文档内容
专题 4.2 全等三角形的证明六大类型
【人教版】
【类型1 利用SSS证明三角形全等】.....................................................................................................................1
【类型2 利用SAS证明三角形全等】.....................................................................................................................5
【类型3 利用ASA证明三角形全等】..................................................................................................................12
【类型4 利用AAS证明三角形全等】..................................................................................................................18
【类型5 利用HL证明三角形全等】.....................................................................................................................24
【类型6 两次证明三角形全等】............................................................................................................................29
【类型1 利用SSS证明三角形全等】
1．（23-24八年级上·陕西延安·阶段练习）如图，E是AC上一点，BC=CE,BC+AE=DE,AB=CD．
求证：△ABC≌△DCE．
【分析】由已知可得AC=DE，由SSS可证明△ABC≌△DCE．
【详解】证明：∵BC=CE,BC+AE=DE，
∴CE+AE=DE，
即AC=DE．
在△ABC≌△DCE中，
¿，
∴△ABC≌△DCE(SSS)．
2．（23-24八年级上·全国·课后作业）如图，已知AB=CD，AD=BC，O为AC上任意一点，过O点作一
条直线分别交BA，DC的延长线于点F，E．求证：∠E=∠F．【分析】先证明△ABC≌△CDA(SSS)得到∠BAC=∠DCA，再根据内错角相等，两直线平行得到
AB∥CD，最后根据两直线平行，内错角相等即可证得结论．
{AB=CD
)
【详解】证明：∵ BC=DA
AC=CA
∴△ABC≌△CDA(SSS)，
∴∠BAC=∠DCA，
∴AB∥CD，
∴∠E=∠F．
3．（2024八年级上·吉林白山·期中）如图，已知A,E,F,C在同一条直线上，AB=CD，BF=DE，
AE=CF．
求证：△ABF≌△CDE．
【分析】根据三角形全等的判定定理，即可得到结论．
【详解】∵AE=CF，
∴AE+EF=CF+EF，即：AF=CE，
在△ABF与△CDE中，
{AB=CD
)
∵ BF=DE ，
AF=CE
∴△ABF≌△CDE（SSS）
4．（2024七年级·安徽·课后作业）如图，已知AB=AC，AD=AE，BD=CE，求证：∠3=∠1+∠2.【分析】利用SSS可证明 ABD≌△ACE，可得∠BAD=∠1，∠ABD=∠2，根据三角形外角的性质即可得
∠3=∠BAD+∠ABD，即可△得结论.
AB=AC
{ )
【详解】在 ABD和 ACE中， AD=AE ，
BD=CE
△ △
∴△ABD≌△ACE，
∴∠BAD=∠1，∠ABD=∠2，
∵∠3=∠BAD+∠ABD，
∴∠3=∠1+∠2.
5．（2024•五华区校级模拟）如图，点F，C在BE上，BF＝EC，AB＝DE，DF＝AC．求证：∠B＝∠E．
【分析】先证明BC＝EF，进而证明△ACB≌△DFE（SSS），即可推出∠B＝∠E．
【解答】证明：∵BF＝EC，
∴BF+CF＝EC+CF，
∴BC＝EF，
在△ACB和△DFE中，
{BC=EF
)
AB=DE ，
AC=DF
∴△ACB≌△DFE（SSS），
∴∠B＝∠E．
6．（2023秋•浦江县期末）如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，点E，F分别在AB，AD上，AE
＝AF，CE＝CF，求证：CB＝CD．【分析】连接AC，先利用SSS证明△ACE≌△ACF，可得∠EAC＝∠FAC，再利用AAS证明△ACB≌△ACD
即可得结论．
【解答】证明：如图，连接AC，
在△ACE和△ACF中，
{AE=AF
)
CE=CF ，
AC=AC
∴△ACE≌△ACF（SSS），
∴∠EAC＝∠FAC，
∵∠B＝∠D＝90°，
∴CB＝CD．
7．（23-24八年级上·陕西延安·期中）如图，在线段BC上有两点E，F，在线段BC的异侧有两点A，D，
