： ，与抛物线方程 联立可得：
，由 代入左式整理得： ，
所以 ，所以直线AE与抛物线相切，所以选项C正确．
D选项，如图3，设直线m的方程 ，， ， ，
由 ，得 ．当
，即 且 时，由韦达定理，得
， ．
因为 ， ，所以 ，
又 ， ，所以 成立，故D不正确．
故选：AC．
5．（2022·山东潍坊·二模）已知四面体ABCD的4个顶点都在球O（O为球心）的球面上，△ABC为等边
三角形，M为底面ABC内的动点，AB=BD=2， ，且 ，则（ ）
A．平面ACD⊥平面ABC
B．球心O为△ABC的中心
C．直线OM与CD所成的角最小为D．若动点M到点B的距离与到平面ACD的距离相等，则点M的轨迹为抛物线的一部分
【答案】ABD
【分析】设 的中心为G，取AC的中点E，由题可得 平面 可判断A，根据勾股定理可得
进而判断B，利用特例可判断C，利用面面垂直的性质及抛物线的定义可判断D.
【详解】设 的中心为G，取AC的中点E，连接BE，DE，则 .
因为 ， ,
所以 平面BDE，则 ，
又△ABC为等边三角形， ， ，
所以 ， ，
∴ ，即 ，又 ，
∴ 平面 ， 平面 ，
∴平面ACD⊥平面ABC，故A正确；
又∵ ，
∴ ，
故 为四面体 的外接球的球心，即球心O为△ABC的中心，故B正确；
当 ∥ 时， 为直线OM与CD所成的角，
由上知 ，故C错误；
由平面ACD⊥平面ABC可知，动点M到平面ACD的距离即动点M到直线 的距离，由抛物线的定义可知，点M的轨迹为抛物线的一部分，故D正确.
故选：ABD.
6．（2022·山东聊城·二模）已知抛物线 ： （ ）的焦点 到准线的距离为2，过 的直线
交抛物线 于两点 ， ，则（ ）
A． 的准线方程为
B．若 ，则
C．若 ，则 的斜率为
D．过点 作准线的垂线，垂足为 ，若 轴平分 ，则
【答案】BCD
【分析】根据抛物线 的几何意义求出 ，即可得到抛物线的方程，再根据抛物线的定义判断A、B、D，
设 ， ， ， ，直线 的方程为 ，联立直线与抛物线方程，消元列出韦达定理，根
据焦半径公式计算即可判断C；
【详解】解：因为抛物线 ： （ ）的焦点 到准线的距离为2，所以 ，
所以抛物线方程为 ，则焦点 ，准线为 ，故A错误；
若 ，则 ，所以 ，所以 ，故B正确；
可设 ， ， ， ，
直线 的方程为 ，与抛物线 联立，
消去 ，可得 ，
可得 ， ，
由抛物线的定义可得
即 ，即 ，解得 ，则直线 的斜率为 ，故C正确；
对于D，若 轴平分 ，则 ，又 轴，
所以 ，所以 ，
所以 ，即 ，所以 ，故D正确；
故选：BCD
7．（2022·辽宁葫芦岛·一模）已知抛物线 过点 ，焦点为F，则（ ）
A．点M到焦点的距离为3
B．直线MF与x轴垂直
C．直线MF与C交于点N，以弦MN为直径的圆与C的准线相切
D．过点M与C相切的直线方程为
【答案】AC
【分析】先求出 ，由抛物线的定义即可判断A、C选项；B选项由 坐标即可判断；D选项易知
点M不在直线 上即可判断.
【详解】由题意知： ，解得 ，即 ，焦点 ，准线 .
由抛物线定义知，点M到焦点的距离等于到准线的距离为 ，故A正确；
由焦点 知直线MF不与x轴垂直，故B错误；如图，设 中点为 ，过 作准线的垂线，垂足为 ，易知
，
故以弦MN为直径的圆与C的准线相切，C正确；
由 知M不在直线 上，故D错误.
故选：AC.
