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专题七 数列
7.1 数列的概念及表示
基础篇
考点 数列的概念及表示 Ｎ
)ꎬ
若
{
ａ
ｎ}
是递增数列
ꎬ
则实数 ａ 的取值
范围可以是
１.( 山东潍坊调研ꎬ )已知数列 ａ 中 ａ ( )
２０２２ ５ { ｎ} ꎬ １
Ａ.(１ꎬ２) Ｂ.(２ꎬ３) Ｃ.(１ꎬ３) Ｄ.(３ꎬ６)
＝２ꎬ ａ ｎ＝１－ａ １ ｎ ( ｎ ≥２)ꎬ 则 ａ ２０２２ ＝ ( ) 答案 Ｂ ∵ 数列 { ａ ｎ} 是递增数列且 ａ ｎ
－１ { ａ ｎ ｎ
(３－ ) －３ꎬ ≤７ꎬ
１ １
Ａ. Ｂ.－ Ｃ.－１ Ｄ.２ ＝ ａｎ －６ ｎ
２ ２ ꎬ >７ꎬ
ì ａ
ï
答案 Ｃ ａ ａ １ ｎ ａ ３－ >０ꎬ
∵ １ ＝２ꎬ ｎ＝１－ａ ｎ ( ≥２)ꎬ∴ ２ í ï ａ 解得 ａ 实数 ａ 的
－１ ∴ ï >１ꎬ ２< <３ꎬ∴
ï
１ １ ａ ａ ａ î ａ ａ２
＝１－ ＝ ꎬ ３ ＝１－２＝－１ꎬ ４ ＝１－(－１)＝ ２ꎬ ５ ７(３－ )－３< ꎬ
２ ２ 取值范围是 .故选
(２ꎬ３) Ｂ.
１ １ 数列 ａ 是以 为周期 ４.(多选)( 福建莆田二中模考ꎬ )数列
＝１－ ＝ ꎬꎬ∴ { ｎ} ３ ２０２２ １０
２ ２
ａ 中 设 Ｔ ａ ａ ａ .若 Ｔ 存在最大
的周期数列.
∵ ２ ０２２＝３×６７４ꎬ∴
ａ
２０２２ ＝
ａ
３ ＝－
{ ｎ} ꎬ ｎ ＝ １ ２ ｎ ｎ
值 则 ａ 可以是
.故选 ꎬ ｎ ( )
１ Ｃ.
ａ ｎ －６ ａ ｎ
２.( 广州模拟ꎬ )数列 ａ 为１ １１ Ａ. ｎ＝２ Ｂ. ｎ＝(－１)
２０２１ ６ { ｎ} ꎬ３ꎬ ꎬ８ꎬ ｎ
２ ２ ａ ｎ ａ ＋１
Ｃ. ｎ＝２ －９ Ｄ. ｎ＝ ｎ
２１ 则此数列的通项公式可能是 ２ －１
ꎬꎬ ( ) 答案 ＢＤ . Ｔ ａ ａ ａ ａ
２ Ａ ｎ ＝ １ ２ ３ ｎ ＝
ｎ ｎ ｎ ｎ(ｎ－１１)
ａ ５ －４ ａ ３ －２ －５－４－３＋＋( －６) ２
Ａ. ｎ＝ Ｂ. ｎ＝ ２ ＝ ２ ꎬ
２ ２ 当 ｎ 趋于无穷大时 Ｔ 也趋于无穷大 故 Ｔ
ꎬ ｎ ꎬ ｎ
ｎ ｎ
ａ ６ －５ ａ １０ －９ 不存在最大值
Ｃ. ｎ＝ Ｄ. ｎ＝ ꎻ
２ ２ .Ｔ １ ２ ３ ｎ
Ｂ ｎ＝(－１) (－１) (－１) (－１) ＝(－
答案 Ａ 解法一 数列 ａ 为 １ ６ １１
: { ｎ} ꎬ ꎬ ꎬ ｎ(ｎ＋１)
２
２ ２ ２ １) ꎬ
ｎ ｎ ｎ ｎ
１６ ２１ 其分母为 分子是首项为 公差 当 ( ＋１)为偶数时 Ｔ 当 ( ＋１)为奇数
ꎬ ꎬꎬ ２ꎬ １ꎬ ꎬ ｎ＝１ꎬ
5 ２ ２ ２ ２
年 ｎ 时 Ｔ 故 Ｔ 的最大值为
高 为 的等差数列 故其通项公式为ａ ５ －４. ꎬ ｎ＝－１ꎬ ｎ １ꎻ
考 ５ ꎬ ｎ＝
.Ｔ Ｔ ａ ａ ａ ａ Ｔ ｎ
3 ２ Ｃ ｎ ＋１ － ｎ＝ １ ２ ｎ( ｎ ＋１ －１)＝ ｎ(２ －８)ꎬ
年 解法二 当 ｎ 时 ａ 而选项 都
模 拟 : ＝２ ꎬ ２ ＝３ꎬ Ｂ、Ｃ、Ｄ 当 ｎ ≥５ 时 ꎬ Ｔ ｎ>０ꎬ Ｔ ｎ ＋１> Ｔ ｎꎬ∴ ｎ ≥５ 时 ꎬ{ Ｔ ｎ}
不符合题意 故选
是递增的数列 不存在最大值
A ꎬ Ａ. ꎬ ꎻ
版 ３.( 福建泉州一中月考ꎬ )已知数列 ａ
２０２２ ６ { ｎ}
.ａ ２ ａ ３ ａ ４ 即当ｎ 时
高 { ａ ｎ ｎ Ｄ １ ＝ ＝２ꎬ ２ ＝ ＝１ꎬ ３ ＝ ꎬ ≥３ ꎬ
考 的通项公式为 ａ (３－ ) －３ꎬ ≤７ꎬ ｎ １ ３ ５
数 学 ｎ ＝ ａｎ －６ ꎬ ｎ >７ ( ∈ ０< ｎ ＋１<２ ｎ －１ꎬ ａ ｎ<１ꎬ 即 ｎ ≥３ 时 ꎬ Ｔ ｎ ＋１ － Ｔ ｎ＝ Ｔ ｎ
２２４
ａ 所以 Ｔ 是递减的数列 最大 °
( ｎ ＋１ －１)<０ꎬ { ｎ} ꎬ 解 析 ａ ｓｉｎ １
∵ ｎ ＝ ｎ° ｎ ° ＝
值为 Ｔ Ｔ .故选
ｃｏｓ ｃｏｓ( －１)
１ ＝ ２ ＝２ ＢＤ.
