文档内容
10.4 双曲线（精讲）（基础版）
思维导图考点呈现例题剖析
考点一 双曲线的定义及应用
【例1-1】（2022·潮州二模）若点P是双曲线 上一点， ， 分别为 的左、右焦点，
则“ ”是“ ”的（ ）．
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】由题意可知， ， ， ，
若 ，则 ， 或1（舍去），
若 ， ， 或13，
故“ ”是“ ”的充分不必要条件．故答案为：A．
【例1-2】（2022·成都模拟）设 ， 是双曲线 的左，右焦点，点P在双曲线C的右
支上，当 时， 面积为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】∵双曲线 ，
∴ ，又点P在双曲线C的右支上， ，
所以 ， ，即 ，又 ，∴ 面积为 .故答案为：B.
【例1-3】（2022常州期中）已知双曲线 的右焦点为 ， 为双曲线左支上一点，点
，则 周长的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】曲线 右焦点为 ， 周长
要使 周长最小，只需 最小，如图：
当 三点共线时取到，故l=2|AF|+2a= 故答案为：B
【例1-4】（2021河北月考）已知方程 表示双曲线，则实数 的取值范围为（
）
A． B．C． 或 D． 或
【答案】C
【解析】因为方程 表示双曲线，
所以当 ，即 时， ，可得 ；
当 ，即 时， ，可得 .
综上所述，实数 的取值范围为 或 。故答案为：C
【一隅三反】
1．（2022高三上·广东开学考）“k<2”是“方程 表示双曲线”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】∵方程 为双曲线，∴ ，
∴ 或 ，∴“ ”是“方程 为双曲线”的充分不必要条件，故答案为：
A.
2．（2022·运城模拟）已知双曲线 的左右焦点 ， ， 是双曲线上一点， ，则
（ ）
A．1或13 B．1 C．13 D．9
【答案】C
【解析】根据双曲线定义可得 ，又 ， 所以 或 ，又 ，解得 ，即 ，
又 ，所以 .故答案为：C
3．（2022红塔月考）已知 是双曲线 的左焦点，点 ， 是双曲线右支上
的动点，则 的最小值为（ ）
A．9 B．5 C．8 D．4
【答案】A
【解析】设右焦点为F'，则F'(4，0)， 依题意，有PF|=|PF'|+4，
|PF|+|PA|=|PF'|+|PA|+4≥|AF'|+4=5+4=9(当P在线段AF'上时，取等号)
故|PF|+|PA|的最小值为9.故答案为：A
4（2022广东）已知 ， 分别是双曲线 的左､右焦点，若P是双曲线左支上的点，且
.则 的面积为（ ）
A．8 B． C．16 D．
【答案】C
【解析】因为P是双曲线左支上的点，所以 ，
两边平方得 ，
所以 .
在 中，由余弦定理得 ，
所以 ，所以 。故答案为：C
考点二 双曲线的离心率及渐近线【例2-1】（2022龙岗期中）双曲线 的渐近线方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】 表示焦点在y轴上的双曲线，且a2=3，b2=1，则
则渐近线为 ，即 .故答案为为：A
【例2-2】（2022长春月考）在 中， ， .若以A，B为焦点的双
曲线经过点C，则该双曲线的离心率为 ( )
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设双曲线的实半轴长，半焦距分别为a，c，因为 ，所以AC>BC，
因为以A，B为焦点的双曲线经过点C所以AC-BC=2a，AB=BC=2c，
在三角形 ABC 中由余弦定理得 ，即 ，解得
AC2=12c2，所以 ，所以 ，所以 .
故选：C
【例2-3】（2022·重庆市模拟）已知双曲线C： 的左右焦点分别为 ， ，
点 在 轴上， 为等边三角形，且线段 的中点恰在双曲线C上，则双曲线C的离心率为
（ ）A． B．2 C． D．
【答案】C
【解析】如图所示，设 ， ，设线段 的中点为 ，则 在双曲线C的右支
上，
又 为等边三角形，所以 ，所以 ，所以
连接 ，则在等边三角形 中 ，且 ，
所以 ，所以 ，即双曲线 的离心率为 .
故答案为：C.
