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7.2 等差数列
基础篇
考点 一 等差数列及其前 ｎ 项和
Ｓ ｎ２ ｎ Ｓ １ｎ２ ｎ
Ｃ. ｎ＝２ －８ Ｄ. ｎ＝ －２
１.( 届辽宁六校期初考试ꎬ )设等差数列 ２
２０２３ ３ 答案 Ａ 设 ａ 的公差为 ｄ 依题意得
{ ｎ} ꎬ ꎬ
ａ 的前 ｎ 项和为 Ｓ 若 ａ ａ ａ ａ ａ
{ ｎ} ｎꎬ ６ ＋ ７ ＋ ８ ＋ ９ ＋ １０ ＝ ａ ４×３ｄ ａ ｄ 联立 解
则 Ｓ ４ １ ＋ ＝０①ꎬ １ ＋４ ＝５②ꎬ ①②ꎬ
２０ꎬ １５ ＝ ( ) ２
得 ａ ｄ .所以ａ ｎ Ｓ ｎ２ ｎ.故
Ａ.１５０ Ｂ.１２０ Ｃ.７５ Ｄ.６０
１
＝－３ꎬ ＝２ ｎ＝２ －５ꎬ ｎ＝ －４
答案 Ｄ 由等差数列的性质可知 ａ ａ ａ 选 .
６ ＋ ７ ＋ ８ Ａ
ａ ａ ａ 所以 ａ ５.( 广东综合能力测试ꎬ )记数列 ａ 的
＋ ９ ＋ １０ ＝５ ８ ＝２０ꎬ ８ ＝４ꎬ ２０２２ ７ { ｎ}
ａ ａ ａ 前 ｎ 项和为 Ｓ ａ ａ ａ Ｓ
则 Ｓ １５( １ ＋ １５) １５×２ ８ ａ .故 ｎꎬ １ ＝２ꎬ ｎ ＋１ － ｎ∈{１ꎬ３ꎬ５}ꎬ ｋ
１５ ＝ ＝ ＝ １５ ８ ＝ ６０ 则 ｋ 可以等于
２ ２ ＝１００ꎬ ( )
选
Ｄ. Ａ.８ Ｂ.９ Ｃ.１１ Ｄ.１２
２.( 重庆ꎬ ꎬ 分)在等差数列 ａ 中 若 答案 Ａ 当 ａ ａ 时 ａ ｎ
２０１５ ２ ５ { ｎ} ꎬ ① ｎ ＋１ － ｎ＝１ ꎬ ｎ＝２＋( －１)
ａ ａ 则 ａ ｎ
２ ＝４ꎬ ４ ＝２ꎬ ６ ＝ ( ) ×１＝ ＋１ꎬ
. . . . ｎ ｎ ｎ ｎ
Ａ －１ Ｂ ０ Ｃ １ Ｄ ６ Ｓ (２＋ ＋１) ( ＋３)
∴ ｎ＝ ＝ ꎬ
答案 Ｂ 解法一 设等差数列 ａ 的公差
: { ｎ} ２ ２
ｋ ｋ
为 ｄ
ꎬ
由 ａ
４ ＝
ａ
２ ＋２
ｄ
ꎬ
ａ
２ ＝４ꎬ
ａ
４ ＝２ꎬ
得
２＝４＋２
ｄ
ꎬ
令Ｓ
ｋ＝１００ꎬ
则 ( ＋３)
＝１００⇒
ｋ２
＋３
ｋ
－２００＝０ꎬ
ｄ ａ ａ ｄ .故选 . ２
＝－１ꎬ∴ ６ ＝ ４ ＋２ ＝０ Ｂ 方程不存在正整数解
解法二 ａ 是等差数列 ａ ａ ａ ꎻ
:∵ { ｎ} ꎬ∴ ２ ＋ ６ ＝２ ４ꎬ 当 ａ ａ 时 ａ ｎ ｎ
ａ ａ ａ 故选 . ② ｎ ＋１ － ｎ＝３ ꎬ ｎ＝２＋( －１)×３＝３ －１ꎬ
∴ ６ ＝２ ４ － ２ ＝０ꎬ Ｂ ｎ ｎ ｎ ｎ
Ｓ (３ －１＋２) (３ ＋１)
３.( 重庆二模ꎬ )已知公差不为 的等差 ∴ ｎ＝ ＝ ꎬ
２０２１ ４ ０
２ ２
数列 ａ 中 ａ ａ ａ ａ ａ２ 则 ａ ｋ ｋ
{ ｎ} ꎬ ２ ＋ ４ ＝ ６ꎬ ９ ＝ ６ꎬ １０ ＝ 令 Ｓ 则 (３ ＋１) ｋ２ ｋ
ｋ＝１００ꎬ ＝１００⇒３ ＋ －２００＝０
２
( )
ｋ ｋ ｋ 或 ｋ ２５
５ ⇒(３ ＋２５)( －８)＝ ０⇒ ＝８ ＝－ ꎬ∴
Ａ. Ｂ.５ Ｃ.１０ Ｄ.４０ ３
２
ｋ 满足题意
答案 Ａ 设 公 差 为 ｄ 由 已 知 得 ＝８ ꎻ
ꎬ
当 ａ ａ 时 ａ ｎ ｎ
{ａ ｄ ａ ｄ ａ ｄ ③ ｎ ＋１ － ｎ＝５ ꎬ ｎ＝２＋( －１)×５＝５ －３ꎬ
5 １ ＋ ＋ １ ＋３ ＝ １ ＋５ ꎬ由于 ｄ 故 ａ ｄ ｎ ｎ ｎ ｎ
年 高 ａ １ ＋８ ｄ ＝( ａ １ ＋５ ｄ ) ２ ꎬ ≠０ꎬ １ ＝ ＝ ∴ Ｓ ｎ＝ (２＋５ －３) ＝ (５ －１) ꎬ
２ ２
考
3 １ 所以 ａ １ １ ５.故选 . ｋ ｋ
年 模 ４ ꎬ １０ ＝ ４ ＋ ４ ×９＝ ２ Ａ 令 Ｓ ｋ＝１００ꎬ 则 (５ －１) ＝１００⇒５ ｋ２ － ｋ －２００＝
２
拟 ４.( 课标 理ꎬ ꎬ 分)记 Ｓ 为等差数列
２０１９ Ⅰ ９ ５ ｎ 方程不存在正整数解.综上 ｋ .
A ０ꎬ ꎬ ＝８
版 { ａ ｎ} 的前 ｎ 项和.已知 Ｓ ４ ＝０ꎬ ａ ５ ＝５ꎬ 则 ６.( ２０２２ 全国乙文ꎬ １３ ꎬ ５ 分)记 Ｓ ｎ 为等差数列
高
ａ 的前 ｎ 项和.若 Ｓ Ｓ 则公差 ｄ
考 数 ( ) { ｎ} ２ ３ ＝３ ２ ＋６ꎬ ＝
学 Ａ. ａ ｎ＝２ ｎ －５ Ｂ. ａ ｎ＝３ ｎ －１０ .
２３０
答案 故 ｎ .