ｎ° ｎ °
５.( ２０２２ 天津新华中学期末ꎬ １４ )在数列 { ａ ｎ} ｓｉｎ[ －( －１) ]
ｎ° ｎ °
æ öｎ ｃｏｓ ｃｏｓ( －１)
中 ａ ｎ ç７ ÷ 则数列 ａ 中的最大项 ｎ° ｎ ° ｎ° ｎ °
ꎬ ｎ＝( ＋１)è ø ꎬ { ｎ} ｓｉｎ ｃｏｓ( －１) －ｃｏｓ ｓｉｎ( －１)
８ ＝ ｎ° ｎ °
的 ｎ . ｃｏｓ ｃｏｓ( －１)
＝ ｎ° ｎ ° ｎ ° ｎ°
答案 或 ＝ｔａｎ －ｔａｎ( －１) ＝－ｔａｎ( －１) ＋ｔａｎ ꎬ
６ ７ Ｓ ° ° ° °
æ öｎ ａ ∴ ｎ＝(－ｔａｎ ０ ＋ｔａｎ １ )＋(－ｔａｎ １ ＋ｔａｎ ２ )＋
解析 ａ ｎ ç７ ÷ 令 ｎ ＋１ ° ° ｎ ° ｎ°
ｎ ＝ ( ＋ １) è ø > ０ꎬ ａ ＝ (－ｔａｎ ２ ＋ｔａｎ ３ )＋＋[－ｔａｎ( －１) ＋ｔａｎ ]
８ ｎ
Ｓ °
æ öｎ ＋１ ｎ° 因此 ６０ ｔａｎ ６０ ３ .
ｎ ç７ ÷ ＝ｔａｎ ꎬ ꎬＳ ＝ °＝ ＝３
( ＋２)è ø ｎ ３０ ｔａｎ ３０ ３
８ ＋２ ７ 解得 ｎ 即 ｎ
æ öｎ ＝ｎ × ≥１ꎬ ≤６ꎬ
３
ｎ ç７ ÷ ＋１ ８
( ＋１)è ø ７.( 届广州阶段测试ꎬ )已知集合Ａ ｘ ｘ
８ ２０２３ １７ ＝{ ｜
时 ａ ａ 当 ｎ 时 ａ ａ 所以 ａ ｎ ｎ Ｎ Ｂ ｘ ｘ ｎ ｎ Ｎ 将 Ａ
≤６ ꎬ ｎ ＋１≥ ｎꎬ >６ ꎬ ｎ ＋１< ｎꎬ ６ ＝２ －１ꎬ ∈ }ꎬ ＝{ ｜ ＝３ ꎬ ∈ }ꎬ
或 ａ 最大 所以 ｎ 或 . 与Ｂ 中的所有元素按从小到大的顺序排列构
７ ꎬ ＝６ ７
名师点睛 成数列 ａ 若有相同元素 按重复方式计入
{ ｎ}( ꎬ
.由于数列是特殊的函数ꎬ所以可以用研究 排列 为 .设数列 ａ 的
１ ) １ꎬ３ꎬ３ꎬ５ꎬ７ꎬ９ꎬ９ꎬ１１ꎬ { ｎ}
函数的思想方法来研究数列的相关性质ꎬ如 前ｎ 项和为Ｓ .
ｎ
单调性、最大值、最小值等ꎬ此时要注意数列 若 ａ 求 ｍ 的值
(１) ｍ＝２７ꎬ ꎻ
的定义域为正整数集或其有限子集这一 求 Ｓ 的值.
