文档文本内容
7.3 等比数列
基础篇
考点 一 等比数列及其前 ｎ 项和
得 ｑ １ 代入 得 ａ ａ ａ ｑ５
＝０ꎬ ＝ ꎬ ① １ ＝９６ꎬ∴ ６ ＝ １ ＝
１.( 届贵州遵义新高考协作体入学质量监 ２
２０２３ æ ö５
测ꎬ )已知正项等比数列 ａ 的前 ｎ 项和为 ç １÷ 故选 .
４ { ｎ} ９６×è ø ＝３ꎬ Ｄ
２
Ｓ 若 Ｓ ａ 则 Ｓ
ｎꎬ ３ ＝２６ꎬ ３ ＝１８ꎬ ５ ＝ ( ) ３.( ２０２２ 山东联考ꎬ ４ )在正项等比数列 { ａ ｎ}
Ａ.８０ Ｂ.８１ Ｃ.２４３ Ｄ.２４２ 中 ａ 且 ａ 是 ａ 和 ａ 的等差中项 则
答案 Ｄ 设数列 ａ 的公比是 ｑ ｑ ꎬ １ ＝３ꎬ ３ ２ ３ ４ ꎬ
{ ｎ} ꎬ >０ꎬ ａ
{ａ {ａ ｑ２ ２ ＝ ( )
由 ３ ＝１８ꎬ得 １ ＝１８ꎬ
３
Ｓ ａ ａ ｑ ａ ｑ２ Ａ.８ Ｂ.６ Ｃ.３ Ｄ.
３ ＝２６ １ ＋ １ ＋ １ ＝２６ꎬ ２
{ｑ ì ï ïｑ ３ 答案 Ｂ 设正项等比数列 { ａ ｎ} 的公比为
解得 ＝３ꎬ或í ＝－ ꎬ 舍去 .
ａ ï ï ４ ( ) ｑ ꎬ ｑ >０ .
１ ＝２ îａ
１
＝３２ 因为 ａ 是 ａ 和 ａ 的等差中项 所以 ａ
３ ２ ３ ４ ꎬ ６ ２ ＝
５
所以 Ｓ ２×(１－３ ) .故选 ａ ａ
５ ＝ ＝２４２ Ｄ. ３ ＋ ４ꎬ
１－３
所以 ａ ｑ ａ ｑ２ ａ ｑ３ 由于 ａ ｑ 所以
２.( 全国乙ꎬ理 ꎬ文 ꎬ 分)已知等比数 ６ １ ＝ １ ＋ １ ꎬ １>０ꎬ >０ꎬ
２０２２ ８ １０ ５
ｑ２ ｑ ｑ ｑ 解得ｑ 或ｑ
列 ａ 的前 项和为 ａ ａ 则 ａ ＋ －６＝０ꎬ( ＋３)( －２)＝ ０ꎬ ＝２ ＝－
{ ｎ} ３ １６８ꎬ ２ － ５ ＝４２ꎬ ６ ＝ 舍去 故ａ ａ ｑ .
３( )ꎬ ２ ＝ １ ＝６
( ) ４.( 辽宁渤海大学附中考试)已知递增等
２０２２
Ａ.１４ Ｂ.１２ Ｃ.６ Ｄ.３
比数列 ａ 中 ａ ａ ａ ａ 若 ａ
答案 Ｄ 解法一 : 设 { ａ ｎ} 的公比为 ｑ ꎬ { ｎ} ꎬ ２ ＋ ５ ＝１８ꎬ ３ ４ ＝３２ꎬ ｎ ＝
则 ｎ
{ａ ａ ａ ｑ ｑ４ １２８ꎬ ＝ ( )
则 ２ － ５ ＝ １( － )＝ ４２ꎬ①
ａ ａ ａ ａ ｑ ｑ２ Ａ.５ Ｂ.６ Ｃ.７ Ｄ.８
１ ＋ ２ ＋ ３ ＝ １(１＋ ＋ )＝ １６８ꎬ② 答案 Ｄ 设等比数列 ａ 的公比为 ｑ 由
ｑ ｑ３ ｑ ｑ ｑ ｑ２ { ｎ} ꎬ
①得 (１－ ) (１－ )(１＋ ＋ ) ｑ ｑ {ａ ａ
ｑ ｑ２ ＝ ｑ ｑ２ ＝ (１－ )＝ 题 意 可 得 ２ ＋ ５ ＝１８ꎬ 解 得
② １＋ ＋ １＋ ＋
ａ ａ
１ ꎬ４ ｑ２ －４ ｑ ＋１＝０ꎬ 即 (２ ｑ －１) ２ ＝０ꎬ∴ ｑ ＝ １ ꎬ 代 {ａ {ａ ２ ５
＝３２ꎬ
４ ２ ２ ＝２ꎬ或 ２ ＝１６ꎬ
ａ ａ
入 得 ａ 故 ａ ａ ｑ５ １ 故
５
＝１６
５
＝２ꎬ
① １ ＝ ９６ꎬ ６ ＝ １ ＝ ９６×
３２
＝ ３ꎬ {ａ
选 Ｄ . 因为 { ａ ｎ} 是递增数列 ꎬ 所以 ａ ２ ＝２ꎬ
5 解法二 设数列 ａ 的公比为 ｑ 前 ｎ 项和 ５
＝１６ꎬ
年 : { ｎ} ꎬ 则由 ａ ａ ｑ３ 得 ｑ３ 解得 ｑ
高 为 Ｓ . ５ ＝ ２ ꎬ １６＝２ ꎬ ＝２ꎬ
ｎ
考 所以 ａ ａ ｑｎ －２ ｎ －２ ｎ －１ 由 ａ
3 由 ａ ａ 得 ｑ . ｎ ＝ ２ ＝２２ ＝２ ꎬ ｎ ＝１２８ꎬ
年 ２ － ５ ＝４２ꎬ ≠１ 得 ｎ －１ 解得 ｎ 故选 .
