文档内容
9.2 椭圆（精讲）（提升版）
思维导图考点呈现例题剖析
考点一 椭圆定义及应用
【例1-1】（2022·日照模拟）已知曲线 ，则“ ”是“曲线C是椭圆”的(
)
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】若曲线 表示椭圆，则 ，
故“ ”是“曲线C是椭圆”的必要不充分条件．故答案为：C．
【例1-2】（2022·江阴模拟）设 是椭圆 的左，右焦点，过 的直接l交椭圆于A，B
两点，则 的最大值为（ ）
A．14 B．13 C．12 D．10
【答案】A
【解析】由椭圆的定义，知 ， ，
所以 的周长为 ，所以当 最小时， 最大.又当 时， 最小，此时 ，所以
的最大值为 .故答案为：A.
【例1-3】（2021高三上·桂林月考）点P是椭圆 上的点， 、 是椭圆的左、右焦
点，则△ 的周长是（ ）
A．12 B．10 C．8 D．6
【答案】B
【解析】点P是椭圆 上的点， 、 是椭圆的左、右焦点，
其中 由抛物线定义得： .
△ 的周长为 .故答案为：B.
【一隅三反】
1．（2022·江西模拟）“ ”是“方程 表示椭圆”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分杂件
C．充要杂件 D．既不充分也不必要条件
【答案】D
【解析】由 ，可得 ，
当 时，方程可化为 ，此时方程表示圆，所以充分性不成立；
反之：方程 表示椭圆，则满足 ，即 且 ，所以 不成立，即必要性不成立，所以“ ”是“方程 表示椭圆”的既
不充分也不必要条件.故答案为：D.
2．（2022·江西模拟）“ ， ”是“方程 表示的曲线为椭圆”的（
）
A．充要条件 B．必要不充分条件
C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】D
【解析】[解法一]
方程 即方程 ，表示椭圆的充分必要条件是 ，
显然“ ， ”是“ ”既不充分也不必要条件，
故“ ， ”是“方程 表示的曲线为椭圆”的既不充分也不必要条
件，
[解法二]
当 时，满足“ ， ”，此时题中方程可化为： ，表示的
曲线是圆而不是椭圆，当 时，不满足“ ， ”，只是题中方程可化
为： ，表示中心在原点，半长轴为1，半短轴为 的椭圆，
故：“ ， ”是“方程 表示的曲线为椭圆”的既不充分也不必要
条件，
故答案为：D3．（2021高三上·珠海月考）已知点 ，且 是椭圆 的左焦点， 是椭圆上
任意一点，则 的最小值是（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
【答案】D
【解析】 ， 设椭圆的右焦点为 ，
，
当 在 的正上方时，等号成立.故答案为：D
考点二 椭圆的标准方程
【例2】（2021高三上·信阳开学考）已知椭圆 的左、右焦点分别是
，焦距 ，过点 的直线与椭圆交于 P、Q 两点，若 ，且
，则椭圆C的方程为( )
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】如图， ，则 ，延长 交椭圆C于点M，得 ，
设 ，则 ，据椭圆的定义有 ，在
中， 得 ，
又在 中， 得
故 ，则椭圆C的方程为 .故答案为：A
【一隅三反】
1．（2022·内江模拟）以椭圆 的短轴的一个端点和两焦点为顶点的三角形
为等边三角形，且椭圆 上的点到左焦点的最大距离为6，则椭圆 的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意知：短轴端点与焦点形成等边三角形，则 ，
椭圆上的点到左焦点最大距离为6，即 ，则 ， ， .
则椭圆的标准方程为： .故答案为：C.
2．（2021·全国高三专题练习）阿基米德是古希腊著名的数学家､物理学家，他利用“逼近法”得到椭圆
的面积除以圆周率 等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积，已知在平面直角坐标系 中，椭圆
的面积为 ，两焦点与短轴的一个端点构成等边三角形，则椭圆 的标准方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意得 ，解得 ，
所以椭圆 的标准方程是 .