【一隅三反】
1．（2022·湖南模拟）已知O是坐标原点，F是双曲线 的右焦点，过双曲
线C的右顶点且垂直于x轴的直线与双曲线C的一条渐近线交于A点，若以F为圆心的圆经过点A，
O，则双曲线C的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A【解析】由已知，点 的坐标为 ，故 ，
因为以F为圆心的圆经过点A，O，所以 ，则△ 为等边三角形，
所以 ，则 ，所以双曲线C的渐近线方程为 .故答案为：A
2．（2022高三上·广西开学考）已知 ， 是双曲线C的两个焦点，P为双曲线上的一点，且
；则C的离心率为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】 。 故答案为：B
3．（202怀仁期末）设 ， 分别是双曲线 的左、右焦点，若双曲线右
支上存在一点 ，使 （ 为坐标原点），且 ，则双曲线的离心率为（
）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为 ，所以 ，
设 ，则 ，
因为 ，所以可得 ，
因为 ，所以 ，则 ，所以 ，
故答案为：D
4（2022德州月考）已知双曲线 的左､右焦点分别为 ，曲线
上一点 到 轴的距离为 ，且 ，则双曲线 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】作 轴于 ，如图，依题意 ， ，则
，
令 ，由 得： ，
由双曲线定义知 ，而 ，
在 中，由余弦定理得： ，
解得： ，即 ，又因为离心率 ，于是有 ，所以双曲线 的离心率为 。
故答案为：B
5．（2022辽宁期中）（多选）已知双曲线 的左､右焦点分别为 ， ，
是双曲线上一点，若 ，则该双曲线的离心率可以是（ ）
A． B． C． D．2
【答案】A,B
【解析】 是双曲线右支上一点， 则有 ，又 ，
则有 ，即 ，则双曲线的离心率取值范围为
AB符合题意；CD不符合题意.故答案为：AB
考点三 双曲线的标准方程
【例3-1】（2022·海宁模拟）已知双曲线C的渐近线方程为 ，且焦距为10，则双曲线C的
标准方程是（ ）
A． B．
C． 或 D． 或
【答案】C
【解析】渐近线方程为 的双曲线为 ，即 ，故 ，故
， 故答案为：C．【例3-2】（2022·河西模拟）已知双曲线的一个焦点与抛物线 的焦点重合，且双曲线上的一
点 到双曲线的两个焦点的距离之差的绝对值等于6，则双曲线的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为 的焦点为 ，故双曲线的焦点在 轴上， 故设双曲线方程为 ，
则 ；由双曲线定义知： ，解得 ；故可得 ；则双曲线方程为：
.
故答案为：C.
【一隅三反】
1．（2022·河南模拟）已知双曲线 的一条渐近线过点 ， 是
的左焦点，且 ，则双曲线 的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意可知，双曲线 的渐近线方程为 ，点 在一条渐近线上，如图示：所以 ，则 ，且两条渐近线的倾斜角分别为60°，120°，则 ，
又 ， （ 为坐标原点），所以 为等边三角形，从而
，
由 ， ，解得 ， ，所以双曲线 的方程为 ，
故答案为：A.
2（2021高三上·宁波期末）已知双曲线 与双曲线 有相同的渐近线， 且它们的离心率
不相同， 则下列方程中有可能为双曲线 的标准方程的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】双曲线 中， ，则渐近线方程为 ，
离心率为 。对于A， ，则离心率 ，故A错误；
对于B， ，则渐近线方程为 ，故B错误；
对于C， ，则离心率 ，故C错误；
对于D， ，则渐近线方程为 ，离心率 ，故D正确。
故选：D
3（2022南山期末）已知双曲线C过点 且渐近线为 ，则双曲线C的方程是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意可设双曲线的方程为 ，即3x2-y2=λ
将点 代入上式，得 则双曲线的方程为3x2-y2=1 故答案为：A
4．（2022商丘）若方程 表示双曲线，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】方程 可化为 ，它表示双曲线，则 ，解得 .
故答案为：A．
5．（2021肇东月考）以 ， 为焦点且过点 的双曲线方程是（ ）
A． B． C． D．【答案】A
【解析】由题意得 ，
则 ， 则 双曲线方程是 ， 故答案为：A
考点四 直线与双曲线的位置关系
【例4-1】（2022·全国·高三专题练习）过 且与双曲线 有且只有一个公共点的直线有
（ ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
【答案】D
【解析】当斜率不存在时，过 的直线与双曲线没有公共点；
当斜率存在时，设直线为 ，联立 ，得 ①.