２ ＝１１ꎬ ＝１１
解析 Ｓ Ｓ ａ ｄ ａ １０.( 课标 文ꎬ ꎬ 分)记 Ｓ 为等差数
∵ ２ ３ ＝３ ２ ＋６ꎬ∴ ２(３ １ ＋３ )＝ ３(２ １ ＋ ２０１９ Ⅰ １８ １２ ｎ
ｄ 即 ｄ ｄ 解得 ｄ . 列 ａ 的前 ｎ 项和.已知 Ｓ ａ .
)＋６ꎬ ６ ＝３ ＋６ꎬ ＝２ { ｎ} ９ ＝－ ５
７.( 课标 文ꎬ ꎬ 分)记 Ｓ 为等差数列 若 ａ 求 ａ 的通项公式
２０２０ Ⅱ １４ ５ ｎ (１) ３ ＝４ꎬ { ｎ} ꎻ
ａ 的前 ｎ 项和.若 ａ ａ ａ 则 Ｓ 若 ａ 求使得 Ｓ ａ 的 ｎ 的取值
{ ｎ} １ ＝－２ꎬ ２ ＋ ６ ＝２ꎬ １０ (２) １>０ꎬ ｎ≥ ｎ
. 范围.
＝
答案 解析 设 ａ 的公差为 ｄ.
２５ (１) { ｎ}
解析 设等差数列 ａ 的公差为 ｄ 由 Ｓ ａ 得 ａ ｄ .由 ａ 得 ａ ｄ
{ ｎ} ꎬ ９ ＝－ ５ １ ＋４ ＝０ ３ ＝４ １ ＋２
则 ａ ｄ ａ ｄ .
２ ＝－２＋ ꎬ ６ ＝－２＋５ ꎬ ＝４
因为 ａ ａ 所以 ｄ ｄ 解 于是 ａ ｄ .
２ ＋ ６ ＝２ꎬ －２＋ ＋(－２＋５ )＝ ２ꎬ １ ＝８ꎬ ＝－２
得 ｄ 因此 ａ 的通项公式为 ａ ｎ.
＝１ꎬ { ｎ} ｎ＝１０－２
由 得 ａ ｄ 故 ａ ｎ ｄ Ｓ
所以 Ｓ １０×９ . (２) (１) １ ＝－４ ꎬ ｎ ＝( －５) ꎬ ｎ ＝
１０
＝１０×(－２)＋ ×１＝－２０＋４５＝２５
ｎ ｎ ｄ
２
( －９) .由 ａ 知 ｄ 故 Ｓ ａ 等价于
８.( 新高考 ꎬ ꎬ 分)将数列 ｎ 与 １>０ <０ꎬ ｎ≥ ｎ
２０２０ Ⅰ １４ ５ {２ －１} ２
ｎ 的公共项从小到大排列得到数列 ｎ２ ｎ 解得 ｎ .所以 ｎ 的取
{３ －２} －１１ ＋１０≤０ꎬ １≤ ≤１０
ａ 则 ａ 的前 ｎ 项和为 . 值范围是 ｎ ｎ ｎ Ｎ∗ .
{ ｎ}ꎬ { ｎ} { ｜１≤ ≤１０ꎬ ∈ }
答案
３
ｎ２
－２
ｎ １１.(
２０２１
新高考
Ⅱ
ꎬ
１７
ꎬ
１０
分)记 Ｓ
ｎ
为公差不
解析 数列 ｎ 的项为 为零的等差数列 ａ 的前 ｎ 项和 若 ａ
∵ {２ －１} １ꎬ３ꎬ５ꎬ７ꎬ９ꎬ { ｎ} ꎬ ３ ＝
Ｓ ａ ａ Ｓ .
１１ꎬ１３ꎬꎬ ５ꎬ ２ ４ ＝ ４
数列 ｎ 的项为 求 ａ 的通项公式
{３ －２} １ꎬ４ꎬ７ꎬ１０ꎬ１３ꎬꎬ (１) { ｎ} ꎻ
数列 ａ 是首项为 公差为 的等差 求使得 Ｓ ａ 成立的 ｎ 的最小值.
∴ { ｎ} １ꎬ ６ (２) ｎ> ｎ
数列 解析 ａ Ｓ ａ ｄ ａ ｄ ａ
ꎬ (１) ３ ＝ ５⇒ １ ＋２ ＝５ １ ＋１０ ⇒４ １ ＋
ａ ｎ ｎ ｄ ａ ｄ ａ ｄ
∴ ｎ＝１＋( －１)×６＝６ －５ꎬ ８ ＝０⇒ １ ＋２ ＝０⇒ １ ＝－２ ꎬ①
ｎ ｎ ａ ａ Ｓ ａ ｄ ａ ｄ ａ ｄ
数列 ａ 的前 ｎ 项和 Ｓ (１＋６ －５)× ２ ４ ＝ ４⇒( １ ＋ )( １ ＋３ )＝ ４ １ ＋６ ꎬ②
∴ { ｎ} ｎ ＝ ＝
２
将 代入 得 ｄ２ ｄ ｄ 舍 或 ｄ
① ② － ＝－２ ⇒ ＝０( ) ＝２ꎬ
３
ｎ２
－２
ｎ.
∴ ａ １ ＝－２ ｄ ＝－４ꎬ∴ ａ ｎ＝－４＋( ｎ －１)×２＝２ ｎ －６ .
９.( 海南东方琼西中学月考ꎬ )等差数列
由 知 ａ ｎ
２０２２ １７ (２) (１) ｎ＝２ －６ꎬ
ａ 的前 ｎ 项和为 Ｓ 已知 ａ ａ . ｎ ｎ
{ ｎ} ｎꎬ １０ ＝３０ꎬ ２０ ＝５０ Ｓ ｎａ ( －１)ｄ ｎ ｎ ｎ ｎ２ ｎ.
求通项公式 ａ ｎ＝ １ ＋ ＝－４ ＋ ( －１)＝ －５
(１) ｎꎻ ２
若 Ｓ 求 ｎ. Ｓ ａ ｎ２ ｎ ｎ ｎ２ ｎ ｎ
(２) ｎ＝２４２ꎬ ｎ> ｎ⇔ －５ >２ －６⇔ －７ ＋６>０⇔( －１)
解析 设等差数列 ａ 的公差为 ｄ ｎ
(１) { ｎ} ꎬ ( －６)>０ꎬ
{ａ ａ ｄ {ａ 解得 ｎ 舍 或 ｎ ｎ 的最小值为 .
依题意有 １０ ＝ １ ＋９ ＝３０ꎬ 解得 １ ＝１２ꎬ <１( ) >６ꎬ∴ ７
ａ ａ ｄ ｄ
２０ ＝ １ ＋１９ ＝５０ꎬ ＝２ꎬ 考点 二 等差数列的性质
所以 ａ ｎ ｎ Ｎ .
