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【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）
第 29 练 等比数列（精练）
刷真题 明导向
一、单选题
1．（2023·全国·统考高考真题）记 为等比数列 的前n项和，若 ， ，则 （ ）．
A．120 B．85 C． D．
【答案】C
【分析】方法一：根据等比数列的前n项和公式求出公比，再根据 的关系即可解出；
方法二：根据等比数列的前n项和的性质求解．
【详解】方法一：设等比数列 的公比为 ，首项为 ，
若 ，则 ，与题意不符，所以 ；
若 ，则 ，与题意不符，所以 ；
由 ， 可得， ， ①，
由①可得， ，解得： ，
所以 ．
故选：C．
方法二：设等比数列 的公比为 ，
因为 ， ，所以 ，否则 ，
从而， 成等比数列，
所以有， ，解得： 或 ，当 时， ，即为 ，
易知， ，即 ；
当 时， ，
与 矛盾，舍去．
故选：C．
【点睛】本题主要考查等比数列的前n项和公式的应用，以及整体思想的应用，解题关键是把握 的关
系，从而减少相关量的求解，简化运算．
2．（2023·全国·统考高考真题）设等比数列 的各项均为正数，前n项和 ，若 ， ，
则 （ ）
A． B． C．15 D．40
【答案】C
【分析】根据题意列出关于 的方程,计算出 ,即可求出 .
【详解】由题知 ,
即 ,即 ,即 .
由题知 ,所以 .
所以 .
故选:C.
3．（2023·天津·统考高考真题）已知 为等比数列， 为数列 的前 项和， ，则 的
值为（ ）
A．3 B．18 C．54 D．152
【答案】C【分析】由题意对所给的递推关系式进行赋值，得到关于首项、公比的方程组，求解方程组确定首项和公
比的值，然后结合等比数列通项公式即可求得 的值.
【详解】由题意可得：当 时， ，即 ， ①
当 时， ，即 ， ②
联立①②可得 ，则 .
故选：C.
4．（2022·全国·统考高考真题）已知等比数列 的前3项和为168， ，则 （ ）
A．14 B．12 C．6 D．3
【答案】D
【分析】设等比数列 的公比为 ，易得 ，根据题意求出首项与公比，再根据等比数列的通
项即可得解.
【详解】解：设等比数列 的公比为 ，
若 ，则 ，与题意矛盾，
所以 ，
则 ，解得 ，
所以 .
故选：D.
5．（2021·全国·高考真题）记 为等比数列 的前n项和.若 ， ，则 （ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】A
【分析】根据题目条件可得 ， ， 成等比数列，从而求出 ，进一步求出答案.【详解】∵ 为等比数列 的前n项和，
∴ ， ， 成等比数列
∴ ，
∴ ，
∴ .
故选：A.
二、填空题
6．（2023·全国·统考高考真题）记 为等比数列 的前 项和．若 ，则 的公比为 ．
【答案】
【分析】先分析 ，再由等比数列的前 项和公式和平方差公式化简即可求出公比 .
【详解】若 ，
则由 得 ，则 ，不合题意.
所以 .
当 时，因为 ，
所以 ，
即 ，即 ，即 ，
解得 .
故答案为：7．（2023·全国·统考高考真题）已知 为等比数列， ， ，则 .
【答案】
【分析】根据等比数列公式对 化简得 ，联立 求出 ，最后得
.
【详解】设 的公比为 ，则 ，显然 ，
则 ，即 ，则 ，因为 ，则 ，
则 ，则 ，则 ，
故答案为： .
8．（2022·北京·统考高考真题）已知数列 各项均为正数，其前n项和 满足 ．给
出下列四个结论：
① 的第2项小于3； ② 为等比数列；
③ 为递减数列； ④ 中存在小于 的项．
其中所有正确结论的序号是 ．
【答案】①③④
【分析】推导出 ，求出 、 的值，可判断①；利用反证法可判断②④；利用数列单调性的
定义可判断③.
【详解】由题意可知， ， ，
当 时， ，可得 ；
当 时，由 可得 ，两式作差可得 ，
所以， ，则 ，整理可得 ，因为 ，解得 ，①对；
假设数列 为等比数列，设其公比为 ，则 ，即 ，
所以， ，可得 ，解得 ，不合乎题意，
故数列 不是等比数列，②错；
当 时， ，可得 ，所以，数列 为递减数列，③对；
假设对任意的 ， ，则 ，
所以， ，与假设矛盾，假设不成立，④对.
故答案为：①③④.
【点睛】关键点点睛：本题在推断②④的正误时，利用正面推理较为复杂时，可采用反证法来进行推导.
【A组 在基础中考查功底】
一、单选题
1．（2023·全国·高三专题练习）已知数列 为递减的等比数列， ，且 ， ，则
的公比为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由等比数列下标和性质，结合数列单调性可求得 ，根据等比数列通项公式可求得结果.
【详解】 为递减的等比数列， ，解得： （舍）或 ，的公比 .
故选：A.
2．（2023·全国·高三专题练习）中国古代某数学名著中有这样一个类似问题：“四百四十一里关，初行健
步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见末日行里数，请公仔细算相还.”其意思为：有一个人
一共走了441里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛，每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达
目的地，请问最后一天走的路程是（ ）
A．7里 B．8里 C．9里 D．10里
【答案】A
【分析】由“每天走的路程为前一天的一半”可知这个人每天走的路程是等比数列，再根据等比数列求和
公式得出答案.
【详解】设第六天走的路程为 ，第五天走的路程为 ……第一天走的路程记为 ，
根据题意每天走的路程为前一天的一半，所以公比 ，且 ， ，所以
，从而解得 ，
故选：A.
3．（2023·全国·高三专题练习）已知等比数列 的前n项积为 ， ，公比 ，则 取最大值
时n的值为（ ）
A．3 B．6 C．4或5 D．6或7
【答案】C
【分析】先求出等比数列通项公式，进而得到 ，求出答案.
【详解】 ，
故 ，因为 ，所以 或5时， 取得最大值.
故选：C
4．（2023·陕西西安·西安中学校考模拟预测）已知各项均为正数的等比数列 中， ， ， 成等
差数列，则 （ ）
A． B．3 C． 或3 D．1.或
【答案】B
【分析】根据等差中项的性质得到方程，再解方程即可.
【详解】设公比为 ，因为 ， ， 成等差数列，
所以 ，即 ，显然 ，
所以 ，解得 或 （舍去）.
故选：B.
5．（2023·四川泸州·泸县五中校考三模）在等比数列 中，已知 ，则 等于（ ）
A．128 B．64 C．64或 D．128或
【答案】D
【分析】由等比数列的性质可得 ，求出 的值，再结合条件求出公比，进而即得.
【详解】由等比数列的性质可得 ，
∴ 或 ，
设数列的公比为 ，因为 ，
当 时， ，即 ，则 ；
当 时， ，即 ，则 .
故选：D .
6．（2023·全国·高三专题练习）中国古代某数学名著中有这样一个类似问题：“四百四十一里关，初行健
步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见首日行里数，请公仔细算相还．”其意思为：有一个人一共走了441里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛，每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到
达目的地，请问第一天走的路程是（ ）
A．224里 B．214里 C．112里 D．107里
【答案】A
【分析】由题意每天行程 是公比为 的等比数列，应用等比数列前n项和公式求首项，即得到结果.
【详解】由题设，每天行程 是公比为 的等比数列，
所以 ，可得 ，则第一天走的路程224里.
故选：A
7．（2023·湖北·校联考模拟预测）已知等比数列 满足 ，且 成等差数列，则 （ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】D
【分析】根据等比数列的通项公式，结合等差数列的性质进行求解即可.
【详解】设 的公比为q，则 ．
由 成等差数列，得 ，即 ，
于是 ，故 ，从而 ．
故选：D
8．（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学统考二模）已知数列 为等比数列，公比 ，若
， ，则 （ ）
A．4 B．8 C．16 D．32
【答案】C
【分析】易得 ，从而得到 是方程 的两个根求解.【详解】解：因为数列 为等比数列，且 ，
所以 ，
所以 是方程 的两个根，
解得 或 ，
因为等比数列的 公比 ，
所以 ，
故选：C
9．（2023·河南开封·统考一模）已知数列 的前 项和 ，若 ，则
（ ）
A．8 B．16 C．32 D．64
【答案】C
【分析】当 时，由 可得 ，当 时， ，验证 是否适合可得通项公式，代
入通项公式求解可得结果.