且满足AB=DC，AE=DF，CE=BF，连接AF．
(1)求证：△ABE≌△DCF；
(2)若∠B=40°，∠DFC=20°，AF平分∠BAE时，求∠AFB的度数．【分析】本题考查了三角形全等的判定和性质，熟练掌握判断是解题的关键．
（1）根据CE=BF，得到CE+EF=BF+EF即CF=EB，利用三边对应相等的三角形全等证明即可．
（2）根据全等三角形的性质，结合角的平分线计算即可．
【详解】（1）∵CE=BF，
∴CE+EF=BF+EF即CF=EB，
{AB=DC
)
∵ AE=DF ，
EB=CF
∴△ABE≌△DCF(SSS)．
（2）∵△ABE≌△DCF(SSS)，
∴∠AEB=∠DFC=20°
∵∠B=40°，
∴∠EAB=180°−∠AEB−∠B=120°，
∵AF平分∠BAE时，
1
∴∠EAF= ∠EAB=60°，
2
∵∠AFB=∠EAF+∠AEB，
∴∠AFB=80°．
【类型2 利用SAS证明三角形全等】
1．（2023 秋•邹平市期末）如图，在△ABC 中，AB＝AC，BD 平分∠ABC 交 AC 于点 D，过点 A 作
AE∥BC交BD的延长线于点E．若F是DE上的一点，且BF＝DE，求证：AD＝AF．
【分析】根据角平分线定义及平行线的性质得出∠ABD＝∠AEF，则 AB＝AE，根据 SAS 证明
△ABD≌△AEF，根据全等三角形的对应角相等得出∠ADB＝∠AFE，根据邻补角定义求出∠ADF＝
∠AFD，最后根据等腰三角形的判定即可得解．
【解答】证明：∵BD平分∠ABC，
∴∠CBD＝∠ABD，
∵AE∥BC，∴∠AEF＝∠CBD，
∴∠ABD＝∠AEF，
∴AB＝AE，
∵BF＝DE，
∴BF﹣DF＝DE﹣DF，
∴BD＝EF，
在△ABD和△AEF中，
{
AB=AE
)
∠ABD=∠AEF ，
BD=EF
∴△ABD≌△AEF（SAS），
∴∠ADB＝∠AFE，
∵∠ADB＝180°﹣∠ADF，∠AFE＝180°﹣∠AFD，
∴∠ADF＝∠AFD，
∴AD＝AF．
2．（2024•江阳区模拟）如图，在△ABC和△DEC中，AC＝DC，BC＝EC延长BC，ED相交于点F，且
∠BCE＝∠ACD．
求证：∠A+∠CDF＝180°．
【分析】证明△ABC≌△DEC（SAS），得出∠A＝∠EDC．则可得出结论．
【解答】证明：∵∠BCE＝∠ACD，
∴∠BCE﹣∠ACE＝∠ACD﹣∠ACE，
即∠BCA＝∠ECD，
在△ABC和△DEC中，
{
AC=DC
)
∠BCA=∠ECD ，
BC=EC
∴△ABC≌△DEC（SAS），∴∠A＝∠EDC．
又∵∠EDC+∠CDF＝180°，
∴∠A+∠CDF＝180°．
3．（2023秋•寻乌县期末）如图，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，∠1＝25°，∠2＝30°，连接BE，
点D恰好在BE上，求∠3的度数．
【分析】由∠BAC＝∠DAE，推导出∠BAD＝∠CAE，而AB＝AC，AD＝AE，即可根据“SAS”证明
△ACE≌△ABD，则∠ABD＝∠2＝30°，所以∠3＝∠ABD+∠1＝55°．
【解答】解：∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC﹣∠CAD＝∠DAE﹣∠CAD，
∴∠BAD＝∠CAE，
在△ABD 和△ACE 中，
{
AB=AC
)
∠BAD=∠CAE ，
AD=AE
∴△ACE≌△ABD（SAS），
∴∠ABD＝∠2＝30°，
∵点D在BE上，∠1＝25°，
∴∠3＝∠ABD+∠1＝30°+25°＝55°，
∴∠3的度数是55°．
4．（2023秋•陇县期末）如图，在△ABC中，BE⊥AC、CF⊥AB，垂足分别为E、F，点P在CF的延长线
上，点D在线段BE，且CP＝AB，BD＝AC，连接AP、AD．
（1）求证：△ABD≌△PCA；
（2）求∠P的度数．【分析】（1）根据 BE⊥AC、CF⊥AB，得∠BEA＝∠CFA＝90°，再证∠ABD＝∠PCA，得出
△ABD≌△PCA（SAS）；
（2）由（1）△ABD≌△PCA（SAS），得∠BAD＝∠P，AD＝PA，得∠ADF＝∠P，再根据
∠BAD+∠ADF＝90°，解答即可．
【解答】（1）证明：∵BE⊥AC、CF⊥AB，
∴∠BEA＝∠CFA＝90°，
∴∠EAF+∠ABD＝90°，∠EAF+∠PCA＝90°，
∴∠ABD＝∠PCA，
在△ABD和△PCA中，
{
AB=PC
)
∠ABD=∠PCA ，
BD=CA
∴△ABD≌△PCA（SAS）；
（2）解：由（1）得△ABD≌△PCA（SAS），
∴∠BAD＝∠P，AD＝PA，
∴∠ADF＝∠P，
∴∠BAD＝∠ADF，
∵∠CFA＝90°，
∴∠BAD+∠ADF＝90°，
∴2∠ADF＝90°，
∴∠ADF＝45°，
∴∠P＝45°．
5．（2023秋•邵阳期末）已知：如图，在△ABC、△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝
AE，点C、D、E三点在同一直线上，连接BD．
（1）求证：△BAD≌△CAE；
