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【拔尖特训】2022-2023学年八年级数学下册尖子生培优必刷题【人教版】
专题18.4菱形的判定专项提升训练（重难点培优）
班级：___________________ 姓名：_________________ 得分：_______________
注意事项：
本试卷满分120分，试题共24题，其中选择10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑
色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的．
1．（2022春•宝山区校级月考）对角线（ ）的平行四边形是菱形．
A．互相垂直 B．互相平分 C．相等 D．相交
【分析】根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形进行判断即可．
【解答】解：A、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故本选项正确；
B、对角线互相平分的平行四边形不一定是菱形，故本选项错误；
C、对角线相等的平行四边形是矩形，不一定是菱形，故本选项错误；
D、对角线相交的平行四边形不一定是菱形，故本选项错误．
故选：A．
2．（2022春•江源区期中）下列条件中，能判断四边形是菱形的是（ ）
A．对角线相等的平行四边形
B．对角线互相垂直且相等的四边形
C．对角线互相平分且垂直的四边形
D．对角线互相垂直的四边形
【分析】利用菱形的判定进行判断即可．
【解答】解：A、对角线相等的平行四边形是矩形，故选项A错误；
B、对角线互相垂直且相等的四边形不一定是菱形，故选项B错误；
C、对角线互相平分且垂直的四边形是菱形，故选项C正确；
D、对角线互相垂直的四边形不一定是菱形，故选项D错误；
故选：C．
3．（2022春•衡山县期末）从下列条件中选择一个条件添加后，还不能判定平行四边形ABCD是菱形，则
这个条件是（ ）
A．AC⊥BD B．AD＝CD C．AB＝BC D．AC＝BD
【分析】根据菱形的判断方法即可一一判断．
【解答】解：∵一组邻边相等的平行四边形是菱形（平行四边形+一组邻边相等＝菱形）；对角线互相垂直的平行四边形是菱形，
∴根据A、B、C可以判定四边形是菱形，
故选：D．
4．（2022春•通榆县期末） ABCD中，AC，BD是两条对角线，如果添如一个条件，可推出 ABCD是
菱形，那么这个条件可以是▱（ ） ▱
A．AB＝CD B．AC＝BD C．AC⊥BD D．AB⊥BD
【分析】根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形即可解答．
【解答】解：∵对角线互相垂直的平行四边形是菱形，
∴当AC⊥BD时， ABCD是菱形．
故选：C． ▱
5．（2022春•青龙县期末）如图，以O为圆心，OA长为半径画弧别交OM、ON于A、B两点，再分别以
为A、B为圆心，以OA长为半径画弧，两弧交于点C，分别连接AC、BC，则四边形OACB一定是（
）
A．梯形 B．菱形 C．矩形 D．正方形
【分析】利用菱形的判定方法可以判定四边形ABCD是菱形．
【解答】解：由题意可得：OA＝OB＝AC＝BC，
则四边形ABCD是菱形．
故选：B．
6．（2022•南京模拟）如图，ABCD是一张平行四边形纸片，要求利用所学知识作出一个菱形，甲、乙两
位同学的作法如下：则关于甲、乙两人的作法，下列判断正确的为（ ）A．仅甲正确 B．仅乙正确
C．甲、乙均正确 D．甲、乙均错误
【分析】首先证明△AOE≌△COF（ASA），可得AE＝CF，再根据一组对边平行且相等的四边形是平
行四边形可判定判定四边形AECF是平行四边形，再由AC⊥EF，可根据对角线互相垂直的四边形是菱
形判定出AECF是菱形；四边形ABCD是平行四边形，可根据角平分线的定义和平行线的定义，求得
AB＝AF，所以四边形ABEF是菱形．
【解答】解：甲的作法正确；
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DAC＝∠ACB，
∵EF是AC的垂直平分线，
∴AO＝CO，
在△AOE和△COF中，
，
∴△AOE≌△COF（ASA），