当 ，即 时，①式只有一个解；
当 时，则 ，解得 ；
综上可知过 且与双曲线 有且只有一个公共点的直线有4条.
故选：D.
【例4-2】（2022·全国·专题练习）若过点 的直线 与双曲线 : 的右支相交于不同两点，
则直线 斜率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意可得直线 斜率存在，设直线 的方程为 ，
设交点 ，联立 可得 ，由题意可得 解得： ，故选：D．
【一隅三反】
1．（2022·安徽）直线 与双曲线 没有公共点，则斜率k的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】联立直线 和双曲线： ，消去 得 ，
当 ，即 时，此时方程为 ，解得 ，此时直线与双曲线有且只有一个交点；
当 ，此时 ，
解得 或 ，所以 时直线与双曲线无交点；
故选：A
2．（2022·全国·高三专题练习）若双曲线 的一个顶点为A，过点A的直线
与双曲线只有一个公共点，则该双曲线的焦距为( )
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】 斜率为 ，过点A的直线 与双曲线只有一个公共点，
则该直线与双曲线的渐近线 平行，且过双曲线右顶点(a，0)，故 = ，且a-3=0，解得a=3，b=1，故c= ，故焦距为2c= ．故选：D．
考点五 弦长与中点弦
【例5-1】（2021·江西省）已知双曲线x2－y2＝a2（a＞0）与直线y＝ x交于A、B两点，且｜AB｜＝2
，则a ＝_____
【答案】3
【解析】由题设，不妨设 ，则 ，且 ，
所以 ，可得 .
故答案为：3
【例5-2】（2022·河南·模拟预测（文））已知双曲线 的离心率为 ，直线 与
交于 两点， 为线段 的中点， 为坐标原点，则 与 的斜率的乘积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设 ， ， ，
则 ，两式作差，并化简得，
，
所以 ，
因为 为线段 的中点，即所以 ，
即 ，由 ，得 .
故选：B.
【一隅三反】
1．（2021·全国·高二课时练习）已知双曲线 ，过点 的直线l与双曲线C交于M､N两点，
若P为线段MN的中点，则弦长|MN|等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题设，直线l的斜率必存在，设过 的直线MN为 ，联立双曲线：
设 ，则 ，所以 ，解得 ，
则 ， .
弦长|MN| .
故选：D.
2．（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线 的左､右焦点分别为 过左焦点 作斜率为2的
直线与双曲线交于A，B两点，P是AB的中点，O为坐标原点，若直线OP的斜率为 ，则b的值是
（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】D
【解析】设 、 ，则 ， ，两式相减可得 ，
为线段 的中点， ， ，
，又 ， ，
，即 ， ，
故选：D.
3．（2022·山东烟台·三模）过双曲线 ： （ ， ）的焦点且斜率不为0的直线交 于
A， 两点， 为 中点，若 ，则 的离心率为（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】D
【解析】妨设过双曲线 的焦点且斜率不为0的直线为 ，令
由 ，整理得
则 ，
则 ，由 ，可得
则有 ，即 ，则双曲线 的离心率
故选：D
4．（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线C的中心在坐标原点，其中一个焦点为 ，过F的直线
l与双曲线C交于A、B两点，且AB的中点为 ，则C的离心率为( )A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由F、N两点的坐标得直线l的斜率 ．
∵双曲线一个焦点为(-2，0)，∴c=2．
设双曲线C的方程为 ，则 ．
设 ， ，则 ， ， ．
由 ， 得 ，
即 ，∴ ，易得 ， ， ，
∴双曲线C的离心率 ．
故选：B．
5．（2022·四川省）已知中心在原点的双曲线C的右焦点为（2，0），右顶点为（ ，0）．
(1)求双曲线C的方程；
(2)若直线l：y＝x+2与双曲线交于A，B两点，求弦长|AB|．
【答案】(1) y2＝1(2)2
【解析】(1)由已知得a ，c＝2，再由c2＝a2+b2，得b2＝1，所以双曲线C的方程为 y2＝1．
(2)由直线与双曲线联立得2x2+12x+15＝0，解得x＝﹣3± ,
,∴|AB| 2 ．