（2）请判断BD、CE有何大小、位置关系，并证明．【分析】（1）要证△BAD≌△CAE，现有AB＝AC，AD＝AE，需它们的夹角∠BAD＝∠CAE，而由
∠BAC＝∠DAE＝90°很易证得．
（2）BD、CE有何特殊位置关系，从图形上可看出是垂直关系，可向这方面努力．要证BD⊥CE，需证
∠BDE＝90°，需证∠ADB+∠ADE＝90°可由直角三角形提供．
【解答】证明：（1）∵∠BAC＝∠DAE＝90°，
∴∠BAC+∠CAD＝∠EAD+∠CAD，
∴∠BAD＝∠CAE，
在△BAD和△CAE中，
{
AB=AC
)
∠BAD=∠CAE ，
AD=AE
∴△BAD≌△CAE（SAS）．
（2）BD＝CE，BD⊥CE，理由如下：
由（1）知，△BAD≌△CAE，
∴BD＝CE；
∵△BAD≌△CAE，
∴∠ABD＝∠ACE，
∵∠ABD+∠DBC＝45°，
∴∠ACE+∠DBC＝45°，
∴∠DBC+∠DCB＝∠DBC+∠ACE+∠ACB＝90°，
则BD⊥CE．
6．（2024春•法库县期中）如图，在△ABC中，BE，CF分别是AC，AB两条边上的高，点D在BE上满
足BD＝AC，点G在CF的延长线上满足CG＝AB，连接AD，AG．
（1）求证：△ABD≌△GCA；
（2）若连接D，G，请判断△ADG的形状，并直接写出结论．【分析】（1）由BE，CF分别是AC，AB两条边上的高，得∠E＝∠BFC＝90°，可根据“等角的余角
相等”证明∠ABD＝∠GCA，而BD＝CA，BA＝CG，即可根据“SAS”证明△ABD≌△GCA；
（2）根据全等三角形的性质得AD＝AG，∠BAD＝∠CGA，则∠BAD+∠FAG＝∠CGA+∠FAG＝∠BFC
＝90°，求得∠DAG＝180°﹣（∠BAD+∠FAG）＝90°，则△ADG是等腰直角三角形．
【解答】解：（1）∵BE，CF分别是AC，AB两条边上的高，
∴∠E＝∠BFC＝90°，
∴∠ABD+∠BAE＝90°，∠GCA+∠CAF＝90°，
∵∠BAE＝∠CAF，
∴∠ABD＝∠GCA，
在△ABD和△GCA中，
{
BD=CA
)
∠ABD=∠GCA ，
BA=CG
∴△ABD≌△GCA（SAS）．
（2）△ADG是等腰直角三角形，
理由：由（1）得△ABD≌△GCA，
∴AD＝AG，∠BAD＝∠CGA，
∴∠BAD+∠FAG＝∠CGA+∠FAG＝∠BFC＝90°，
∴∠DAG＝180°﹣（∠BAD+∠FAG）＝90°，
∴△ADG是等腰直角三角形．7．（2024春•未央区月考）已知等腰三角形ABC，AB＝AC，D为射线BC上一动点，连接AD，以AD为
边在直线AD的右侧作等腰三角形ADE，∠DAE＝∠BAC，AD＝AE，连接CE．
（1）如图1，当点D在边BC上时，请探究BC，CD，CE之间的数量关系．
（2）如图2，当点D在BC的延长线上时，（1）中BC，CD，CE之间的数量关系是否仍然成立？若成
立，请说明理由；若不成立，请你写出新的结论，并说明理由．
【分析】（1）证明∠BAD＝∠CAE．再证明△BAD≌△CAE（SAS），可得CE＝BD，再进一步可得结
论；
（2）证明∠BAD＝∠CAE．再证明△BAD≌△CAE（SAS），可得CE＝BD，再进一步可得结论．
【解答】解：（1）∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，
即∠BAD＝∠CAE．
{
AB=AC
)
在△BAD与△CAE中， ∠BAD=∠CAE ，
AD=AE
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴CE＝BD，
∴CE+CD＝BD+CD＝BC．
（2）不成立．CE﹣CD＝BC．
理由：∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAD＝∠CAE．
{
AB=AC，
)
在△BAD与△CAE中， ∠BAD=∠CAE，
AD=AE，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴CE＝BD，
∴CE﹣CD＝BD﹣CD＝BC．【类型3 利用ASA证明三角形全等】
1．（2024•西安二模）如图，在四边形 ABCD中，CD∥AB，连接AC，点E在AC上，AE＝CD，连接
BE，∠D+∠BEC＝180°．求证：BE＝AD．
【分析】根据CD∥AB得，∠BAE＝∠ACD，根据∠AEB+∠BEC＝180°，∠D+∠BEC＝180°得∠AEB＝
∠D，由此可依据“ASA”判定△ABE和△ACD全等，然后再根据全等三角形的性质可得出结论．
【解答】证明：∵CD∥AB，
∴∠BAE＝∠ACD，
∵∠AEB+∠BEC＝180°，∠D+∠BEC＝180°，
∴∠AEB＝∠D，
在△ABE和△ACD中，
{∠BAE=∠ACD
)
AE=CD ，
∠AEB=∠D
∴△ABE≌△ACD（ASA），
∴BE＝AD．
2．（2024•合江县二模）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，BD⊥AC于点D，点E在DB的延长线上，DE
＝BC，∠1＝∠2，求证：DF＝AB．