ｎ＝２ ＋１０( ∈ )
考向一 等差数列项的性质
专
ｎ ｎ
题
(２)
由
(１)
可得 Ｓ
ｎ ＝ １２
ｎ
＋
( －１)
×２ ＝
ｎ２
＋ １.( 南京金陵中学二模ꎬ )设 ａ 是公差 七
２ ２０２２ ３ { ｎ}
数
ｎ 令 ｎ２ ｎ 解得 ｎ 舍 或 ｎ ｄ 的等差数列 如果 ａ ａ ａ ａ 列
１１ ꎬ ＋１１ ＝２４２ꎬ ＝－２２( ) ＝－２ ꎬ １ ＋ ４ ＋ ７ ＋＋ ９７ ＝
２３１
５０ 那么 ａ ａ ａ ａ Ｓ Ｓ 均为 Ｓ 的最大值
ꎬ ３ ＋ ６ ＋ ９ ＋＋ ９９ ＝ ( ) Ｄ. ７、 ８ ｎ
答案 ＢＤ 因为等差数列 ａ 是递减数
Ａ.－１８２ Ｂ.－７８ Ｃ.－１４７ Ｄ.－８２ { ｎ}
答案 Ｄ 由已知可得 ａ ａ ａ ａ 列 所以 ａ ａ 所以 ｄ 错误 因为
３ ＋ ６ ＋ ９ ＋＋ ９９ ＝ ꎬ ｎ ＋１ － ｎ<０ꎬ <０ꎬＡ ꎻ
ａ ｄ ａ ｄ ａ ｄ ａ ｄ Ｓ Ｓ 所以 ａ Ｓ Ｓ 正确 Ｓ
( １ ＋２ )＋( ４ ＋２ )＋( ７ ＋２ )＋＋( ９７ ＋２ ) ７ ＝ ８ꎬ ８ ＝ ８ － ７ ＝ ０ꎬＢ ꎻ １５ ＝
ａ ａ ａ ａ ｄ .故 ａ ａ
＝ １ ＋ ４ ＋ ７ ＋＋ ９７ ＋６６ ＝５０－１３２＝－８２ １５( １ ＋ １５) ａ 错误
选 ＝１５ ８ ＝０ꎬＣ ꎻ
２
Ｄ.
ìａ
２.( 辽宁渤海大学附中月考二)在等差数 ï
２０２２ ïï
７>０ꎬ
由题意得íａ 所以 Ｓ Ｓ Ｓ ｎ Ｎ
列 { ａ ｎ} 中 ꎬ 若ａ ２ ＋ ａ ３ ＋ ａ ４ ＝６ꎬ ａ ６ ＝４ꎬ 则公差ｄ ＝ ï ï ８ ＝０ꎬ ７ ＝ ８≥ ｎ( ∈ )ꎬ
îａ
( )
９<０ꎬ
故 正确.故选
Ｄ ＢＤ.
１ ２
Ａ.１ Ｂ.２ Ｃ. Ｄ. ６.(多选)( 广东深圳实验学校等校联考ꎬ
３ ３ ２０２２
答案 Ｄ ａ 是等差数列 ａ ａ ａ )设等差数列 ａ 的前 ｎ 项和为 Ｓ 若 Ｓ
∵ { ｎ} ꎬ ２ ＋ ３ ＋ ４ ＝ １０ { ｎ} ｎꎬ １１
ａ ａ 又 ａ ａ ａ ｄ Ｓ Ｓ 则下列结论正确的是
６ꎬ∴ ３ ３ ＝６ꎬ ３ ＝２ꎬ ６ ＝４ꎬ∴ ６ － ３ ＝３ ＝ < ９< １０ꎬ ( )
数列 ａ 是递增数列
ｄ ２. Ａ. { ｎ}
２ꎬ∴ ＝ ａ ａ
３ Ｂ. １０ ＋ １１<０
３.( 湖南百校大联考ꎬ )设 Ｓ 为等差数列 当 ｎ 时 Ｓ
２０２２ ４ ｎ Ｃ. ≥２０ ꎬ ｎ<０
ａ ｎ 的前ｎ 项和 且ａ Ｓ 则ａ Ｓ Ｓ
{ ｎ－２ } ꎬ ２ ＝７ꎬ ７ ＝４９ꎬ ７ ＝ Ｄ. １５ － ５>０
答案 ＢＣ 等差数列 ａ 的前 ｎ 项和为
{ ｎ}
( )
Ｓ 由Ｓ Ｓ Ｓ 可得Ｓ Ｓ ａ ａ Ｓ
Ａ.７５ Ｂ.１４１ Ｃ.７ Ｄ.９９ ｎꎬ １１< ９< １０ꎬ １１ － ９ ＝ １１ ＋ １０<０ꎬ １０
Ｓ ａ
答案 Ｂ 因为 Ｓ ７ ＝７( ａ ４ －２ ４ )＝ ４９ꎬ 所以 ａ ４ － － ９ ＝ １０>０ꎬ
ａ ｄ 故数列为递减数列
ａ ４ ａ ２ ∴ １１<０ꎬ∴ <０ꎬ ꎬ
４ 所以公差 ｄ ４ －２ －( ２ －２ ) 所以 ａ ａ Ｓ ａ ａ ａ ａ
２ ＝７ꎬ ＝ ＝２ꎬ
４－２ ∵ １０ ＋ １１<０ꎬ∴ ２０ ＝ １ ＋ ２ ＋＋ ２０ ＝１０( １０ ＋
ａ 数列是递减数列 当 ｎ 时 ａ
ａ
７
－２
７
＝
ａ
４
－２
４
＋(７－４)
ｄ
＝１３ꎬ
解得 ａ
７
＝１４１
. １１)<０ꎬ∵ ꎬ ≥１１ ꎬ ｎ<
当 ｎ 时 Ｓ
４.( 广东梅州东山中学期中ꎬ )已知等差 ０ꎬ∴ ≥２０ ꎬ ｎ<０ꎬ
２０２２ ３
Ｓ Ｓ ａ ａ ａ ａ ａ .故
数列 ａ 的前 ｎ 项和为 Ｓ 若 ａ ａ 则 １５ － ５ ＝ ６ ＋ ７ ＋＋ １５ ＝ ５( １０ ＋ １１)<０
{ ｎ} ｎꎬ ３ ＋ ７ ＝１４ꎬ 选
Ｓ ＢＣ.
９ ＝ ( ) 考向二 等差数列前 ｎ 项和的性质
Ａ.２１ Ｂ.６３ Ｃ.４２ Ｄ.１２６
１.( 广州月考)设等差数列 ａ 的前 ｎ 项
２０２１ { ｎ}
答案 Ｂ Ｓ １ ａ ａ １ ａ ａ
９ ＝ ( １ ＋ ９)×９＝ ( ３ ＋ ７)×９ 和为 Ｓ 若 Ｓ Ｓ 则 Ｓ 等于
２ ２ ｎꎬ ３ ＝６ꎬ ６ ＝３ꎬ １２ ( )
5 １ . Ａ.－３ Ｂ.－１２ Ｃ.－２１ Ｄ.－３０
年 ＝ ×１４×９＝６３ 答案 Ｄ 由等差数列的性质知 Ｓ Ｓ Ｓ
高 ２ ３ꎬ ６ － ３ꎬ
考 ５.(多选)( 湖南永州三模ꎬ )已知等差数 Ｓ Ｓ Ｓ Ｓ 成等差数列 Ｓ Ｓ Ｓ
3 ２０２２ ９ ９ － ６ꎬ １２ － ９ ꎬ∴ ２( ６ － ３)＝ ３ ＋
年 列 ａ 是递减数列 Ｓ 为其前 ｎ 项和 且 Ｓ Ｓ Ｓ 则 Ｓ 可得 Ｓ .由
模 { ｎ} ꎬ ｎ ꎬ ７ ９ － ６ꎬ ２×(３－６)＝ ６＋ ９ －３ꎬ ９ ＝－９
拟
Ｓ 则 Ｓ Ｓ Ｓ Ｓ Ｓ Ｓ 即 Ｓ 得
A ＝ ８ꎬ ( ) ２( ９ － ６)＝ ６ － ３ ＋ １２ － ９ꎬ －２４＝ １２ ＋６ꎬ
版 ｄ Ｓ .故选 .