【详解】解：当 时， ，
当 时， ，
，符合上式，
数列 的通项公式为：
，
故选：C.
10．（2023春·广西·高三鹿寨县鹿寨中学校联考阶段练习）已知等比数列 的前n项和为 ，若 ，
，则 （ ）A． B．170 C． D．85
【答案】D
【分析】设数列 的公比为q，由题意可得 ，解方程求出 ，再由等比数列的前 项和
公式即可求出答案.
【详解】设数列 的公比为q，依题意，
，故 ，
故 .
故选：D．
11．（2023·全国·高三专题练习）已知数列 ，则“ ”是“ 为等比数列”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要
条件
【答案】B
【分析】根据等比数列的定义、充分条件和必要条件的定义即可判断.
【详解】若数列 为等比数列，则可得 ，且数列 的各项均不为0，
所以由“ ”不能推出“ 为等比数列”，不满足充分条件，由“ 为等比数列”可以推出“
”，
满足必要条件，所以“ ”是“ 为等比数列”的必要不充分条件.
故选：B.
12．（2023秋·湖南长沙·高三长沙市南雅中学校考开学考试）等比数列 的前n项和为 ，若 ，，则 （ ）
A．60 B．70 C．80 D．150
【答案】D
【分析】根据等比数列前 项和的片段和性质，结合题意，进行具体计算即可.
【详解】因为 是等比数列，
所以 成等比数列，
又因为 ， ， ，
则 ， ，
所以 ， .
故选：D.
13．（2023·全国·高三专题练习）已知数列 的前n项积为 ，若 ， ，且 ，
则使 最大的正整数n的值为（ ）
A．7 B．8 C．15 D．16
【答案】B
【分析】由 可知数列 为等比数列，将公比代入 可求出 的值，从而求出数列
的首项，当 且前 项的积为正时 最大，从而求出结果.
【详解】易知 ，因为 ， ，所以 ， ，
将其代入 ，得 ，所以 ，
即数列 是以128为首项， 为公比的等比数列，
所以 ， ， ，当 时， ，所以 ，因为 均小于0，即 ， ，故 最大.
故选：B．
14．（2023·全国·高三专题练习）等比数列 的前 项和为 ， ， ，则 为（ ）
A． B． C． D． 或
【答案】A
【分析】根据等比数列片段和性质可构造方程求得 ，再由 可得最终结果.
【详解】由题意知： ， ， 成等比数列，
，解得： 或 ；
， .
故选：A.
15．（2023·内蒙古呼和浩特·统考一模）已知等比数列 中， ， ， 成等差数列，则
（ ）
A． 或 B．4 C． D．
【答案】A
【分析】由题设 ，进而求出 的公比，将目标式化简求值即可.
【详解】由题设 ，若等比数列 的公比为 ，
所以 ，而 ，则 ，
解得 或 ，
所以 ，当 时 ，当 时 .故选：A
16．（2023·全国·高三专题练习）已知等比数列 的前 项和为 ，若 ，则 （ ）
A．127 B．254 C．510 D．255
【答案】D
【分析】利用等比数列的通项公式及前 项和公式即可求解.
【详解】设等比数列 的首项为 ，公比为 ，则显然 ，
因为
所以 ，解得 ，
由 ，得 ，
所以 .
故选:D.
17．（2023·全国·模拟预测）中国古代数学著作《九章算术》中的很多题目取材于现实生活，有很强的应
用性和趣味性，其中一道经过改编的题目是这样的：一堆栗子一斗装不完，两斗装不满，每斗装400个栗
子，一群猴子分这堆栗子，第一只猴子取走全部的一半多一个，第二只猴子取走剩下的一半多一个，……
所有猴子均按此规则依次取栗子，最后一只猴子恰好取完，则这群猴子的只数为（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
【答案】A
【分析】首先设共有 只猴子，第 只猴子取栗子的个数为 ，根据题意得到 ，从而得到
，根据 ，得到 ，再根据 求解即可.【详解】设共有 只猴子，第 只猴子取栗子的个数为 ，
则第 只猴子取栗子后，所剩栗子的个数为 ，
故 ， ，故 ，
又 ， 所以 ，得 ，
由题意得
即 ，即 ，即 ，
易知当且仅当 时，符合题意.
故选：A
18．（2023·四川成都·四川省成都市玉林中学校考模拟预测）已知等比数列 的前n项和为 ，且
， ，则 （ ）
A． B．5 C． D．
【答案】B
【分析】先根据 的定义依次求出 ，再由等比数列的定义即可得到关于 的关系式，解之即可得
出答案.
【详解】因为 ，
当 时， ，
当 时， ，则 ，
当 时， ，则 ，
因为 是等比数列，所以 ，则 ，所以 ，解得 ，
则 ，
则 .
故选：B.
19．（2023·甘肃兰州·统考模拟预测）已知 ， ，若 是 与 的等比中项，则 的最小值
是（ ）
A．8 B．4 C．3 D．2
【答案】B
【分析】利用等比中项的性质得到 ，再利用基本不等式“1”的妙用即可得解．
【详解】因为 是 与 的等比中项，
所以 ，即 ，所以 ，
又 ， ，
所以 ，
当且仅当 且 ，即 时取等号．
所以 的最小值为4．
故选：B．
20．（2023·甘肃兰州·校考模拟预测）在各项均为正数的等比数列 中， ，则 的最大
值是（ ）
A．4 B．8 C．16 D．32
【答案】B
【分析】根据等比数列的性质得 ，再结合基本不等式即可求解．
【详解】各项均为正数的等比数列 中，由 ，则 ，
所以 ，当且仅当 时等号成立，
故 的最大值为8．
故选：B．
二、多选题
21．（2023·江西吉安·统考模拟预测）已知数列 是首项为 ，公比为 的等比数列，则（ ）
A． 是等差数列 B． 是等差数列
C． 是等比数列 D． 是等比数列
【答案】AD
【分析】由题意得数列 的通项公式，然后写出每个选项中对应的数列的通项公式，再判断是等差数列
还是等比数列.
【详解】由题意得 ，所以数列 是常数列，故A正确；数列 的通项公式为 ，
则 ，所以数列 是公比为 的等比数列，B错误； ，所
以数列 是公差为 的等差数列，C错误； ，所以数列 是公比为 的等
比数列，D正确.
故选：AD
22．（2023·全国·高三专题练习）已知等比数列 是递增数列， 是其公比，下列说法正确的是（ ）
A． B．C． D．
【答案】BD
【分析】根据等比数列的性质可知，递增的等比数列包括两种情况： 时 或 时 .
【详解】由题意知，
递增的等比数列包括两种情况： 时 或 时 .
故 ， ，
故选：BD
23．（2023·全国·高三专题练习）已知数列 是等比数列，则下列结论中正确的是（ ）
A．数列 是等比数列
B．若 ， ，则
C．若数列 的前n项和 ，则
D．若 ，则数列 是递增数列
【答案】AD
【分析】利用等比数列的定义可判断A；利用等比数列的通项公式可判断B；利用等比数列的前n项和公
式可判断C；由 ，求出 可判断D.
【详解】由数列 是等比数列，设公比为 ，
则 是常数，故A正确；
由 ， ，则 ，即 ，
所以 ，故B错误；若数列 的前n项和 ，
则 ， ，
，
成等比数列， ，
即 ，解得 ，故C错误；
若 ，则 ，数列 是递增数列；
若 ，则 ，数列 是递增数列，故D正确.
故选：AD
24．（2023秋·江苏南京·高三南京市第九中学校考阶段练习）已知等比数列 的前 项和为 ，公比
， ，则（ ）
A． 一定是递增数列 B． 可能是递增数列也可能是递减数列
C． 、 、 仍成等比 D． ，
【答案】BCD
【分析】根据等比数列的性质依次判断即可.
【详解】对于A，当 ， 时， 为递减数列，故A错误；
对B，当 ， 时， 为递减数列，当 ， 时， 为递增数列，故B正确；
对C， 等比数列，则 、 、 仍成等比，故C正确；
对D，等比数列 中， ，则 必不为0，故D正确.
故选：BCD.25．（2023·福建泉州·校考模拟预测）已知正项的等比数列 中 ， ，设其公比为 ，前
项和为 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABD
【分析】由 ，根据等比数列的通项公式的计算，求得 ，进而求得通项公式和 的值，再
由 ， ，结合选项，即可求解.