【分析】根据余角的性质，可得∠E＝∠C，根据ASA得出△DEF≌△BCA，可得答案．
【解答】证明：∵BD⊥AC于D，
∴∠EDF＝90°，
∵∠1＝∠2，∠1+∠C＝90°，∠2+∠E＝90°，∴∠E＝∠C．
在△DEF和△BCA中，
{∠EDF=∠CBA
)
DE=BC ，
∠E=∠C
∴△DEF≌△BCA（ASA），
∴DF＝AB．
3．（2024•雁塔区校级模拟）如图，已在△ABC与△ADE中，AB＝AC，∠BAC＝∠DAE，BD⊥AB，
EC⊥AC，求证：AD＝AE．
【分析】根据等式的性质得出∠BAD＝∠CAE，利用ASA证明△ABD与△ACE全等解答即可．
【解答】解：∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，
即∠BAD＝∠CAE，
∵BD⊥AB，EC⊥AC，
∴∠ABD＝∠ACE＝90°，
在△ABD与△ACE中，
{∠ABD=∠ACE
)
AB=AC ，
∠BAD=∠CAE
∴△ABD≌△ACE（ASA），
∴AD＝AE．
4．（2023秋•梅里斯区期末）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D，CE⊥AD，分别交AB、
AD于点E、F．
（1）求证：EF＝CF；
（2）若∠ACB＝80°，∠BCE＝30°，求∠ABC的度数．【分析】（1）由AD平分∠BAC，CE⊥AD，得到∠EAF＝∠CAF，∠AFE＝∠AFC＝90°，又由AF＝
AF，即可证明△AFE≌△AFC（ASA），进而问题可求证；
（2）由（1）可得∠AEC＝∠ACE＝50°，然后根据三角形外角的性质可求解．
【解答】（1）证明：∵AD平分∠BAC，CE⊥AD，
∴∠EAF＝∠CAF，∠AFE＝∠AFC＝90°，
在△AFE和△AFC中，
{∠EAF=∠CAF
)
AF=AF ，
∠AFE=∠AFC
∴△AFE≌△AFC（ASA），
∴EF＝CF；
（2）解：由（1）可得△AFE≌△AFC，
∴∠AEC＝∠ACE，
∵∠ACB＝80°，∠BCE＝30°，
∴∠AEC＝∠ACE＝∠ACB﹣∠BCE＝50°，
∴∠ABC＝∠AEC﹣∠BCE＝20°．
5．（2024春•修水县期末）如图，四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，AB＝AC，点E是BD上一
点，且∠ABD＝∠ACD，∠EAD＝∠BAC．
（1）求证：AE＝AD；
（2）若BD＝8，DC＝5，求ED的长．【分析】（1）证明△ABE≌△ACD（ASA），可得出结论；
（2）根据全等三角形的性质求出答案．
【解答】（1）证明：∵∠BAC＝∠EAD，
∴∠BAC﹣∠EAC＝∠EAD﹣∠EAC，
即：∠BAE＝∠CAD，
在△ABE和△ACD中，
{∠ABD=∠ACD
)
AB=AC ，
∠BAE=∠CAD
∴△ABE≌△ACD（ASA），
∴AE＝AD；
（2）解：∵△ABE≌△ACD，
∴BE＝CD，
∵BD＝8，DC＝5，
∴ED＝BD﹣BE＝BD﹣CD＝8﹣5＝3．
6．（2023秋•铁岭县期末）如图所示，在△ABC中，D是BC的中点，过点D的直线GF交AC于点F，交
AC的平行线BG于点G，过点D作DE⊥FG交AB于点E，连接EG、EF．
（1）求证：BG＝CF．
（2）请你判断：BE+CF与EF的大小关系，并加以证明．
【分析】（1）根据平行线的性质，得∠DBG＝∠DCF，再根据中点的定义，得BD＝CD，然后证明三
角形全等即可；
（2）先由（1）中△BDG≌△CDF，得GD＝FD，BG＝CF，根据线段垂直平分线的判定与性质得EG
＝EF，然后根据三角形的三边关系即可解决问题．
【解答】（1）证明：∵AC∥BG，
∴∠DBG＝∠DCF．
∵D为BC的中点，
∴BD＝CD．在△BDG和△CDF中，
{∠DBG=∠DCF
)
BD=CD ，
∠BDG=∠CDF
∴△BDG≌△CDF（ASA），
∴BG＝CF．
（2）解：BE+CF＞EF，理由如下：
∵△BDG≌△CDF，
∴GD＝FD，BG＝CF．
又∵DE⊥FG，
∴EG＝EF，
在△EBG中，BE+BG＞EG，
∴BE+CF＞EF．
7．（2024春•汝州市期末）如图，在△ABC中，高BD，CE交于点F，且BD＝CD，
（1）判断AD，FD的数量关系，并说明理由；
（2）若CE平分∠ACB，BE＝1.5，求CF的长．
【分析】（1）由BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，得∠ADB＝∠FDC＝∠AEC＝90°，则∠ABD＝
∠FCD＝90°﹣∠A，而BD＝CD，即可根据“ASA”证明△ABD≌△FCD，则AD＝FD；
（2）由∠ACE＝∠BCE，CE＝CE，∠AEC＝∠BEC，根据“ASA”证明△ACE≌△BCE，则AE＝BE＝
1.5，所以BA＝CF＝3，则CF的长为3．
【解答】解：（1）AD＝FD，
理由：∵BD，CE是△ABC的高，
∴BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，
∴∠ADB＝∠FDC＝∠AEC＝90°，