三、填空题
8．（2022·辽宁沈阳·二模）已知抛物线 的焦点为F，在C上有一点P， ，则点P到x轴
的距离为______．
【答案】
【分析】根据抛物线的定义，列出相应方程求解即可.
【详解】由抛物线的定义可知： ，所以 ，代入 中，得 ，
所以 ，故点P到x轴的距离为为 ．
故答案为：
抛物线的几何性质
1.（2021北京八中高三上学期期中）已知直线 ： 和直线 ： ，抛物线 上一动点P到直线 和直线 的距离之和的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据已知条件，结合抛物线的定义，可得点P到直线 和直线 的距离之和
，当B，P，F三点共线时， 最小，再结合点到直线的距离公式，即可
求解．
【详解】∵抛物线 ，∴抛物线的准线为 ，焦点为 ，
∴点P到准线 的距离PA等于点P到焦点F的距离PF，即 ，
∴点P到直线 和直线 的距离之和 ，
∴当B，P，F三点共线时， 最小，
∵ ，∴ ，
∴点P到直线 和直线 的距离之和的最小值为 ．
故选：A．
2.（2021新疆克拉玛依市高三第三次模拟检测） 年是中国传统的“牛”年，可以在平面坐标系中用抛物线与圆勾勒出牛的形象．已知抛物线 的焦点为 ，圆 与抛物线 在
第一象限的交点为 ，直线 与抛物线 的交点为 ，直线 与圆 在第一象
限的交点为 ，则 周长的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【分析】将抛物线与圆方程联立可求得 点坐标，由此可知 的取值范围；利用抛物线定义和圆的半径
可将 周长转化为 ，由 范围可得所求周长取值范围.
【详解】由抛物线 得： ，准线为 ；
设 与 交于点 ，由抛物线定义知： ；
由圆 知： ；
由 得： ，即 ，则 ，设 ， ， ，
的周长为 ，
， 周长的取值范围为 .
故选：B.
直线与抛物线的位置关系
1.（云南省曲靖市第一中学2022届高三上学期第一次质量监测卷）已知直线l： y=x+1与抛物线C：
x2=2py（p>0）相交于A， B两点，若AB的中点为N，且抛物线C上存在点M，使得 （O为
坐标原点）.
（1）求此抛物线的标准方程；
（2）若正方形PQHR的三个顶点P， Q， H都在抛物线C上，求正方形PQHR面积的最小值.
【答案】（1） ；（2）32.
【分析】（1）联立方程 由点 为 的中点，求得点N的坐标，再根据 ，得
到M的坐标，代入抛物线方程求解；
（2）设 ，直线 的斜率为 ，根据 得到 ，由
，得到 ，再由 得到 ，然后由正方形
的面积为 ，利用基本不等式求解.
【详解】（1）设 ，联立方程组 整理得 ，则 ，可得
由点 为 的中点，所以
设 ，因为 ，可得 ，
又由点 在抛物线 ： 上，
可得 ，
即 ，
解得 或 （舍去），
所以抛物线的标准方程为 .
（2）设 ，直线 的斜率为 ，
不妨设 ，则 ，且 ，
因为 ，
所以 .
由 ，得 ，即 ，
即 ，
将 代入得 ，
所以 ，所以 ，
所以正方形 的面积为
，
，
，
，
为
因 ，
所以 （当且仅当 时取等号）.
因为 ，所以
所以 （当且仅当 时取等号），
所以 （当且仅当 时取等号），
所以正方形 的面积的最小值为32.
2.（2021四川省成都市郫都区高三上学期阶段性检测）已知抛物线 ： 上的点 到
焦点 的距离为 ．
（1）求抛物线 的方程；
（2）设纵截距为 的直线 与抛物线 交于 ， 两个不同的点，若 ，求直线 的方程．【答案】（1） ；（2） ．
【分析】（1）利用抛物线的性质即可求解.
（2）设直线方程，与抛物线联立，利用韦达定理，即可求解.