(２) ５０
条件. 解析 因为 ａ 所以数列 ａ 的前
(１) ｍ＝２７ꎬ { ｎ}
{ａ ａ ꎬ ｍ 项中含有 Ａ 中的元素为
.可以利用不等式组 ｎ －１≤ ｎ (ｎ )找到 １ꎬ３ꎬ５ꎬ７ꎬ９ꎬꎬ
２ ａ ａ >１ 共有 项 含有 Ｂ 中的元素为
ｎ≥ ｎ ＋１ ２７ꎬ １４ ꎬ ３ꎬ９ꎬ２７ꎬ
{ａ ａ ꎬ 共有 项 排列后为
数列的最大项ꎻ利用不等式组 ｎ －１≥ ｎ (ｎ ３ ꎬ １ꎬ３ꎬ３ꎬ５ꎬ７ꎬ９ꎬ９ꎬꎬ２７ꎬ
ａ ａ > 所以 ｍ 或 .
ｎ≤ ｎ
＋１
２７ꎬ ＝１６ １７
)找到数列的最小项. ４ ５
１ (２)２×５０－１＝９９ꎬ３ ＝８１<９９ꎬ３ ＝２４３>９９ꎬ
６.( 广州市铁一中学期末ꎬ )已知数列 因此数列 ａ 的前 项中含有 Ｂ 中的元素
{ ｎ} ５０
２０２２ １４
为 共有 项 含有 Ａ 中的元素为
°
３ꎬ９ꎬ２７ꎬ８１ꎬ ４ ꎬ
ａ 满足 ａ ｓｉｎ １ ａ 的前 ｎ
{ ｎ} ｎ ＝ ｎ° ｎ °ꎬ{ ｎ}
ｃｏｓ ｃｏｓ( －１) １ꎬ３ꎬ５ꎬ７ꎬ９ꎬꎬ２７ꎬ２９ꎬꎬ７９ꎬ８１ꎬ８３ꎬꎬ２×
Ｓ 共有 项
项的和记为 Ｓ 则 ６０ . ４６－１＝９１ꎬ ４６ ꎬ
ｎꎬ Ｓ ＝
３０ Ｓ ４６×(１＋９１)
答案 ∴ ５０ ＝ ＋(３＋９＋２７＋８１)＝ ２ １１６＋
３ ２
.
１２０＝２ ２３６
专
题
七
数
列
２２５
综合篇
考法 一 利用 Ｓ 与 ａ 的关系求通项公式 ｎ 项和 Ｔ .
ｎ ｎ ｎ
解析 由ａ２ ａ Ｓ 得当ｎ 时 ａ２
１.( ２０２２ 重庆一中月考ꎬ ５ )已知数列 { ａ ｎ} 满足 (１) ｎ＋ ｎ＝２ ｎ ≥２ ꎬ ｎ －１ ＋
ａ Ｓ 两式相减得 ａ２ ａ２ ａ ａ
ａ
１ ＝１ꎬ
前 ｎ 项和为 Ｓ
ｎꎬ
且 Ｓ
ｎ ＝２
ａ
ｎ(
ｎ
≥２ꎬ
ｎ
∈
ｎ －１
ａ
＝ ２ ｎ －１ꎬ ｎ － ｎ －１ ＋ ｎ － ｎ －１
Ｎ 则 ａ ｎ 的通项公式为 ａ ＝２ ｎꎬ
)ꎬ { ｎ}( ≥２) ｎ＝
即 ａ ａ ａ ａ 因为数列各项
( ｎ－ ｎ －１ －１)( ｎ＋ ｎ －１)＝ ０ꎬ
( ) 均为正数 所以 ａ ａ ｎ 即 ａ
ｎ ｎ －２ ꎬ ｎ ＝ ｎ －１ ＋１( ≥２)ꎬ ｎ－
Ａ.２ －１ Ｂ.２ ａ ｎ
ｎ ＋１ ｎ ｎ －１ ＝１( ≥２)ꎬ
Ｃ.２ －３ Ｄ.３－２ 故 ａ 是公差为 的等差数列 又当 ｎ
答案 Ｂ Ｓ ａ ｎ ｎ Ｎ 当 ｎ { ｎ} １ ꎬ ＝ １
∵ ｎ＝２ ｎ( ≥２ꎬ ∈ )ꎬ∴ 时 ａ２ ａ ａ 解得 ａ 所以 ａ ｎ.
时 ａ Ｓ Ｓ ａ ａ 即 ａ ａ ꎬ １ ＋ １ ＝２ １ꎬ １ ＝１ꎬ ｎ＝
≥３ ꎬ ｎ ＝ ｎ－ ｎ －１ ＝２ ｎ－２ ｎ －１ꎬ ｎ ＝２ ｎ －１ ｎ ｎ
ｎ 易得 ａ ａ 从第 项开始是 (２ ) ｔａｎ １ ＝ ｔａｎ [( ＋ １ ) － ]
( ≥３)ꎬ ２ ＝１ꎬ∴ { ｎ} ２ ｎ ｎ
以 １ 为首项 ꎬ２ 为公比的等比数列 ꎬ ａ ｎ ＝２ ｎ －２ ＝ ｔａｎ( ＋ ｎ １)－ｔａｎ ｎꎬ
１＋ｔａｎ( ＋１)ｔａｎ
ｎ .故选
ｎ ｎ
( ≥２) Ｂ.