Ａ. >０ １２ ＝－３０ Ｄ
高 ａ ２.( 辽宁名校联考ꎬ )已知数列 ａ 是等
考 Ｂ. ８ ＝０ ２０２２ ５ { ｎ}
数
Ｓ 差数列 Ｓ 为数列 ａ 的前 ｎ 项和 ａ ａ
学 Ｃ. １５>０ ꎬ ｎ { ｎ} ꎬ １ ＋ ２ ＋
２３２
ａ ａ ａ ａ ａ ａ 则 Ｓ ａ
３ ＋ ４ ＝３ꎬ １７ ＋ １８ ＋ １９ ＋ ２０ ＝５ꎬ ２０ ＝( ) ａ ｂ 的前 ｎ 项和分别为 Ｓ Ｔ 且 ４
{ ｎ}、{ ｎ} ｎ、 ｎꎬ ｂ ＝
Ａ.１０ Ｂ.１５ Ｃ.２０ Ｄ.４０ ６
答案 Ｃ 数列 ａ 是等差数列 Ｓ 为数列 Ｓ
{ ｎ} ꎬ ｎ １ 则 ７
ꎬ Ｔ ＝ ( )
ａ 的前 ｎ 项和 根据等差数列的性质得
{ ｎ} ꎬ ３ １１
Ｓ Ｓ Ｓ Ｓ Ｓ Ｓ Ｓ Ｓ Ｓ 仍成等差数
７ １ １４ ７
２０ － １６ꎬ １６ － １２ꎬ １２ － ８ꎬ ８ － ４ꎬ ４ Ａ. Ｂ. Ｃ. Ｄ.
列 记Ｓ ａ ａ ａ ａ 设Ｓ Ｓ ａ ａ ３３ ３ ３３ １１
ꎬ ４ ＝ １ ＋ ２ ＋ ３ ＋ ４ ＝３ꎬ ８ － ４ ＝ ５ ＋ ６ ＋ ａ ａ ａ
ａ ａ ｘ 则 Ｓ Ｓ ａ ａ ａ ａ 答案 Ａ Ｓ ７( １ ＋ ７) ７×２ ４ ａ Ｔ
７ ＋ ８ ＝３＋ ꎬ １２ － ８ ＝ ９ ＋ １０ ＋ １１ ＋ １２ ＝３＋ ７ ＝ ＝ ＝７ ４ꎬ １１ ＝
ｘ Ｓ Ｓ ａ ａ ａ ａ ｘ Ｓ Ｓ ２ ２
２ ꎬ １６ － １２ ＝ １３ ＋ １４ ＋ １５ ＋ １６ ＝３＋３ ꎬ ２０ － １６ ＝ ｂ ｂ ｂ Ｓ ａ
１１( １ ＋ １１) １１×２ ６ ｂ ７ ７ ４ ７
ａ ａ ａ ａ ｘ ｘ １ Ｓ Ｓ ＝ ＝１１ ６ꎬ∴ Ｔ ＝ ｂ ＝
１７ ＋ １８ ＋ １９ ＋ ２０ ＝３＋４ ＝５⇒ ＝ ꎬ ２０ ＝ ２０ － ２ ２ １１ １１ ６ １１
２
Ｓ Ｓ Ｓ Ｓ Ｓ Ｓ Ｓ Ｓ ｘ . １ ７.
１６
＋
１６
－
１２
＋
１２
－
８
＋
８
－
４
＋
４
＝１５＋１０ ＝２０ × ＝
３ ３３
故选
Ｃ.
３.( 山东学情联考ꎬ ) 已知等差数列
２０２２ ６
专
题
七
数
列
２３３
综合篇
考法 一 等差数列的判定 ｎ.
＋
证明 ａ 是等差数列
１.( 河北邯郸一模ꎬ ) 中国剩余定理 又 (１) :{ ｎ} ꎻ
２０２２ ７ “ ”
Ｓ
称 孙子定理 可见于中国南北朝时期的数 若 ａ ａ ａ 成等比数列 求
ｎ＋９的最
“ ”ꎬ (２) １ꎬ ４ꎬ ６ ꎬ ｎ
学著作 孙子算经 卷下第十六题的 物不知
« » “ 小值.
数 问题 原文如下 今有物不知其数 三三
” ꎬ : ꎬ 解析 证明 Ｓ ｎａ ｎ２ ｎ
(１) :∵ ｎ＝ ｎ－ ＋ ①ꎬ
数之剩二 五五数之剩三 七七数之剩二 问
ꎬ ꎬ ꎬ 当 ｎ 时 Ｓ ｎ ａ ｎ ２ ｎ
物几何 现有一个相关的问题 将 到 ∴ ≥２ ꎬ ｎ －１ ＝( －１) ｎ －１ －( －１) ＋ －１
? : １ ２ ０２２ ｎ
这 个自然数中被 除余 且被 除余 ( ≥２)②ꎬ
２ ０２２ ３ ２ ５ 由 得 ａ ｎａ ｎ ａ ｎ
的数按照从小到大的顺序排成一列 构成 ①－②ꎬ ｎ＝ ｎ－( －１) ｎ －１ －２( －１)ꎬ
４ ꎬ 即 ｎ ａ ｎ ａ ｎ ａ ａ
一个数列 则该数列的项数为 ( －１) ｎ－( －１) ｎ －１ ＝２( －１)ꎬ∴ ｎ－ ｎ －１
ꎬ ( ) ｎ
＝２ꎬ ≥２ꎬ
Ａ.１３２ Ｂ.１３３ Ｃ.１３４ Ｄ.１３５ ａ 是以 为公差的等差数列.
答案 Ｃ 由 到 这 个自然数 ∴ { ｎ} ２
１ ２ ０２２ ２ ０２２ 由 可得 ａ ａ ａ ａ .