【详解】（1）由题设知，抛物线的准线方程为 ，
由点 到焦点 的距离为 ，得 ，解得 ，
所以抛物线 的标准方程为 ．
（2）设 ， ，
显然直线 的斜率存在，故设直线 的方程为 ，
联立 消去 得 ，
由 得 ，即 ．
所以 ， ．
又因为 ， ，
所以 ，
所以 ，
即 ，
解得 ，满足 ，
所以直线 的方程为 ．1.（2020年全国统一高考（新课标Ⅰ））已知A为抛物线C:y2=2px（p>0）上一点，点A到C的焦点的距
离为12，到y轴的距离为9，则p=（ ）
A. 2 B. 3 C. 6 D. 9
【答案】C
【分析】利用抛物线的定义建立方程即可得到答案.
【详解】设抛物线的焦点为F，由抛物线的定义知 ，即 ，解得 .
故选：C.
【点晴】本题主要考查利用抛物线的定义计算焦半径，考查学生转化与化归思想，是一道容易题.
2.（2021年全国新高考Ⅰ卷）已知 为坐标原点，抛物线 ： ( )的焦点为 ， 为 上
一点， 与 轴垂直， 为 轴上一点，且 ，若 ，则 的准线方程为______.
【答案】
【分析】先用坐标表示 ，再根据向量垂直坐标表示列方程，解得 ，即得结果.
【详解】抛物线 ： ( )的焦点 ,
∵P为 上一点， 与 轴垂直，
所以P的横坐标为 ，代入抛物线方程求得P的纵坐标为 ,
不妨设 ,
因为Q为 轴上一点，且 ，所以Q在F的右侧，又 ，
因为 ，所以 ,
，
所以 的准线方程为
故答案为： .
【点睛】利用向量数量积处理垂直关系是本题关键.
3.（2021年全国高考乙卷） 已知抛物线 的焦点F到准线的距离为2．
（1）求C的方程;
（2）已知O为坐标原点，点P在C上，点Q满足 ，求直线 斜率的最大值.
【答案】（1） ；（2）最大值为 .
【分析】（1）由抛物线焦点与准线的距离即可得解；
（2）设 ，由平面向量的知识可得 ，进而可得 ，再由斜率公式
及基本不等式即可得解.
【详解】（1）抛物线 的焦点 ，准线方程为 ，
由题意，该抛物线焦点到准线的距离为 ，
所以该抛物线的方程为 ；（2）[方法一]：轨迹方程+基本不等式法
设 ，则 ，
所以 ，
由 在抛物线上可得 ，即 ，
据此整理可得点 的轨迹方程为 ，
所以直线 的斜率 ，
当 时， ；
当 时， ，
当 时，因为 ，
此时 ，当且仅当 ，即 时，等号成立；
当 时， ；
综上，直线 的斜率的最大值为 .
[方法二]：【最优解】轨迹方程+数形结合法
同方法一得到点Q的轨迹方程为 ．
设直线 的方程为 ，则当直线 与抛物线 相切时，其斜率k取到最值．联立得 ，其判别式 ，解得 ，所以直线
斜率的最大值为 ．
[方法三]：轨迹方程+换元求最值法
同方法一得点Q的轨迹方程为 ．
设直线 的斜率为k，则 ．
令 ，则 的对称轴为 ，所以 ．故直线
斜率的最大值为 ．
[方法四]：参数+基本不等式法
由题可设 ．
因为 ，所以 ．
于是 ，所以
则直线 的斜率为 ．
当且仅当 ，即 时等号成立，所以直线 斜率的最大值为 ．
【整体点评】方法一根据向量关系，利用代点法求得Q的轨迹方程，得到直线OQ的斜率关于 的表达式，
然后利用分类讨论，结合基本不等式求得最大值；方法二 同方法一得到点Q的轨迹方程，然后利用数形结合法，利用判别式求得直线OQ的斜率的最大值，
为最优解；
方法三同方法一求得Q的轨迹方程，得到直线 的斜率k的平方关于 的表达式，利用换元方法转化为
二次函数求得最大值，进而得到直线 斜率的最大值；
方法四利用参数法，由题可设 ，求得x,y关于 的参数表达式，得到直线 的
斜率关于 的表达式，结合使用基本不等式，求得直线 斜率的最大值.