∴AE＝CF，
又∵AE∥CF，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵EF⊥AC，
∴四边形AECF是菱形；
乙的作法正确；
∵AD∥BC，
∴∠1＝∠2，∠6＝∠7，
∵BF平分∠ABC，AE平分∠BAD，
∴∠2＝∠3，∠5＝∠6，
∴∠1＝∠3，∠5＝∠7，
∴AB＝AF，AB＝BE，
∴AF＝BE
∵AF∥BE，且AF＝BE，∴四边形ABEF是平行四边形，
∵AB＝AF，
∴平行四边形ABEF是菱形；
故选：C．
7．（2021春•路北区期末）如图，小聪在作线段AB的垂直平分线时，他是这样操作的：分别以 A和B为
圆心，大于 AB的长为半径画弧，两弧相交于C、D，则直线CD即为所求．根据他的作图方法可知四
边形ADBC一定是（ ）
A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．等腰梯形
【分析】根据菱形的判定方法：四条边都相等的四边形是菱形进行判定即可．
【解答】解：根据作图方法可得AC＝AD＝BD＝BC，
因此四边形ADBC一定是菱形，
故选：B．
8．（2022•五华区校级模拟）如图，AP是△ABC的角平分线，MN垂直平分AP，且交AP于点D，判断以
下结论错误的是（ ）
A．MP∥AC B．AM＝AN
C．PA是∠MPN的平分线 D．四边形AMPN是矩形
【分析】由线段垂直平分线的性质得 AM＝PM，AN＝PN，则∠MAP＝∠MPA，∠NAP＝∠NPA，再证
∠MAP＝∠MPA＝∠NAP＝∠NPA，则AM∥PN，MP∥AC，得四边形AMPN是平行四边形，然后证平行四边形AMPN是菱形，即可得出结论．
【解答】解：∵MN垂直平分AP，
∴AM＝PM，AN＝PN，
∴∠MAP＝∠MPA，∠NAP＝∠NPA，
∵AP是△ABC的角平分线，
∴∠MAP＝∠NAP，
∴∠MAP＝∠MPA＝∠NAP＝∠NPA，
∴AM∥PN，MP∥AC，
∴四边形AMPN是平行四边形，
又∵AM＝PM，
∴平行四边形AMPN是菱形，
∴AM＝AN，PA是∠MPN的平分线，
故选项A、B、C不符合题意，选项D符合题意，
故选：D．
9．（2022•大名县三模）如图，在 ABCD中，E、F分别为边AD、BC的中点，点G、H在AC上，且AH
＝CG，若添加一个条件使四边形▱EGFH是菱形，则下列可以添加的条件是（ ）
A．AB＝AD B．AB⊥AD C．AB＝AC D．AB⊥AC
【分析】根据平行四边形的性质得到 AD＝BC，AD∥BC，推出四边形 ABFE是平行四边形，得到
AB∥EF，根据全等三角形的性质得到EG＝FH，∠AGE＝∠CHF，推出四边形EGFH是平行四边形，
连接EF交AC于O，根据菱形的判定定理即可得到结论．
【解答】解：可以添加的条件是AB⊥AC，
理由：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∵E、F分别为边AD、BC的中点，
∴AE＝ AD，BF＝CF＝ BC，
∴AE＝BF＝CF，
∴四边形ABFE是平行四边形，∴AB∥EF，
∵AD∥BC，
∴∠EAG＝∠FCH，
∵AH＝CG，
∴AH﹣HG＝CG﹣HG，
即AG＝CH，
∴△AEG≌△CFH（SAS），
∴EG＝FH，∠AGE＝∠CHF，
∴∠EGH＝FHG，
∴EG∥FH，
∴四边形EGFH是平行四边形，
连接EF交AC于O，
∵AB∥EF，AB⊥AC，
∴EF⊥AC，
∴四边形EGFH是菱形，
故选：D．
10．（2022•上海模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，平行四边形BCDE的顶点E在边AB上，联
结CE、AD．添加一个条件，可以使四边形ADCE成为菱形的是（ ）
A．CE⊥AB B．CD⊥AD C．CD＝CE D．AC＝DE
【分析】设AC于ED交于点O，证明△AOE≌△COD，可得OA＝OC，可以判断四边形ADCE是平行
四边形，再根据一组邻边相等的平行四边形是菱形即可解决问题．
【解答】解：添加CD＝CE，可以使四边形ADCE成为菱形，理由如下：
如图，设AC于ED交于点O，∵四边形BCDE是平行四边形，
∴DE∥BC，BE∥CD，
∴∠AOE＝∠ACB＝90°，
∴AC⊥DE，
∵CD＝CE，
∴OD＝OE，
∵AB∥CD，
∴∠EAO＝∠DCO，