模 ì
ï
ａ ｑ３ ２ ＝１２８ꎬ ＝８ꎬ Ｄ
拟 ïＳ １(１－ ) ５.( 课标 文ꎬ ꎬ 分)记 Ｓ 为等比数列
A 由题意得í ３ ＝ ｑ ＝１６８ꎬ① ２０２０ Ⅱ ６ ５ ｎ
ï
１－
版 ï ａ 的前ｎ 项和.若ａ ａ ａ ａ 则
高 îａ ２ － ａ ５ ＝ ａ １ ｑ (１－ ｑ３ )＝ ４２ꎬ② { ｎ} ５ － ３ ＝１２ꎬ ６ － ４ ＝２４ꎬ
Ｓ
考 ｎ
数 学 ①得 ｑ １ ｑ ＝ ４ꎬ 即 ４ ｑ２ －４ ｑ ＋１＝０ꎬ∴ (２ ｑ －１) ２ ａ ｎ ＝ ( )
② (１－ )
２３８
ｎ １－ ｎ ｎ －１ １－ ｎ ９.( 福建龙岩一中期中ꎬ )已知公差不为
Ａ.２ －１ Ｂ.２－２ Ｃ.２－２ Ｄ.２ －１ ２０２２ ５
答案 Ｂ 设等比数列 ａ 的公比为 ｑ 则 的等差数列的第 项恰好分别是某
{ ｎ} ꎬ ０ ４ꎬ７ꎬ１６
ａ ａ ａ ｑ ａ ｑ Ｓ 等比数列的第 项 则该等比数列的公
６ － ４ ５ － ３ ｑ ２４ ｎ ４ꎬ６ꎬ８ ꎬ
ａ ａ ＝ ａ ａ ＝ ＝ ＝ ２ꎬ ∴ ａ ＝
５ － ３ ５ － ３ １２ ｎ 比是 ( )
ａ ｎ
１(１－２ )
Ａ. ３ Ｂ.－ ３
１－２ １－ ｎ.故选 . 或
ａ ｎ －１ ＝２－２ Ｂ Ｃ. ３ － ３ Ｄ. ２
１
×２
答案 Ｃ 设等差数列 ａ 的公差为 ｄ ｄ
６.( 辽宁大连一中期中ꎬ )等比数列 ａ { ｎ} ( ≠
２０２２ ４ { ｎ}
的前 ｎ 项和为 Ｓ 若 Ｓ ｔ ｎ －１ 则 ｔ ０)ꎬ
ｎꎬ ｎ＝ ２ －１ꎬ ＝ 由等差数列的第 项恰好分别是某等
４ꎬ７ꎬ１６
( ) 比数列的第 项 可得 ａ２ ａ ａ 即 ａ
４ꎬ６ꎬ８ ꎬ ７ ＝ ４ １６ꎬ ( １
Ａ.２ Ｂ.－２ Ｃ.１ Ｄ.－１ ｄ ２ ａ ｄ ａ ｄ 解得 ａ
答案 Ａ 设等比数列 ａ 的公比为 ｑ 当 ｑ ＋６ ) ＝( １ ＋３ )( １ ＋１５ )ꎬ １ ＝ －
{ ｎ} ꎬ
时 Ｓ ｎａ 不符合题意 ３ｄ
＝１ ꎬ ｎ＝ １ꎬ ꎻ ꎬ
２
当 ｑ 时 等比数列的前 ｎ 项和为 Ｓ
≠１ ꎬ ｎ ＝
所以 ａ ａ ｄ ３ｄ ａ ａ ｄ ９ｄ 所以
ａ ｑｎ ａ ａ ４ ＝ １ ＋３ ＝ ꎬ ７ ＝ １ ＋６ ＝ ꎬ
１(１－ ) １ ｑｎ １ 又 Ｓ ｔ ｎ －１ ２ ２
ｑ ＝－ ｑ ＋ ｑꎬ ｎ ＝ ２ －１
１－ １－ １－
９ｄ
ａ
１ｔ ｎ 所以１ｔ ｔ . ｑ２ ７ ２ 所以 ｑ .
＝ ２ －１ꎬ ＋(－１)＝ ０ꎬ ＝２ ＝ａ ＝ ＝３ꎬ ＝± ３
２ ２ ４ ３ｄ
７.( 课标 理ꎬ ꎬ 分)数列 ａ 中 ａ ２
２０２０ Ⅱ ６ ５ { ｎ} ꎬ １ ＝２ꎬ
１０.(多选)( 湖北新高考联考ꎬ )已知等
ａ ａ ａ .若 ａ ａ ａ １５ ５ 则 ２０２２ ９
ｍ ＋ ｎ＝ ｍ ｎ ｋ ＋１ ＋ ｋ ＋２ ＋＋ ｋ ＋１０ ＝２ －２ ꎬ
比数列 ａ 的公比为 ｑ 前 项的和为 ａ
ｋ ＝ ( ) { ｎ} ꎬ ４ １ ＋
且 ａ ａ ａ 成等差数列 则 ｑ 的值可
Ａ.２ Ｂ.３ Ｃ.４ Ｄ.５ １４ꎬ ２ꎬ ３ ＋１ꎬ ４ ꎬ
能为
答案 Ｃ ａ ａ ａ 令 ｍ 可得 ａ
ｍ ＋ ｎ ＝ ｍ ｎꎬ ＝１ꎬ ｎ ＋１ ＝ ( )
ａ ａ ａ
１
ｎ＝２ ｎꎬ
Ａ.