【详解】因为 ，可得 ，即 ，解得 或 ，
又由正项的等比数列 ，可得 ，所以 ，所以A正确；
数列 的通项公式为 ，所以B正确；
则 ，所以C不正确；
由 ，则 ， ，所以 ，所以D正确.
故选：ABD.
26．（2023·全国·高三专题练习）在公比 为整数的等比数列 中， 是数列 的前 项和，若
， ，则下列说法正确的是
A．
B．数列 是等比数列
C．
D．数列 是公差为2的等差数列
【答案】ABC【分析】由 ， ， ， ，公比 为整数．解得 ， ．可得 ，
，进而判断出结论．
【详解】解： ， ， ， ，公比 为整数．
解得 ．
， ．
， 数列 是公比为2的等比数列．
．
．数列 是公差为 的等差数列．
综上可得：只有ABC正确．
故选：ABC．
三、填空题
27．（2023·四川宜宾·统考模拟预测）已知等比数列 中， ， ，则 ．
【答案】6
【分析】由等比数列的性质求解即可
【详解】由等比数列的性质可得： ，
由等比数列中奇数项的符号相同，
所以 ，
故答案为：6
28．（2023秋·四川宜宾·高三宜宾市叙州区第一中学校校考期末）已知等比数列 的前 项和为 ，且
， ，则 .【答案】64
【分析】根据等比数列前 项和公式列出方程组，解出首项公比，根据通项公式求出.
【详解】设等比数列公比为 ，首项为 ，由已知，可得
，解得，
所以，
故答案为：64.
29．（2023·全国·高三专题练习）在数列{ }中， ， ， 为{ }的前n项和，则 =
.
【答案】40
【分析】根据等比数列的概念判断数列{ }的类型，求出公比和首项，根据等比数列前n项和公式即可求
．
【详解】由题知 ，则 ，
∴数列{ }是以 为公比， 为首项的等比数列，
则 ．
故答案为：40．
30．（2023·全国·高三专题练习）已知等比数列 的前 项和为 ，若 ， ，则
．
【答案】
【分析】利用等比数列的通项公式和前 项和公式即可求解.【详解】由已知条件得
，解得 ，
∴ ；
故答案为： .
31．（2023秋·贵州贵阳·高三统考阶段练习）设 是等比数列，且 ， ，则
的值是 .
【答案】32
【分析】根据题意可求得等比数列的公比 ，再根据 ，即可求得答案.
【详解】由 是等比数列，设公比为q，且 ， ，
则可得 ，故 ，
所以 ，
故答案为：32.
32．（2023·全国·高三专题练习）正项递增等比数列 ，前n项的和为 ，若 ，
则 ．
【答案】
【分析】设每一项都是正数的递增的等比数列 的公比为 ,由 ，联立
解出 ，再利用通项公式与求和公式即可得出答案．
【详解】设每一项都是正数的递增的等比数列 的公比为 ，∵ ，
联立解得 ，
∴ ，解得 ，
∴ ，解得 ，
则
故答案为：364．
33．（2023春·湖北鄂州·高三校考阶段练习）若等比数列 的公比为 ，且 ，则
的前99项和为 .
【答案】130
【分析】根据等比数列的性质以及前 项和公式即可求解.
【详解】设等比数列 的公比为 ，前 项和为 ，
则 是以 为首项， 为公比的等比数列，
所以 ，
所以 ，
又因为 的前99项和等于 ，
故答案为:130.
34．（2023·吉林长春·统考模拟预测）已知各项均为正数的等比数列 ，其前n项积为 ，且满足
，则 ．【答案】
【分析】化简已知条件求得 ，进而求得 .
【详解】依题意 是各项均为正数的等比数列，
，所以 ，
所以 .
故答案为：
35．（2023·全国·高三专题练习）在等比数列{an}中，a＝2，前n项和为Sn，若数列{an＋1}也是等比数
1
列，则Sn等于 ．
【答案】2n
【分析】由数列{an＋1}也是等比数列，建立关于 的方程，即可求解
【详解】因为数列{an}为等比数列，则 ，
又数列{an＋1}也是等比数列，
则3，2q＋1，2q2＋1成等比数列，
，
即q2－2q＋1＝0，解得：q＝1，
即 ，所以 ．
故答案为： .
36．（2023·全国·高三专题练习）设等比数列 的前 项和为 ，若 ，则数列的公比
.
【答案】
【分析】根据等比数列的前 项和公式，和 ，对 进行分类讨论，列出方程，即可求出结果.
【详解】当 时，， ；
当 时， ，
得 ，
∴ ，
解得 或 (舍去)或 (舍去)，
∴ .故答案为： .
37．（2023·北京·高三专题练习）正项数列 满足 ， ．若 ， ，则 的值
为 ．
【答案】
【分析】根据 可知该数列为等比数列，根据 ， 求出其公比和首项即可求 .
【详解】 ， ，
，
是等比数列，设 公比为q，且 ，
由 ， 得， ，
∴ .
故答案为： .
38．（2023·全国·高三专题练习）已知数列 的前n项和为 ，且 ，则 的通项公式为 ．
【答案】
【分析】利用 求解即可
【详解】当 时， ，得 ，
当 时，由 ，得 ，
所以 ，
所以 ，所以 ，
所以数列 是以1为首项， 为公比的等比数列，
所以 ，
故答案为：
39．（2023·河南洛阳·校联考模拟预测）在各项均为正数的等比数列 中，若 ，则 的最
小值为 ．
【答案】
【分析】由题意得 ，根据等比数列的性质 和基本不等式 即得.
【详解】由题意得 ， 是等比数列， ，
又 ，当且仅当 时，等号成立，
的最小值为 .
故答案为： .40．（2023·全国·高三专题练习）已知等比数列 中， ，则 的最小值为 .
【答案】
【分析】设 的公比为 ，分析可知 ， ，利用基本不等式结合等比数列的性质可求得
的最小值.
【详解】设 的公比为 ，由等比数列的知识可知 ， ，
结合 可得 ， .
由基本不等式及等比数列的性质可得 ，
当且仅当 ， 时等号成立，故 的最小值为 .
故答案为： .
41．（2023秋·江苏镇江·高三江苏省镇江中学校考阶段练习）已知数列 的前n项和为Sn，且满足
，则 的值为 ．
【答案】
【分析】根据 ，得到 是首项为1，公比为 的等比数列，从而求出 的通项公式，
求出 .
【详解】当 时， ，所以 ，
当 时， ，与 相减得： ，
即 ，
所以 是首项为1，公比为 的等比数列，所以 ， .
故答案为：
42．（2023·河南濮阳·濮阳一高校考模拟预测）设等比数列 的前n项和为 ，若 ，且
，则 .
【答案】
【分析】由 可得 ，根据前n项和公式即可求解.
【详解】因为 是等比数列，
所以有 ，
所以 ，所以 ，
因为 ，
所以 ，
即 ，
即： ，
解得： .
故答案为： .
43．（2023·河北·模拟预测）已知数列 为等比数列，其前n项和为 ，前三项和为13，前三项积为27，则 ．
【答案】121或
【分析】根据等比数列的基本量运算可得 或 ，然后利用求和公式即得.
【详解】设数列 的公比为q，
∵前三项积为27，
∴ ，解得 ，
∵前三项和为13，
∴ ，
解得 或 ，
∴ 或 ．
故答案为：121或 .
四、解答题
44．（2023·全国·高三专题练习）已知数列 的前n项和为 ， ， ，且 ．
(1)求证：数列 是等差数列；
(2)若 ， ， 成等比数列，求正整数m．
【答案】(1)证明见解析
(2)7【分析】（1）根据 化简整理，解得等差数列定义 处理；（2）根据
， ，并代入 运算求解．
【详解】（1）因为 ，
所以 ，即 ，
则 ．
又 ， ，满足 ，
所以 是公差为4的等差数列．
（2）由（1）得， ，
则 ．
又 ，
所以 ，
化简得 ，解得m＝7或 （舍）．
所以m的值为7．
45．（2023·全国·高三专题练习）已知 是等比数列， ， ， ．
(1)求 的通项公式；
(2)记 为数列 的前n项和，求使得 的正整数n的所有取值．
【答案】(1) 或 ；
(2)答案见解析．【分析】（1）设 的公比为 ，由等比数列的性质，列出方程即可解出 ， 或 ，从
而得出 的通项公式；
（2）由等比数列前 项和公式求出 ，即可解出不等式 ．
【详解】（1）因为 为等比数列，所以 ，又 ，所以 ．
设 的公比为 ，因为 ，
所以 ，化简得 ，解得 或 ．
当 时， ．当 时， ．
（2）当 时， ．
由 ，得 ，化简得 ．
易知，当 时，不等式显然不成立，检验可知，满足不等式的正整数n的所有取值为1，2，3，4．
当 时， ，由 ，得 ，此时n的取值为一切正整数．
46．（2023·全国·高三专题练习）已知数列 满足 ， .