∴∠ABD＝∠FCD＝90°﹣∠A，
在△ABD和△FCD中，{∠ABD=∠FCD
)
BD=CD ，
∠ADB=∠FDC
∴△ABD≌△FCD（ASA），
∴AD＝FD．
（2）∵CE平分∠ACB，
∴∠ACE＝∠BCE，
∵CE⊥AB于点E，
∴∠AEC＝∠BEC＝90°，
在△ACE和△BCE中，
{∠ACE=∠BCE
)
CE=CE ，
∠AEC=∠BEC
∴△ACE≌△BCE（ASA），
∴AE＝BE＝1.5，
∴BA＝AE+BE＝1.5+1.5＝3，
由（1）得△ABD≌△FCD，
∴BA＝CF＝3，
∴CF的长为3．
【类型4 利用AAS证明三角形全等】
1．（2024•雁塔区校级四模）如图，在四边形ABCD中，BC＝CD，CE＝CF，∠BAF＝∠DAE，∠B＝
∠D．求证：AE＝AF．
【分析】根据等式的性质得出∠DAF＝∠BAE，进而利用AAS证明△ADF与△ABE全等，利用全等三角
形的性质解答即可．
【解答】证明：∵∠BAF＝∠DAE，
∴∠BAF﹣∠EAF＝∠DAE﹣∠EAF，
即∠DAF＝∠BAE，∵BC＝CD，CE＝CF，
∴BC﹣EC＝DC﹣FC，
即DF＝BE，
在△ADF与△ABE中，
{∠BAE=∠DAF
)
∠B=∠D ，
BE=DF
∴△ADF≌△ABE（AAS），
∴AE＝AF．
2．（2024春•龙川县校级期末）如图，点A，B在射线CA，CB上，CA＝CB．点E，F在射线CD上，
∠BEC＝∠CFA，∠BEC+∠BCA＝180°．
（1）求证：△BCE≌△CAF；
（2）试判断线段EF，BE，AF的数量关系，并说明理由．
【分析】（1）由“AAS”可证△BCE≌△CAF；
（2）由全等三角形的性质可得AF＝CE，CF＝BE，可得结论．
【解答】（1）证明：∵∠BEC+∠BCA＝180°，
∴∠BEC+∠ECB+∠ACF＝180°，
∵∠CFA+∠ACF+∠FAC＝180°，∠BEC＝∠CFA，
∴∠BCF＝∠FAC，
在△BCE与△CAF中
{∠BEC=∠CFA
)
∠BCF=∠FAC ，
CA=CB
∴△BCE≌△CAF（AAS）；
（2）解：AF+EF＝BE，理由如下：
∵△BCE≌△CAF，
∴AF＝CE，CF＝BE，
∵CE+EF＝CF，∴AF+EF＝BE．
3．（2024春•青岛期末）如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠CBF＝90°，CE⊥BD，垂足为E，CE的延
长线交AB于点F，BD＝CF．
（1）请你在图中找出一对全等三角形，并说明理由；
（2）连接AC，交BD于点P，若∠CPD＝115°，求∠CFB得度数．
【分析】（1）根据同角的余角相等得出∠CFB＝∠BDA，在罗列条件证全等即可；
（2）由第一问全等可得△ABC是等腰直角三角形，推出∠BAC＝45°，再用三角形内角和即可求解．
【解答】解：（1）△BAD≌△CBF，理由如下，
∵CE⊥BD，
∴∠CEB＝∠CEF＝90°，
∴∠CFB＝∠BDA＝90°﹣∠FBE，
在△CBF和△BAD中，
{∠BAD=∠CBF
)
∠BDA=∠CFB ，
BD=CF
∴△BAD≌△CBF（AAS），
（2）由（1）知△BAD≌△CBF，
∴AB＝BC，∠ADB＝∠CFB，
∵∠CBF＝90°，
∴∠BAC＝45°，
∵∠CPD＝115°＝∠APB，
∴∠ABD＝180°﹣∠APB﹣∠BAC＝20°，
∴∠CFB＝90°﹣20°＝70°．
4．（2024春•沙坪坝区校级期末）如图，在锐角△ABC中，AB＝AC，且点E，F在线段AD上，且∠BED
＝∠DFC＝∠BAC．（1）求证AF＝BE；
2
（2）若BD=
7
BC，S△BDE +S△AFC ＝6，求S△ABC ．
【分析】（1）由∠BED＝∠BAC，得∠BAC﹣∠BAD＝∠BED﹣∠BAD，则∠CAF＝∠ABE，由∠BED
＝∠DFC，推导出∠CFA＝∠AEB，而CA＝AB，即可根据“AAS“证明△AFC≌△BEA，则AF＝BE；
2
（2）由△AFC≌△BEA，得S△AFC ＝S△BEA ，则S△ABD ＝S△BDE +S△BEA ＝S△BDE +S△AFC ＝6，由BD =
7
BC，
7
求得S△ABC =
2
S△ABD ＝21．
【解答】（1）证明：∵∠BED＝∠BAC，
∴∠BAC﹣∠BAD＝∠BED﹣∠BAD，
∵∠CAF＝∠BAC﹣∠BAD，∠ABE＝∠BED﹣∠BAD，
∴∠CAF＝∠ABE，
∵∠CFA+∠DFC＝180°，∠AEB+∠BED＝180°，且∠BED＝∠DFC，
∴∠CFA＝∠AEB，
在△AFC和△BEA中，
{∠CFA=∠AEB
)
∠CAF=∠ABE ，
CA=AB
∴△AFC≌△BEA（AAS），
∴AF＝BE．
（2）解：由（1）得△AFC≌△BEA，
∴S△AFC ＝S△BEA ，
∴S△ABD ＝S△BDE +S△BEA ＝S△BDE +S△AFC ＝6，
2
∵BD= BC，
72
∴S△ABD =
7
S△ABC ，
7 7
∴S△ABC =
2
S△ABD =
2
×6＝21．
5．（2024•新会区校级四模）如图，∠ACB＝90°，AC＝BC，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别为D，E，AD
