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第一篇 热点、难点突破篇
专题18 圆锥曲线的几何性质问题（练）
【对点演练】
一、单选题
1．（2022秋·福建宁德·高三校考期末）已知抛物线 的焦点为F，抛物线上一点 满足
，则 （ ）
A．1 B．2 C． D．
【答案】A
【分析】根据抛物线焦半径公式列出方程，求出 的值.
【详解】由抛物线定义知： ，所以 ，解得： .
故选：A
2．（2023秋·贵州铜仁·高三统考期末）已知抛物线 的焦点为 ，点 是抛物线 上不同两点，
且 中点的横坐标为 ，则 （ ）
A．4 B．5 C．6 D．8
【答案】D
【分析】根据抛物线焦半径公式求解即可.
【详解】解：由题知 ，即 ，设 ，
因为 中点的横坐标为 ，所以 ，
所以，由抛物线焦半径公式得
故选：D．
3．（2023·高三课时练习）已知椭圆 的左准线为l，左、右焦点分别为 、 ，抛物线 的准
线也为l，焦点是 ， 与 的一个交点为点P，则 的值等于（ ）A． B． C．4 D．8
【答案】B
【分析】由椭圆方程得出 ，即可得椭圆的离心率，设 到准线 的距离为 ，由 是抛物线上的点得
，由 是椭圆上的点得 ，且 ，从而可求得 ．
【详解】椭圆 中， ， ， ，因此左准线 的方程为 即 ，又
，设 到准线 的距离为 ，
由 是抛物线上的点得 ，
由 是椭圆上的点得 ，且 ，解得 ．
故选：B．
4．（2023·全国·校联考模拟预测）已知抛物线 的焦点为 ，过点 的直线 交 于 两点，
为坐标原点，记 与 的面积分别为 和 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】设出直线 ，联立 ，得到两根之和，两根之积，得 ， ，
，利用基本不等式即可求出最值.
【详解】由题意得： ，设直线 ，联立 得：
，设 ，不妨令 ，
则 ，故 ，
，
则 ，
当且仅当 ，即 时，等号成立.
故选：B
5．（2022秋·福建宁德·高三校考期末）已知双曲线 的左、右焦点分别为 ，过 的直
线l交双曲线于A，B两点，A，B分别位于第一、第二象限， 为等边三角形，则双曲线的离心率
（ ）
A． B．5 C． D．7
【答案】C
【分析】设 ,由图形性质结合双曲线的定义求出 ，取 的中点 ，利用勾股定理求出 ，
从而得出答案.
【详解】设题意 ，设 ，则
则 ，
由双曲线的定义可得 ，所以
取 的中点 ，连接 ,由 为等边三角形，则 ,且
所以 ，
所以 ，所以
故选：C6．（2023秋·江西抚州·高三临川一中校考期末）已知双曲线 的左、右焦点分别为 ，
，点 的坐标为 ，点 是双曲线在第二象限的部分上一点，且 ， ，则
双曲线的离心率为（ ）
A．3 B．2 C． D．
【答案】B
【分析】由角平分线的性质可得 及双曲线的定义，化简方程即可求双曲线的离心率.
【详解】如图，
因为 ，所以 ，由 可得 ，
由双曲线定义可知 ，
由 知： 平分 ，所以 ，即 ，整理得： ，
由 ， ，可化简为 ，
即 ，可得 ，解得 或 （舍去），
故选：B
二、多选题
7．（2023秋·江苏扬州·高三校联考期末）已知非零常数a，若点A的坐标为 ，点B的坐标为 ，直
线 与 相交于点P，且它们的斜率之积为非零常数 ，那么下列说法中正确的有（ ）．
A．当 时，点P的轨迹加上A，B两点所形成的曲线是焦点在x轴上的椭圆
B．当 时，点P的轨迹加上A，B两点所形成的曲线是圆心在原点的圆
C．当 时，点P的轨迹加上A，B两点所形成的曲线是焦点在y轴上的椭圆
D．当 时，点P的轨迹加上A，B两点所形成的曲线是焦点在x轴上的双曲线
【答案】BD
【分析】设点P的坐标为 ，根据已知条件，求得轨迹方程，然后根据平方项的系数的正负，同号异号，
同号时相等与否分类讨论即可判断.