(1)写出该数列的前 项；
(2)求数列 的通项公式.
【答案】(1) ， ， ， ，
(2)
【分析】（1）根据递推式和首项依次求解即可，
（2）给 两边同时加上1，可得数列 是以 为首项， 为公比的等比数列，从而可求出
通项公式.【详解】（1） ，
， ， ， .
（2）由 得： ，又 ，
数列 是以 为首项， 为公比的等比数列，
，
.
47．（2023春·安徽滁州·高三安徽省定远中学校考阶段练习）已知数列 满足 ，且
)，且 成等差数列.
(1)求数列 的通项公式；
(2)若 ，求数列 的前 项和 .
【答案】(1) ；
(2) .
【分析】（1）根据给定条件，求出数列 的首项即可求解作答.
（2）利用（1）的结论求出 ，再利用等差数列求和公式计算作答.
【详解】（1）在数列 中，由 得 ，而 ，则数列 是公比为2的等比数列，
因 成等差数列，即 ，有 ，解得 ，
所以数列 的通项公式为 .
（2）由（1）得 ，有 ，即数列 是等差数列，所以数列 的前 项和 .
48．（2023·江西南昌·统考模拟预测）已知公差大于0的等差数列 满足 ，且 成等比数列．
(1)求数列 的通项公式；
(2)令 ，求数列 的前 项和．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据基本量与等比中项的性质求解即可；
（2）根据等比数列的前 项和公式求解即可.
【详解】（1）设公差为 ，因为 ， ， 成等比数列，则 ，
即 ， ，解得 ， （舍），
所以 ；
（2） ， ，所以 是以2为首项，4为公比的等比数列，
所以 ．
49．（2023·江西南昌·统考模拟预测）已知公差大于0的等差数列 满足 ，且 成等比数列.
(1)求数列 的通项公式；
(2)令 ，求数列 的前 项和.
【答案】(1) ；
(2) .
【分析】（1）利用等比中项的概念及等差数列基本量的运算即得；（2）利用等比数列求和公式即得.
【详解】（1）设公差为 ，因为 ， ， 成等比数列，则 ，
即 ，即 ，
解得 或 （舍），
所以 ；
（2）由题可知 ， ， ，
所以 是以4为首项，4为公比的等比数列，
所以 .
50．（2023秋·重庆璧山·高三校联考阶段练习）已知数列 的各项均为正数，记 为 的前n项和，
从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立.①数列 是等比数列；②数列 是等比数
列；③ .
【答案】答案见解析.
【分析】本题通过利用等比数列的前n项和的公式，通过选择不同的两个条件，推出公比，进而分别证明
出另一个条件成立.
【详解】解：选①②作条件证明③：
设 ，则 ，
当 时， ，所以 ，
当 时， ，
因为 也是等比数列，所以 ，解得 ，所以 .选①③作条件证明②：
因为 ， 是等比数列，所以公比 ，
所以 ，即 ，
因为 ，所以 是等比数列.
选②③作条件证明①：
设 ，则 ，
当 时， ，所以 ，
当 时， ，
因为 ，所以 ，解得 ，
所以当 时， ，
又因为 ，且 ，所以 为等比数列.
51．（2023·河南·马店第一高级中学校联考模拟预测）已知数列 的前n项和为 ，满足 ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)求数列 的前n项和 ．
【答案】(1) ；
(2) .
【分析】（1）利用 计算，然后构造等比数列求数列 的通项公式；
（2）直接根据等差数列求和公式求和即可.【详解】（1）∵ ，∴ ，
两式相减，得 ，∴ ，
∴ ，∴ ，
又当 时， ，即 ，∴数列 是以2为首项，2为公比的等比数列，
∴ ，即 ；
（2）∵ ，
∴数列 的前n项和 ．
52．（2023·上海长宁·统考一模）已知数列 为等差数列,数列 为等比数列,数列 的公差为2;
(1)若 ,求数列 的通项公式;
(2)设数列 的前n项和为 ,若 ,求 ;
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)根据 , 数列性质及 的公差为2,写出 之间的关系,再用 代替即可求出通项
公式;
(2)根据 为等差数列且公差为2,将 两式中均变为关于首项和 的等式,进而解出首项
即可.
【详解】（1）解:由题知 ,
为等比数列,不妨设公比为 ,
又数列 的公差为2,,
即 ,
解得 ,
故 ;
（2）由题知数列 为等差数列,且公差为2,
,
解得: ,
故 .
53．（2023·上海宝山·统考一模）已知数列 满足 ， .
(1)求证：数列 是等比数列；
(2)求数列 的通项公式；
(3)写出 的具体展开式，并求其值.
【答案】(1)证明见解析；
(2) ；
(3) .
【分析】（1）利用构造法，得到 ，可证明 是等比数列；（2）根据等比数列的通项公式，求出 ，进而可求 的通项公式；
（3）直接写出 的具体展开式，根据 ，利用等比数列的前 项和公式，直接计算 可得答案.
【详解】（1） ，等式两边同时加上2，
得 ，又 ，
则 为首项是3，公比 的等比数列
（2）由（1）得， 为首项是3，公比 的等比数列，
，故 .
（3）
54．（2023·安徽六安·安徽省舒城中学校考模拟预测）已知 为等差数列，且 ， .
(1)求数列 的通项公式；
(2)若数列 满足： ， 的前n项和为 ，求 成立的n的最大值.
【答案】(1)
(2)7
【分析】（1）代入公式求出公差即可求通项公式；
（2）代入等比数列的前 项和公式即可.
【详解】（1）设数列 的公差为： ，
，，
.
，
即 .
（2） ， ，
，
数列 为等比数列，所以
由 ，即 ，
化简得： ，解得 ， ，
所以，要使 成立的n的最大值为：7.
55．（2023·全国·高三专题练习）已知 为等差数列，且 ， ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)若数列 满足： ，求 前n项和 ．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据等差数列的定义和通项公式运算求解；（2）先根据前n项和与通项之间的关系求得
，可得 为等比数列，利用等比数列的前n项和公式运算求解.【详解】（1）设数列 的公差为 ，
∵ ，则 ，即 ，
∴ ，
故数列 的通项公式 .
（2）∵ ，
当 时，则 ；
当 时，则 ，
两式相减得 ，则 ；
综上所述： .
又∵ ，故数列 是以首项 ，公比 的等比数列，
∴数列 的前n项和 .
【B组 在综合中考查能力】
一、单选题
1．（2023·山东东营·东营市第一中学校考二模）传说国际象棋发明于古印度，为了奖赏发明者，古印度国
王让发明者自己提出要求，发明者希望国王让人在他发明的国际象棋棋盘上放些麦粒，规则为：第一个格
子放一粒，第二个格子放两粒，第三个格子放四粒，第四个格子放八粒……依此规律，放满棋盘的64个格
子所需小麦的总重量大约为（ ）吨.（1kg麦子大约20000粒，lg2=0.3）
A．105 B．107 C．1012 D．1015【答案】C
【分析】由等比数列求和公式结合对数的运算求解即可.
【详解】64个格子放满麦粒共需 ，
麦子大约20000粒，1吨麦子大约 粒，
，
故选：C.
2．（2023·全国·高三专题练习）已知等比数列 的前 项和为 ，若 ，则公比 （ ）
A．3 B．2 C．3或 D．2或
【答案】D
【分析】分别讨论 ， ，结合等比数列前 项和公式即可求解．
【详解】若 得 ，即 ，与题设矛盾，故 .
则 ，
所以 ，即 ，所以 或 .
故选：D.
3．（2023·全国·高三专题练习）设等比数列 的前 项和为 .已知 ， ，则
（ ）
A． B．16 C．30 D．
【答案】D
【分析】根据递推关系可求出等比数列的公比、首项，由求和公式得解.
【详解】由题得： ①， ②，① ②得： ， ，则 ，代入①中，即 ， ，
故 ，
故选：D.