１
Ｂ.１ Ｃ.２ Ｄ.３
数列 ａ 是公比为 的等比数列 ａ ２
∴ { ｎ} ２ ꎬ∴ ｎ＝２ 答案 ＡＣ 因为 ａ ａ ａ 成等差数列
ｎ －１ ｎ 则 ａ ａ ａ ｋ ＋１ ｋ ＋２ ２ꎬ ３ ＋１ꎬ ４ ꎬ
×２ ＝２ ꎬ ｋ ＋１ ＋ ｋ ＋２ ＋＋ ｋ ＋１０ ＝２ ＋２ ＋ 所以 ａ ａ ａ 又因为数列前 项的
ｋ ＋１ １０ ２ ＋ ４ ＝２( ３ ＋１)ꎬ ４
ｋ ＋１０ ２ (１－２ ) ｋ ＋１１ ｋ ＋１ １５ ５ 和为 ａ
＋２ ＝ ＝ ２ －２ ＝ ２ －２ ꎬ
１
＋１４ꎬ
１－２
所以 ａ ａ ａ ａ ａ ａ ａ ａ
ｋ .故选 .
１
＋
２
＋
３
＋
４
＝
１
＋３
３
＋２＝
１
＋１４⇒
３
＝
∴ ＝４ Ｃ
æ ö
８.( 课标 文ꎬ ꎬ 分)设 ａ 是等比数 所以由 ａ ａ ａ 可得 ａ çｑ １÷
２０２０ Ⅰ １０ ５ { ｎ} ４ꎬ ２ ＋ ４ ＝２( ３ ＋１)ꎬ ３è ＋ｑ ø ＝
列 且ａ ａ ａ ａ ａ ａ 则ａ ａ ａ
ꎬ １ ＋ ２ ＋ ３ ＝１ꎬ ２ ＋ ３ ＋ ４ ＝２ꎬ ６ ＋ ７ ＋ ８ ＝ æ ö
ａ çｑ １÷ ｑ １ ５ 解得 ｑ
２( ３ ＋１)⇒４è ＋ｑ ø ＝１０⇒ ＋ ｑ ＝ ꎬ ＝
( ) ２
Ａ.１２ Ｂ.２４ Ｃ.３０ Ｄ.３２ 或 ｑ １.故选 .
答案 Ｄ 设等比数列 ａ 的公比为 ｑ ２ ＝ ＡＣ
{ ｎ} ꎬ ２
故 ａ ａ ａ ｑ ａ ａ ａ １１.( 课标 ꎬ文 ꎬ理 ꎬ 分)已知各项均 专
２ ＋ ３ ＋ ４ ＝ ( １ ＋ ２ ＋ ３)ꎬ ２０１９ Ⅲ ６ ５ ５ 题
又 ａ ａ ａ ａ ａ ａ ｑ 为正数的等比数列 ａ 的前 项和为 七
２ ＋ ３ ＋ ４ ＝２ꎬ １ ＋ ２ ＋ ３ ＝１ꎬ∴ ＝２ꎬ { ｎ} ４ １５ꎬ
数
ａ ａ ａ ｑ５ ａ ａ ａ ５ 故选 . 且 ａ ａ ａ 则 ａ 列
∴ ６ ＋ ７ ＋ ８ ＝ ( １ ＋ ２ ＋ ３)＝ ２ ＝３２ꎬ Ｄ ５ ＝３ ３ ＋４ １ꎬ ３ ＝ ( )
２３９
所以 ａ 的通项公式为 ａ ｎ.
Ａ.１６ Ｂ.８ Ｃ.４ Ｄ.２ { ｎ} ｎ＝２
答案 Ｃ 设等比数列 ａ 的公比为 ｑ.由题 新高考 由题设及 知 ｂ 且当
{ ｎ} (２)( Ⅰ) (１) １ ＝０ꎬ
意知
ꎬ
ａ
ｎ>０ꎬ
ｑ
>０
.由 ａ
５ ＝ ３
ａ
３ ＋４
ａ
１
得 ａ
１
ｑ４
＝ ２
ｎ
≤
ｍ
<２
ｎ ＋１ 时
ꎬ
ｂ
ｍ＝
ｎ.
ａ ４ 所以 Ｓ ｂ ｂ ｂ ｂ ｂ ｂ ｂ
ａ ｑ２ ａ ｑ２ ｑ .由 Ｓ １(１－２ ) １００ ＝ １ ＋( ２ ＋ ３)＋( ４ ＋ ５ ＋ ６ ＋ ７)＋＋
３ １ ＋４ １ꎬ∴ ＝４ꎬ∴ ＝２ ４ ＝ ｂ ｂ ｂ ｂ ｂ ｂ
１－２ ( ３２ ＋ ３３ ＋＋ ６３)＋( ６４ ＋ ６５ ＋＋ １００)
＝１５ꎬ
解得 ａ
１ ＝１
.
∴
ａ
３ ＝
ａ
１
ｑ２
＝４ꎬ
故选
Ｃ
.
＝ ０＋１×２＋２×２ ２ ＋３×２ ３ ＋４×２ ４ ＋５×２ ５ ＋６×(１００－
１２.( 新高考 ꎬ ꎬ 分)已知 ａ 是等 .
２０２２ Ⅱ １７ １０ { ｎ} ６３)＝ ４８０
差数列 ｂ 是公比为 的等比数列 且 ａ 新高考 ａ ａ ａ ａ ｎ －１ａ ａ
ꎬ{ ｎ} ２ ꎬ ２ ( Ⅱ) １ ２ － ２ ３ ＋＋(－１) ｎ ｎ ＋１
ｂ ａ ｂ ｂ ａ . ３ ５ ７ ９ ｎ －１ ２ ｎ ＋１
－ ２ ＝ ３ － ３ ＝ ４ － ４ ＝２ －２ ＋２ －２ ＋＋(－１) ２
证明 ａ ｂ ３ ２ ｎ ２ ｎ ＋３
(１) : １ ＝ １ꎻ ２ [１－(－２ ) ] ８ ｎ ２ .
＝ ＝ －(－１)
求集合 ｋ ｂ ａ ａ ｍ 中元 ２
(２) { ｜ ｋ＝ ｍ＋ １ꎬ１≤ ≤５００} １－(－２ ) ５ ５
素的个数. １４.( 课标 文ꎬ ꎬ 分) 设等比数列
２０２０ Ⅲ １７ １２
解析 证明 设等差数列 ａ 的公差 ａ 满足 ａ ａ ａ ａ .
