北京曲一线图书策划有限公司 2024版《5年高考3年模拟》A
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7.3 等比数列
考点一 等比数列及其前n项和
1.(2021全国甲文,9,5分)记S 为等比数列{a}的前n项和.若S=4,S=6,则S= ( )
n n 2 4 6
A.7 B.8 C.9 D.10
答案
A 解题指导:思路一:直接利用求和公式解关于首项和公比两个基本量的方程组.思路二:根据等
比数列前n项和的性质(依次每n项和仍然成等比数列且S≠0)求解.
n
解析
解法一(基本量法):设{a}的首项为a,公比为q(q≠1),
n 1
{a
1
(1−q2 )
=4, { q2=
1
,
1−q 2
则 解得
a (1−q4 ) a
1 =6, 1 =8,
1−q 1−q
∴S 6 = a 1 (1−q6 ) =8× ( 1− 1)=7,故选A.
1−q 8
解法二(利用等比数列前n项和的性质):
由题意知S,S-S,S-S 成等比数列,
2 4 2 6 4
则(S-S)2=S·(S-S),即(6-4)2=4(S-6),
4 2 2 6 4 6
解得S=7,故选A.
6
2.(2021全国甲理,7,5分)等比数列{a}的公比为q,前n项和为S.设甲:q>0,乙:{S}是递增数列,则 (
n n n
)
A.甲是乙的充分条件但不是必要条件
B.甲是乙的必要条件但不是充分条件
C.甲是乙的充要条件
D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
答案
B 当q=1,a<0时,等比数列{a}的前n项和S=na<0,可知{S}是单调递减数列,因此甲不是乙的
1 n n 1 n
充分条件;
若{S}是递增数列,则当n≥2时,a=S-S >0,即aqn-1>0恒成立,而只有当a>0,q>0时,aqn-1>0恒成立,所以
n n n n-1 1 1 1
可得q>0,因此甲是乙的必要条件.综上,甲是乙的必要条件但不是充分条件.故选B.北京曲一线图书策划有限公司 2024版《5年高考3年模拟》A
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方法总结:研究数列{S}的单调性只需考虑S>S 或S<S (n≥2)成立,不需讨论对任意n,m∈N*且n<m,有
n n n-1 n n-1
S<S 或S>S 恒成立.
n m n m
3.(2022全国乙,理8,文10,5分)已知等比数列{a}的前3项和为168,a-a=42,则a= ( )
n 2 5 6
A.14 B.12 C.6 D.3
答案
D 解法一:设{a}的公比为q,
n
{ a −a =a (q−q4 )=42,①
则 2 5 1
a +a +a =a (1+q+q2 )=168,②
1 2 3 1
① q(1−q3 ) q(1−q)(1+q+q2 )=q(1-q)=1,4q2-4q+1=0,即(2q-1)2=0,∴q=1,代入①得
得 =
② 1+q+q2 1+q+q2 4 2
1
a=96,故a=aq5=96× =3,故选D.
1 6 1
32
解法二:设数列{a}的公比为q,前n项和为S.
n n
由a-a=42,得q≠1.
2 5
{ a (1−q3 )
S = 1 =168,①
由题意得 3 1−q
a −a =a q(1−q3 )=42,②
2 5 1
①
得
1 =4,即4q2-4q+1=0,∴(2q-1)2=0,得q=1,代入①得a
1
=96,∴a
6
=a
1
q5=96×(1) 5 =3,故选
② q(1−q) 2 2
D.
2
4.(2013课标Ⅰ文,6,5分)设首项为1,公比为 的等比数列{a}的前n项和为S,则( )
n n
3
A.S=2a-1 B.S=3a-2
n n n n
C.S=4-3a D.S=3-2a
n n n n
答案 D 因为a 1 =1,公比q= 2 ,所以a n =(2) n−1 ,S n = a 1 (1−qn )=3 1-(2) n =3-2(2) n−1 =3-2a n ,故选D.