4．（2023·全国·高三专题练习）已知数列 的前 项和为 ，且 ，则
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据 的关系即可求解 ，进而根据等比数列求和公式即可求解.
【详解】 令 可得： ，解得： ，
①， ②，由①-②可得： ，
,故选：C
5．（2023·河南·校联考模拟预测）记数列 的前n项和为 ．若等比数列 满足 ，
，则数列 的前n项和 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由 ， ，求出等比数列 的公比 及 ，数列 也是等比数列，利用等比数列求和公式可求出答案.
【详解】因为 ， ，
所以等比数列 的公比 ，所以 ，则 ，
由 ，可知数列 是以 为首项， 为公比的等比数列，
所以 ．
故选：D．
6．（2023·全国·高三专题练习）已知正项等比数列 的前n项和为 ，且 是 与 的等差中项，
若 ，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设等比数列的公比为 ，根据条件得到关于 的方程 ，解出 ，则可得到
等比数列通项和其前 项和，一一代入判断即可.
【详解】设等比数列的公比为 ，由题得 ，
即 ，代入 得 ，
化简得 ，解得 或 （舍去），
故 ，则 ，
所以 ，对A， ，故A正确，
对B， ，故B错误，
对C， ，故C错误，
对D， ，故D错误，
故选：A.
7．（2023·辽宁锦州·校考一模）已知等比数列 的公比的平方不为 ，则“ 是等比数列”是
“ 是等差数列”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】利用等差数列和等比数列的递推关系进行证明即可.
【详解】设等比数列 的公比为 ，若 是等比数列，则 为常数，由
为常数，所以 是等差数列；
若 是等差数列，设 的公差为 ，则 为常数，所以 是等比数列.
综上，“ 是等比数列”是“ 是等差数列”的充要条件.
故选：C
8．（2023春·河南南阳·高三校联考阶段练习）已知数列 的前 项和为 ，且 ，则 的值
为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A【分析】根据题意结合 与 的关系分析可得数列 为等比数列，再利用等比数列的通项公式和求和公
式运算求解.
【详解】当 时，得 ，解得 ；
由 ，得 ，两式相减得 ，
整理得 ，故数列 是以6为首项， 为公比的等比数列，
所以 ， ，
则 ．
故选：A．
9．（2023·北京·高三专题练习）已知数列 为等比数列，其前n项和为 ， ，则“公比 ”
是“对于任意 ， ”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不
必要条件
【答案】A
【分析】根据等比数列的通项公式以及前 项和公式，分别验证充分性以及必要性即可得到结果.
【详解】若 ，且公比 ，则 ，所以对于任意 ， 成立，故充分性成立；
若 ，且 ，则 ，
所以由对于任意 ， ，推不出 ，故必要性不成立；
所以“公比 ”是“对于任意 ， ”的充分不必要条件.
故选:A10．（2023·全国·高三专题练习）已知 为等比数列， 是它的前n项和．若 ，且 与 的等
差中项为 ，则 等于（ ）
A．37 B．35 C．31 D．29
【答案】C
【分析】代入公式计算得到 ，根据等差中项得到 ，解得 ， ，计算得到答案.
【详解】 ， ，故 ；
，即 ，解得 ， ，
.
故选：C
11．（2023·全国·高三专题练习）正项等比数列 的前 项和为 ， ， ，则
等于（ ）
A．90 B．50
C．40 D．30
【答案】B
【分析】由 ， 可得 ，由等比数列前n项和的性质可得
，代入求解即可.
【详解】解：因为 是正项等比数列 的前 项和，
所以 ，
所以 ，
又因为 ， ，所以 ，
所以 ，
解得 或 (舍).
故选：B.
12．（2023·北京·高三专题练习）康托尔三分集是一种重要的自相似分形集.具体操作如下：将闭区间
均分为三段，去掉中间的区间段 ，记为第一次操作；再将剩下的两个区间 分别均分为
三段，并各自去掉中间的区间段，记为第二次操作， ，将这样的操作一直继续下去，直至无穷，由于在
不断分割舍弃过程中，所形成的线段数目越来越多，长度越来越小，在极限的情况下，得到一个离散的点
集，称为康托尔三分集，记为 .若使留下的各区间长度之和不超过 ，则至少需要操作（ ）次（参考
数据： ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】C
【分析】根据条件得到规律：第 次操作去掉的线段长度之和为 ，然后利用等比数列的求和公式
可得留下的各区间长度之和，然后解不等式可得答案.
【详解】第一次操作去掉的线段长度为 ，
第二次操作去掉的线段长度之和为 ，
第三次操作去掉的线段长度之和为 ，
……
第 次操作去掉的线段长度之和为 ，所以留下的各区间长度之和为 ，
所以 ，
即 ；
故选：C.
13．（2023·云南·高三云南师大附中校考阶段练习）设等比数列 的首项为1，公比为q， 是数列
的前n项和，则“ ”是“ 恒成立”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要
条件
【答案】A
【分析】充分性直接证明，必要性举特值 验证.
【详解】 ．
当 时， ，可知 ．
所以“ ”是“ ， 恒成立”的充分条件．
又当 时， ．
若n为偶数，
则 ；
若m为奇数，则 ．所以，当 时， 恒成立．
综上，“ ”是“ 恒成立”的充分不必要条件，
故选：A．
14．（2023·全国·模拟预测）已知正项等比数列 的前n项和为 ，若 ，则 的最小值为
（ ）
A．6 B． C． D．9
【答案】B
【分析】根据等比数列的性质得到 ， 之间的关系，利用基本不等式求最小值.
【详解】设数列 的公比为 ，
若 ，则由题意知 ， ， 成等比数列，
则 ，又 ，
所以 ，
所以 ，
当且仅当 ，即 时取等号，
即 ， 时等号成立，
则 的最小值为 .
当 时，由 ，可得 ，
所以 ，
故 的最小值为 .故选：B.
15．（2023·北京·北京二中校考模拟预测）已知 是无穷等比数列，则“存在 ，使得
，”是“对任意 ，均有 ”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】首先由 ，可推得 .进而可得出 ， 或者 ， ，分别验证可
得 成立；反过来，由 ，可得出 ， 或者 ， ，分别验证可得存在
，使得 ，即可得出答案.
【详解】设 公比为 ，显然 ，且 .
（1）由 可得， ，
显然有 与 符号相同，则 .
①若 ，则有 ，解得 ，
此时 .
因为 ，所以 ，又 ，所以 ，所以 ；
②若 ，则有 ，解得 .
又 ，所以 ，
此时 .因为 ，所以 ，又 ，所以 ，所以 .
（2）因为 ，所以 .
因为 是常数，所以 符号恒定，所以 .
①若 ，则 ，所以 ，显然此时有 成立；
②若 ，则 ，此时有 ，所以 ，
此时有 成立.
综上所述，“存在 ，使得 ，”是“对任意 ，均有 ”的充分必要条件.
故选：C.
16．（2023·全国·高三专题练习）若等比数列 的公比为 ，其前 项和为 ，前 项积为 ，并且
，则下列正确的是（ ）
A． B．
C． 的最大值为 D． 的最大值为
【答案】D
【分析】根据等比数列定义以及 可得 且 ，即AB均错误，再由等比数列前 项
和的函数性质可知 无最大值，由前 项积定义解不等式可知 的最大值为 .
【详解】由 可知公比 ，所以A错误；
又 ，且 可得 ，即B错误；
由等比数列前 项和公式可知 ，由指数函数性质可得 为单调递增，即 无最大值，所以C错误；
设 为数列 前 项积的最大值，则需满足 ，可得 ，
又 可得 ，即 的最大值为 ，所以D正确.
故选：D
二、多选题
17．（2023·全国·高三专题练习）在公比q为整数的等比数列 中， 是数列 的前n项和，若
， ，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C．数列 是等比数列 D．数列 是公差为2的等差数列
【答案】AC
【分析】先求出 以及 可判断A；然后通过等比数列求和公式即可判断B；求出 利用等比数列定义
判断C；求出 用等差数列的定义判断D；
【详解】∵ ， ，且公比q为整数，
∴ ， ，
∴ ， 或 （舍去），故A正确；
，
∴ ，故B错误；，
， ，
故数列 是等比数列，故C正确；
∵ ，∴ ，
，
故数列 是公差为 的等差数列，故D错误.
故选：AC.
18．（2023·全国·高三专题练习）已知 是等比数列 的前 项和，且 ，则下列说法正确的
是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AD
【分析】根据 与 的关系以及 是等比数列，可求得 ， .进而判断数列 是以8为
首项，4为公比的等比数列，根据等比数列前 项和公式即可判断C、D项.