故选：A
3．（2021·山西长治市·高三月考（文））古希腊数学家阿波罗尼奥斯采用平面切割圆锥的方法来研究
圆锥曲线，用垂直于圆锥轴的平面去截圆锥，得到的截面是圆；把平面再渐渐倾斜得到的截面是椭圆.若
用周长为72的矩形ABCD截某圆锥得到椭圆τ，且τ与矩形ABCD的四边相切.设椭圆τ在平面直角坐标
系中的方程为 ，下列选项中满足题意的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由题意椭圆方程是方程为 ，排除BD，
矩形 的四边与椭圆相切，则矩形的周长为 ， ．
在椭圆 中， ， , 不满足题意，
在椭圆 中 ， , 满足题意．
故选：C．
考点三 椭圆的离心率【例3-1】（2022·秦皇岛二模）椭圆 的左､右焦点分别为 ， ， 为椭圆 上一点，
若 的周长为 ，则椭圆 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为 ，所以 .
因为 的周长为 ，所以 ，所以 ，
所以椭圆 的离心率为 ，故答案为：B.
【例3-2】（2022·浙江模拟）已知椭圆 以 为左右焦点，点P、Q在椭圆
上，且 过右焦点 ， ，若 ，则该椭圆离心率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】根据题意可得如图椭圆，是直角三角形， ，
不妨设 ，则 ，
因为 ，
所以 ，
，
所以离心率 ．
故答案为：A．
【例3-3】（2022·南充模拟）已知P为椭圆 上任意一点，点M，N分别在直线
与 上，且 ， ，若 为定值，则椭圆的离心率为（
）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设 ， ，则直线 的方程为 ，
直线 的方程为 ，
联立方程组 ，解得 ， ，联立方程组 ，解得 ， ，
，
， 在椭圆上， ，
为定值，
， ．
．故答案为：D.
【一隅三反】
1．（2022·湘潭三模）椭圆 的左､右焦点分别为F，F，过点F 的直线l与E交于A，
1 2 1
B两点，若△ABF 的周长为12，则E的离心率为（ ）
2
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为 的周长为12，根据椭圆的定义可得 ，解得 ，
则 ，所以 ，则椭圆 的离心率为 .故答案为：A.
2．（2022·安康模拟）以椭圆 的左､右顶点作为双曲线 的左､右焦点，以 的焦点作为
的顶点，则 的离心率为（ ）A． B． C．2 D．
【答案】C
【解析】由题可知 的焦距为4，实轴长为 ，所以 的离心率为
故答案为：C
3．（2022·福建模拟）已知点 、 分别是椭圆 的左、右焦点，过 的直线交
椭圆于 、 两点，且满足 ， ，则该椭圆的离心率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】如下图所示：
设 ，则 ，因为 ，则 ，
由椭圆的定义可得 ，则 ，
所以， ，则 ，
由勾股定理可得 ，则 ，则 ，因此，该椭圆的离心率为 。
故答案为：B.
4．（2021高三上·金台月考）已知椭圆 ，F，F 分别为椭圆的左、右焦点，若椭
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圆上存在一点P，使得 ，则该椭圆离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】 所以 ，又 ，所以 ，
，故答案为：D．
5．（2021·蚌埠模拟）已知椭圆 的右顶点为 ，坐标原点为 ，若椭圆
上存在一点 使得 是等腰直角三角形，则该椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意知，可设点P ，代入 得 ，解得a2=3b2，则c2=2b2，则离心率为 故答案为：C
考点四 直线与椭圆的位置关系
【例4-1】（2023·全国·高三专题练习）直线 与椭圆 的位置关系是（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定
【答案】A
【解析】 ， 在椭圆内，
恒过点 ， 直线 与椭圆 相交.故选：A.
【例4-2】（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆 的左､右焦点分别为 ､ ，过 且斜率为 的
直线与椭圆交于 ， 两点，若 为钝角，则 的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】设直线方程为 ，
联立方程组 得 ，
则 .
因为 为钝角，所以 .因为
，所以 .
因为当 时， 三点共线，不符合题意，所以 .
故答案为：D
【一隅三反】
1．（2021·辽宁）已知直线l： ，曲线C： ，则直线l与曲线C的位置关系是
（ ）
A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定
【答案】C
【解析】由直线l： ，得直线l过定点 ，
因为 ，所以该点在曲线C： 内部.所以直线l与曲线C相交.故选：C.