中被 除余 且被 除余 的数按照从小到 (２) (１) ４ ＝ １ ＋６ꎬ ６ ＝ １ ＋１０
３ ２ ５ ４ ａ ａ ａ 成等比数列 ａ２ ａ ａ 即
大的顺序所构成的数列是一个首项为 公 ∵ １ꎬ ４ꎬ ６ ꎬ∴ ４ ＝ １ ６ꎬ
１４ꎬ ａ ２ ａ ａ 解得 ａ
差为 的等差数列 设为 ａ 所以该数列 ( １ ＋６) ＝ １( １ ＋１０)ꎬ １ ＝－１８ꎬ
１５ ꎬ { ｎ}ꎬ ｎ ｎ
的通项公式为 ａ ｎ ｎ .令 Ｓ ｎ ( －１) ｎ２ ｎ
ｎ＝１４＋１５( －１)＝ １５ －１ ∴ ｎ＝－１８ ＋ ×２＝ －１９ ꎬ
２
ａ
ｎ＝１５
ｎ
－１≤２ ０２２ꎬ
解得 ｎ
≤１３４
１３
ꎬ
即该数 Ｓ
ｎ＋９
ｎ２
－１９
ｎ
＋９ ｎ ９ ｎ ９
１５ ∴ ｎ ＝ ｎ ＝ ＋ ｎ －１９≥２ ｎ －
列的项数为 .
１３４
１９＝－１３ꎬ
２.( 届广东普宁华美实验学校月考ꎬ )记
２０２３ １７ Ｓ
当且仅当 ｎ ９ 即 ｎ 时取等号
ｎ＋９的
Ｓ 为数列 ａ 的前 ｎ 项和 已知 Ｓ ｎａ ｎ２ ＝ ｎꎬ ＝３ ꎬ∴ ｎ ｎ { ｎ} ꎬ ｎ ＝ ｎ－
最小值为 . 的通项公式为 ａ ｎ ａ 则 ａ ａ
－１３ ｎ ＝(２ －１) １ꎬ ｎ ＋１ － ｎ ＝
３.( 全国甲理ꎬ ꎬ 分)已知数列 ａ 的 ｎ ａ ｎ ａ ａ 所以数列 ａ 是
２０２１ １８ １２ { ｎ} (２ ＋１) １ －(２ －１) １ ＝２ １ꎬ { ｎ}
各项均为正数 记 Ｓ 为 ａ 的前 ｎ 项和 从下 公差为 ａ 的等差数列.
ꎬ ｎ { ｎ} ꎬ ２ １
面 中选取两个作为条件 证明另外一个 方法总结
①②③ ꎬ
成立. 证明数列{ａ }是等差数列的方法
ｎ
.定义法:证明 ａ ａ ｄ(ｎ ꎬｎ Ｎ )或
① 数列 { ａ ｎ} 是等差数列 ꎻ② 数列 { Ｓ ｎ} 是等 １ ｎ－ ｎ －１ ＝ ≥２ ∈
ａ ａ ｄ(ｎ Ｎ )ꎻ
差数列 ꎻ③ ａ ２ ＝３ ａ １ . ｎ ＋１ － ｎ＝ ∈
注:若选择不同的组合分别解答ꎬ则按第一
２
.等差中项法:证明
２
ａ
ｎ ＝
ａ
ｎ －１ ＋
ａ
ｎ ＋１
(ｎ
≥２
ꎬｎ
个解答计分. Ｎ ).
∈
解析 选 作为条件 证明 . ４.( 全国甲ꎬ理 ꎬ文 ꎬ 分)记 Ｓ 为数
①② ꎬ ③ ２０２２ １７ １８ １２ ｎ
证明 设等差数列 ａ 的公差为 ｄ 因为 Ｓ
: { ｎ} ꎬ 列 ａ 的前 ｎ 项和.已知２ ｎ ｎ ａ .
{ ｎ} ｎ ＋ ＝２ ｎ＋１
Ｓ 是等差数列 所以 Ｓ Ｓ Ｓ
{ ｎ} ꎬ ２ ２ ＝ １ ＋ ３ꎬ
证明 ａ 是等差数列
即 ａ ｄ ａ ａ ｄ 两边平方 得 (１) :{ ｎ} ꎻ
２ ２ １ ＋ ＝ １ ＋ ３ １ ＋３ ꎬ ꎬ ４ 若ａ ａ ａ 成等比数列 求Ｓ 的最小值.
ａ ｄ ａ ａ ｄ ａ ａ ｄ 整理 (２) ４ꎬ ７ꎬ ９ ꎬ ｎ
(２ １ ＋ )＝ １ ＋３ １ ＋３ ＋２ １(３ １ ＋３ )ꎬ Ｓ
解析 证明 由已知条件２ ｎ ｎ ａ
得 ａ ｄ ａ ａ ｄ 两边平方 得 (１) : ｎ ＋ ＝２ ｎ＋１
４ １ ＋ ＝ ２ １(３ １ ＋３ )ꎬ ꎬ
ａ２ ａ ｄ ｄ２ ａ２ ａ ｄ 化简得 ａ２ 可得
１６ １ ＋８ １ ＋ ＝４(３ １ ＋３ １ )ꎬ ４ １ － ꎬ
ａ ｄ ｄ２ 即 ａ ｄ ２ 所以 ｄ ａ 则 Ｓ ｎａ ｎ ｎ２ 当 ｎ 时 由 可得
４ １ ＋ ＝０ꎬ (２ １ － ) ＝０ꎬ ＝２ １ꎬ ２ ｎ＝ ２ ｎ＋ － ①ꎬ ≥２ ꎬ ①
ａ ａ ｄ ａ . Ｓ ｎ ａ ｎ ｎ ２ 由
２ ＝ １ ＋ ＝３ １ ２ ｎ －１ ＝２( －１) ｎ －１ ＋( －１)－( －１) ②ꎬ
选 作为条件 证明 . ａ Ｓ Ｓ 及 可得 ｎ ａ ｎ
①③ ꎬ ② ｎ＝ ｎ－ ｎ －１ ①－② ꎬ(２ －２) ｎ－(２ －
证明 设等差数列 ａ 的公差为 ｄ. ａ ｎ ｎ 且 ｎ Ｎ
: { ｎ} ２) ｎ －１ ＝２ －２ꎬ ≥２ꎬ ∈ ꎬ
因为 ａ ａ 即 ａ ｄ ａ 所以 ｄ ａ . 即 ａ ａ 因此 ａ 是等差数列 公差
２ ＝３ １ꎬ １ ＋ ＝３ １ꎬ ＝２ １ ｎ－ ｎ －１ ＝１ꎬ { ｎ} ꎬ
所以等差数列 ａ 的前 ｎ 项和 Ｓ ｎａ 为 .
{ ｎ} ｎ ＝ １ ＋ １
ｎ ｎ ｎ ｎ ａ ａ ａ 成等比数列 且 ａ ａ ａ
( －１)ｄ ｎａ ( －１) ａ ｎ２ａ .又 ａ (２)∵ ４ꎬ ７ꎬ ９ ꎬ ４ ＝ １ ＋３ꎬ ７
＝ １ ＋ ２ １ ＝ １ １>
２ ２ ａ ａ ａ ａ２ ａ ａ 即 ａ ２
＝ １ ＋６ꎬ ９ ＝ １ ＋８ꎬ∴ ７ ＝ ４ ９ꎬ ( １ ＋６) ＝
所以 Ｓ ｎ ａ .