(１) : { ｎ} { ｎ} １ ＋ ２ ＝４ꎬ ３ － １ ＝８
为 ｄ. 求 ａ 的通项公式
(１) { ｎ} ꎻ
由ａ ｂ ａ ｂ 得ａ ｄ ｂ ａ ｄ ｂ 故 记 Ｓ 为数列 ａ 的前 ｎ 项和.若 Ｓ
２ － ２ ＝ ３ － ３ １ ＋ －２ １ ＝ １ ＋２ －４ １ꎬ (２) ｎ {ｌｏｇ３ ｎ} ｍ
ｄ ｂ Ｓ Ｓ 求 ｍ.
＝２ １ꎬ① ＋ ｍ ＋１ ＝ ｍ ＋３ꎬ
由 ａ ｂ ｂ ａ 得 ａ ｄ ｂ ｂ ａ ｄ 解析 设 ａ 的公比为 ｑ 则 ａ ａ ｑｎ －１.
３ － ３ ＝ ４ － ４ １ ＋２ －４ １ ＝８ １ － １ －３ ꎬ (１) { ｎ} ꎬ ｎ＝ １
故 ａ ｄ ｂ 由 得 ａ ｂ {ａ ａ ｑ
２ １ ＋５ ＝１２ １ꎬ② ①② ２ １ ＋１０ １ ＝ 由已知得 １ ＋ １ ＝４ꎬ解得 ａ ｑ .
ｂ 即 ａ ｂ . ａ ｑ２ ａ . １ ＝１ꎬ ＝３
１２ １ꎬ １ ＝ １ １ － １ ＝８
(２)
由
(１)
知 ｄ
＝２
ｂ
１ ＝２
ａ
１ꎬ
由 ｂ
ｋ＝
ａ
ｍ＋
ａ
１ꎬ１≤
所以
{
ａ
ｎ}
的通项公式为 ａ
ｎ＝３
ｎ －１.
ｍ 得 ｂ ｋ －１ ａ ｍ ｄ 即 ａ ｋ －１ ｎ ｎ
≤５００ １ ×２ ＝２ １ ＋( －１) ꎬ １ ×２ 由 知 ａ ｎ .故 Ｓ ( －１).
ａ ｍ ａ 其中 ａ ｋ －１ ｍ (２) (１) ｌｏｇ３ ｎ＝ －１ ｎ＝ ２
＝２ １ ＋２( －１) １ꎬ １≠０ꎬ∴ ２ ＝２ ꎬ
由 Ｓ Ｓ Ｓ 得 ｍ ｍ ｍ ｍ ｍ
即 ２ ｋ －２ ＝ ｍ ꎬ∴ １≤２ ｋ －２ ≤５００ꎬ∴ ０≤ ｋ －２≤８ꎬ∴ ｍ＋ ｍ ＋１ ＝ ｍ ＋３ ( －１)＋( ＋１) ＝(
ｋ .故集合 ｋ ｂ ａ ａ ｍ
ｍ 即 ｍ２ ｍ .解得 ｍ 舍
２≤ ≤１０ { ｜ ｋ＝ ｍ＋ １ꎬ１≤ ≤５００} ＋３)( ＋２)ꎬ －５ －６＝０ ＝－１(
去 或 ｍ .
中元素个数为 个.
) ＝６
９
１３.( 新高考 ꎬ ꎬ ꎬ 分)已知公比大
２０２０ Ⅰ Ⅱ １８ １２ 考点 二 等比数列的性质
于 的等比数列 ａ 满足 ａ ａ ａ
１ { ｎ} ２ ＋ ４ ＝ ２０ꎬ ３ 考向一 等比数列前 ｎ 项和的性质
.
＝８
１.( 江苏镇江期中ꎬ )已知等比数列 ａ
求 ａ 的通项公式 ２０２２ ５ { ｎ}
(１) { ｎ} ꎻ
5 (２) (新高考 Ⅰ )记 ｂ ｍ 为 { ａ ｎ} 在区间 (０ꎬ ｍ ] 的前 ｎ 项和为 Ｓ ｎꎬ 且 Ｓ １０ ＝１ꎬ Ｓ ３０ ＝１３ꎬ 则 Ｓ ４０ ＝
年 ｍ Ｎ 中的项的个数 求数列 ｂ 的前
高 ( ∈ ) ꎬ { ｍ} ( )
考
项和 Ｓ .
3 １００ １００ Ａ.－５１ Ｂ.－２０ Ｃ.２７ Ｄ.４０
年 模 拟 (新高考 Ⅱ )求ａ １ ａ ２ － ａ ２ ａ ３ ＋＋(－１) ｎ －１ａ ｎ ａ ｎ ＋１ . 答案 Ｄ 因为等比数列 { ａ ｎ} 的前 ｎ 项和为
Ｓ Ｓ Ｓ 所以 Ｓ Ｓ Ｓ Ｓ Ｓ
A 解析 (１) 设 { ａ ｎ} 的公比为ｑ.由题设得ａ １ ｑ ＋ ｎꎬ １０ ＝１ꎬ ３０ ＝１３ꎬ １０ꎬ ２０ － １０ꎬ ３０ － ２０ꎬ
版 Ｓ Ｓ 成等比数列 Ｓ
ａ ｑ３ ａ ｑ２ .解得 ｑ １ 舍去 ｑ . ４０ － ３０ ꎬ ２０>０ꎬ
高 １ ＝２０ꎬ １ ＝８ １ ＝ ( )ꎬ ２ ＝２ 所以 Ｓ Ｓ ２ Ｓ Ｓ Ｓ 即 Ｓ ２
考 ２ ( ２０ － １０) ＝ １０( ３０ － ２０)ꎬ ( ２０ －１) ＝
数
由题设得 ａ . Ｓ 解得 Ｓ 负值舍去 所以 Ｓ Ｓ
学
１ ＝２ １３－ ２０ꎬ ２０ ＝４( )ꎬ ４０ － ３０
２４０
所以 Ｓ .