故 ｂ ｎ ｎ ｔａｎ( ＋１)－ｔａｎ
２.( 届贵阳摸底ꎬ )已知数列 ａ 的前 ｎ ｎ＝ｔａｎ( ＋１)ｔａｎ ＝ －１ꎬ
２０２３ ８ { ｎ} ｔａｎ １
项和为 Ｓ ａ Ｓ ａ ｎ Ｎ 则 ａ
ｎꎬ １ ＝２ꎬ ｎ＋２＝ ｎ ＋１( ∈ )ꎬ ２ ＋ 则 Ｔ ｎ＝ ｂ １ ＋ ｂ ２ ＋ ｂ ３ ＋＋ ｂ ｎ ＝ １ [ｔａｎ( ｎ ＋１)－
ａ ａ ｔａｎ １
４ ＋＋ ２０２２ ＝ ( )
ｎ ｎ ｎ ｎ
ｔａｎ ＋ｔａｎ －ｔａｎ( －１)＋＋ｔａｎ ２－ｔａｎ １]－ ＝
４ ２０２２ ４ ２０２４
Ａ. ×(２ －１) Ｂ. ×(２ －１) ｎ
３ ３ １ ｎ ｎ ｔａｎ( ＋１) ｎ .
[ｔａｎ( ＋１)－ｔａｎ １]－ ＝ － －１
é
ê
æ ö２０２２ù
ú
é
ê
æ ö２０２４ù
ú
ｔａｎ １ ｔａｎ １
１６ ç １÷ ４ ç １÷
Ｃ. ×ë ê １－è ø û ú Ｄ. ×ë ê １－è ø û ú ４.( 湖北大冶一中模拟ꎬ ) 已知数列
３ ２ ３ ２ ２０２２ １７
答案 Ａ ａ Ｓ ａ ｎ Ｎ ａ 的前 ｎ 项和为 Ｓ ａ ａ 且
∵ １ ＝２ꎬ ｎ＋２＝ ｎ ＋１( ∈ )ꎬ { ｎ} ｎꎬ １ ＝－１１ꎬ ２ ＝－９ꎬ
当 ｎ 时 Ｓ ａ Ｓ Ｓ Ｓ ｎ .
∴ ＝１ ꎬ １ ＋２＝ ２ ＝４ꎬ ｎ ＋１ ＋ ｎ －１ ＝２ ｎ＋２( ≥２)
当 ｎ 时 Ｓ ａ Ｓ Ｓ 求数列 ａ 的通项公式
≥２ ꎬ ｎ －１ ＋２＝ ｎꎬ∴ ｎ＋２－( ｎ －１ ＋２)＝ (１) { ｎ} ꎻ
ａ ａ
ａ ｎ ＋１ － ａ ｎꎬ 即 ａ ｎ ＋１ ＝２ ａ ｎꎬ∴ ａ ｎ ＋１ ＝２( ｎ ≥２)ꎬ 又 ａ ２ (２) 已知 ｂ ｎ ＝ａ ｎ ａ １ ｎ ꎬ 求数列 { ｂ ｎ} 的前 ｎ 项
ｎ ＋１
１
和 Ｔ .
ａ 是以 为首项 为公比的等比 ｎ
＝２ꎬ∴ { ｎ} ２ ꎬ２
数列
ꎬ
∴ ａ ｎ ＝ ２ ｎ ꎬ∴ ａ ２ ＋ ａ ４ ＋＋ ａ ２０２２ ＝ ２ ２ ＋２ ４ ＋＋ 解析 (１) 由题意知 ( Ｓ ｎ ＋１ － Ｓ ｎ)－( Ｓ ｎ－ Ｓ ｎ －１)＝
ｎ 则 ａ ａ ｎ
5 ２ ２０２２ ＝ ２ ２ [１－(２ ２ ) １０１１ ] ＝ ４ ×(２ ２０２２ －１) .故 又 ２( ａ ≥２ ａ )ꎬ 所 ｎ ＋ 以 １ － ａ ｎ＝２ 是 ( 首 ≥ 项 ２) 为 ꎬ 公差为
年 １－２ ２ ３ ２ － １ ＝２ꎬ { ｎ} －１１ꎬ
高
考 选 Ａ. ２ 的等差数列 ꎬ 则 ａ ｎ＝ ａ １ ＋( ｎ －１) ｄ ＝２ ｎ －１３ .