＝2.4cm，DE＝1.6cm．求BE的长．
【分析】根据AAS证明△BCE和△CAD全等，进而利用全等三角形的性质解答即可．
【解答】解：∵∠ACB＝90°，AD⊥CE，BE⊥CE，
∴∠BEC＝∠CDA＝90°，
∴∠BCE+∠ACD＝90°，∠ACD+∠DAC＝90°，
∴∠BCE＝∠DAC，
在△BCE和△CAD中，
{∠BEC=∠CDA
)
∠BCE=∠DAC ，
BC=AC
∴△BEC≌△CDA（AAS），
∴BE＝CD，CE＝AD，
∴BE＝CD＝CE﹣ED＝AD﹣ED＝2.4﹣1.6＝0.8（cm）．
6．（2024春•闵行区期末）如图，已知在△ABD中，AB＝AD，射线AF交BD于点O，∠BAC＜∠DAC，
点E、F在射线AF上，且∠BCF＝∠DEF＝∠BAD．试判断AC与ED的数量关系，并说明理由．
【分析】由∠ACB+∠BCF＝180°，∠DEA+∠DEF＝180°，且∠BCF＝∠DEF，推导出∠ACB＝
∠DEA，由∠BAD＝∠DEF，且∠BAC＝∠BAD﹣∠CAD，∠ADE＝∠DEF﹣∠CAD，推导出∠BAC＝∠ADE，而AB＝DA，即可根据“AAS”证明△BAC≌△ADE，则AC＝ED．
【解答】解：AC＝ED，
理由：∵∠ACB+∠BCF＝180°，∠DEA+∠DEF＝180°，且∠BCF＝∠DEF，
∴∠ACB＝∠DEA，
∵∠BAD＝∠DEF，
∴∠BAD﹣∠CAD＝∠DEF﹣∠CAD，
∵∠BAC＝∠BAD﹣∠CAD，∠ADE＝∠DEF﹣∠CAD，
∴∠BAC＝∠ADE，
在△BAC和△ADE中，
{∠BAC=∠ADE
)
∠ACB=∠DEA ，
AB=DA
∴△BAC≌△ADE（AAS），
∴AC＝ED．
7．（2024春•乐平市期末）如图，AD∥BC，AB⊥BC，AB＝AD，连接AC，过点D作DE⊥AC于E，过点
B作BF⊥AC于F．
（1）若∠ABF＝63°，求∠ADE的度数；
（2）请直接写出线段BF、EF、DE三者间的数量关系．
【分析】（1）证明△ABF≌△DAE，可得∠ABF＝∠DAE，由∠AED＝90°可求出∠ADE的度数；
（2）由△ABF≌△DAE可得BF＝AE，DE＝AF，则可得结论BF+EF＝DE．
【解答】（1）证明：∵AD∥BC，AB⊥BC，
∴∠ABC＝∠BAD＝90°，
∵DE⊥AC，BF⊥AC，
∴∠BFA＝∠AED＝90°，
∴∠ABF+∠BAF＝∠BAF+∠DAE＝90°，
∴∠ABF＝∠DAE，∵AB＝AD，
∴△ABF≌△DAE（AAS），
∴∠ABF＝∠DAE，
∵∠AED＝90°，
∴∠ADE＝90°﹣∠DAE＝90°﹣63°＝27°；
（2）解：BF+EF＝DE．
∵△ABF≌△DAE，
∴BF＝AE，DE＝AF，
∴AF＝DE＝AE+EF＝BF+EF．
【类型5 利用HL证明三角形全等】
1．（2024春•驿城区期末）如图，已知∠A＝∠D＝90°，点E，F在线段BC上，DE与AF相交于点O，且
AB＝DC，BE＝CF．若∠B＝50°，求∠EOF的度数．
【分析】根据题意得出BF＝CE，再由全等三角形的判定和性质得出∠AFB＝∠DEC，结合图形及三角
形内角和定理即可求解．
【解答】解：∵BE＝CF，
∴BE+EF＝CF+EF，
∴BF＝CE，
在Rt△ABF和Rt△DCE中，
¿，
∴Rt△ABF≌Rt△DCE（HL）
∴∠AFB＝∠DEC，
∵在△ABF中，∠A＝90°，∠B＝50°，
∴∠AFB＝40°，
∴∠DEC＝∠AFB＝40°，
∴在△EOF中，∠EOF＝180°﹣40°﹣40°＝100°．
2．（2024春•福州期末）如图，在△ABC中，AC＝BC，直线l经过顶点C，过A，B两点分别作l的垂线
AE，BF，E，F为垂足，且AE＝CF；求证：
（1）∠EAC＝∠FCB
（2）AC⊥BC．
【分析】（1）由AE⊥l于点E，BF⊥l于点F，得∠AEC＝∠CFB＝90°，而AC＝CB，AE＝CF，即可根
据“HL”证明Rt△ACE≌Rt△CBF，得∠EAC＝∠FCB；
（2）因为∠EAC＝∠FCB，所以∠ACE+∠FCB＝∠ACE+∠EAC＝90°，则∠ACB＝180°﹣
（∠ACE+∠FCB）＝90°，所以AC⊥BC．
【解答】证明：（1）AE⊥l于点E，BF⊥l于点F，
∴∠AEC＝∠CFB＝90°，
在Rt△ACE和Rt△CBF中，
{AC=CB)
，
AE=CF
∴Rt△ACE≌Rt△CBF（HL），
∴∠EAC＝∠FCB．
（2）∵∠AEC＝90°，∠EAC＝∠FCB，
∴∠ACE+∠FCB＝∠ACE+∠EAC＝90°，
∴∠ACB＝180°﹣（∠ACE+∠FCB）＝90°，
∴AC⊥BC．
3．（2024春•双牌县期末）已知：如图，∠B＝∠C＝90°，且AF＝DE，BE＝CF．
（1）求证：AB＝DC；
（2）若∠A＝55°，求∠DEF的度数．
【分析】（1）由“HL”可证Rt△ABF≌Rt△DCE，可得AB＝DC；
（2）由直角三角形的性质可求∠AFB＝35°，由全等三角形的性质可得∠AFB＝∠DEF＝35°．
【解答】（1）证明：∵BE＝CF，∴BF+EF＝CE+FE，
∴BF＝CE，