一、单选题
1．（2022·山东泰安·二模）已知以F为焦点的抛物线 上的两点A，B（点A的横坐标大于点B的
横坐标），满足 （O为坐标原点），弦AB的中点M的横坐标为 ，则实数 （ ）
A． B． C．3 D．4
【答案】D
【分析】根据已知及抛物线的几何性质求出 ，再由已知 求出 的值.
【详解】由题意可得抛物线 的焦点 .
弦AB的中点M的横坐标为 ，
由已知条件可知直线AB的斜率存在.
设直线AB的方程为 ， ，则联立 ，消去y得 ，
∴ ，又因为弦AB的中点M的横坐标为 ，
∴ ，∴ ， ，
∴点A到准线的距离为 ，
点B到准线的距离为 ，
所以 ∴ ，
又 ， 故 .
故选：D
2．（2022·河北唐山·二模）F为抛物线 的焦点，点 在C上，直线MF交C的准线于点
N，则 （ ）
A． B． C．5 D．12
【答案】B
【分析】依据两点间距离公式去求
【详解】点 在抛物线 上，则 ，解之得 ，则
又抛物线 的焦点F ，准线
则直线MF的方程为 ，则N
则
故选：B3．（2022·天津·一模）已知抛物线 的准线与双曲线 相交于D､E两点，且OD⊥OE
（O为原点），则双曲线的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据对称性求得 的坐标，从而求得 ，进而求得双曲线的渐近线方程.
【详解】抛物线 的准线为 ，
由于 ，根据双曲线的对称性可知：（不妨设） ，
代入 得 ，
所以双曲线的渐近线方程为 .
故选：B
4．（2022·辽宁锦州·一模）已知抛物线 的焦点为F，点P是C上一点，且 ，以
PF为直径的圆截x轴所得的弦长为1，则 （ ）
A．2 B．2或4 C．4 D．4或6
【答案】D
【分析】根据几何关系，求点 的坐标，代入抛物线方程，即可求解.
【详解】设圆的圆心为 ，与 轴交于点 ，线段 的中点为 ， 轴，由条件可知 ，
， ，所以 ，
由焦半径公式可知 ，即 ，所以代入抛物线方程 ，
解得： 或 .故选：D
5．（2022·广东惠州·一模）若抛物线 （ ）上一点P（2， ）到其焦点的距离为4，则抛物
线的标准方程为（ ）
A．y2=2x B．y2=4x C．y2=6x D．y2=8x
【答案】D
【分析】由抛物线的定义可解答.
【详解】抛物线 上一点 到焦点的距离等于到其准线的距离，即为4，∴ ，解得
，∴抛物线的标准方程为 .
故选：D.
二、多选题
6．（2022·河北秦皇岛·二模）过抛物线 上一点 作两条相互垂直的直线，与 的另外两
个交点分别为 ， ，则（ ）
A． 的准线方程是
B．过 的焦点的最短弦长为8
C．直线 过定点
D．当点 到直线 的距离最大时，直线 的方程为
【答案】AD
【分析】由点在抛物线上求得 为 ，结合抛物线的性质判断A、B；设 为 并联立抛物
线，结合 及韦达定理、向量垂直的坐标表示列方程求出m、n的数量关系，代入直线方程即可判断C；由C分析所得的定点P，要使 到直线 的距离最大有 ，即可写出直线 的方程判断
D.
【详解】将 代入 中得： ，则 为 ，
所以 的准线方程是 ，故A正确；
当过 的焦点且与 轴垂直时弦长最短，此时弦长为16，故B不正确；
设 ， ，直线 为 ，联立抛物线得： ，
所以 ， ，又 ，
所以 .
因为 ， ，即 ，
所以 ，整理得 ，故 ，得 ，
所以直线 为 ，所以直线 过定点 ，故C不正确.
当 时 到直线 的距离最大，此时直线 为 ，故D正确.