3
年 ３.( 届湖湘名校教育联合体大联考ꎬ )记
由 题 知 ｂ １
模 ２０２３ １７ (２ ) ｎ ＝ ｎ ｎ ＝
拟 各项均为正数的数列 ａ 的前 ｎ 项和是 Ｓ (２ －１３)(２ －１１)
{ ｎ} ｎꎬ
A æ ö
版 已知 ａ２
ｎ＋
ａ
ｎ＝２
Ｓ
ｎꎬ
ｎ 为正整数. １
è
ç
ｎ
１
－ ｎ
１
ø
÷
ꎬ
２ ２ －１３ ２ －１１
高 求 ａ 的通项公式
考 (１) { ｎ} ꎻ éæ ö æ ö æ
数 则 Ｔ １ ê êç １ １÷ ç １ １÷ ç １
学 (２) 设 ｂ ｎ＝ｔａｎ ａ ｎｔａｎ ａ ｎ ＋１ꎬ 求数列 { ｂ ｎ} 的前 ｎ＝ ２ ëè－ １１ ＋ ９ ø＋è－ ９ ＋ ７ ø＋＋ è ２ ｎ －１３
２２６
ö ù æ ö ｎ 答案 Ｂ ａ ａ ａ ｎ ａ
－ １ ÷ ú ú １ç １ １ ÷ . ∵ ｎ －１ ＝ ｎ＋ ｎ －２( ≥３)ꎬ∴ ｎ ＝
ｎ ø û＝ è－ － ｎ ø ＝ ｎ ａ ａ 则 ａ ａ ａ ａ ａ
２ －１１ ２ １１ ２ －１１ １２１－２２ ｎ ＋１ ＋ ｎ －１ꎬ ｎ ＋１ ＋ ｎ －２ ＝０ꎬ∴ ｎ＋ ｎ ＋３ ＝０ꎬ ｎ ＋３
５.( 重庆八中入学测试)已知数列 ａ 的 ａ 则 ａ ａ ａ ａ ａ ａ ａ
２０２２ { ｎ} ＋ ｎ ＋６ ＝０ꎬ ｎ＝ ｎ ＋６ꎬ １ ＋ ４ ＝０ꎬ ２ ＋ ５ ＝０ꎬ ３ ＋
前 ｎ 项和 Ｓ 满足 Ｓ ａ . ａ Ｓ ａ ａ ａ
ｎ ｎ＝２ ｎ－１
６ ＝０ꎬ∴ ６ ＝ １ ＋ ２ ＋＋ ６ ＝０ꎬ∵ ２ ０１９＝６×
求数列 ａ 的通项公式 Ｓ ａ ａ ａ
(１) { ｎ} ꎻ ３３６＋３ꎬ∴ ２０１９ ＝０＋ ２０１７ ＋ ２０１８ ＋ ２０１９ ＝２ ０２０ꎬ
ｎ ａ ａ ａ ａ Ｓ
(２) 记 ｂ ｎ＝ ２ ａ －１ ꎬ 求数列 { ｂ ｎ} 的前 ｎ 项和 Ｔ ｎ . ∴ ２０１７ ＋ ２０１８ ＋ ２０１９ ＝ ２ ０２０ꎬ∵ ２０２０ ＝ ２０２０ －
ｎ Ｓ 则ａ ａ
２０１９
＝２ ０１９－２ ０２０＝－１ꎬ
２０１７
＝１ꎬ∴
２０１８
＋
解析 当 ｎ 时 Ｓ ａ 解得 ａ
(１) ＝ １ ꎬ １ ＝ ２ １ －１ꎬ １ ａ ２０１９ ＝２ ０２０－１＝２ ０１９ꎬ∵ ａ ２０１８ ＝ ａ ２０１７ ＋ ａ ２０１９ ＝
.
＝１ ａ ａ ａ ａ
１＋ ２０１９ꎬ∴ ２０１９ ＝１ ００９ꎬ ２０１８ ＝１ ０１０ꎬ∵ ２０２１
当 ｎ 时 Ｓ ａ 则 Ｓ Ｓ ａ
≥２ ꎬ ｎ －１ ＝２ ｎ －１ －１ꎬ ｎ－ ｎ －１ ＝ ｎ ＝ ＝－ ａ ２０１８ ＝－１ ０１０ꎬ∴ Ｓ ２０２１ ＝ Ｓ ２０２０ ＋ ａ ２０２１ ＝２ ０１９
ａ ａ 即 ａ ａ .所以 ａ 是以 为
２ ｎ－２ ｎ －１ꎬ ｎ ＝２ ｎ －１ { ｎ} １ －１ ０１０＝１ ００９ꎬ 故选 Ｂ.
首项 ꎬ２ 为公比的等比数列 ꎬ 所以 ａ ｎ ＝２ ｎ －１ ( ｎ ３.( ２０２２ 山东聊城期中ꎬ ８ )设数列 { ａ ｎ} 满足 ａ １
Ｎ∗ .
ｎ
∈ ) ａ ａ ｎ －１ａ 则数列 ａ 的前 ｎ
ｎ ｎ ＋２ ２ ＋４ ３ ＋＋２ ｎ＝ ꎬ { ｎ}
ｂ ２ －１ ２ －１ Ｔ ３ ５ ４
(２) ｎ ＝ ａ ＝ ｎ ꎬ∴ ｎ ＝ １＋ ＋ ＋
ｎ －１ １ ２ 项和 Ｓ 为
２ ２ ２ ｎ ( )
ｎ æ ö
＋
２
２ ｎ
－
－１
１
ꎬ Ａ.