＝２７ꎬ ４０ ＝４０ Ａ.－８ Ｂ.８ Ｃ.±８ Ｄ.１６
２.( 全国甲理ꎬ ꎬ 分)等比数列 ａ 的公 答案 Ａ 设等比数列 ａ 的公比为 ｑ 由
２０２１ ７ ５ { ｎ} { ｎ} ꎬ
比为 ｑ 前 ｎ 项和为 Ｓ .设甲 ｑ 乙 Ｓ 是 题意可得 ａ ａ ｑ４ 则 ｑ４ ｑ２ ａ
ꎬ ｎ : >０ꎬ :{ ｎ} ６ ＝ ２ ꎬ －４＝－ ꎬ∴ ＝２ꎬ∴ ４
递增数列 则 ａ ｑ２ . ａ ａ ａ ａ ａ２ ａ ａ ａ
ꎬ ( ) ＝ ２ ＝－２ ∵ ３ ５ ＝ ２ ６ ＝ ４ ＝４ꎬ∴ ３ ４ ５ ＝４
甲是乙的充分条件但不是必要条件 故选 .
Ａ. ×(－２)＝ －８ꎬ Ａ
甲是乙的必要条件但不是充分条件 ３.( 辽宁大连模拟ꎬ )已知数列 ａ 是递
Ｂ. ２０２２ ５ { ｎ}
甲是乙的充要条件 增的等比数列 且 ａ ａ ａ ａ 若
Ｃ. ꎬ １ ＋ ４ ＝ １８ꎬ ２ ３ ＝ ３２ꎬ
甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要 ａ 的前 ｎ 项和 Ｓ 满足 Ｓ Ｓ １６ ６ 则
Ｄ. { ｎ} ｎ ｋ ＋１０ － ｋ＝２ －２ ꎬ
条件 正整数 ｋ 等于
( )
答案 Ｂ 当 ｑ ａ 时 等比数列 ａ
＝１ꎬ １<０ ꎬ { ｎ} Ａ.５ Ｂ.６ Ｃ.７ Ｄ.８
的前 ｎ 项和 Ｓ ｎａ 可知 Ｓ 是单调递 答案 Ａ 由 ａ 是等比数列 ａ ａ 知
ｎ ＝ １<０ꎬ { ｎ} { ｎ} ꎬ ２ ３ ＝３２ꎬ
减数列 因此甲不是乙的充分条件 ａ ａ 又 ａ 递增 ａ ａ 所以解得
ꎬ ꎻ １ ４ ＝３２ꎬ { ｎ} ꎬ １ ＋ ４ ＝１８ꎬ
若 Ｓ 是递增数列 则当 ｎ 时 ａ Ｓ ａ ａ 所以ｑ ａ ｎ 则Ｓ Ｓ
{ ｎ} ꎬ ≥２ ꎬ ｎ ＝ ｎ－ １ ＝２ꎬ ４ ＝１６ꎬ ＝２ꎬ ｎ＝２ ꎬ ｋ ＋１０ － ｋ＝
Ｓ ｎ －１>０ꎬ 即ａ １ ｑｎ －１ >０ 恒成立 ꎬ 而只有当ａ １>０ꎬ ｑ ２×(１－２ ｋ ＋１０ ) ２×(１－２ ｋ ) ｋ ＋１１ ｋ ＋１ 所以
>０
时
ꎬ
ａ
１
ｑｎ －１
>０
恒成立
ꎬ
所以可得 ｑ
>０ꎬ
因此 １－２ － １－２ ＝ ２ －２ ꎬ
甲是乙的必要条件.综上 甲是乙的必要条件
{ｋ
ꎬ ＋１１＝１６ꎬ解得 ｋ .故选
但不是充分条件.故选 . ｋ ＝５ Ａ.
＋１＝６ꎬ
Ｂ
４.( 届黑龙江七台河勃利高级中学开学
考向二 下标和性质、有关项的性质
２０２３
１.( 湖南炎德英才联考ꎬ )在等比数列 考ꎬ )在等比数列 ａ 中 公比 ｑ １ １
２０２２ ６ １５ { ｎ} ꎬ >１ꎬａ ＋ａ
２ ６
ａ 中 ａ ａ ａ ａ ａ ａ ａ ａ １２ ａ ａ
{ ｎ} ꎬ １ ＋ ２ ＋ ３ ＋ ４ ＋ ５ ＋ ６ ＋ ７ ＋ ８ ＝ ꎬ ４ ５ １ ａ ａ 则 ｑ２ .
５ ＝ ꎬ ３ ５ ＝１８ꎬ ＝
２
２ 则１ １ １ １ １ １ １ １
答案
＝－ ꎬ ａ ＋ａ ＋ａ ＋ａ ＋ａ ＋ａ ＋ａ ＋ａ ＝
２
５ １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８
解析 ａ 是等比数列 ａ ａ ａ ａ
∵ { ｎ} ꎬ∴ ３ ５ ＝ ２ ６ ＝
( )
ａ ａ ａ ａ
１ １ ２ ＋ ６ ２ ＋ ６ １ 则 ａ ａ
２４ １４
Ａ.－６ Ｂ.－ Ｃ. Ｄ.２ １８ꎬ∴ ａ ＋ａ ＝ ａ ａ ＝ ＝ ꎬ ２ ＋ ６ ＝９ꎬ
２５ ５ ２ ６ ２ ６ １８ ２
ａ
答案 Ａ １ １ １ １ １ １ １ １ 又 ｑ ａ ａ ｑ４ ６ ｑ２
ａ ＋ａ ＋ａ ＋ａ ＋ａ ＋ａ ＋ａ ＋ａ ＝ >１ꎬ∴ ２ ＝ ３ꎬ ６ ＝ ６ꎬ∴ ＝ ａ ＝ ２ꎬ∴
１ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ２
ａ ａ ａ ａ ａ ａ ａ ａ .