在△AOE和△COD中，
，
∴△AOE≌△COD（AAS），
∴OA＝OC，
∵OD＝OE，
四边形ADCE是平行四边形，
∵CE＝CD，
∴四边形ADCE是菱形．
因为添加其他条件，都不可以使四边形ADCE成为菱形．
故选：C．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上
11．（2022•富拉尔基区三模）如图，在△ABC中，点D，E，F分别是边BC，CA，AB的中点，使四边形
AFDE为菱形，应添加的条件是 AF ＝ AE （添加一个条件即可）．【分析】根据三角形中位线定理可得DF∥AC，DE∥AB，进而可得四边形AFDE为平行四边形，再AF
＝AE，可得四边形AFDE为菱形．
【解答】解：添加AF＝AE，
∵点D，E，F分别是边BC，CA，AB的中点，
∴DF∥AC，DE∥AB，
∴四边形AFDE为平行四边形，
∵AF＝AE，
∴四边形AFDE为菱形，
故答案为：AF＝AE．
12．（2021秋•陈仓区期中）如图，AD∥BC，AB∥DC，AB＝4，∠ADE＝150°，那么∠A＝ 120 ° 时，
四边形ABCD是菱形，且BD＝ 4 ．
【分析】首先根据菱形的性质及外角的性质求得∠ADB＝∠ABD，从而求得∠A，然后根据特殊角及AB
的长即可求得对角线BD的长．
【解答】解：∵AD∥BC，AB∥DC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵∠ADE＝150°，
∴∠ADB＝30°，
当四边形ABCD是菱形时，AB＝AD，
则∠ADB＝∠ABD＝30°，
此时∠A＝120°，
∵AB＝4，
∴BD＝4 ，
故答案为：120°，4 ．13．（2019春•陵城区期末）如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，添加一个条件判定
ABCD是菱形，所添条件为 AB ＝ AD▱ （写出一个即可）
▱
【分析】根据一组邻边相等的平行四边形是菱形，对角线互相垂直的平行四边形是菱形可得解．
【解答】解：根据一组邻边相等的平行四边形是菱形，则可添加条件为：AB＝AD（AD＝CD，BC＝
CD，AB＝BC）
也可添加∠1＝∠2，根据平行四边形的性质，可求AD＝CD．
根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，则可添加条件为：AC⊥BD．
故答案为：AB＝AD（答案不唯一）
14．（2015春•阳谷县期中）如图所示，正方形 ABCD中，E、F是对角线AC上两点，连接BE、BF、
DE、DF，则添加一个条件 BE ＝ BF ，可以判定四边形BEDF是菱形．
【分析】根据正方形的性质可得AD＝AB，∠DAE＝∠BAE＝45°，再证明△ADE≌△ABE可得ED＝
EB，同理可得DF＝BF，再加上条件EB＝FB，可得四边形BEDF是菱形．
【解答】解：添加条件BE＝BF．
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝AB，∠DAE＝∠BAE＝45°，
在△ABE和△ADE中 ，
∴△ADE≌△ABE（SAS），
∴ED＝EB，
同理：DF＝BF，
∵EB＝FB，
∴四边形BEDF是菱形．
故答案为：BE＝BF．15．（2022春•同安区期中）如图，在Rt△ABF中，∠BAF＝90°，∠B＝30°，将Rt△ABF沿着BE方向平
移到Rt△DEC的位置，此时点E恰为边BF的中点，若AE＝2，则四边形AEFD的面积为 2 ．
【分析】根据平移的性质，AD∥BE，AD＝BE，再利用线段中点可得BE＝EF，从而可得AD＝EF，进
而可得四边形AEFD是平行四边形，然后利用直角三角形斜边上的中线性质可得 AE＝EF，从而可得四
边形AEFD是菱形，进而可得四边形AEFD的面积＝2△AEF的面积，最后利用含30度角的直角三角形
的性质可得AF＝ BF＝2，AB＝ AF＝2 ，从而求出△ABF的面积，即可解答．
【解答】解：由平移得：
AD∥BE，AD＝BE，
∵点E为边BF的中点，
∴BE＝EF，
∴AD＝EF，
∴四边形AEFD是平行四边形，
∵∠BAF＝90°，
∴AE＝EF＝ BF，
∴四边形AEFD是菱形，
∴四边形AEFD的面积＝2△AEF的面积，
∵AE＝2，
∴BF＝2AE＝4，