１
２ è
çç
１－ ２ ｎ
１
－１ø
÷÷
Ｂ.１－ ２ ｎ
１
－１
ｎ ｎ
æ ö
１Ｔ １ ３ ５ ２ －３ ２ －１
∴ ２ ｎ＝ ２ １ ＋ ２ ２ ＋ ２ ３ ＋＋ ２ ｎ －１ ＋ ２ ｎ ꎬ Ｃ. １ ２ è çç １－ ２ １ ｎ ø ÷÷ Ｄ.１－ ２ １ ｎ
两式相减得 １ Ｔ ｎ ＝ １＋ ２ ＋ ２ ＋ ２ ＋＋ ｎ ２ －
答案 Ｃ 由题得 ａ
１ ＋２
ａ
２ ＋４
ａ
３ ＋＋２
ｎ －２ａ
ｎ －１
１ ２ ３ －１
２ ２ ２ ２ ２ ｎ
－１ ｎ
ｎ ｎ ｎ ＝ ( ≥２)①ꎬ
２ －１ ２ ＋３ Ｔ ２ ＋３ ｎ Ｎ∗ . ４
ｎ ＝３－ ｎ ꎬ∴ ｎ＝６－ ｎ ( ∈ )
－１ ｎ
２ ２ ２ 又 ａ ａ ａ ｎ －１ａ
考法 二 利用递推关系求数列的通项公式 １ ＋２ ２ ＋４ ３ ＋＋２ ｎ＝ ②ꎬ
４
æ öｎ ＋１
１.(
２０２２
江苏盐城期中ꎬ
７
)已知数列
{
ａ
ｎ}
满足 则
②－①
得
２
ｎ －１ａ
ｎ ＝
１
ꎬ∴
ａ
ｎ ＝è
ç １
ø
÷
ꎬ
ａ
１ ＝
１
４ ２ ４
ａ ａ ａ４ 则 ａ 的值为
１ ＝２ꎬ ｎ ＋１ ＝ ｎꎬ ６ ( ) 满足上式.
Ａ.２ ２０ Ｂ.２ ２４ Ｃ.２ １０２４ Ｄ.２ ４０９６ æ öｎ ＋１
所以 ａ ç １÷ ｎ Ｎ 所以数列 ａ 是以
答案 Ｃ 由 ａ ａ４ ａ 易知 ａ 故 ｎ＝è ø ꎬ ∈ ꎬ { ｎ}
ｎ ＋１ ＝ ｎꎬ １ ＝２ꎬ ｎ>０ꎬ ２
ａ ａ
ｌｎ ｎ ＋１ ＝４ｌｎ ｎꎬ １为首项 以１为公比的等比数列
ꎬ ꎬ
故 ａ 是首项为 公比为 的等比数
{ｌｎ ｎ} ｌｎ ２ꎬ ４ ４ ２
列 ꎬｌｎ ａ ｎ＝４ ｎ －１ ｌｎ ２ꎬ 则 ｌｎ ａ ６ ＝４ ５ ｌｎ ２＝ｌｎ １ é ë ê ê １－ æ è ç １ ö ø ÷ ｎù û ú ú é æ öｎù
２ １０２４ ꎬ 故 ａ ６ ＝２ １０２４. 所 以 Ｓ ｎ ＝ ４ ２ ＝ １ ë ê ê １－è ç １ ø ÷ û ú ú ＝
１ ２ ２
２.( 长沙雅礼中学等十六校联考ꎬ )已知 １－
２０２２ ５ ２
数列 ａ 满足 ａ ａ ａ ｎ 设数列 æ ö
{ ｎ} ｎ －１ ＝ ｎ＋ ｎ －２( ≥３)ꎬ １çç １÷÷.
ａ 的前 ｎ 项和为 Ｓ 若 Ｓ Ｓ
è１－ ｎ
ø 专
{ ｎ} ｎꎬ ２０２０ ＝２ ０１９ꎬ ２０１９ ２ ２ 题
则 Ｓ ４.(多选)( 届石家庄二中开学考ꎬ )已 七
＝２ ０２０ꎬ ２０２１ ＝ ( ) ２０２３ １１ 数
知数列 ａ 满足 ａ ａ ａ ｎ ｎ
Ａ.１ ００８ Ｂ.１ ００９ Ｃ.２ ０１６ Ｄ.２ ０１８ { ｎ} ２ ＝ ３ꎬ ｎ ｎ ＋１ ＝ ３ ( ∈ 列
２２７
Ｎ
)ꎬ
Ｓ
ｎ
为数列
{
ａ
ｎ}
的前 ｎ 项和
ꎬ
则
( ) １
ｎ
ｎ Ｎ 所以当 ｎ 时 有３
ａ
１ ３
ａ
２
ａ 是等比数列 ｎ＋ ( ∈ )ꎬ ≥２ ꎬ ａ ＋ ａ
Ａ.{ ｎ} ２ ２ ３
ａ 是等比数列 ａ ｎ