在Rt△ABF与Rt△DCE中，
{BF=CE)
，
AF=DE
∴Rt△ABF≌Rt△DCE（HL），
∴AB＝DC；
（2）解：∵∠B＝90°，∠A＝55°，
∴∠AFB＝35°，
∵Rt△ABF≌Rt△DCE，
∴∠AFB＝∠DEF＝35°．
4．（2024春•紫金县期末）如图，∠A＝∠B＝90°，E是AB上的一点，且AE＝BC，∠1＝∠2，求证：
Rt△ADE≌Rt△BEC．
【分析】由∠1＝∠2得DE＝EC，进而可依据“HL”判定Rt△ADE和Rt△BEC全等．
【解答】证明：∵∠A＝∠B＝90°，
∴△ADE和△BEC均为直角三角形，
∵∠1＝∠2，
∴DE＝EC，
在Rt△ADE和Rt△BEC中，
{DE=EC)
，
AE=BC
∴Rt△ADE≌Rt△BEC（HL）．
5．（2023秋•洛阳期末）如图，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD＝CD、BE＝CF，
（1）求证：AD平分∠BAC；
（2）已知AC＝20，BE＝4，求AB的长．【分析】（1）求出∠E＝∠DFC＝90°，根据全等三角形的判定定理得出Rt△BED≌Rt△CFD，推出DE
＝DF，根据角平分线性质得出即可；
（2）根据全等三角形的性质得出AE＝AF，BE＝CF，即可求出答案．
【解答】（1）证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠E＝∠DFC＝90°，
∴在Rt△BED和Rt△CFD中，
{BD=CD)
，
BE=CF
∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL），
∴DE＝DF，
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴AD平分∠BAC；
（2）解：∵∠AED＝∠AFD＝90°，AD＝AD，DE＝DF，
∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL）
∴AE＝AF，
∵AC＝20，CF＝BE＝4，
∴AE＝AF＝20﹣4＝16，
∴AB＝AE﹣BE＝16﹣4＝12．
6．（2024春•月湖区期末）如图，四边形ABCD中，AB＝AC，∠D＝90°，BE⊥AC 于点F，交CD于点
E，连接EA，EA平分∠DEF．
（1）求证：AF＝AD；
（2）若BF＝7，DE＝3，求CE的长．【分析】（1）证出∠AED＝∠AEF，由角平分线的性质可得出结论；
（2）证明Rt△ABF≌△RtACD（HL），由全等三角形的性质可得出BF＝CD＝7，则可得出答案．
【解答】（1）证明：∵∠D＝90°，
∴AD⊥DE，
∵EA平分∠DEF，
∴∠EAD＝∠EAF，
∴∠AED＝∠AEF，
又∵AF⊥EF，
∴AF＝AD；
（2）解：在Rt△ABF和△RtACD中，
{AB=AC)
，
AF=AD
∴Rt△ABF≌△RtACD（HL），
∴BF＝CD＝7，
∵DE＝3，
∴CE＝CD﹣DE＝7﹣3＝4．
7．（2024秋•兴隆台区校级月考）如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，D是AC上一点，E
在BC的延长线上，且AE＝BD，BD的延长线与AE交于点F．试通过观察、测量、猜想等方法来探索
BF与AE有何特殊的位置关系，并说明你猜想的正确性．
【分析】猜想：BF⊥AE先证明△BDC≌△AEC得出∠CBD＝∠CAE，从而得出∠BFE＝90°，即BF⊥AE．
【解答】解：猜想：BF⊥AE．
理由：∵∠ACB＝90°，
∴∠ACE＝∠BCD＝90°．
又BC＝AC，BD＝AE，
∴△BDC≌△AEC（HL）．
∴∠CBD＝∠CAE．
又∵∠CAE+∠E＝90°．
∴∠EBF+∠E＝90°．
∴∠BFE＝90°，即BF⊥AE．
【类型6 两次证明三角形全等】
1．（2023秋•浑江区期末）如图，已知AE∥DF，OE＝OF，∠B＝∠C，求证：AB＝CD．
【分析】首先根据全等三角形的判定定理ASA推知△AOE≌△DOF，则OB＝OC；然后再根据全等三角
形的判定定理ASA证得△AOB≌△DOC，则AB＝CD．
【解答】证明：如图，∵AE∥DF，
∴∠AEO＝∠DFO．
在△AOE与△DOF中，
{∠AEO=∠DFO
)
OE=OF ．
∠AOE=∠DOF
∴△AOE≌△DOF（ASA）．
∴OD＝OA．
在△AOB与△DOC中，
{∠AOB=∠DOC
)
OD=OA ．
∠B=∠C
∴△AOB≌△DOC（AAS）．∴AB＝CD．
2．（2024春•温江区校级期中）如图，BD是∠ABC的平分线，AB＝BC，点E在BD上，连接AE、CE，
过点D作DF⊥AE，DG⊥CE，垂足分别是F、G．
（1）求证：△ABE≌△CBE；
（2）求证：EF＝EG．
【分析】（1）首先利用角平分线的定义可得∠ABE＝∠CBE，然后再利用SAS判定△ABE≌△CBE即
可；
（2）根据全等三角形的性质可得∠AEB＝∠CEB，根据等角的补角相等可得∠AED＝∠CED，再证明
全等可得DF＝DG．
【解答】证明：（1）∵BD是∠ABC的平分线，