∵∠B＝30°，
∴AF＝ BF＝2，AB＝ AF＝2 ，
∴△ABF的面积＝ AB•AF＝ ×2 ×2＝2 ，
∵△ABF的面积＝2△AEF的面积，
∴四边形AEFD的面积＝△ABF的面积＝2 ；
故答案为：2 ．
16．（2022•夏津县二模）如图，△ABC是边长为1的等边三角形，D，E为线段AC上两动点，且∠DBE＝30°，过点D，E分别作AB，BC的平行线相交于点F，分别交BC，AB于点H，G．现有以下结论：
①S△ABC ＝ ；②当点D与点C重合时，FH＝ ；③AE+CD＝ DE；④当AE＝CD时，四边形
BHFG为菱形．则其中正确的结论的序号是 ①②④ ．
【分析】①利用三角形的面积公式计算即可；
②依题意画出图形，利用等边三角形和平行线的性质求出FH即可；
③将△CBD绕点B逆时针旋转60°，得到△ABN，由“SAS”可证△DBE≌△NBE，可得DE＝NE，在
Rt△PNE中，利用勾股定理可得AE，CD，DE的关系，可判断③；
④先证△AGE，△DCH都是等边三角形，可得AG＝AE＝CH＝CD，利用菱形的判定定理判定即可．
【解答】解：①过点A作AP⊥BC于点P，如图1：
∵△ABC是边长为1的等边三角形，AP⊥BC，
∴BP＝ BC＝ ，
∴AP＝ ，
∴ ．故①正确；
②当点D与点C重合时，H，D，C三点重合，如图2：∵∠DBE＝30°，∠ABC＝60°，
∴BE是∠ABC的平分线，
∵AB＝BC，
∴AE＝EC＝ AC＝ ，
∵CF∥AB，
∴∠FCA＝∠A＝60°，
∵GF∥BC，
∴∠FEC＝∠ACB＝60°，
∴∠FCE＝∠FEC＝60°，
∴∠FCE＝∠FEC＝∠F＝60°，
∴△EFC为等边三角形，
∴FC＝EC＝ ，
即FH＝ ．故②正确；
③如图3，将△CBD绕点B逆时针旋转60°，得到△ABN，连接NE，过点N作NP⊥AC，交CA的延长
线于P，∴BD＝BN，CD＝AN，∠BAN＝∠C＝60°，∠CBD＝∠ABN，
∵∠DBE＝30°，
∴∠CBD+∠ABE＝30°＝∠ABE+∠ABN＝∠EBN，
∴∠EBN＝∠DBE＝30°，
又∵BD＝BN，BE＝BE，
∴△DBE≌△NBE（SAS），
∴DE＝NE，
∵∠NAP＝180°﹣∠BAC﹣∠NAB＝60°，
∴AP＝ AN，NP＝ AP＝ AN＝ CD，
∵NP2+PE2＝NE2，
∴ CD2+（AE+ CD）2＝DE2，
∴AE2+CD2+AE•CD＝DE2，故③错误；
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A＝∠ABC＝∠C＝60°，
∵GF∥BH，BG∥HF，
∴四边形BHFG是平行四边形，
∵GF∥BH，BG∥HF，
∴∠AGE＝∠ABC＝60°，∠DHC＝∠ABC＝60°，
∴△AGE，△DCH都是等边三角形，
∴AG＝AE，CH＝CD，
∵AE＝CD，
∴AG＝CH，
∴BH＝BG，
∴ BHFG是菱形，故④正确，
故▱答案为：①②④．
17．（2022春•夏邑县期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，D为斜边AB上一点，
以CD、CB为边作平行四边形CDEB，当AD＝ 时，平行四边形CDEB为菱形．【分析】根据勾股定理求得AB＝5，再由菱形的性质得OD＝OB，CD＝CB，然后由勾股定理求出OB
的长，即可得出答案．
【解答】解：如图，连接CE交AB于点O．
∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，
∴AB＝ ＝5．
若平行四边形CDEB为菱形，
则CE⊥BD，OD＝OB，CD＝CB．
∵S△ACB ＝ AB•OC＝ AC•BC，
∴OC＝ ．
在Rt△BOC中，根据勾股定理得，OB＝ ，
∴AD＝AB﹣2OB＝ ．
故答案为： ．
18．（2022•金水区校级模拟）如图，在 ABCD中，∠D＝30°，对角线AC＝AD＝3，点E，F分别为
CD，AB边上的动点，且DE＝BF．现将▱△ADE关于直线AE对称，点D的对应点记为D′，将△CBF
关于直线CF对称，点B的对应点记为B′，当以点A，B'，C，D'为顶点的四边形是菱形时，DE的长
度为 ．【分析】连接CD'，AB'，先证△ACD'是等边三角形，再证∠ED'C＝90°，再在Rt△CD'E中利用三角函
数求出D'E，进而解答即可．