【详解】设点P的坐标为 ，则 ，所以 .
当 时， ，即 ，
所以点P的轨迹加上A，B两点所形成的曲线是焦点在y轴上的椭圆，故A错误.
当 时， ，
所以点P的轨迹加上A，B两点所形成的曲线是圆心在原点的圆，故B正确.
当 时， ，
所以点P的轨迹加上A，B两点所形成的曲线是焦点在x轴上的椭圆，故C错误.
当 时， ，
所以点P的轨迹加上A，B两点所形成的曲线是焦点在x轴上的双曲线，故D正确.
故选：BD三、填空题
8．（2023·高三课时练习）已知双曲线E： 的左、右焦点分别为 、 ，点P在双曲线E上，且
，则 =______.
【答案】9
【分析】根据双曲线的定义即可求得 .
【详解】因为双曲线E ，所以 ，则 ，
又因为 ，则 ，即 或 ，
又 ，故 .
故答案为：9.
9．（2022·全国·统考高考真题）记双曲线 的离心率为e，写出满足条件“直线 与
C无公共点”的e的一个值______________．
【答案】2（满足 皆可）
【分析】根据题干信息，只需双曲线渐近线 中 即可求得满足要求的e值.
【详解】解： ，所以C的渐近线方程为 ,
结合渐近线的特点，只需 ，即 ，
可满足条件“直线 与C无公共点”
所以 ，
又因为 ，所以 ，故答案为：2（满足 皆可）
10．（2022·全国·统考高考真题）若双曲线 的渐近线与圆 相切，则
_________．
【答案】
【分析】首先求出双曲线的渐近线方程，再将圆的方程化为标准式，即可得到圆心坐标与半径，依题意圆心到
直线的距离等于圆的半径，即可得到方程，解得即可．
【详解】解：双曲线 的渐近线为 ，即 ，
不妨取 ，圆 ，即 ，所以圆心为 ，半径 ，
依题意圆心 到渐近线 的距离 ，
解得 或 （舍去）．
故答案为： ．
【冲刺提升】
一、单选题
1．（2023秋·江西·高三校联考期末）如图，已知抛物线E： 的焦点为F，过F且斜率为1的直
线交E于A，B两点，线段AB的中点为M，其垂直平分线交x轴于点C， 轴于点N.若四边形 的
面积等于8，则E的方程为（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据 求出 的坐标，然后得 的方程，令 ，得 的坐标，利用直角梯形的面积求出 ，
可得抛物线方程.
【详解】易知 ，直线AB的方程为 ，四边形OCMN为直角梯形，且 .
设 ， ， ，则 ，
所以 ，所以 ， ，∴ .
所以MC直线方程为 ，∴令 ，∴ ，∴ .
所以四边形OCMN的面积为 ，∴ .
故抛物线E的方程为 .
故选：B.
2．（2022秋·福建宁德·高三校考期末）设椭圆 的左、右焦点分别为 ， ，点 ，
在 上（ 位于第一象限），且点 ， 关于原点对称，若 ， ，则 的离心
率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由题知四边形 是矩形，其中 ，进而根据 ，结合勾股定理与椭圆定
义求解即可.【详解】解：因为 ，点 ， 关于原点对称
所以，线段 互相平分，且相等，
所以四边形 是矩形，其中 ，
设 ，
所以， ，
所以椭圆离心率为
故选：C
3.（2023秋·贵州铜仁·高三统考期末）已知 是双曲线 的左、右焦点，过 的直线l与
双曲线的左支交于点A，与右支交于点B，若 ，且双曲线的离心率为 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由已知条件和双曲线的定义可得 ， ， ， ，由
，应用余弦定理，化简可得【详解】由双曲线定义和题设条件，得 ， ， ．
如图所示，因为 ，所以 ．
又由双曲线定义，得 ,因为 ，所以 ．
在 和 中， ，有 ，
应用余弦定理，得 ，
得 ，化简得 ，所以 ．
故选：B．
二、多选题
4．（2023秋·河北邯郸·高三统考期末）已知双曲线 的上、下焦点分别为 ，点P在双曲线上且
位于x轴上方，则下列结论正确的是（ ）
A．线段 的最小值为1
B．点P到两渐近线的距离的乘积为
C．若 为直角三角形，则 的面积为5
D． 的内切圆圆心在直线 上
【答案】ABD
【分析】根据给定条件，求出双曲线的焦点坐标及实轴长，再结合双曲线的范围、定义计算判断ABC；作图结合定义求出双曲线内切圆圆心纵坐标判断D作答.