【详解】当 时， ，
当 时， .
因为 是等比数列，所以需满足 ，所以 ， .
所以，A项正确，B项错误；因为 ， ，
所以数列 是以8为首项，4为公比的等比数列.
所以 ，所以C项错误，D项正确.
故选：AD.
19．（2023春·安徽·高三校联考开学考试）已知等比数列 各项均为正数，其前 项积为 ，若
， ，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C． 是 中最小的项
D．使 成立的 的最大值为18
【答案】AC
【分析】对于A：利用 直接求出 ；对于B：由 解得 ，即
可得到 ；对于C：判断出 时， ； 时， 得到 是 中最小的项；
对于D：直接求出使 成立的 的最大值为17.
【详解】对于A：因为 ，所以 ，所以 ，所以 .故A正确；
对于B：因为 ，所以 时， ，所以数列 为递增数列.
因为 ，所以 ，所以 .故B错误；对于C：因为数列 各项均为正数，前 项积为 ，且 时，有 ，所以 ，即 ；
时，有 ，所以 ，即 ；所以 是 中最小的项.故C正确.
对于D：因为 ，而 ，
所以使 成立的 的最大值为17.故D错误.
故选：AC
20．（2023·全国·高三专题练习）已知等比数列 的公比为 ，前 项积为 ，若 ，且 ，则
下列命题正确的是（ ）
A． B．当且仅当 时， 取得最大值
C． D．
【答案】ACD
【分析】由等比数列各项积的意义判断A，根据等比数列的通项公式结合A求出公比判断C，等比数列各
项积的意义及所给条件判断B，由等比数列通项公式、等差数列求和公式计算可判断D.
【详解】因为 ，所以 ，故A正确；
又 ，即 ，解得 ，故C正确；
由 知等比数列 为递减数列，且 ，故 取得最大值为 ，故B错误；
因为 ，
所以 成立，故D正确.
故选：ACD
21．（2023·安徽滁州·校考模拟预测）已知数列 的前 项和为 ，若 ， ，则下列结
论正确的是（ ）
A． B． 是等比数列C． 是单调递增数列 D．
【答案】AC
【分析】由已知得出 ，可判断A选项的正误；利用等比数列的定义可判断B选项的正误；利用
数列的单调性可判断C选项的正误；利用作差法可判断D选项的正误.
【详解】对于A选项，由 得 ，故 ，A正确；
对于B选项，将 ， 两式相减得 ，
即 ，又令 ，得 ，
，所以 从第二项开始成等比数列，公比为 ，
故 时， ，即 ，所以， ，
故B选项错误；
对于C选项，因为 .当 时， ，
当 时， .
所以， ，令 ，
则 时， ，
即 ，而 ，所以数列 单调递增，C选项正确；
对于D选项，当 时， ，
显然成立，故 恒成立，D选项错误.
故选：AC.22．（2023·全国·高三专题练习）已知等比数列 的公比为 ，其前 项之积为 ，且满足 ，
， ，则（ ）
A． B．
C． 的值是 中最小的 D．使 成立的最大正整数 的值为4043
【答案】ABD
【分析】由等比数列的性质得 ，再对选项逐一判断，
【详解】由 ， ， 得 ，且 ，
对于A， ，故A正确，
对于B， ，故B正确，
对于C，当 时， ，当 时， ，
故 的值是 中最小的，故C错误，
对于D， ， ，故使 成立的最大正整数 的值为4043，故D正确，
故选：ABD
三、填空题
23．（2023·全国·高三专题练习）已知等比数列 的各项都是正数，且 ， ， 成等差数列，则
.
【答案】9【分析】利用等比数列的性质及 ， ， 成等差数列建立方程，从而求出q的值，即可求解.
【详解】设正项等比数列 的公比为q，则 ，∵ ， ， 成等差数列，∴ ，
∴ ，∴ 或 （舍去），∴ .
故答案为：9
24．（2023·全国·高三专题练习）已知各项均为正数的等比数列 ，若 ，则 的值为
．
【答案】6
【分析】根据等比数列的通项公式，将题中所给的条件转化为关于首项和公比的关系式，化简求值，得到
，之后将待求式子转化为关于 的关系式，代入求得结果.
【详解】可知 ，
则 ；
故答案为：6.
25．（2023·全国·高三专题练习）已知数列 为等比数列，公比 ，首项 ，前三项和为7，
，则n＝ ．
【答案】5
【分析】首先利用条件求等比数列的通项公式，再根据通项公式，列式求 的值.
【详解】由条件可知， ，即 ， ，
解得： ，所以 ，
，即 ，
得 ，解得： 或 （舍）.
故答案为：526．（2023·全国·高三专题练习）设正项等比数列 的前 项和为 ，若 ，则 的值为 .
【答案】91
【分析】方法一：利用等比数列前 项和的性质即可求解；方法二：利用等比数列前 项和的公式，代入
计算即可求解.
【详解】方法一：等比数列 中， ， ， 成等比数列，
则 ， ， 成等比数列，∴ ，∴ ，
∴ .
方法二：设 公比为 ，由题意显然 且 ,所以 ，
∴ ，
故答案为： .
27．（2023·全国·高三专题练习）等比数列 是递减数列，前n项的积为 ，若 ，则
．
【答案】2
【分析】由题意可得 ，且 ，由条件可得 ，化简得 ，再由
，求得 的值．
【详解】解：等比数列 是递减数列，其前 项的积为 ，若 ，设公比为 ，
则由题意可得 ，且 ．
， ．又由等比数列的性质可得 ， ．
故答案为：2．
28．（2023春·河南南阳·高三校联考阶段练习）在数列 中. ， 是其前n项和，当
时，恒有 、 、 成等比数列，则
【答案】
【分析】由题可得 ，利用 可得 ，利用倒数法求出 的通项公式，
然后根据 与 的关系即得.
【详解】当 时，由题可得 ，即 ，
化简得 ，得 ，
两边取倒数得 ，
，
所以，数列 是以 为首项，以 为公差的等差数列，
，
，
当 时， ，
所以， .故答案为： .
29．（2023·全国·高三专题练习）在正项等比数列 中， ， ，记数列 的前n项积为 ，
，则n的最小值为
【答案】5
【分析】由题意求出 ，继而求得 的表达式，根据 得到 ，解得 ，可得答案.
【详解】设正项等比数列 公比为q，由 得 ，
于是得 ，而 ，解得 ，
因此， ， ，
由 得： ，
从而得： ，而 ，解得 ，
又 ，则n的最小值为5，
故答案为：5.
30．（2023·全国·高三专题练习）设 为等比数列 的前n项和，已知 ， ，若存在
，使得 成立，则m的最小值为 ．
【答案】9
【分析】先求出首项和公比，从而得到通项公式及求和公式，然后利用基本不等式求出最小值，从而求出
m的最小值.
【详解】设 的公比为q，由 可知 ，所以 ，
由 得： ，所以 ，则 ，所以 ， ，
由题意知存在 ，使得 成立，
当且仅当 ，即 时取得等号，所以 ，
故m的最小值为9
故答案为：9
31．（2023·全国·高三专题练习）正项等比数列 中， ，且存在两项 使得 ，
则 的最小值为 .
【答案】
【分析】根据等比数列通项公式可构造方程求得 ，进而化简已知等式得到 ，根据
，利用基本不等式可求得结果.
【详解】设正项等比数列 的公比为 ，
由 得： ，则 ，解得： （舍）或 ，
由 得： ， ，即 ；
（当且仅当 ， 时取等号），
的最小值为 .
故答案为： .
四、解答题32．（2023·广东汕头·统考三模）等差数列 和各项均为正数的等比数列 满足： ，
.
(1)求数列 和 的通项公式；
(2)数列 是由数列 和 中不同的项按照从小到大的顺序排列得到的新数列，记数列 的前 项
和为 ，求 .
【答案】(1) ，
(2)15220
【分析】（1）根据等差数列和等比数列公式列方程求解即可；
（2）由 ， ，得 ，数列 的前100项中含有数列 中的4项，再求和得到答案.
【详解】（1）根据条件，设 ， ，
又 ，解得 ，
故 ， .
（2）当 时， ，由 ，得 ， ，
又 ， ， ， ，
故在数列 的前100项中含有数列 中的4项，
所以 ，
所以 .