3 3 1−q 3 3
5.(2013课标Ⅱ理,3,5分)等比数列{a}的前n项和为S,已知S=a+10a,a=9,则a=( )
n n 3 2 1 5 1
1 1 1 1
A. B.- C. D.-
3 3 9 9北京曲一线图书策划有限公司 2024版《5年高考3年模拟》A
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答案 C 由已知条件及S=a+a+a 得a=9a,设数列{a}的公比为q,则q2=9.
3 1 2 3 3 1 n
1
所以a=9=a·q4=81a,得a= ,故选C.
5 1 1 1
9
3
6.(2019课标Ⅰ文,14,5分)记S 为等比数列{a}的前n项和.若a=1,S= ,则S= .
n n 1 3 4
4
5
答案
8
解析 本题主要考查等比数列的有关概念;考查学生的运算求解能力;考查的核心素养是数学运算.
设公比为q(q≠0),
3
则S=a+a+a=1+q+q2= ,
3 1 2 3
4
1
解得q=- ,
2
1
∴a=aq3=- ,
4 1
8
3 1 5
∴S=S+a= - = .
4 3 4
4 8 8
7.(2017课标Ⅲ理,14,5分)设等比数列{a}满足a+a=-1,a-a=-3,则a = .
n 1 2 1 3 4
答案 -8
解析 本题考查等比数列的通项.
设等比数列{a}的公比为q,
n
{a +a q=−1,
由题意得 1 1
a −a q2=−3,
1 1
解得{a =1,
1
q=−2,
∴a=aq3=-8.
4 1
8.(2015课标Ⅰ文,13,5分)在数列{a}中,a=2,a =2a,S 为{a}的前n项和.若S=126,则n= .
n 1 n+1 n n n n
答案 6
2(1−2n
)
解析 由已知得{a}为等比数列,公比q=2,由首项a=2,S=126得 =126,解得2n+1=128,∴n=6.
n 1 n
1−2
评析 本题主要考查等比数列的定义及前n项和公式,属容易题,注意运算要准确哦!
9.(2015湖南理,14,5分)设S 为等比数列{a}的前n项和.若a=1,且3S,2S,S 成等差数列,则a= .
n n 1 1 2 3 n
答案 3n-1北京曲一线图书策划有限公司 2024版《5年高考3年模拟》A
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解析 设等比数列{a}的公比为q(q≠0),依题意得a=a·q=q,a=aq2=q2,S=a=1,S=1+q,S=1+q+q2.又
n 2 1 3 1 1 1 2 3
3S,2S,S 成等差数列,所以4S=3S+S,即4(1+q)=3+1+q+q2,所以q=3(q=0舍去).所以a=aqn-1=3n-1.
1 2 3 2 1 3 n 1
10.(2013辽宁理,14,5分)已知等比数列{a}是递增数列,S 是{a}的前n项和.若a,a 是方程x2-5x+4=0的两个
n n n 1 3
根,则S= .
6
答案 63
解析 a,a 是方程x2-5x+4=0的两个根且{a}是递增数列,故a=4,a=1,故公比q=2,S=a (1−q6 )=63.
1 3 n 3 1 6 1
1−q
评析 本题考查了等比数列的求和公式.数列{a}递增是解题的关键,没考虑到q>0是失分的主因.
n
11.(2012课标文,14,5分)等比数列{a}的前n项和为S,若S+3S=0,则公比q= .
n n 3 2
答案 -2
解析 由S+3S=0得4a+4a+a=0,有4+4q+q2=0,解得q=-2.
3 2 1 2 3
评析 本题考查了等比数列的运算,直接利用定义求解可达到事半功倍的效果.
12.(2020课标Ⅰ理,17,12分)设{a}是公比不为1的等比数列,a 为a,a 的等差中项.
n 1 2 3
(1)求{a}的公比;
n
(2)若a=1,求数列{na}的前n项和.