2．（2022·全国·高二课时练习）直线 与椭圆 有且只有一个交点，则 的值是( )
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由 得， ，
由题意知 ，解得 ，
故选：C．3．（2022·贵州贵阳·高三开学考试（理））已知椭圆 的离心率是 ，点
在椭圆 上．
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)过点 的直线 与椭圆 交于 两点， 求 为坐标原点)面积的最大值．
【答案】(1) ；
(2) .
【解析】（1）由题意可得 ，解得 ，故椭圆C的标准方程为 ；
（2）由题意可知直线 的斜率存在，
设直线 ，
联立 ，整理得 ，
，
所以 ， 即 或 ，
则 ，
故 ，
点 到直线 的距离 ，则 的面积 ，
设 ，则 ，
故 ， 当且仅当 时，等号成立，
即 面积的最大值为 ．
考点五 弦长及中点弦
【例5-1】（2022·吉林省实验中学）已知斜率为1的直线l过椭圆 的右焦点，交椭圆于A，B两
点，则弦AB的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由椭圆知， ，所以 ，
所以右焦点坐标为 ，则直线 的方程为 ，
设 ，
联立 ，消y得， ，
则 ，
所以 .
即弦AB长为 .
故选：C.【例5-2】（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆 ，则以点 为中点的弦所在的直线方程为
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】设弦的两个端点分别为 ， ，
则 ，
①﹣②得： ，
即 ，
所以 ．
故以点 为中点的弦所在的直线方程为y ，
整理得： .
故选：C.
【例5-3】（2022·全国·高三专题练习）过椭圆 ： 右焦点 的直线 ： 交
于 ， 两点， 为 的中点，且 的斜率为 ，则椭圆 的方程为（ ）
A． B．C． D．
【答案】A
【解析】依题意，焦点 ，即椭圆C的半焦距 ，设 ， ，
则有 ，两式相减得： ，
而 ，且 ，即有 ，
又直线 的斜率 ，因此有 ，而 ，解得 ，经验证符合题意，
所以椭圆 的方程为 .
故选：A
【一隅三反】
1．（2022广东）椭圆 中，以点 为中点的弦所在直线的斜率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】代入椭圆得 ，
两式相减得 ，
即 ，
即 ，又即 ，
即 ，
∴弦所在的直线的斜率为 ，
故选：C.
2．（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，离心率等于 ，点
在双曲线C上，椭圆E的焦点与双曲线C的焦点相同，斜率为 的直线与椭圆E交于A、B两点．
若线段AB的中点坐标为 ，则椭圆E的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】设双曲线方程为 ，则 ，解得 ，故双曲线方程为
，焦点为 ；
设椭圆方程为 ，则椭圆焦点为焦点为 ，故 ，设 ，则
，
两式相减得 ，整理得 ，即 ，解得 ，故，椭圆方程为 .
故选：D.
3．（2022·安徽）已知椭圆 的右焦点 与抛物线 的焦点重合，过点 的直
线交 于 、 两点， 若 的中点坐标为 ，则 的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】设 、 ，若 轴，则 、 关于 轴对称，不合乎题意，
将 、 的坐标代入椭圆方程得 ，两式相减得 ，
可得 ，
因为线段 的中点坐标为 ，所以， ， ，
因为抛物线 的焦点为 ，所以 ，
又直线 过点 ，因此 ，所以， ，
整理得 ，又 ，解得 ， ，
因此，椭圆 的方程为 ，
故选：D.4．（2022·全国·高三专题练习）椭圆 的左、右顶点分别为 、 ，点 在 上，且直线
的斜率为 ，则直线 斜率为（ ）
A． B．3 C． D．
【答案】B
【解析】 椭圆 的左、右顶点分别为 、 ，
点坐标为 ， 点坐标为 ，
又 直线 的斜率为 ，
直线 的方程为： ，
代入椭圆 方程可得： ，
设 点坐标为 ，则 ，解得 ， ，
故直线 斜率 ，
故选:B．