【解答】解：连接CD'，AB'，
∵四边形AB'CD'是菱形，
∴AB'＝CD'＝AD'＝B'C，
根据对称的性质有AD＝AD'，∠D＝∠AD'E＝30°，
∵AC＝AD＝3，
∴AD'＝AC＝CD'，
∴△ACD'是等边三角形，
∴∠ACD'＝∠AD'C＝60°，
∴∠ED'C＝90°，
∵AC＝AD，
∴∠D＝∠ACD＝30°，
∴∠DCD'＝∠ACD'﹣∠ACD＝60°﹣30°＝30°，
在Rt△CD'E中，tan∠DCD'＝ ，
∴D'E＝D'C×tan∠DCD'＝3×tan30°＝3× ，
根据对称的性质有DE＝D'E＝ ，
故答案为： ．
三、解答题（本大题共6小题，共66分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2022•南京模拟）如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，E是CD上一点，BE交AC于F，连接DF．
（1）求证：∠BAC＝∠DAC．
（2）若AB∥CD，试证明四边形ABCD是菱形．
【分析】（1）根据SSS证明△ABC≌△ADC，即可解决问题；
（2）先证明AD＝CD，根据已知可得AB＝AD＝CB＝CD，利用四边相等即可解决问题；
【解答】证明：（1）∵在△ABC和△ADC中，
，
∴△ABC≌△ADC（SSS），
∴∠BAC＝∠DAC，
（2）∵AB∥CD，
∴∠BAC＝∠DCA，
∵∠BAC＝∠DAC，
∴∠DCA＝∠DAC，
∴AD＝CD，
∵AB＝AD，CB＝CD，
∴AB＝CB＝CD＝AD，
∴四边形ABCD是菱形．
20．（2018秋•宁德期末）利用所给的图形证明：一个顶点到它所对的两边距离相等的平行四边形是菱形．
（写出已知、求证并加以证明）
已知：
求证：
证明：【分析】由平行四边形的性质可得∠A＝∠C，由“AAS”可证△DAE≌△DCF，可得AD＝DC，即可得
结论．
【解答】解：已知：在 ABCD中，DE⊥AB，DF⊥BC，DE＝DF，
求证： ABCD是菱形▱
证明：▱∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A＝∠C，
∵DE⊥AB，DF⊥BC，
∴∠DEA＝∠DFC＝90°，
又∵DE＝DF，
∴△DAE≌△DCF（AAS）
∴DA＝DC，
∴ ABCD是菱形
21．（▱2022•武威模拟）如图，在四边形 ABCD 中，AB∥CD，点 E 是对角线 AC 上一点，∠ADC＝
∠ABC．
（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；
（2）分别过点E，B作EF∥AB，BF∥AC，当∠FCE和∠DCE满足怎么样的数量关系时，四边形
EFCD是菱形？请说明理由．
【分析】（1）由平行线的在得∠ABC+∠BCD＝180°．再证∠ADC+∠BCD＝180°，则AD∥BC，然后由
平行四边形的判定即可得出结论；
（2）先证四边形ABFE是平行四边形，得 AB∥EF，AB＝EF，再证CD∥EF，CD＝EF，则四边形
EFCD是平行四边形，然后证EF＝FC，即可得出结论．
【解答】（1）证明：∵AB∥CD，∴∠ABC+∠BCD＝180°．
∵∠ADC＝∠ABC，
∴∠ADC+∠BCD＝180°，
∴AD∥BC，
又∵AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形；
（2）解：∠FCE＝∠DCE时，四边形EFCD是菱形，理由如下：
∵EF∥AB，BF∥AE，
∴四边形ABFE是平行四边形，
∴AB∥EF，AB＝EF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∴CD∥EF，CD＝EF，
∴四边形EFCD是平行四边形，
∵CD∥EF，
∴∠FEC＝∠DCE，
又∵∠FCE＝∠DCE，
∴∠FEC＝∠FCE，
∴EF＝FC，
∴平行四边形EFCD是菱形．
22．（2022春•郯城县期末）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，M是BD上任意
一点，连接AM并延长至点N，使AM＝MN，交BC于H，连接CN、BN．
（1）求证：OM∥CN．
（2）连接CM，若AD⊥AN，且AC＝AB，求证：四边形BNCM是菱形．