１ ＋ ８ ２ ＋ ７ ３ ＋ ６ ４ ＋ ５ 等比数列 ａ ＝ ２
ａ ａ ＋ ａ ａ ＋ ａ ａ ＋ ａ ａ ꎬ∵ { ｎ} ５.( 海南三亚华侨学校月考ꎬ )若数列
１ ８ ２ ７ ３ ６ ４ ５ ２０２２ １６
ａ 为等比数列 且 ａ ａ ａ ａ 则
中 ꎬ ａ ４ ａ ５ ＝－ ２ ꎬ 且 ａ １ ａ ８ ＝ ａ ２ ａ ７ ＝ ａ ３ ａ ６ ＝ ａ ４ ａ ５ꎬ { ｎ} ꎬ １ ＋ ２ ＝１ꎬ ３ ＋ ４ ＝４ꎬ
５ ａ ａ .
９
＋
１０
＝
１ １ １ １ １ １ １ １ ５ ａ ａ 答案
∴ ａ ＋ａ ＋ａ ＋ａ ＋ａ ＋ａ ＋ａ ＋ａ ＝－ ( １ ＋ ２ ＋ ２５６
１ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ２ 解析 ａ 是等比数列 ａ ａ ａ ａ
∵ { ｎ} ꎬ∴ １ ＋ ２ꎬ ３ ＋ ４ꎬ
ａ ａ ａ ａ ａ ａ ５ １２ . ａ ａ ａ ａ ａ ａ 为等比数列 且公比 ｑ
３ ＋ ４ ＋ ５ ＋ ６ ＋ ７ ＋ ８)＝ － ２ × ５ ＝－６ ５ ＋ ６ꎬ ７ ＋ ８ꎬ ９ ＋ １０ ꎬ ＝ 专
题
ａ ａ
２. 中 ( ２０ ａ ２２ 济南历 ａ 城二中 则 调 ａ 研 ａ ) ａ 在等比数列 { ａ ｎ} ａ １ ３ ＋ ＋ ａ ２ ４ ＝４ꎬ∴ ａ ９ ＋ ａ １０ ＝１×４ ４ ＝２５６ . 七 数
列
ꎬ ２ ＝－１ꎬ ６ ＝－４ꎬ ３ ４ ５ ＝ ( )
２４１
综合篇
考法 等比数列的判定与证明 ＭＮＰＱ 且使得 ＦＭＮ ° 依此进行下去 就
ꎬ ∠ ＝１５ ꎻ ꎬ
形成了阴影部分的图案 如图所示.设第ｎ 个正
１.( 广州调研)已知数列 ａ 满足 ａ２ ꎬ
２０２２ { ｎ} ｎ ＋１ ＝ 方形的边长为ａ 其中第 个正方形ＡＢＣＤ 的
ａ ａ ｎ Ｎ 若 ａ ａ 则 ａ ｎ( １
ｎ ｎ ＋２( ∈ )ꎬ ３ ＝１ꎬ ７ ＝４ꎬ ５ ＝ 边长为ａ ＡＢ 第 个正方形ＥＦＧＨ 的边长为
１ ＝ ꎬ ２
( ) ａ ＥＦ 第ｎ 个直角三角形 阴影部分
２ ＝ ꎬ)ꎬ ( )
Ａ.±２ Ｂ.－２ Ｃ.２ Ｄ.８ 的面积为Ｓ 其中第 个直角三角形ＡＥＨ的面
答案 Ｃ 数列 ａ 满足ａ２ ａ ａ ｎ ｎ( １
∵ { ｎ} ｎ ＋１ ＝ ｎ ｎ ＋２( ∈ 积为Ｓ 第 个直角三角形ＥＱＭ 的面积为Ｓ
Ｎ ａ 是等比数列 ａ ａ ａ 同号 １ꎬ ２ ２ꎬ
)ꎬ∴ { ｎ} ꎬ∴ ３ꎬ ５ꎬ ７ ꎬ 则
)ꎬ ( )
ａ ａ ａ ａ ａ 故选 .
∵ ３ ＝１ꎬ ７ ＝４ꎬ∴ ５ ＝ ３ ７ ＝２ꎬ Ｃ
.数列 ａ 是公比为２的等比数列
２.( 长沙雅礼中学月考ꎬ )数学家也有许 Ａ { ｎ}
２０２２ ６ ３
多美丽的错误 如法国数学家费马于 年
ꎬ １６４０ Ｓ １
提出了 Ｆ ２ ｎ ｎ 是质数的猜 Ｂ. １ ＝
ｎ＝２ ＋１( ＝０ꎬ１ꎬ２ꎬ) １２
想 直到 年才被善于计算的大数学家欧
ꎬ １７３２ 数列 ａ 是公比为４的等比数列
Ｃ. { ｎ}
拉算出 Ｆ 不是质数.现设 ９
５ ＝６４１×６ ７００ ４１７ꎬ
ａ Ｆ ｎ Ｓ 表示数列 数列 Ｓ 的前 ｎ 项和 Ｔ １
ｎ＝ｌｏｇ４( ｎ－１)( ＝１ꎬ２ꎬ)ꎬ ｎ Ｄ. { ｎ} ｎ<
ａ 的前 ｎ 项和 若 Ｓ ａ 则 ｎ ４
{ ｎ} ꎬ ３２ ｎ＝６３ ｎꎬ ＝ 答案 ＢＤ ａ 设ＡＥ ｘ 则ＡＨ ａ ｘ
１ ＝１ꎬ ＝ ꎬ ＝ １ － ꎬ∴
( )
ｘ
° ｘ ３－ ３ａ 即 ＡＥ
Ａ.５ Ｂ.６ Ｃ.７ Ｄ.８ ｔａｎ １５ ＝ａ ｘ＝２－ ３ꎬ∴ ＝ １ꎬ ＝