【详解】双曲线 的焦点 ，实轴长 ，设点 ，有 ，
对于A， ，则 ，当且仅当 时取等号，A正确；
对于B，双曲线渐近线 ，则点P到两渐近线的距离的乘积为：
，B正确；
对于C， 为直角三角形，
当 时， ，解得 ，
，
当 时， ，解得 ，
，C不正确；
对于D，如图，圆C是 的内切圆，切点分别为 ，设点 ，
由双曲线的定义及圆的切线性质得： ，
解得 ，而 ，即直线 方程为： ，所以 的内切圆圆心在直线 上，D正确.
故选：ABD
5．（2023秋·山西太原·高三统考期末）已知抛物线 的焦点为 ，过点 的直线交 于 两个不
同点，则下列结论正确的是（ ）
A．若点 ，则 的最小值是3
B． 的最小值是2
C．若 ，则直线 的斜率为
D．过点 分别作抛物线 的切线，设两切线的交点为 ，则点 的横坐标为
【答案】ACD
【分析】过点 分别作准线的垂线，垂足分别为 ，进而根据抛物线的定义判断A；根据
判断B；设直线 的方程为 ， ，进而联立方程，
结合韦达定理，根据 解方程即可得判断C；根据直线与曲线的位置关系得过点 ，
分别与抛物线 相切的直线方程为 ， ，进而联立方程解得 可判
断D.
【详解】解：由题知 ， ，准线方程为 ，
对于A选项，如图，过点 分别作准线的垂线，垂足分别为 ，故 ，
故正确；
对于B选项，设 ，故 ，故错误；
对于C选项，当直线 的斜率不存在时， ，不成立；故直线 的斜率存在，设方程为 ，与抛物线方程联立 得 ，
所以 ，
因为 ，
所以 ，即 ，解得 ，故正确；
对于D选项，设过点 与抛物线 相切的直线方程为 ，
与抛物线方程 联立得 ，
所以 ，整理得 ，
所以 ，故 即为 ，整理得
同理得过点 与抛物线 相切的直线方程为 ，
所以，联立方程 ，解方程得 ，
因为 ，所以
所以 ，即点 的横坐标为 ，故正确.
故选：ACD三、填空题
6．（2023·高三课时练习）已知 、 是椭圆 的两个焦点，P为椭圆C上的一点，且
，若 的面积为9，则b=______．
【答案】3
【分析】利用三角形 的面积列方程，由此求得 .
【详解】设 ，
由于 ，所以 ，
，
所以 .
故答案为：
7．（2023·广西柳州·统考模拟预测）双曲线 的一条渐近线与曲线 交于M、N两个不
同的点，则 __________．
【答案】 ##
【分析】根据题意先求出双曲线 的一条渐近线方程，然后与曲线联立，求出交点 、 的坐标，
代入两点间距离公式即可求解.【详解】由题意知：双曲线 的渐近线方程为： ，
不妨取 ，即 ，
因为曲线 可化为 ，
联立方程组 ，解得： 或 ，取 ，
所以 ，
故答案为： .
8．（2023·高三课时练习）设平面直角坐标系中，O为原点，N为动点， ， ，过点M作
轴于点 ，过点N作 轴于点 ，M与 不重合，N与 不重合，设 ，
则点T的轨迹方程是______.
【答案】
【分析】设出点 的坐标，根据 ，可以知道点 的横坐标和纵坐标之间的关系， 可以
求出 的坐标，进而根据已知的条件，求出 、 的坐标，设出点 的坐标，通过 ，可以
得到 的坐标和 的坐标之间的关系，再根据点 的横坐标和纵坐标之间的关系，求出点 的轨迹方程.