０ꎬ ｎ ＝ １ ( ａ １ ＋３)( ａ １ ＋８)ꎬ
则 Ｓ Ｓ ｎ ａ ｎ ａ ａ 所 解得 ａ 等差数列 ａ 的通项公式
ｎ ＋１ － ｎ ＝( ＋１) １ － １ ＝ １ꎬ １ ＝－１２ꎬ∴ { ｎ}
以数列 Ｓ 是公差为 ａ 的等差数列. 为 ａ ｎ ｎ
{ ｎ} １ ｎ＝－１２＋( －１)１＝ －１３ꎬ
选 ②③ 作为条件 ꎬ 证明 ① . Ｓ ( ａ １ ＋ ａ ｎ) ｎ １ ｎ２ ２５ｎ １ æ çｎ ２５ ö ÷ ２
∴ ｎ ＝ ＝ － ＝ è － ø
证明 设等差数列 Ｓ 的公差为 ｄ 因为 ２ ２ ２ ２ ２
5 : { ｎ } ꎬ
年
高 Ｓ ａ Ｓ ａ ａ ａ ａ ａ ６２５
考 １ ＝ １ꎬ ２ ＝ １ ＋ ２ ＝ １ ＋３ １ ＝２ １ꎬ － ꎬ
８
3
所以 ｄ Ｓ Ｓ ａ ａ ａ 则等
年 模 ＝ ２ － １ ＝ ２ １ － １ ＝ １ꎬ ∵ ｎ ∈ Ｎ ꎬ∴ 当 ｎ ＝１２ 或 ｎ ＝１３ 时 ꎬ Ｓ ｎ 最小 ꎬ
拟 差数列 Ｓ 的通项公式为 Ｓ ａ 最小值为 .
{ ｎ } ｎ ＝ １ ＋ －７８
A
版 ( ｎ －１) ａ １ ＝ ｎ ａ １ꎬ 所以 Ｓ ｎ ＝ ｎ２ａ １ꎬ 当 ｎ ≥２ ５.( ２０２２ 广州模拟ꎬ １９ )已知正项数列 { ａ ｎ}ꎬ 其
高
考
时
ꎬ
ａ
ｎ ＝
Ｓ
ｎ－
Ｓ
ｎ －１ ＝
ｎ２ａ
１ －(
ｎ
－１)
２ａ
１ ＝(２
ｎ
－１)
前 ｎ 项和 Ｓ
ｎ
满足 ａ
ｎ(２
Ｓ
ｎ－
ａ
ｎ)＝ １(
ｎ
∈
Ｎ
)
.
数
学
ａ
１ꎬ
且当 ｎ
＝１
时
ꎬ
上式也成立
ꎬ
所以数列
{
ａ
ｎ} (１)
求证
:
数列
{
Ｓ２
ｎ}
是等差数列
ꎬ
并求出 Ｓ
ｎ
２３４
的表达式
ꎻ 当 ｎ 时 ２ １ 即２ １ 所以 ｂ
数列 ａ 中是否存在连续三项 ａ ａ ＝１ ꎬＳ ＋ｂ ＝２ꎬ ｂ ＋ｂ ＝２ꎬ １ ＝
(２) { ｎ} ｋꎬ ｋ ＋１ꎬ １ １ １ １
Ｓ ３
ａ 使得１ １ １ 构成等差数列 请说明
ｋ ＋２ꎬ ａ
ｋ
ꎬａ
ｋ
ꎬａ
ｋ
? １ ＝
２
ꎬ
＋１ ＋２
理由.
当ｎ 时 ２ １ 即 ｂ ｂ 即ｂ
≥２ ꎬ ｂ ＋ｂ ＝２ꎬ ２ ｎ＝２ ｎ －１ ＋１ꎬ ｎ
ｎ ｎ
ｂ
ｎ
解析 依题意 得正项数列 ａ 中 ａ２ －１
(１) ꎬ { ｎ} ꎬ １ ＝
即 ａ 当 ｎ 时 ａ Ｓ Ｓ 即 Ｓ ｂ １ 故数列 ｂ 是首项为３ 公差为１
１ꎬ １ ＝１ꎬ ≥２ ꎬ ｎ ＝ ｎ－ ｎ －１ꎬ ( ｎ－ － ｎ －１ ＝ ꎬ { ｎ} ꎬ
２ ２ ２
Ｓ
ｎ －１)[２
Ｓ
ｎ－(
Ｓ
ｎ－
Ｓ
ｎ －１)] ＝１ꎬ
整理得 Ｓ２
ｎ－
Ｓ２
ｎ －１ ＝ 的等差数列.
１ꎬ
又 Ｓ２
１ ＝
ａ２
１ ＝１ꎬ
因此
ꎬ
数列
{
Ｓ２
ｎ}
是以
１
为首
由 知 ｂ ３ ｎ １ ｎ ＋２
项 为公差的等差数列 则 Ｓ２ ｎ 因为 ａ (２) (１) ꎬ ｎ＝ ＋( －１)× ＝ ꎬ
ꎬ１ ꎬ ｎ＝ ꎬ { ｎ} ２ ２ ２
是正项数列 即 Ｓ 所以 Ｓ ｎ. ｂ ｎ ｎ
ꎬ ｎ>０ꎬ ｎ＝ 故当 ｎ 时 Ｓ ＋２ Ｓ 也符合该式
≥２ ꎬ ｎ＝ｂ ＝ｎ ꎬ １ ꎬ
(２) 不存在.理由如下 : 当 ｎ ≥２ 时 ꎬ ａ ｎ ＝ Ｓ ｎ－ ｎ －１ ＋１
ｎ
Ｓ
ｎ －１ ＝
ｎ
－
ｎ
－１ꎬ
又 ａ
１ ＝１ꎬ
即
∀
ｎ
∈
Ｎ
ꎬ
都有 即 Ｓ
ｎ＝ｎ
＋２
(
ｎ
∈
Ｎ
)ꎬ
从而 ａ
１ ＝
Ｓ
１ ＝
３
ꎬ
＋１ ２
ａ ｎ ｎ
ｎ＝ － －１ꎬ ｎ ｎ
当 ｎ 时 ａ Ｓ Ｓ ＋２ ＋１
≥２ ꎬ ｎ ＝ ｎ － ｎ －１ ＝ ｎ － ｎ ＝
则１ １ ｎ ｎ . ＋１
ａ ＝ ｎ ｎ ＝ ＋ －１
ｎ
－ －１ １ ａ 不符合该式
假设存在满足要求的连续三项 ａ ａ ａ －ｎ ｎ ꎬ １ ꎬ
ｋꎬ ｋ ＋１ꎬ ｋ ＋２ꎬ ( ＋１)
ì
ï
使得 ａ １ ꎬａ １ ꎬａ １ 构成等差数列 ꎬ 则 ２( ｋ ＋１＋ ï ï ３ ꎬ ｎ ＝１ꎬ
ｋ ｋ ＋１ ｋ ＋２ 所以 ａ ｎ＝ í
ï
２
ｋ ｋ ｋ ｋ ｋ 即 ｋ ｋ ï １ ｎ .