答案 Ｂ 因为 Ｆ ２ ｎ ｎ １ － ６
ｎ ＝２ ＋１( ＝０ꎬ１ꎬ２ꎬ)ꎬ
所以 ａ Ｆ ２ ｎ ｎ －１ 所以 ３－ ３ａ 则 ＡＨ ３＋ ３ａ 故 Ｓ １ＡＥ ＡＨ
ｎ ＝ ｌｏｇ４( ｎ －１)＝ ｌｏｇ４２ ＝ ２ ꎬ １ꎬ ＝ １ꎬ １ ＝ ＝
６ ６ ２
ａ 是等比数列 首项为 公比为 所以
{ ｎ} ꎬ １ꎬ ２ꎬ ａ２
ｎ １ １ 正确 ａ ＡＥ２ ＡＨ２ ６ａ 依此
Ｓ １×(１－２ ) ｎ 所以 ｎ ＝ ꎬＢ ꎻ ２ ＝ ＋ ＝ １ꎬ
ｎ＝ ＝２ －１ꎬ ３２(２ －１)＝ ６３× １２ １２ ３
１－２
ｎ －１ 解得 ｎ 故选 类推可得 ａ ６ａ ａ 是公比为 ６的
２ ꎬ ＝６ꎬ Ｂ. ｎ＝ ｎ －１ꎬ∴ { ｎ}
３ ３
３.(多选)( 重庆西南大学附中开学考ꎬ
２０２２ æ öｎ －１
１１ ) “ 内卷 ” 是指一类文化模式达到最终的形 等比数列且 ａ ｎ＝ è çç ６ ø ÷÷ ꎬＡ、Ｃ 错误 ꎻ
３
态以后 既没有办法稳定下来 也没有办法
ꎬ ꎬ ａ２ ａ２
ｎ ｎ
由题图知 Ｓ ＋１ ° ° ＋１
转变为新的形态 而只能 ｎ＝ ｃｏｓ １５ ｓｉｎ １５ ＝
ꎬ
２ ４
不断地在内部变得更加复
5 ａ２ ａ２
ｎ ｎ
年 ° ＋１ 而 ａ ６ａ Ｓ １
高 杂的现象.热爱数学的小 ｓｉｎ ３０ ＝ ꎬ ｎ ＋１ ＝ ｎꎬ∴ ｎ ＝ ＝
８ ３ １２ １２
考
3 明由此想到了数学中的螺 æ öｎ －１
年 ç２ ÷ 故 Ｔ Ｓ Ｓ Ｓ １
模 旋线.连接嵌套的各个正 è ø ꎬ ｎ ＝ １ ＋ ２ ＋ ＋ ｎ ＝ ×
３ １２
拟
A
方形的顶点就得到了近似于螺旋线的美丽 é
ê ２
æ
ç ２
ö
÷
ｎ －１ù
ú １
é
ê
æ
ç ２
ö
÷
ｎù
ú １
版 图案 具体作法是在边长为 的正方形 ë ê １＋ ＋＋è ø û ú ＝ ë ê １－è ø û ú < ꎬＤ
３ ３ ４ ３ ４
ꎬ １
高 ＡＢＣＤ 中 作它的内接正方形 ＥＦＧＨ 且使得 正确.故选 .
考 ＢＤ
ꎬ ꎬ
数
学 ∠ ＢＥＦ ＝１５ ° ꎻ 再作正方形ＥＦＧＨ的内接正方形 ４.( ２０２２ 湖南益阳一模ꎬ １６ )已知数列 { ａ ｎ} 中 ꎬ
２４２
６.( 河北衡水中学三模ꎬ ) 已知数列
ａ ａ ５ １ 若 ｂ １ 则数列 ｂ ２０２２ １７
１ ＝１ꎬ ｎ ＋１ ＝ －ａ ꎬ ｎ ＝ａ ꎬ { ｎ}
２ ｎ ｎ－２
{
ａ
ｎ}
满足 ａ
１ ＝２ꎬ
ａ
ｎ ＋１ ＝２
ａ
ｎ－
ｎ
＋１(
ｎ
∈
Ｎ
)
.
的前 ｎ 项和 Ｓ .
ｎ＝ 证明 数列 ａ ｎ 是等比数列 并求出数
(１) : { ｎ－ } ꎬ
ｎ ｎ
答案 － ４ ＋６ －１ 列 { ａ ｎ} 的通项公式 ꎻ
９ ｎ
数列 ｂ 满足 ｂ ｎ Ｎ 求
解析 由ａ ｎ ＋１ ＝ ５ －ａ １ ꎬ 得ａ ｎ ＋１ － １ ＝２－ａ １ ＝２ (２) { ｎ} : ｎ＝ ２ ａ ｎ－２ ｎ( ∈ )ꎬ
２ ｎ ２ ｎ 数列 ｂ 的前 ｎ 项和 Ｓ .
{ ｎ} ｎ
ａ １ 解析 因为数列 ａ 满足 ａ ａ
ｎ－
２ ａ １ １ １
ａ ｎ－２ (１) { ｎ} １ ＝２ꎬ ｎ ＋１ ＝
ａ ｎ ꎬ ｎ ＋１ －２＝ ２ －ａ ｎ ＝ ２ ａ ｎ ꎬ ２ ａ ｎ－ ｎ ＋１ꎬ 所以 ａ ｎ ＋１ －( ｎ ＋１)＝ ２( ａ ｎ－ ｎ )ꎬ 而 ａ １
于是数列 ａ ｎ 是首项为 公比为
两式相除得到 ａ ｎ ＋１ －２ １ ａ ｎ－２ 所以 －１＝１ꎬ { ｎ－ } １ꎬ
＝ ꎬ 的等比数列 ａ ｎ ｎ －１ 即 ａ ｎ －１ ｎ.
