文档内容
10.5 抛物线（精讲）（基础版）
思维导图考点呈现
例题剖析
考点一 抛物线的定义及应用
【例1-1】（2022·北京·高三开学考试）已知点 为抛物线 上的点，且点P到抛物线C的
焦点F的距离为3，则 ____________．
【答案】2
【解析】抛物线 的焦点为 ，准线为 ，
因为点 为抛物线 上的点，且点P到抛物线C的焦点F的距离为3，
所以 ，得 ，故答案为：2
【例1-2】（2022·广西贵港 ）已知点 是拋物线 的焦点， 是 上的一点，
，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由抛物线的定义可知， ，所以 ．故选：C.
【一隅三反】
1．（2022·河北）若点 在抛物线 上， 为抛物线的焦点，则 ______．
【答案】5
【解析】由题意，知抛物线的准线方程为 ，点A到准线的距离为 ，因为点 在抛物线 上，故 的长度等于点A到准线的距离，
所以 ,故答案为：5
2．（2022·吉林）抛物线 上任意一点P到点 的距离最小值为___________.
【答案】
【解析】设 ，则 ，
因为 ，所以 ，当 时取得最小值
4，
故答案为：4
3．（2022·河南）已知抛物线 的焦点是 ，点 是抛物线上的动点，若 ，则 的最
小值为______，此时点 的坐标为______．
【答案】
【解析】易知点 在抛物线内部，设抛物线的准线为 ，则 的方程为 ，过点 作 于点 ，则
，当 ，即 ， ， 三点共线时， 最小，最小值为 ，此时
点 的纵坐标为2，代入 ，得 ，所以此时点 的坐标为 ．
故答案为： ； ．考点二 抛物线的标准方程
【例2-1】（2022·湖南）顶点在原点，焦点在x轴上且通径长为6的抛物线的标准方程为______．
【答案】
【解析】由抛物线的焦点在x轴上，设其方程为 ，
因为通径长为6，所以 ，所以 ，所以所求抛物线方程为 ．故答案为： ．
【例2-2】（2022·全国·高三专题练习）过抛物线 的焦点F的直线交抛物线于点A，B，交其
准线于点C，若 ，则此抛物线方程为__________．
【答案】
【解析】
如图，作 准线于 ， 准线于 ，设 ，由抛物线定义得 ， ，
故 ，
在直角三角形 中，因为 ， ，所以 ，从而得 ，
设准线与x轴交于 ，则 ，所以 ，因此抛物线方程为 .
故答案为： .【一隅三反】
1．（2022·西藏）已知抛物线过点 ，则抛物线的标准方程为______．
【答案】 或
【解析】∵抛物线过点 ，且点 在第四象限，∴抛物线的开口向右或向下．
若开口向右，则设方程为 ，
∵过点 ，∴ ，∴抛物线的标准方程为 ；
若开口向下，则设方程为 ，
∵过点 ，∴ ，
∴抛物线的标准方程为 ．
综上，抛物线的标准方程为 或 ．
2．（2022北京）已知抛物线 上一点 的纵坐标为 ，该点到准线的距离为6，则该抛
物线的标准方程为______．
【答案】 或
【解析】由于抛物线的准线方程是 ，而点 到准线的距离为6，所以点 的横坐标是 ，
于是 ，代入 ，得 ，解得 或 ，
故该抛物线的标准方程为 或 ．
故答案为： 或 ．
3．（2022·全国·课时练习）下列条件中，一定能得到抛物线的标准方程为 的是______（填序号）
（写出一个正确答案即可）．
①焦点在x轴上；②焦点在y轴上；③抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离为3；④焦点到准线的距离为4；⑤由原点向过焦点的某直线作垂线，垂足坐标为 ．
【答案】①③（答案不唯一）
【解析】若要得到抛物线的方程为 ，则焦点一定在x轴上，故①必选，②不选．
若选①③，由抛物线的定义可知 ，得 ，则抛物线的方程为 ．
若选①⑤，设焦点 ， ， ， ，由 ，得 ，解
得 ，故抛物线的方程为 ．
由④可知 ，故还可选择①④．
故答案可为①③或①⑤或①④．
故答案为：①③（答案不唯一）
考点三 直线与抛物线的位置关系
【例3】（2022·西安）已知抛物线的方程为 ，若过点 的直线 与抛物线有公共点，则直线
的斜率的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由题意知，直线 的斜率存在，设直线 的方程为 ，
代入抛物线方程，消去 并整理，得 ．
当 时（当直线斜率存在时，需要讨论斜率是否为 ），显然满足题意；
当 时， ，
解得 或 ．
综上， ，
故选：A．
【一隅三反】1．（2022·黄石市）（多选）过抛物线 的焦点F的直线l与抛物线C交于 ，
两点，若 ，则直线l的斜率为（ ）
A． B．2 C． D．-2
【答案】BD
【解析】设直线的方程为 ，联立 得 ，
所以, ， ， ,
由题得 .
因为 ，
所以 .
满足 .
故选：BD
2．（2022·贵州贵阳·高三开学考试（理））已知抛物线 的焦点为 是抛物线 上的一点，
若 ， 则 ( 为坐标原点)的面积是（ ）
A． B．1 C．2 D．4
【答案】A
【解析】由题可得 ，因为 ，所以 ， ，
所以 为坐标原点)的面积是 .故选：A.
3．（2022·广东高三开学考试）过点 的两条直线与抛物线C： 分别相切于A，B两点，则
三角形PAB的面积为（ ）
A． B．3 C．27 D．【答案】A
【解析】抛物线 ，即 ，故 ，
设 两点的坐标为 ，则有 ，整理得 ，
同理
故直线 的方程为 ，
由 得 ，
故 ，
因为点 到直线 的距离为 ，
故三角形 的面积为
故选： .
考点四 弦长
【例4-1】（2022·云南玉溪·高二期末）直线 与抛物线 交于 ， 两点，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】抛物线 的焦点为 在直线 上，故 是抛物线的焦点弦，则
由 得： ，所以， ，所以，故选：D.
【例4-2】（2022·广东·高三阶段练习）已知抛物线 的焦点为F，点A，B是抛物线C上不同两
点，且A，B中点的横坐标为2，则 （ ）
A．4 B．5 C．6 D．8
【答案】C
【解析】设 ，由A，B中点的横坐标为2，可得 ，
所以 ．故选：C．
【一隅三反】
1．（2021·江苏扬州·高三月考）直线 过抛物线 的焦点F，且与C交于A，B两
点，则 ___________.
【答案】8
【解析】因为抛物线 的焦点坐标为 ，
又直线 过抛物线 的焦点F，
所以 ，抛物线 的方程为 ，
由 ，得 ，所以 ，
所以 .
故答案为：8.
2．（2021·全国高三（理））已知抛物线 ，过抛物线焦点F的直线与抛物线C交于A､B
两点，交抛物线的准线于点P，若F为PB.中点，且 ，则|AB|=（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【解析】如图，分别过A，B作准线的垂线，垂足为M，N，
由抛物线定义知， ，又F为PB.中点，
则 ， ，
则 ， ， ，
则
故选：D
3．（2022·云南）已知抛物线 上一点 到焦点 的距离为4.
(1)求实数 的值；
(2)若直线 过 的焦点，与抛物线交于 ， 两点，且 ，求直线 的方程.
【答案】(1)
(2) 或
【解析】（1）
由题意可知： ，解得： .
（2）
由（1）知抛物线 ，则焦点坐标为 ，
由题意知直线 斜率不为0，设直线 为： ，
联立直线与抛物线： ，消 得： ，
则
则
所以 ，
解得 ，
所以直线 为： 或