∴∠ABE＝∠CBE，
在△ABE和△CBE中，
{
AB=CB
)
∠ABE=∠CBE ，
BE=BE
∴△ABE≌△CBE（SAS）；
（2）∵△ABE≌△CBE，
∴∠AEB＝∠CEB，
∴∠AED＝∠CED，
∵DF⊥AE，DG⊥CE，ED＝ED
∴△EDF≌△EDG（AAS），
∴EF＝EG．
3．（2024春•白银期末）如图所示，已知AB＝AC，∠B＝∠C，BD＝CE，BE交CD于点O，连接AO．
求证：∠BAO＝∠CAO．【分析】首先证得△BOD≌△COE，得到：OB＝OC，然后证明△AOB≌△AOC，从而证得．
【解答】证明：在△BOD和△COE中，
{∠BOD=∠COE
)
∵ ∠B=∠C ，
BD=CE
∴△BOD≌△COE（AAS），
∴OB＝OC，
在△ABO和△ACO中，
{
AB=AC
)
∵ ∠B=∠C ，
OB=OC
∴△ABO≌△ACO（SAS），
∴∠BAO＝∠CAO．
4．（2024春•西安期中）如图，在五边形ABCFE中，∠E＝∠F＝90°，AB＝BC，AE＝CF，点D是EF上
一点，连接AD、CD，有∠BAD＝∠BCD＝90°，求证：ED＝FD．
【分析】连接BD，根据HL证明三角形全等，进而利用全等三角形的性质解答即可．【解答】证明：连接BD，
在Rt△ABD和Rt△CBD中，
{AB=CB)
，
BD=BD
∴Rt△ABD≌Rt△CBD（HL），
∴AD＝CD，
在Rt△ADE和Rt△CDF中，
{AE=CF)
，
AD=CD
∴Rt△ADE≌Rt△CDF（HL），
∴ED＝FD．
5．（2024春•肇源县期中）如图，在四边形ABCD中，∠C＝900，∠ABD＝∠CBD，AB＝CB，P是BD上
一点，PE⊥BC，PF⊥CD，垂足分别为点E，F．求证：PA＝EF．
【分析】作PM⊥AB于点M，根据HL证明三角形全等，进而利用全等三角形的性质解答即可．
【解答】证明：作PM⊥AB于点M，
∵PE⊥BC，PF⊥CD，∠C＝90°，
∴四边形PECF为矩形，
∴PF＝EC，PE＝CF，
∵∠ABD＝∠CBD，
∴PM＝PE，在Rt△BEP与Rt△BMP中，
{BP=BP)
，
PM=PE
∴Rt△BEP≌Rt△BMP（HL），
∴BM＝BE，
∵AB＝CB，
∴AM＝CE，
∴AM＝PF，
在△AMP与△FPE中，
{
AM=PF
)
∠AMP=∠FPE=90° ，
PM=PE
∴△AMP≌△FPE（SAS）
∴PA＝EF．
6．（2024•宣汉县一模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，延长BC至点F，过点F
作EF∥CD交AC于点E，AB＝EF，且CB＝CE，过点C作CH∥AB．
（1）求证：∠ACH＝∠BCD；
（2）求证：CD＝CH．
【分析】（1）由直角三角形的性质得∠A+∠B＝90°，∠BCD+∠B＝90°，则∠A＝∠BCD，再由平行线
的性质得∠ACH＝∠A，即可得出结论；（2）证明Rt△ACB≌Rt△FCE（HL），得∠B＝∠CEH，再证明△BCD≌△ECH（ASA），即可得出结
论．
【解答】证明：（1）∵∠ACB＝90°，
∴∠A+∠B＝90°，
∵CD⊥AB，
∴∠CDB＝90°，
∴∠BCD+∠B＝90°，
∴∠A＝∠BCD，
∵CH∥AB，
∴∠ACH＝∠A，
∴∠ACH＝∠BCD；
（2）∵∠ACB＝90°，
∴∠FCE＝180°﹣90°＝90°，
在Rt△ACB和Rt△FCE中，
{AB=FE)
，
CB=CE
∴Rt△ACB≌Rt△FCE（HL），
∴∠B＝∠CEH，
在△BCD和△ECH中，
{∠BCD=∠ECH
)
CB=CE ，
∠B=∠CEH
∴△BCD≌△ECH（ASA），
∴CD＝CH．
7．（2024春•龙泉驿区期末）如图，Rt△ABC与Rt△DEF中，∠ABC＝∠DEF＝90°，BC＝EF，线段AC
与线段DF在一条直线上，且AF＝CD，连接EC，BF，BE，BE与AD相交于点G．
（1）△ABF与△DEC全等吗？为什么？
（2）试说明点G是线段BE的中点．【分析】（1）利用HL证明Rt△ABC≌Rt△DEF，根据全等三角形的性质得出 AB＝ED，∠BAC＝
∠EDF，再利用SAS即可证明△ABF≌△DEC；
（2）利用AAS证明△ABG≌△DEG，根据全等三角形的性质及线段中点定义即可得解．
【解答】解：（1）△ABF≌△DEC，理由如下：
∵AF＝CD，
∴AF+FC＝CD+FC，
即AC＝FD，
在Rt△ABC与Rt△DEF中，
{AC=FD)
，
BC=EF
∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL），
∴AB＝ED，∠BAC＝∠EDF，
在△ABF和△DEC中
{
AB=ED
)
∠BAC=∠EDF ，
AF=CD
∴△ABF≌△DEC（SAS）；
（2）由（1）知AB＝DE，∠BAC＝∠EDF，
∵BE与AD相交于点G，
∴∠BGA＝∠EGD，
在△ABG和△DEG中，
{∠BGA=∠EGD
)
∠BAG=∠EDG ，
AB=DE
∴△ABG≌△DEG（AAS），
∴BG＝GE，
∴点G是线段BE的中点．