ａ １ ４ ａ １ ２ ꎬ ｎ－ ＝１２ ꎬ ｎ＝２ ＋
ｎ ＋１ － ｎ－ ｎ ｎ
２ ２ 由 知 ｂ Ｓ １
ì ï ï ａ ｎ－２ ü ï ï ａ (２) (１) ｎ＝ ２(２ ｎ －１ ＋ ｎ )－２ ｎ＝ ２ ｎꎬ ｎ＝ ２ ＋
í ý是以１为公比 １ －２ 为首项的 ｎ ｎ
î ï ï ａ ｎ－ １ þ ï ï ４ ꎬ ａ １ ＝－２ ２ ＋ ３ ＋＋ ｎꎬ 则１ Ｓ ｎ ＝ １ ＋ ２ ＋ ３ ＋＋ － ｎ １ ＋
２ １ － ２ ２ ２ ３ ２ ２ ２ ２ ２ ３ ２ ４ ２
２
ｎ ｎ
等比数列 所以
ａ ｎ－２ æ
ç１
ö
÷
ｎ －１
ａ ｎ ꎬ
于是得 １ Ｓ
ｎ ＝
１
＋
１
＋
１
＋＋
１
ｎ－ ｎ ＝
ꎬ ＝－２è ø ꎬ ｎ ＝２－ ２ ＋１ ２ ２ ２ ２ ２ ３ ２ ２ ＋１
ａ １ ４
ｎ－ é æ öｎù
ê ú
２ １ ê ç １÷ ú
ｎ ë１－è ø û ｎ ｎ ｎ
－１ ２ ２ １ ＋２ Ｓ
３ 从而 ｂ ２ ４ . － ｎ ＝１－ ｎ－ ｎ ＝１－ ｎ ꎬ ｎ＝２
ｎ －１ ꎬ ｎ＝－ － １ ２ ＋１ ２ ２ ＋１ ２ ＋１
２＋４ ３ ３ １－
ｎ ｎ ｎ ｎ ２
所以 Ｓ ２ １ ４ －１ ２ ４ －１ ｎ ｎ
ｎ ＝ － － × ＝ － － ＝ ＋２ 所以数列 ｂ 的前 ｎ 项和 Ｓ ＋２.
３ ３ ３ ３ ９ － ｎ ꎬ { ｎ} ｎ＝２－ ｎ
ｎ ｎ ２ ２
４ ＋６ －１. ７.( 课标 理ꎬ ꎬ 分)已知数列 ａ 和
－ ２０１９ Ⅱ １９ １２ { ｎ}
９
ｂ 满足 ａ ｂ ａ ａ ｂ
５.( ２０２２ 福建漳州一中段考ꎬ １３ )已知等比数列 { ｎ} １ ＝ １ꎬ １ ＝ ０ꎬ４ ｎ ＋１ ＝ ３ ｎ－ ｎ＋４ꎬ
ｂ ｂ ａ .
{ ａ ｎ} 的前 ｎ 项和为 Ｓ ｎꎬ 公比 ｑ >０ꎬ ａ １ ＝１ꎬ ａ １２ ＝ ４ ｎ ＋１ 证 ＝ 明 ３ ｎ－ ａ ｎ－ ｂ ４ 是等比数列 ａ ｂ 是等
ａ 若数列 ｔ Ｓ 为等比数列 则实数 ｔ (１) :{ ｎ＋ ｎ} ꎬ{ ｎ－ ｎ}
９ １０ꎬ { ＋ ｎ} ꎬ ＝
差数列
. ꎻ
求 ａ 和 ｂ 的通项公式.
(２) { ｎ} { ｎ}
答案 １
解析 证明 由题设得 ａ ｂ
２ (１) : ４( ｎ ＋１ ＋ ｎ ＋１)＝ ２
解析 由 ｑ ａ ａ 可得 ｑ 而 ａ ａ ｂ
>０ꎬ １２ ＝９ １０ ＝３ꎬ １ ＝１ꎬ ( ｎ＋ ｎ)ꎬ
ｎ ｎ
即 ａ ｂ １ ａ ｂ .
则 Ｓ ｎ＝ １－３ ＝ ３ －１ ꎬ 若数列 { ｔ ＋ Ｓ ｎ} 为等比数 ｎ ＋１ ＋ ｎ ＋１ ＝ ( ｎ＋ ｎ)
２
１－３ ２
又因为 ａ ｂ 所以 ａ ｂ 是首项为
列 ꎬ 则 ｔ ＋ Ｓ １ꎬ ｔ ＋ Ｓ ２ꎬ ｔ ＋ Ｓ ３ 成等比数列 ꎬ 有 １ ＋ １ ＝１ꎬ { ｎ＋ ｎ} １ꎬ
ｔ Ｓ ２ ｔ Ｓ ｔ Ｓ 即 ｔ ２ ｔ 公比为１的等比数列.由题设得 ａ ｂ
( ＋ ２) ＝( ＋ １)( ＋ ３)ꎬ ( ＋４) ＝( ＋１) ４( ｎ ＋１ － ｎ ＋１)
２
ｔ 解得 ｔ １ 经验证 ｔ １时 数列 ａ ｂ 专
( ＋１３)ꎬ ＝ ꎬ ꎬ ＝ ꎬ ＝ ４( ｎ－ ｎ)＋８ꎬ 题
２ ２
即 ａ ｂ ａ ｂ .又因为 ａ ｂ 所以 七
ｔ Ｓ 为等比数列 故 ｔ １. ｎ ＋１ － ｎ ＋１ ＝ ｎ－ ｎ＋２ １ － １ ＝１ꎬ 数
{ ＋ ｎ} ꎬ ＝ ２ { ａ ｎ－ ｂ ｎ} 是首项为 １ꎬ 公差为 ２ 的等差数列. 列
２４３
由 知 ａ ｂ １ ａ ｂ ｎ . ｂ １ ａ ｂ ａ ｂ １ ｎ １.
(２) (１) ꎬ ｎ＋ ｎ＝ ｎ ꎬ ｎ－ ｎ＝２ －１ ｎ＝ [( ｎ＋ ｎ)－( ｎ－ ｎ)]＝ ｎ－ ＋
－１
２ ２ ２ ２
所以 ａ １ ａ ｂ ａ ｂ １ ｎ １
ｎ＝ [( ｎ＋ ｎ)＋( ｎ－ ｎ)]＝ ｎ＋ － ꎬ
２ ２ ２
5
年
高
考
3
年
模
拟
A
版
高
考
数
学
２４４