)＝ ＋ －１＋ ＋２＋ ＋１ꎬ ＋１＋ î ï －ｎ ｎ ꎬ ≥２
( ＋１)
ｋ ｋ 两边同时平方 得 ｋ ｋ
＝ －１＋ ＋２ꎬ ꎬ ＋１＋ ＋２
ｋ ｋ ｋ ｋ ｋ ｋ 即 ｋ ｋ 考法 二 等差数列前 ｎ 项和最值问题
＋１ ＝ －１＋ ＋２＋２ －１ ＋２ꎬ ( ＋１)
＝(
ｋ
－１)(
ｋ
＋２)ꎬ
整理得 ｋ２
＋
ｋ
＝
ｋ２
＋
ｋ
－２ꎬ
即
０＝ １.( 八省八校联考二ꎬ )记 Ｓ 为等差数列
２０２２ ３ ｎ
显然不成立 因此假设是错误的 所以数
－２ꎬ ꎬ ꎬ ａ 的前 ｎ 项和 且满足 ａ Ｓ Ｓ 则当
列 ａ 中不存在满足要求的连续三项. { ｎ} ꎬ １<０ꎬ ３ ＝ ９ꎬ
{ ｎ} Ｓ 取得最小值时 ｎ 的值为
ｎ ꎬ ( )
６.( 全国乙理ꎬ ꎬ 分) 记 Ｓ 为数列
２０２１ １９ １２ ｎ
Ａ.３ Ｂ.６ Ｃ.９ Ｄ.１２
ａ 的前 ｎ 项和 ｂ 为数列 Ｓ 的前 ｎ 项
{ ｎ} ꎬ ｎ { ｎ} 答案 Ｂ 设数列 { ａ ｎ} 的公差为 ｄ ꎬ 由 Ｓ ３ ＝
积 已知２ １ .
Ｓ 得 ａ ｄ ａ ｄ ａ １１ｄ 故 ｄ
ꎬ Ｓ ＋ｂ ＝２
ｎ ｎ ９ꎬ ３ １ ＋３ ＝９ １ ＋３６ ꎬ １ ＝－ ꎬ >０ꎬ
２
证明 数列 ｂ 是等差数列
(１) : { ｎ} ꎻ ｎ ｎ ｄ ｄ
Ｓ １１ｄｎ ( －１)ｄ ｎ２ ｄｎ ｎ ２
求 ａ 的通项公式. ｎ＝－ ＋ ＝ －６ ＝ ( －６) －
(２) { ｎ} ２ ２ ２ ２
解析 证明 由 ｂ Ｓ Ｓ Ｓ ｄ 故当ｎ 时 Ｓ 取得最小值 选 .
(１) : ｎ ＝ １ ２ ｎ １８ ꎬ ＝６ ꎬ ｎ ꎬ Ｂ
可得 ２.( 届长沙市明德中学检测ꎬ )设等差数
ꎬ ２０２３ ４
ì ï ｂ ｎ 列 ａ 的前ｎ 项和为Ｓ 且Ｓ Ｓ 专
ï １ꎬ ＝１ꎬ { ｎ} ｎꎬ ４０４５>０ꎬ ４０４４<０ꎬ 题
Ｓ í ｂ 由２ １ 知 则 Ｓ 最小时 ｎ 七
ｎ＝ï ï ｎ ｎ . Ｓ ｎ ＋ｂ ｎ ＝２ ꎬ ｎ ꎬ ＝ ( ) 数
îｂ
ｎ
ꎬ ≥２
列
－１ Ａ.４ ０４５ Ｂ.４ ０４４ Ｃ.２ ０２３ Ｄ.２ ０２２
２３５
答案 Ｄ Ｓ Ｓ æ ö
∵ ４０４５>０ꎬ ４０４４<０ꎬ 当 ｘ ç ２０÷时 ｆ ′ ｘ ｆ ｘ 单调递减
ａ ａ ａ ∈è０ꎬ ø ꎬ ( )<０ꎬ ( ) ꎬ
３
４ ０４５( １ ＋ ４０４５) ４ ０４５×２ ２０２３
∴ ＝ > ０ꎬ æ ö
２ ２ 当 ｘ ç２０ ÷时 ｆ ′ ｘ ｆ ｘ 单调
∈è ꎬ＋∞ø ꎬ ( )>０ꎬ ( )
ａ ａ ３
４ ０４４( １ ＋ ４０４４) ａ ａ
递增
＝２ ０２２( ２０２２ ＋ ２０２３)<０ꎬ∴ ꎬ
２
æ ö
ａ ａ ａ
２０２３>０ꎬ ２０２２ ＋ ２０２３<０ꎬ ∴ ｆ ( ｘ )ｍｉｎ ＝ ｆ è ç２０ ø ÷ ꎬ
ａ ａ ａ ａ 公差 ｄ ３
∴ ２０２３>０ꎬ ２０２２<０ꎬ｜ ２０２２ ｜> ２０２３ꎬ >０ꎬ
则当 ｎ 时 Ｓ 最小.故选 又 ２０ 且 ｆ ｆ ｎＳ
＝２ ０２２ ｎ Ｄ. ６< <７ꎬ (６)＝ －４８ꎬ (７)＝ －４９ꎬ∴ ｎ
３
３.( 长沙雅礼中学月考ꎬ )设等差数列
２０２２ ７ 的最小值为 故 正确
－４９ꎬ Ｃ ꎻ
ａ 的前 ｎ 项和为 Ｓ 若 ａ ａ ａ
{ ｎ} ｎꎬ １ ＝－１１ꎬ ４ ＋ ６ ＝ Ｓ ｎ Ｓ ｎ
１ ｎ 因为ｎ Ｎ 所以 随着ｎ 的
则当 Ｓ 取最小值时 ｎ 等于 ｎ ＝ ( －１０)ꎬ ∈ ꎬ ｎ
－６ꎬ ｎ ꎬ ( ) ３
增大而增大 没有最大值 故 错误. 故
Ａ.６ Ｂ.７ Ｃ.８ Ｄ.９ ꎬ ꎬ Ｄ
答案 Ａ 设该数列的公差为 ｄ 则 ａ ａ 选 .
ꎬ ４ ＋ ６ ＝ ＢＣ
ａ ｄ ｄ 解得 ｄ 所以 ５.( 北京理ꎬ ꎬ 分)设等差数列 ａ 的
２ １ ＋８ ＝２×(－１１)＋８ ＝－６ꎬ ＝２ꎬ ２０１９ １０ ５ { ｎ}
ｎ ｎ
前 ｎ 项和为 Ｓ .若 ａ Ｓ 则 ａ
Ｓ ｎ＝－１１ ｎ ＋ ( －１) ×２＝ ｎ２ －１２ ｎ ＝( ｎ －６) ２ －３６ꎬ ｎ ２ ＝－３ꎬ ５ ＝－１０ꎬ ５ ＝
２ Ｓ 的最小值为 .