故选：AD
7．（2022·江苏江苏·二模）已知抛物线 的焦点为 ，过原点 的动直线 交抛物线于另一点 ，交
抛物线的准线于点 ，下列说法正确的是（ ）
A．若 为线段 中点，则 B．若 ，则
C．存在直线 ，使得 D． 面积的最小值为2
【答案】AD
【分析】对于A，求出 点的横坐标，再根据抛物线的定义求出 ，即可判断；
对于B，根据抛物线的定义求出 点的横坐标，再求出 ，即可判断，对于C， ，则 ，判断 是否有解，即可判断；
对于D，根据 ，结合基本不等式即可判断.
【详解】解：抛物线 的准线为 ，焦点 ，
若 为 中点，所以 ，所以 ，故A正确；
若 ，则 ，所以 ，故B错误；
设 ，则 ，所以 ， ，
所以 ，所以 与 不垂直，故C错误；
，
当且仅当 ，即 时，取等号，
所以 面积的最小值为2，故D正确.
故选：AD.
8．（2022·广东·一模）已知抛物线 的焦点为F，抛物线C上存在n个点 ， ， ， （
且 ）满足 ，则下列结论中正确的是（ ）A． 时，
B． 时， 的最小值为9
C． 时，
D． 时， 的最小值为8
【答案】BC
【分析】以 为抛物线通径，求得 的值，判断A; 当 时,写出焦半径 的表
达式，利用换元法，结合利用导数求函数最值，可判断B; 当 时,求出 的表达式，
利用三角函数的知识，可判断C,D.
【详解】当 时， ，此时不妨取 过焦点垂直于x轴，
不妨取 ，则 ，故A错误；
当 时， ，
此时不妨设 在抛物线上逆时针排列，设 ,
则 ，则 ，
故
，
令 ，则 ，令 ，则 ，
当 时， ， 递增，当 时， ， 递减，
故 ，
故当 ，即 时， 取到最小值9，故B正确；
当 时， ，
此时不妨设 在抛物线上逆时针排列，设 ,
则 ，
即 ，
故 ，
，
所以 ，故C正确；
由C的分析可知： ，
当 时， 取到最小值16，
即 最小值为16，故D错误；
故选：BC
【点睛】本题考查了抛物线的焦半径公式的应用，综合性较强，涉及到抛物线的焦半径 的
应用，以利用导数求最值，和三角函数的相关知识，难度较大.
9．（2022·湖南常德·一模）已知抛物线 的焦点 到准线 的距离为2，则（ ）A．焦点 的坐标为
B．过点 恰有2条直线与抛物线 有且只有一个公共点
C．直线 与抛物线 相交所得弦长为8
D．抛物线 与圆 交于 两点，则
【答案】ACD
【分析】先求出抛物线方程，对选项逐一判断即可.
【详解】由题可知抛物线方程为
对于A，焦点 的坐标为 ，故A正确
对于B，过点 有抛物线的2条切线，还有 ，共3条直线与抛物线有且只有一个交点，故B错误
对于C， ，弦长为 ，故C
正确
对于D， ，解得 （ 舍去），交点为 ，有 ，故D正确
故选：ACD
10．（2022·广东肇庆·模拟预测）已知F是抛物线 的焦点，过点F作两条互相垂直的直线 ， ，
与C相交于A，B两点， 与C相交于E，D两点，M为A，B中点，N为E，D中点，直线l为抛物线C
的准线，则（ ）
A．点M到直线l的距离为定值 B．以 为直径的圆与l相切
C． 的最小值为32 D．当 最小时，
【答案】BCD
【分析】设直线方程，并联立抛物线方程，利用根与系数的关系式，求得点M的横坐标，结合抛物线定义，可判断A;利用抛物线定义推得 ,由此判断B;
计算出弦长 ，可得 的表达式，利用基本不等式求得其最小值，判断C;
求出 的表达式，采用换元法，利用二次函数的单调性求得其最小值，判断D.