1 n
解析
(1)设{a}的公比为q,由题设得2a=a+a,即2a=aq+aq2.
n 1 2 3 1 1 1
所以q2+q-2=0,解得q=1(舍去),q=-2.
1 2
故{a}的公比为-2.
n
(2)记S 为{na}的前n项和.由(1)及题设可得,a=(-2)n-1.
n n n
所以S=1+2×(-2)+…+n×(-2)n-1,
n
-2S=-2+2×(-2)2+…+(n-1)×(-2)n-1+n×(-2)n.
n
可得3S=1+(-2)+(-2)2+…+(-2)n-1-n×(-2)n
n
1−(−2) n
= -n×(-2)n.
3
1 (3n+1)(−2) n
所以S= − .
n
9 9
13.(2020新高考Ⅰ,18,12分)已知公比大于1的等比数列{a}满足a+a=20,a=8.
n 2 4 3
(1)求{a}的通项公式;
n
(2)记b 为{a}在区间(0,m](m∈N*)中的项的个数,求数列{b }的前100项和S .
m n m 100
解析
(1)设{a}的公比为q.由题设得aq+aq3=20,aq2=8.
n 1 1 1北京曲一线图书策划有限公司 2024版《5年高考3年模拟》A
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1
解得q= (舍去),q=2.由题设得a=2.
1 2 1
2
所以{a}的通项公式为a=2n.
n n
(2)由题设及(1)知b=0,且当2n≤m<2n+1时,b =n.
1 m
所以S =b+(b+b)+(b+b+b+b)+…+(b +b +…+b )+(b +b +…+b )
100 1 2 3 4 5 6 7 32 33 63 64 65 100
=0+1×2+2×22+3×23+4×24+5×25+6×(100-63)
=480.
思路分析 (1)设出公比q,由题设条件求得a 和q,利用等比数列的通项公式得出结果.
1
(2)由题设及(1)推导出b ,再计算数列{b }的前100项和,即先给m赋值,推导出规律,再进行运算,得到S
m m 100
的值.
14.(2022新高考Ⅱ,17,10分)已知{a}是等差数列,{b}是公比为2的等比数列,且a-b=a-b=b-a.
n n 2 2 3 3 4 4
(1)证明:a=b;
1 1
(2)求集合{k|b=a +a,1≤m≤500}中元素的个数.
k m 1
解析
(1)证明:设等差数列{a}的公差为d.
n
由a-b=a-b 得a+d-2b=a+2d-4b,故d=2b,①
2 2 3 3 1 1 1 1 1
由a-b=b-a 得a+2d-4b=8b-a-3d,故2a+5d=12b,②
3 3 4 4 1 1 1 1 1 1
由①②得2a+10b=12b,即a=b.
1 1 1 1 1
(2)由(1)知d=2b=2a,由b=a +a,1≤m≤500得b×2k-1=2a+(m-1)d,即a×2k-1=2a+2(m-1)a,其中a≠0,
1 1 k m 1 1 1 1 1 1 1
∴2k-1=2m,即2k-2=m,∴1≤2k-2≤500,∴0≤k-2≤8,
∴2≤k≤10.
故集合{k|b=a +a,1≤m≤500}中元素个数为9个.
k m 1
a
n
15.(2018课标Ⅰ文,17,12分)已知数列{a}满足a=1,na =2(n+1)a.设b= .
n 1 n+1 n n
n
(1)求b,b,b;
1 2 3
(2)判断数列{b}是不是等比数列,并说明理由;
n
(3)求{a}的通项公式.
n
2(n+1)
解析 (1)由条件可得a = a.
n+1 n
n
将n=1代入得,a=4a,而a=1,所以a=4.
2 1 1 2
将n=2代入得,a=3a,所以a=12.
3 2 3
从而b=1,b=2,b=4.