【分析】（1）由平行四边形的性质得OA＝OC，再证OM是△ACN的中位线，即可得出结论；
（2）证△MBH≌△NCH（ASA），得MH＝NH，再证四边形BNCM是平行四边形，然后由菱形的判定定理即可得出结论．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，
∵AM＝MN，
∴OM是△ACN的中位线，
∴OM∥CN；
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∵AD⊥AN，
∴BC⊥AN，
∵AB＝AC，
∴BH＝CH，
由（1）可知，OM∥CN，
∴∠MBH＝∠NCH，
在△MBH和△NCH中，
，
∴△MBH≌△NCH（ASA），
∴MH＝NH，
∴四边形BNCM是平行四边形，
又∵BC⊥MN，
∴平行四边形BNCM是菱形．
23．（2022春•巴东县期末）已知点E是平行四边形ABCD边CD上的一点（不与点C，D重合）．
（1）如图1，当点E运动到CD的中点时，连接AE、BE，若AE平分∠BAD，证明：CE＝CB．
（2）如图2，过点E作EF⊥DC交直线CB于点F，连接AF．若∠ABC＝120°，BC＝2 ．封AB＝
4．在线段CF上是否存在一点H．使得四边形AFHD为菱形？若存在，请求出ED，CH的长；若不存
在，请简单地说明理由．【分析】（1）先根据平行四边形的性质证得∠DEA＝∠BAE，再根据角平分线的性质证得∠DAE＝
∠DEA，得出AD＝DE，根据E是CD的中点得出AE＝CE，进而得出CE＝CB，结论得证．
（2）当DH⊥CF且CE＝1+ 时，四边形AFHD为菱形，先根据一组对边平行且相等的四边形是平行
四边形证明四边形AFHD是平行四边形，再证明AD＝DH证得平行四边形AFHD是菱形．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AD＝BC，
∴∠DEA＝∠BAE，
又∵AE平分∠BAD，
∴∠DAE＝∠BAE，
∴∠DAE＝∠DEA，
∴AD＝DE，
又∵E是CD的中点，
∴DE＝CE，
∴CE＝CB；
（2）解：存在，当DH⊥CF且CE＝1+ 时，四边形AFHD为菱形，
理由如下：过点D作DH⊥CF于H，如图所示：
∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB＝CD＝4，AD＝BC＝2 ，∠ABC＝∠ADC＝120°，∴∠BAD＝∠BCD＝60°，
∵CE＝1+ ，
∴DE＝CD﹣CE＝4﹣（1﹣ ）＝3﹣ ，
在Rt△CHD中，∠CHD＝90°，∠DCH＝60°，
∴∠CDH＝30°，
∴CH＝ CD＝2，
∴DH＝ ，
∴AD＝DH，
在Rt△CEF中，∠CEF＝90°，∠ECF＝60°，
∴∠CFE＝30°，
∴CF＝2CE＝2（1+ ）＝2+2 ，
∴FH＝CF﹣CH＝2+2 ﹣2＝2
∴AD＝FH，
在平行四边形ABCD中，AD∥BC，点F在CB的延长线上，
∴AD∥FH，
∴四边形AFHD是平行四边形，
又∵AD＝DH，
∴平行四边形AFHD是菱形．
24．（2022秋•鄄城县期中）如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，BD＝12cm，AC＝
6cm，点E在线段BO上从点B出发以1cm/s的速度向点O运动，点F在线段OD上从点O出发以2cm/s
的速度向点D运动．
（1）若点E，F同时运动，设运动时间为ts，当t为何值时，四边形AECF是平行四边形？
（2）在（1）的条件下，当AB为何值时，平行四边形AECF是菱形？
【分析】（1）若是平行四边形，所以BD＝12cm，则B0＝DO＝6cm，故有6﹣1t＝2t，即可求得t值；
（2）由菱形的性质得AC⊥EF，再由勾股定理求出AB的长即可．【解答】解：（1）若四边形AECF为平行四边形，
则OA＝OC，OE＝OF，
∵四边形ABCD为平行四边形，BD＝12cm，AC＝6cm，
∴BO＝OD＝6cm，OA＝OC＝3cm，
∴OE＝（6﹣t）cm，OF＝2tcm，
∴6﹣t＝2t，
∴t＝2，
∴当t为2时，四边形AECF是平行四边形；
（2）若四边形AECF是菱形，
则AC⊥EF，
∴AO2+BO2＝AB2，
∴AB＝ ＝3 （cm），
∴当AB为3 cm时， AECF是菱形．
▱