【详解】设 ， ， ， ， ，
直线 的方程为 ，则直线 的方程为 ,
将直线 的方程 代入 ，化简整理得 ，
则 ， ，
故 ,
所以 ， ,
因为点A到直线l的距离 ，点B到直线l的距离 ，
点M到直线l的距离 ，
又 ，所以 ，故A错误；
因为 ，
所以以 为直径的圆的圆心M到l的距离为 ，
即以 为直径的圆与l相切，故B正确；
同理， ，所以 ， ，
，
则 ，当且仅当 时等号成立，故C正确；.
设 ，则 ， ， .
当 时，即 时， 最小，这时 ，故D正确,
故选:BCD.
【点睛】本题考查了抛物线的焦点弦的性质，具有较强的综合性，要求学生有较好的计算能力和思维能力，
解答时要注意直线方程的设法，以及联立后结合根与系数的关系式的化简，涉及到焦半径以及弦长和距离
的计算，比较繁杂，要细心运算.
11．（2022·重庆·模拟预测）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线 的焦点为F，点
， ， 都在抛物线上，且 ，则下列结论正确的是（ ）
A．抛物线方程为 B．F是 的重心
C． D．
【答案】BCD
【分析】把点代入可得抛物线的方程，结合向量运算可得 是 的重心，利用抛物线的定义可得
，利用三角形面积公式及 ，可得 .
【详解】对于A，由 在抛物线上可得 ，即抛物线方程为 ，错误；
对于B，分别取 的中点 ，则 ， ，即 在中线 上，同理可得
也在中线 上，所以 是 的重心，正确；
对于C，由抛物线的定义可得 ，
所以 .
由 是 的重心，所以 ，即 ，所以 ，正确；
对于D， ， ；
同理 , ，
所以 ，正确.
故选：BCD.
三、填空题
12．（2022·北京丰台·二模）已知抛物线C： ，则抛物线C的准线方程为______．
【答案】
【分析】根据抛物线的方程求出 的值，进一步得出答案.
【详解】因为抛物线 ，
所以 ，∴
所以 的准线方程为 .
故答案为：
13．（2022·福建·模拟预测）已知抛物线 与抛物线 在第一象限内的交点
为 ，若点 在圆 上，且直线 与圆 相切，则 ___________.
【答案】
【分析】由于点 在圆 上，所以可得 ，而点 也在两抛物线上，代入抛物
线方程可得 ，当 与圆相切时，可得 ，然后前面的几个式子结
合可求得答案
【详解】因为 ，
所以 ，因为 ， ，所以 ，
当 与圆相切时， ，
所以 ，
所以 ，
所以 .
故答案为：
14．（2022·重庆八中模拟预测）若抛物线 上的点 到焦点的距离是点A到y轴距离
的2倍，则 ___________.
【答案】2
【分析】直接利用抛物线的焦半径公式解方程组即可求解.
【详解】抛物线的准线方程为 .
由抛物续的性质可得 ，所以 ①.
而 在抛物线 上,即 ②.
由①②可得:p=2.
故答案为:2
四、解答题
15．（2022·山东济宁·二模）已知抛物线E： 的焦点为F，点 在抛物线E上，且
的面积为 （O为坐标原点）.
(1)求抛物线E的方程；
(2)过焦点F的直线l与抛物线E交于A､B两点，过A､B分别作垂直于l的直线AC､BD，分别交抛物线于
C､D两点，求 的最小值.【答案】(1) (2)
【分析】（1）根据面积及抛物线上的点可求解；
（2）利用直线与抛物线的位置关系分别求得 、 ，再通过导
数求最值即可.
(1)由题意可得 解得p=2.
故抛物线E的方程为 .
(2)由题意直线l的斜率一定存在且不为0，设直线l的方程为 ， ，
设 ， ， ，
由 消去x得 .
所以 ， .
由AC垂直于l，直线AC的方程为
由 消去x得 .
所以 ， .
∴.
同理可得 ，
所以 ，
令 ， ，则 ，
所以当 时， ， 单调递减；当 时， ， 单调递增.
所以当x=2时， 取得最小值，即当 时， 最小值为 .