1 2 3北京曲一线图书策划有限公司 2024版《5年高考3年模拟》A
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(2){b}是首项为1,公比为2的等比数列.
n
a 2a
n+1 n
由条件可得 = ,即b =2b,
n+1 n n+1 n
又b=1,所以{b}是首项为1,公比为2的等比数列.
1 n
a
(3)由(2)可得 n =2n-1,所以a=n·2n-1.
n
n
方法规律 等比数列的判定方法:
证明一个数列为等比数列常用定义法或等比中项法,通项公式法及前n项和公式法只用于选择题、填空题
中的判定.若证明某数列不是等比数列,则只需证明存在连续三项不成等比数列即可.
16.(2014课标Ⅱ理,17,12分)已知数列{a}满足a=1,a =3a+1.
n 1 n+1 n
(1)证明{ 1}是等比数列,并求{a}的通项公式;
a + n
n 2
1 1 1 3
(2)证明 + +…+ < .
a a a 2
1 2 n
解析 (1)由a
n+1
=3a
n
+1得a
n+1
+1=3(
a +
1).
2 n 2
又a+1=3,所以{ 1}是首项为3,公比为3的等比数列.
1 a +
2 2 n 2 2
1 3n 3n−1
a+ = ,因此{a}的通项公式为a= .
n 2 2 n n 2
1 2
(2)由(1)知 = .
a 3n−1
n
1 1
因为当n≥1时,3n-1≥2×3n-1,所以 ≤ .
3n−1 2×3n−1
于是 1 + 1 +…+ 1 ≤1+1+…+ 1 = 3( 1 )<3.
1−
a a a 3 3n−1 2 3n 2
1 2 n
1 1 1 3
所以 + +…+ < .
a a a 2
1 2 n
评析 本题考查了等比数列的定义、数列求和等问题,放缩求和是本题的难点.
1 1
17.(2011课标文,17,12分)已知等比数列{a}中,a= ,公比q= .
n 1
3 3北京曲一线图书策划有限公司 2024版《5年高考3年模拟》A
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1−a
n
(1)S 为{a}的前n项和,证明:S= ;
n n n
2
(2)设b=loga+loga+…+loga,求数列{b}的通项公式.
n 3 1 3 2 3 n n
1( 1 )
1− 1
解析 (1)因为a=1×(1) n−1 = 1 ,S=3 3n = 1− ,
n n 3n
3 3 3n 1
1− 2
3
1−a
n
所以S= .
n
2
(2)b=loga+loga+…+loga
n 3 1 3 2 3 n
n(n+1)
=-(1+2+…+n)=- .
2
n(n+1)
所以{b}的通项公式为b=- .
n n
2
评析 本题考查等差数列、等比数列的基础知识,对数运算性质,要求考生有较清晰的推理思路和运算目标,
但难度并不大.属中档题.
18.(2016课标Ⅲ理,17,12分)已知数列{a}的前n项和S=1+λa,其中λ≠0.
n n n
(1)证明{a}是等比数列,并求其通项公式;
n
31
(2)若S= ,求λ.
5
32
解析 (1)由题意得a=S=1+λa,
1 1 1
1
故λ≠1,a= ,a≠0.(2分)
1 1
1−λ
由S
n
=1+λa
n
,S
n+1
=1+λa
n+1
得a
n+1
=λa
n+1
-λa
n
,即a
n+1
(λ-1)=λa
n
.由a
1
≠0,λ≠0得a
n
≠0,所以 a n+1= λ .
a λ−1
n
因此{a n }是首项为 1 ,公比为 λ 的等比数列,于是a n = 1 ( λ ) n−1 .(6分)
1−λ λ−1 1−λ λ−1
(2)由(1)得S n =1-( λ ) n .
λ−1
由S 5 =31得1-( λ ) 5 =31,即( λ ) 5 = 1 .
32 λ−1 32 λ−1 32