Ｂ.{ ２ ｎ} ３ ｎ －１ １ １ １ －１ 两式相
＋＋ ａ ＝１＋ ＋ ＋＋ｎ ＋ ꎬ
Ｓ １０１１ ｎ ２ ３ －１ ２
Ｃ. ２０２２ ＝２(３ －１)
ａ ｎ ａ
Ｄ.{ ａ ｎ} 中存在不相等的三项构成等差数列 减可得３ ｎ １ １ ＋２ 即当 ｎ 时 ｎ ＋１
ａ ＝ ｎ ＋ ＝ ｎ ꎬ ≥２ ꎬ ａ
答案 ＢＣ
∵
数列
{
ａ
ｎ}
中
ꎬ
ｎ
∈
Ｎ
ꎬ
ａ
２ ＝３ꎬ ｎ
ｎ ＋１ ２ ２
ａ
ｎ
ａ ａ ｎ 则 ａ ａ ｎ ＋２ ａ ｎ ＋１ ａ ｎ ＋２ ３ ｎ ＋１ ＝ｎ ６ ꎬ 当 ｎ ＝１ 时 ꎬ 求得 ａ ２ ＝６ꎬ 即 ａ ２ ＝２ 也符
ｎ ｎ ＋１ ＝３ ꎬ １ ＝１ꎬ ａ ＝ ａ ａ ＝ ｎ ＝ ＋２ １
ｎ ｎ ｎ
＋１ ３ ａ ａ ａ
ｎ ｎ
数列 ａ 是以 ａ 为首项 为公 合该递推关系 所以 ａ －１ ２
３ꎬ∴ { ２ ｎ －１} １ ＝１ ꎬ３ ꎬ ｎ＝ａ ａ ａ
ｎ ｎ
比的等比数列 ａ ｎ －１ 数列 ａ 是以 ａ －１ －２ １
ꎬ ２ ｎ －１ ＝３ ꎬ { ２ ｎ} ２ ｎ æ öｎ
＝３ 为首项 ꎬ３ 为公比的等比数列 ꎬ ａ ２ ｎ ＝３ ｎ ꎬＢ ａ １ ＝ｎ ( ｎ ６ ＋１) .由 λａ ｎ≥４ ｎ ⇒ λ ≥è ç２ ３ ø ÷ ｎ ( ｎ
正确
æ öｎ ｃ
ꎻ ｎ
令 ｃ ç ２÷ ｎ ｎ ＋１
ａ ａ ＋ １)ꎬ ｎ ＝ è ø ( ＋ １ )ꎬ ｃ ＝
２ ３ 则数列 ａ 不是等比数列 ３ ｎ
∵ ａ ＝３ꎬａ ＝１ꎬ { ｎ} ꎬＡ æ öｎ ＋１
１ ２ ç ２÷ ｎ ｎ
不正确 è ø ( ＋１)( ＋２) ｎ
ꎻ ３ ２ ＋４ ２ ４ 易知当
Ｓ ａ ａ ａ ａ ａ ａ ａ æ öｎ ＝ ｎ ＝ ＋ ｎꎬ
２０２２
＝(
１
＋
３
＋
５
＋＋ ２０２１)＋(
２
＋
４
＋
６
＋
è
ç２
ø
÷ ｎ
(
ｎ
＋１)
３ ３ ３
１０１１ １０１１ ３
ａ ３ －１ ３(３ －１) １０１１ ｎ 时 有 ｃ ｃ 当 ｎ 时 数列 ｃ 逐项
＋ ２０２２)＝ ２ ＋ ２ ＝２(３ －１)ꎬ ＝４ ꎬ ４ ＝ ５ꎬ <４ ꎬ { ｎ}
递增 当 ｎ 时 数列 ｃ 逐项递减 所以 ｃ
Ｃ 正确 ꎻ ꎬ >４ ꎬ { ｎ} ꎬ １
ｃ ｃ ｃ ｃ ｃ 故数列 ｃ 的最大项
假定 { ａ ｎ} 中存在不相等的三项构成等差数 < ２< ３< ４ ＝ ５> ６>ꎬ { ｎ}
列 令此三项依次为 ｋ ｌ ｍ 且 ｋ ｌ ｍ 为 ｃ ｃ ３２０ 即 λ ３２０.
ꎬ ３ ꎬ３ ꎬ３ ꎬ ０< < < ꎬ ４ ＝ ５ ＝ ꎬ ≥
８１ ８１
ｋ ｌ ｍ Ｎ 则有 ｋ ｍ ｌ １ ｍ － ｌ ６.( 课标 文ꎬ ꎬ 分)数列 ａ 满足ａ
ꎬ ꎬ ∈ ꎬ ３ ＋３ ＝２×３ ⇔ ｌ － ｋ＋３ ＝ ２０２０ Ⅰ １６ ５ { ｎ} ｎ ＋２
３
ｎａ ｎ 前 项和为 则 ａ
而 ｍ ｌ 即 ｍ － ｌ 又 １ ＋(－１) ｎ＝３ －１ꎬ １６ ５４０ꎬ １ ＝
２ꎬ － ≥ １ꎬ ３ ≥ ３ꎬ ｌ ｋ > ０ꎬ .