【详解】设点 ，因为 ，所以有 ，因为 ，所以有 ，
由题意可知： ， ，因为 与 不重合， 与 不重合，所以 且 ，
设 ，因为 ，所以有 ，而 ，所以 ，又因为 且 ，
故答案为： （ 且 ）
9．（2023秋·海南·高三统考期末）如图，已知 ， 分别是椭圆 的左、右焦点，M，
N为椭圆上两点，满足 ，且 ，则椭圆C的离心率为________．
【答案】
【分析】如图，延长 ，与椭圆交于点L，连接 ，设 可得 ，在 中，
用余弦定理可得到 ，继而得到 ，即可求解
【详解】设椭圆的半焦距为 ，
如图，延长 ，与椭圆交于点L，连接 ，
由 ，所以根据对称性可知， ，
设 ，则 ， ，
从而 ，故 ，
在 中， ，所以 ，在 中， ，即 ，
所以 ，所以 ，所以离心率 ，
故答案为：
10．（2023秋·河北邯郸·高三统考期末）已知抛物线 的焦点为F，若 在抛物线C上，且满足
，则 的最小值为______.
【答案】9
【分析】设直线 的倾斜角为 ，用 表示出 ，由此建立关于 的函数，再换元利用导数
求解作答.
【详解】抛物线 的焦点为 ，依题意，不妨设直线 的倾斜角为 ，且 ，
由抛物线定义得： ，即 ，
同理 ，
，
因此 ，令 ， ，令 ，
，由 得 或 ，由 得 ，
因此函数 在 上单调递减，在 上单调递增，当 时， ，此时 ，
于是得 ，所以当 时， 取得最小值9.
故答案为：9
【点睛】方法点睛：圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法：
（1）几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用几何法来解决；
（2）代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最
值或范围．
四、解答题
11．（2023·高三课时练习）已知 、 是双曲线 的左、右焦点.
(1)求证：双曲线C上任意一点M到双曲线两条渐近线的距离之积为常数；
(2)过 且垂直于x轴的直线交C于P、Q两点， ，且C过点（1，0），求双曲线C的方程.
【答案】(1)证明见解析；
(2) ．
【分析】（1）设 是双曲线上任一点，则 ，即 ，计算点 到两渐近线的距
离之积即可得证；
（2）由题意得 ，令 代入双曲线方程求得 坐标得 ，由 得 ，从而求
得 ，得双曲线方程．
【详解】（1）设 是双曲线上任一点，则 ，即 ，双曲线的两条渐近线方程为 ，
∴ 到两条渐近线的距离之积为 为常数．
（2） ，
由 得 ， ， ，
由题意 ，又 ，则 ，而 ，所以 ，
，即 ，
双曲线过点（1，0），则 ，
所以 ，解得 （负值舍去）， ，
双曲线方程为 ．
12．（2023秋·宁夏石嘴山·高三石嘴山市第三中学校考期末）如图，点A是椭圆 的短
轴位于y轴下方的端点，过点A且斜率为1的直线交椭圆于点B，P在y轴上，且 轴， .
(1)若点P的坐标为（0，1），求椭圆C的标准方程；
(2)若点P的坐标为（0，t），求t的取值范围.
【答案】(1) ；(2)
【分析】（1）根据平面向量数量积的坐标表示公式，结合共线向量的性质进行求解即可；
（2）根据平面向量数量积的坐标表示公式，结合共线向量的性质、椭圆标准方程中 关系进行求解即可.
【详解】（1）由 ，因为过点A且斜率为1的直线交椭圆于点B，所以直线 的方程为
，因为P的坐标为（0，1）， 轴，
所以 ，因而 ， ，
由 （舍去），即 ，
又因为 在该椭圆上，所以有 ，
所以该椭圆的标准方程为 ；
（2）由（1）可知： ，点P的坐标为（0，t），显然 ，
所以 ， ， ，
由 ，即 ，代入椭圆标准方程中，得
，
因为 ，所以有 ，
所以t的取值范围为 .