33．（2023·河南·河南省实验中学校考模拟预测）已知等比数列 的公比 ，前 项和为 ．若，且 是 与 的等差中项.
(1)求 ；
(2)设数列 满足 ， ，数列 的前 项和为 .求 ．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意，利用等比数列的通项公式列出方程求得 的值，进而求得数列的通项公式；
（2）根据题意，利用 ，求得 ，
得到 ，结合等比数列的求和公式，即可求解.
【详解】（1）解：由 ，得 ，
又由 是 ， 的等差中项，可得 ，即 ，
则 ， 即 ，
可得 ，解得 或 ，
因为 ，所以 ，
将 代入 ，可得 ，
所以 ，即 .
（2）解：因为数列 满足 ， ，
可得 ，，
所以当 时， ，
又因为 也满足上式，所以 ，
则 ，
所以
.
34．（2023·全国·高三专题练习）已知数列 的前n项和为 ， ，对任意的正整数 ，点
均在函数 图像上．
(1)证明：数列 是等比数列；
(2)证明： 中任何不同三项不构成等差数列．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）确定 得到 ，得到证明.
（2）确定数列的通项公式，假设存在 使得 成等差数列，得到 ，根据
奇偶性得到矛盾，得到证明.
【详解】（1）点 均在函数 图像上，则 ，故 ，
，故 是首项为2，公比为2的等比数列.
（2） ，故 ， ，且从第二项起 严格增，假设存在 使得 成等差数列，则 ，
即 ，等式左边为偶数，右边为奇数，故假设不成立.
故 中任何不同三项不构成等差数列．
35．（2023·江苏苏州·模拟预测）记正项数列 的前 项和为 ，已知 ，且 ，
， 成等比数列.
(1)求数列 的通项公式；
(2)求证： .
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）利用 ， ， 成等比数列解得 、 ，再利用 得 ，
两边同除以 可得数列 是等比数列，从而得出数列 的通项公式；
（2）利用 即 可得答案.
【详解】（1）当 时， ；当 时， .
因为 ， ， 成等比数列，所以 ，
所以 ，解得 或 （舍），所以 ，
因为 ①，所以当 时， ②.
① ②得 ，化简得 （ 也成立），
两边同除以 得 ，所以 ，所以数列 是以 为首项， 为公比的等比数列，
所以 ，即数列 的通项公式为 ；
（2）因为 ，所以 ，当且仅当 时取等号，
即 ，整理得， ，
所以 ，故 .
36．（2023·全国·高三专题练习）已知数列 的首项 ， .
(1)证明：数列 为等比数列；
(2)求数列 的通项公式.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）应用等比数列定义证明即可；
（2）根据等比数列通项公式求解计算即得.
【详解】（1）因为 ，所以 ，
即 ， 且 ，
所以数列 是首项为 ，公比为 的等比数列.（2）由（1）可求得 ，所以 ，即 .
37．（2023·全国·高三专题练习）数列 是等比数列，前n项和 ，数列 满足
.
(1)求p的值及通项 ；
(2)求和 .
【答案】(1) ，
(2)
【分析】（1）根据 与 的关系即可求解；
（2）先求出 ，然后分 为偶数和奇数分别求和即可.
【详解】（1）因为 ，所以当 时， ，
因为数列 是等比数列，所以 也应满足 ，
所以 ，所以通项 .
（2）由（1）得 ，
当 时，
；
当 时，；
所以 .
38．（2023·福建厦门·统考模拟预测）已知数列 满足 ．
(1)证明 是等比数列；
(2)若 ，求 的前 项和 ．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据已知条件及等比数列的定义即可求解；
（2）根据（1）的结论及等比数列的通项公式，利用等差等比数列的前 项和公式，结合数列中的分组求
和法即可求解.
【详解】（1）由题意得 ．
又因为 ，所以 ．
所以 是以 为首项， 为公比的等比数列.（2）由（1）得 ．
所以 ．
所以
.
39．（2023·全国·高三专题练习）已知数列 满足 ，且 .
(1)求证：数列 是等比数列；
(2)若 ，求满足条件的最大整数n.
【答案】(1)证明见解析
(2)99
【分析】（1）由已知得 再由等比数列的定义可得答案；
（2）由（1）求出 ，再由等比数列的求和公式可得 ，令，根据 的单调性可得答案.
【详解】（1） ， ，
， ，
是以 为首项， 为公比的等比数列；
（2）由（1）： ， ，
，
令 ，
因为 在 单调递增，
所以 在 单调递增，
单调递增， ，
可得 ，所以满足条件的最大整数为 .
【C组 在创新中考查思维】
一、单选题
1．（2023·全国·高三专题练习）已知数列 的前 项和 ，等比数列 满足，若对于任意的实数 ，不等式 恒成立，则实数 的取
值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】先利用 ，求出 ，进而求出 ，故题干条件转化为
对于任意的实数 恒成立，设 ，利用一次函数的单调性得到
且 ，求出 的取值范围.
【详解】因为 .当 时， ，又当 时，
，所以 .设 ，则 ，可得 ， ，所以数列 .的
通项公式为 ， ，因此原不等式转化为 ，即 对于任意的实数
恒成立，设 ， ，可得 且 ，即有 ，解
得：实数 的取值范围为 .
故选：D
2．（2023·全国·高三专题练习）已知数列 中，其前n项和为 ，且满足 ，数列 的前n
项和为 ，若 对 恒成立，则实数 的最大值（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由 ，利用 ，得到数列 是以1为首项， 为公比的等比数列，进
而得到 是以1为首项， 为公比的等比数列，利用等比数列前n项和公式得到 ， ，将
恒成立，转化为 对 恒成立，再分n为偶数和n为奇数讨
论求解，求出取值范围，即可得最大值．
【详解】当 时， ，得 当 时，由 ，得 ，
两式相减得 ，所以数列 是以1为首项， 为公比的等比数列．
因为 ，所以 ．又 ，所以 是以1为首项， 为公比的等比数列，所以
， ，
由 ，得 ，
所以 ，
所以 ．
又 ，所以 ，所以 ，
即 对 恒成立，
当n为偶数时， ，
所以 ，
令 ，则数列 是递增数列，
所以
当n为奇数时， ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，综上，实数 的取值范围是 ，
故实数 的最大值为 ，
故选：D．
3．（2023春·重庆·高三校联考阶段练习） 已知数列 满足 （ ，且
是递减数列， 是递增数列，则 ( )
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用数列的单调性及不等式的性质得 ， ，再运用累加法可求解.【详解】由 可得： ，又 是递减数列， 是递增数列，
所以 ， 即 ，由不等式的性质可得： ，又因
为 ，即 ，
所以 ，即 ，同理可得： ；
当数列 的项数为偶数时，令 ，可得：
，将这 个式子相加得：
，
所以 ，
则 ，
故选：D
4．（2023·四川·校联考模拟预测）在数列 中， ， ，且 ，则下列结论成立
的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据 ，可得 ， ，两式相除即可求得数列 通项，
再逐一分析各个选项即可.【详解】因为 ，所以 ， ，
两式相除，得 ，
又 ，所以 ，
所以 是以 为公比的等比数列，
所以 ，
记 ，则 ，所以 ，所以 ，
所以 ，
即 ，故A错误；
因为 ，所以 ，
所以 ，
同理 ， ， ，
所以 ，
即 ，故B错误；
，所以 ，故C正确；
，所以 ，故D错误.
故选：C.
【点睛】关键点点睛：根据 ，可得 ， ，两式相除得出
是以 为公比的等比数列，是解决本题得关键.
5．（2023·全国·高三专题练习）已知数列 满足： ，且 ，下列说法正确的
是（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C． D．
【答案】B
【分析】变换得到 ，计算 ，A错误，确定 ，得到
，B正确，确定数列 递减，C错误，取 ，则 ，
，代入计算D错误，得到答案.
【详解】 ，故 ， ．
，故 且 ，于是 与 同号，即 ．
对选项A：若 ，则 ，则 ，
，所以 ，错误；
对选项B： ， ，则 ，即 ，
于是 ，即 ，数列 单调递减， ，
， ，故 ，即 ，
，故 ，
故 ，故 ，正确；
对选项C：考虑函数 ， ， ，
函数单调递增，结合 的图像，如图所示：
由图可知当 时，数列 递减，
，所以 ，即 ，不正确；
对选项D：设 ，则 ， ，，即 ，
等价于 ，化简得 ，
而 显然不恒成立，不正确；
故选：B．
【点睛】关键点睛：本题考查了利用导数求函数的单调性，数列的递推公式，比较数列项的大小关系，意
在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中构造函数，根据图像确定 递减是解题的
关键.