－
３
答案
１ ｍ － ｌ 不成立 ａ 中不存在不相 ７
∴ ｌ － ｋ＋３ ＝２ ꎬ∴ { ｎ} 解析 令 ｎ ｋ ｋ Ｎ 则有 ａ ａ ｋ
３ ＝２ ( ∈ )ꎬ ２ ｋ ＋２ ＋ ２ ｋ＝６
等的三项构成等差数列 不正确.故选 ｋ Ｎ ａ ａ ａ ａ ａ ａ
ꎬＤ ＢＣ. －１( ∈ )ꎬ∴ ２ ＋ ４ ＝５ꎬ ６ ＋ ８ ＝１７ꎬ １０ ＋ １２
５.( 江苏泰州中学检测)在数列 ａ 中 ａ ａ ａ
２０２２ { ｎ} ꎬ １ ＝２９ꎬ １４ ＋ １６ ＝４１ꎬ
ａ ａ ａ ｎ 前 项的所有偶数项和 Ｓ
３ １ ３ ２ ３ ｎ １ １ １ ∴ １６ 偶 ＝５＋１７＋２９＋
＝３ꎬ ａ ＋ ａ ＋＋ａ ＝１＋ ＋ ＋＋ ｎ ＋
5 ２ ３ ｎ ＋１ ２ ３ ２ ４１＝９２ꎬ
年
高 ( ｎ ∈ Ｎ )ꎬ 则 ａ ｎ＝ ꎬ 若 λａ ｎ≥４ ｎ 对所 ∴ 前 １６ 项的所有奇数项和 Ｓ 奇 ＝ ５４０－９２
考
3 有 ｎ Ｎ 恒成立 则 λ 的取值范围是
年 ∈ ꎬ ＝４４８ꎬ
模 . 令 ｎ ｋ ｋ Ｎ 则有 ａ ａ ｋ
拟 ＝２ －１( ∈ )ꎬ ２ ｋ ＋１ － ２ ｋ －１ ＝６ －４
ｎ é ö ｋ Ｎ . ａ ａ ａ ａ ａ ａ
版 A 答案 ｎ ｎ ６ ë ê ê ３２０ ꎬ＋∞ ÷ ø ( ａ ∈ ａ ) ∴ ２ ｋ ａ ＋１ － １ ａ ＝( ３ － １)＋( ５ － ３)＋ ｋ
高 ( ＋１) ８１ ( ７ － ５)＋＋( ２ ｋ ＋１ － ２ ｋ －１)＝ ２＋８＋１４＋＋６
ａ ａ ａ
考 数 解析 由于３ １ ３ ２ ３ ｎ １ １ ｋ (２＋６ ｋ －４) ｋ ｋ ｋ Ｎ ａ
学 ａ ２ ＋ ａ ３ ＋＋ａ ｎ ＋１ ＝１＋ ２ ＋ ３ ＋＋ －４＝ ２ ＝ (３ －１)( ∈ )ꎬ∴ ２ ｋ ＋１
２２８
ｋ ｋ ａ ｋ Ｎ 所以 ａ 的奇数项是以 为首项 为公比
＝ (３ －１)＋ １( ∈ )ꎬ { ｎ} １ ꎬ４
ａ ａ ａ ａ ａ ａ ａ 的等比数列 偶数项是以 为首项 为公比
∴ ３ ＝２＋ １ꎬ ５ ＝１０＋ １ꎬ ７ ＝２４＋ １ꎬ ９ ＝４４＋ ꎬ ４ ꎬ４
ａ ａ ａ ａ ａ ａ ａ { ｎ －１ ｎ 为奇数
１ꎬ １１ ＝７０＋ １ꎬ １３ ＝１０２＋ １ꎬ １５ ＝１４０＋ １ꎬ 的等比数列 所以 ａ ２ ꎬ ꎬ所以
前 项的所有奇数项和 Ｓ ａ ａ ꎬ ｎ ＝ ｎ ｎ 为偶数
∴ １６ 奇＝ １ ＋ ３ ＋＋ ２ ꎬ ꎬ
ａ ａ ａ ａ ２ ｎ.
１５
＝８
１
＋２＋１０＋２４＋４４＋７０＋１０２＋１４０＝８
１
＋
２
ｎ＝２
. ａ . ｎ
３９２＝４４８ ∴ １ ＝７ 令 Ｓ ａ ａ ａ 所以 Ｓ １－４
７.( 湖南天壹名校联盟摸底考试)已知数 (２) ２ ｎ＝ １ ＋ ２ ＋＋ ２ ｎꎬ ２ ｎ ＝ ＋
２０２２
１－４
ｎ ｎ ｘ
列 { ａ ｎ} 满足 ａ ｎ ａ ｎ ＋１ ＝２ ２ ｎ ꎬ ａ １ ＝１ . ４(１－４ ) ＝ ５(４ －１) ꎬ 易知 ｆ ( ｘ )＝ ５(４ －１)在
求 ａ １－４ ３ ３
(１) ２ ｎꎻ 定义域上单调递增 且 ｆ ｆ
求满足 ａ ａ ａ 的最大的正 ꎬ (４)＝ ４２５ꎬ (５)＝ １
(２) １ ＋ ２ ＋＋ ２ ｎ<２ ０２２ ｆ 因为 ａ ａ ａ
整数 ｎ 的值. ７０５ꎬ (６)＝ ６ ８２５ꎬ １ ＋ ２ ＋＋ ２ ｎ<２
所以 ｎ 又因为 ｎ 为正整数 所以 ｎ 的
解析 因为 ａ ａ ２ ｎ ａ 所以 ａ ａ ０２２ꎬ <６ꎬ ꎬ
(１) ｎ ｎ ＋１ ＝２ ꎬ １ ＝１ꎬ １ ２ 最大值为 .
ａ ａ ５
２ ａ 又 ａ ａ ２ ｎ ＋２ 所以 ｎ ＋１ ｎ ＋２
＝２ ꎬ ２ ＝４ꎬ ｎ ＋１ ｎ ＋２ ＝２ ꎬ ａ ａ ＝
ｎ ｎ
＋１
ａ ｎ
ｎ ２ ＋２
＋２ ２
ａ ＝ ｎ ＝４ꎬ
ｎ ２
２
专
题
七
数
列
２２９