16．（2022·湖北武汉·二模）已知抛物线 ，点 为 上一点，且 到 的准线的
距离等于其到坐标原点 的距离.
(1)求 的方程；
(2)设 为圆 的一条不垂直于 轴的直径，分别延长 交 于 两点，求四边形
面积的最小值.
【答案】(1) (2)16
【分析】（1）根据抛物线的定义可知， ，即可列式求 ；
（2）首先设直线 的方程为： ，分别与圆的方程和抛物线方程联立，求点 的坐标，利用弦长
公式求 ，再利用 ，求 ，最后表示四边形的面积 ，再通过换元，利用导
数求函数的最值.(1)设抛物线焦点 ，由题意 ，故 ，解得： .
故抛物线的标准方程为 .
(2)由题意，直线 斜率存在且不为0，设直线 的方程为： ，设点 ，
，联立得： ，由 ，得
，联立得： ，由 ，得
因为 ，用 代替 ，得 .
故四边形 面积 .
令 .
设函数 ，故 单调递增.
故当 ，即 时， 取到最小值16，所以四边形 面积的最小值是16.
17．（2022·辽宁·建平县实验中学模拟预测）已知点 在抛物线 上.
(1)求抛物线 的方程；
(2)过点 作斜率分别为 的两条直线 ，若 与抛物线 的另一个交点分别为 ，且有，探究：直线 是否恒过定点？若是，求出该定点；若否，说明理由.
【答案】(1) (2)直线 恒过定点
【分析】（1）将 点坐标代入抛物线方程即可构造方程求得结果；
（2）设 ， ，利用斜率公式表示出 ，得到 ；设 ，与抛物
线方程联立可得韦达定理的形式，由此可得 ，可得 ，由此可得定点坐标.
(1) 在抛物线上， ，解得： ，
抛物线 的方程为： .
(2)由（1）得： ；设 ， ，
则 ；同理可得： ；
， ，整理可得： ；
当直线 斜率为 时，其与抛物线 只有一个公共点，不合题意；
当直线 斜率不为 时，设 ，
由 得： ，则 ， ，解得： ；
，则直线 过定点 ；
综上所述：直线 恒过定点 .
【点睛】思路点睛：本题考查直线与抛物线综合应用中的直线过定点问题的求解，求解此类问题的基本思
路如下：
①假设直线方程，与抛物线方程联立，整理为关于 或 的一元二次方程的形式；
②利用 求得变量的取值范围，得到韦达定理的形式；
③利用韦达定理表示出已知中的等量关系，代入韦达定理可整理得到变量间的关系，从而化简直线方程；
④根据直线过定点的求解方法可求得结果.18．（2021·山西运城·模拟预测（理））已知P(1，2)在抛物线C：y2＝2px上．
(1)求抛物线C的方程；
(2)A，B是抛物线C上的两个动点，如果直线PA的斜率与直线PB的斜率之和为2，证明：直线AB过定点．
【答案】(1)y2＝4x(2)证明见解析
【分析】(1)把已知点坐标代入抛物线方程求得参数 ，即得抛物线方程；
(2)设AB：x＝my+t，设A(x，y)，B(x，y)，直线方程与抛物线方程联立消元后应用韦达定理得
1 1 2 2
，代入 得参数 值，从而可得定点坐标．
(1)P点坐标代入抛物线方程得4＝2p，
∴p＝2，
∴抛物线方程为y2＝4x．
(2)证明：设AB：x＝my+t，将AB的方程与y2＝4x联立得y2﹣4my﹣4t＝0，
设A(x，y)，B(x，y)，
1 1 2 2
则y+y＝4m，yy＝﹣4t，
1 2 1 2
所以Δ＞0 16m2+16t＞0 m2+t＞0，
⇒ ⇒
，同理： ，
由题意： ，
∴4(y+y+4)＝2(yy+2y+2y+4)，
1 2 1 2 1 2
∴yy＝4，
1 2
∴﹣4t＝4，
∴t＝﹣1，
故直线AB恒过定点(﹣1，0)．