二、多选题
6．（2023·广东茂名·统考二模）已知数列 和 满足： ， ， ，
， ，则下列结论错误的是（ ）
A．数列 是公比为 的等比数列 B．仅有有限项使得
C．数列 是递增数列 D．数列 是递减数列
【答案】ABD
【分析】由题意 ， ，将第二个式子乘以 后与第一和式子相加可得
，令 ，解得 ，取 ，利用等比数列的定义和
通项公式对各选项依次判断即可.
【详解】由题意可知 ，
第二个式子乘以 后与第一和式子相加可得，
令 ，解得 ，
取 可得 ，
因为 ， ，所以 ，
所以 ，
所以数列 是公比为 的等比数列，选项A说法错误；
因为 ， ，所以 ，
所以当 为正奇数时， ，即 ，
当 为正偶数时， ，即 ，选项B说法错误；
由 ， ， ， ，可知 ， ，且数列 和 均为递增数列，
而 ，
所以数列 是递增数列，选项C说法正确；
因为 ，所以数列 是递增数列，选项D说法错误；
故选：ABD
7．（2023·辽宁沈阳·统考三模）已知等比数列 首项 ，公比为q，前n项和为 ，前n项积为 ，函数 ，若 ，则下列结论正确的是（ ）
A． 为单调递增的等差数列
B．
C． 为单调递增的等比数列
D．使得 成立的n的最大值为6
【答案】BCD
【分析】首先求函数的导数，根据条件判断 ，先判断B；再结合等比数列的定义和等差数列的定
义判断AC；最后数列前 项积的定义判断D.
【详解】函数 ，
则 ，
因为 ，所以 ，
由等比数列的性质可得 ，
所以 ，所以 ，
由 ，可得 ，故B正确；
因为等比数列 首项 ，公比为q，所以 ，
则 ，故 为单调递减的等差数列，故A错误；
设，则 为常数，
因为 ，所以 ， 单调递减，
所以 为单调递增的等比数列，故C正确；
因为 ，且 ，所以 ， ，
所以使得 成立的n的最大值为6，故D正确．
故选：BCD
8．（2023·全国·高三专题练习）已知正项数列 ， 的前 项和分别为 ， ，且满足
， ，则（ ）
A． 是等比数列 B． 是等比数列
C．当 时， D．当 时，
【答案】ACD
【分析】由 ，得到 ，化简得到 ，结合 ，可判定A正确；
由 ，得到 ，化简得到 ，可判定B不正确；由
，得到 ，证得 ，得到 是递增数列，同理得到 是递减数列，进而判定C正确；由 ，得到 ，由 ，得到 ，
结合 ，得到 ， ，可判定D正确．
【详解】对于A中，由 ，则当 时， ，
两式相减得， ，
即 ，化简得 ，
又由 ，所以 ，所以数列 是等比数列，所以A正确；
对于B中，由 ，则当 时， ，
两式相减得 ，
等式两边同乘 ，可得 ，
等式两边同时加 ，得 ，可得 不是等比数列，
所以B不正确．
对于C中，由数列 为正项数列， ，得 ，
所以 ，所以 ，所以 ，所以 是递增数列，
同理可证 是递减数列，当 时， ，故 ，所以C正确；
对于D中，由 ，可得 ，故 ，所以 ，所以 ，
因为 ，所以 ，
由 ，可得 ，可得 ，
又由 ，可得 ，
因为 ，
可得
，
所以 ， ，
因为 ，所以 ，所以 ，
所以 ，所以D正确．
故选：ACD
三、填空题
9．（2023·新疆乌鲁木齐·统考三模）已知各项均不为零的数列 的前 项和为 ， ， ，
，且 ，则 的最大值等于 .
【答案】
【分析】由递推关系得数列 满足 ，得 ，由条件得，将求 的最大值转化为求关于 的函数的最大值.
【详解】因为 ，
所以 ，将 代入，得 ，
所以 ， ，所以 ，
，
又因为 ，所以 ， ，即 ，
因为 ，所以 ， ，
当且仅当 时等号成立，
所以 ，
因为 ，所以当 时，
最大，
所以 ，
即 时， 有最大值 .
故答案为： .
【点睛】思路点睛：根据 求 的最大值时，注意分析数列中项的正负
号，得 ，且 ，进而得 .10．（2023·陕西榆林·校考模拟预测）已知等差数列 的首项为 ，公差 ，等比数列
满足 ， ，则 的取值范围为 .
【答案】
【分析】根据题意结合等差、等比数列的通项公式整理可得 ，令 ，结合函数
单调性求取值范围.
【详解】设等比数列的公比为 ，则 ， ，
则 ，
所以 ，且 ，
可得 ， ，
则 ，
令 ，则 在 上单调递增，可得 ，
故 在 上单调递减，可得 ，
即 的取值范围为 .
故答案为： .
11．（2023·全国·高三专题练习）已知正项数列 中， ，且 为其
前 项和，若存在正整数 ，使得 成立，则 的取值范围是 ．
【答案】【分析】利用已知条件，推导出数列 为等比数列，写出通项公式及前 项和，代入 中变形
化简，然后根据表达式求出取值范围即可.
【详解】由已知 得 ，
由于 ，所以 ，即 ，
即数列 是首项为5，公比为2的等比数列，
所以 ，
由 变形为 ，
因为存在正整数 ，使得 成立，所以 ，
由于 ，所以 ，
所以 ，则 ，即 的取值范围为 .
故答案为： .
12．（2023·全国·高三专题练习）已知数列 各项均为正数，其前n项和 满足 ．
给出下列四个结论：
① 的第2项小于3； ② 为等比数列；
③ 为递减数列； ④ 中存在小于 的项．
其中所有正确结论的序号是 ．
【答案】①③④
【分析】推导出 ，求出 、 的值，可判断①；利用反证法可判断②④；利用数列单调性的
定义可判断③.【详解】由题意可知， ， ，
当 时， ，可得 ；
当 时，由 可得 ，两式作差可得 ，
所以， ，则 ，整理可得 ，
因为 ，解得 ，①对；
假设数列 为等比数列，设其公比为 ，则 ，即 ，
所以， ，可得 ，解得 ，不合乎题意，
故数列 不是等比数列，②错；
当 时， ，可得 ，所以，数列 为递减数列，③对；
假设对任意的 ， ，则 ，
所以， ，与假设矛盾，假设不成立，④对.
故答案为：①③④.
【点睛】关键点点睛：本题在推断②④的正误时，利用正面推理较为复杂时，可采用反证法来进行推导.
四、解答题
13．（2023·全国·高三专题练习）设数列 满足 ， ．
(1)证明： ．
(2)设数列 的前n项和为 ，证明： ．【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）由已知构造比值式再结合基本不等式证明即可；
（2）由（1）的结论可得 ，利用迭代法得 ，结合等比数列求和计算即可.
【详解】（1）∵数列 满足 ， ，
∴易知 ，且 ，当且仅当 时取得等号，
故 ．
（2）由（1）可得 ．
从而 ，
∴ ．
14．（2023·全国·高三专题练习）已知数列 满足 ， ．
(1)若数列 为单调递减数列，求实数a的取值范围．
(2)当 时，设数列 前n项的和为 ，证明：当 时， ．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）由数列单调性和作差法得到 ，再利用数学归纳法得到 ， ，得到
结论；
（2）利用数学归纳法证明出 ，从而得到当 时， ，由题目条件得到 ，结合等比数列求和公式证明出 ，从而证明出结论.
【详解】（1）∵ ，
∴ ．
下面由 及数学归纳法证明 ，过程如下：
，假设 ，
则 ，即 ，证毕；
从而可由 及数学归纳法证明
，理由如下：
，故 ，满足 ，
假设 ，则 ，
结合 ，可得 ，证毕；
（2）由已知得 ， ，
，
可证 ，理由如下：因为 ，所以 ，即 ，
，故 ，即 ，
假设 ， ，
则 ， ，
从而 ， ，证毕.
当 时， ．
由 得
．
∴当 时， ．
【点睛】数列不等式问题，常常需要进行放缩，放缩后变形为等差数列或等比数列，在结合公式进行证明，
又或者放缩后可使用裂项相消法进行求和，常常使用作差法和数学归纳法，导数法等，技巧性较强.