ꎬ ｎ
所以当ｎ 时 Ｓ 取得最小值.故选
＝６ ꎬ ｎ Ａ. 答案
０ －１０
４.(多选)( 广东珠海二中月考ꎬ )等差
２０２２ １１ 解析 解法一 设等差数列 ａ 的公差为 ｄ
: { ｎ} ꎬ
数列 ａ 的前 ｎ 项和为 Ｓ 已知 Ｓ Ｓ
{ ｎ} ｎꎬ １０ ＝０ꎬ １５ ＝ ì ï
ï
ａ
１
＋ ｄ ＝－３ꎬ
则
ａ Ｓ í
２５ꎬ ( )
∵ ２ ＝－３ꎬ ５ ＝－１０ꎬ∴ ï ａ ５×４ｄ
Ａ. ａ ５ ＝０ î ï ５ １ ＋ ２ ＝－１０ꎬ
Ｂ.{
ａ
ｎ}
的前 ｎ 项和中 Ｓ
５
最小
解得
{ａ
１ ＝－４ꎬ ａ ａ ｄ Ｓ ｎ ｎ２ － ｎ
Ｃ. ｎＳ ｎ 的最小值为 －４９ ｄ ＝１ꎬ ∴ ５ ＝ １ ＋４ ＝０ꎬ ｎ＝－４ ＋ ２
Ｓ
Ｄ.ｎ
ｎ 的最大值为
０ ＝
１
(
ｎ２
－９
ｎ
)＝
１ æ
è
çｎ
－
９ ö
ø
÷ ２
－
８１
ꎬ∵
ｎ
∈
Ｎ
ꎬ∴
ｎ
２ ２ ２ ８
答案 ＢＣ 设等差数列 ａ 的公差为 ｄ 或 时 Ｓ 取得最小值 最小值为 .
{ ｎ} ꎬ ＝４ ５ ꎬ ｎ ꎬ －１０
{Ｓ ａ ｄ ì ï ï ａ １ ＝－３ꎬ 解法二 : 设等差数列 { ａ ｎ} 的公差为 ｄ ꎬ 易得
则
Ｓ
１０ ＝１０
ａ
１ ＋４５
ｄ
＝０ꎬ 解得í
ï ï ｄ ２ ∴
ａ
ｎ＝ Ｓ ５( ａ １ ＋ ａ ５) ａ Ｓ ａ 又
１５ ＝１５ １ ＋１０５ ＝２５ꎬ î ＝ ꎬ ５ ＝ ＝５ ３ꎬ∵ ５ ＝－１０ꎬ∴ ３ ＝－２ꎬ
３ ２
ａ ｄ ａ ａ ｄ Ｓ
5 １ (２ ｎ －１１)ꎬ∴ ａ ５ ＝－ １ ꎬ 故 Ａ 错误 ꎻ ２ ＝－３ꎬ∴ ＝１ꎬ∴ ５ ＝ ３ ＋２ ＝０ꎬ∴ ( ｎ)ｍｉｎ ＝
年 ３ ３ Ｓ Ｓ .
高 ４
＝
５
＝－１０
考 Ｓ １ ｎ２ ｎ １ ｎ ２ ２５ 当 ｎ 时 ６.( 湖南衡阳八中月考ꎬ )已知公差不为
3 ｎ＝ ( －１０ )＝ ( －５) － ꎬ ＝５ ꎬ ２０２２ １４
年 ３ ３ ３ 的等差数列 ａ 的前ｎ 项和为Ｓ 若ａ Ｓ
模 Ｓ 有最小值 为 Ｓ 故 正确 ０ { ｎ} ｎꎬ ４ꎬ ５ꎬ
拟 ｎ ꎬ ５ꎬ Ｂ ꎻ
Ｓ 则Ｓ 的最小值为 .
A ｎ３ ｘ３ ７∈{－１０ꎬ０}ꎬ ｎ
版 ｎＳ ｎ＝ － １０ｎ２ ꎬ 令 ｆ ( ｘ )＝ － １０ｘ２ ( ｘ >０)ꎬ 则 ｆ ′ 答案 －１２
３ ３ ３ ３
高 解析 Ｓ 取得最小值 则公差 ｄ ａ
考 ｎ ꎬ >０ꎬ ４ ＝－１０
数 ｘ ｘ２ ２０ｘ
学 ( )＝ － ꎬ 或 ａ .
３ ４ ＝０
２３６
ａ ａ {ａ
ａ ｄ Ｓ １ ＋ ７ ａ Ｓ 由 ２ ＝４ꎬ得 ａ ｄ 此时 ａ ｎ .
(１) ４ ＝ ０ꎬ >０ꎬ ７ ＝ ×７＝ ７ ４ ＝ ０ꎬ ５ ＝ ａ １ ＝６ꎬ ＝－２ꎬ ｎ＝－２ ＋８
２
５
＝－２
ａ ａ ｄ ａ ｄ ａ
所以 ａ ｎ 或 ａ ｎ .
５ ３ ＝－１０⇒ １ ＋３ ＝０ꎬ５ １ ＋１０ ＝－１０⇒ １ ＝－ ｎ＝ ＋２ ｎ＝－２ ＋８
ｄ ａ ｎ 令 ａ ｎ ｎ
６ꎬ ＝２>０ꎬ ｎ ＝２ －８ꎬ ｎ ＝２ －８≤０⇒ ≤ ｎ２ ｎ ｎ２ ｎ
当ａ ｎ 时 Ｓ ＋５ 因为 Ｓ ＋５
所以 Ｓ 的最小值为 Ｓ ａ ｄ (２) ｎ＝ ＋２ ꎬ ｎ＝ ꎬ ｎ＝
４ꎬ ｎ ４ ＝４ １ ＋６ ＝－２４＋１２ ２ ２
. 是关于正整数 ｎ 的增函数 所以 Ｓ 为 Ｓ
＝－１２ ꎬ １ ＝３ ｎ
ａ ａ 的最小值 Ｓ 无最大值
ａ ｄ Ｓ １ ＋ ７ ａ ꎬ ｎ ꎻ
(２) ４ ＝－１０ꎬ >０ꎬ ７ ＝
２
×７＝７ ４ ＝－７０ꎬ æ ö２
当 ａ ｎ 时 Ｓ ｎ２ ｎ çｎ ７÷
不符合题意.综上所述 ａ Ｓ Ｓ ｎ＝－２ ＋８ ꎬ ｎ ＝－ ＋７ ＝－è － ø ＋
ꎬ ４ ＝０ꎬ ５ ＝－１０ꎬ ７ ＝ ２
Ｓ 的最小值为 .
０ꎬ ｎ －１２ ４９ 因为 ｎ 为正整数 所以当 ｎ 或 ｎ
ꎬ ꎬ ＝ ３ ＝ ４
７.( 湖南湘潭模拟ꎬ )已知 Ｓ 为数列
２０２２ １７ ｎ ４
时 Ｓ 取最大值 Ｓ Ｓ Ｓ 无最小值.
{ ａ ｎ} 的前 ｎ 项和 ꎬ 且 ａ ｎ ＋１ ＝ ａ ｎ＋ ｄ ( ｎ ∈ Ｎ ꎬ ｄ 为 ꎬ ｎ ３ ＝ ４ ＝１２ꎬ ｎ
８.( 课标 ꎬ ꎬ 分)记 Ｓ 为等差数列
常数 若 Ｓ ａ ａ ａ ａ .求 ２０１８ Ⅱ １７ １２ ｎ
)ꎬ ３ ＝１２ꎬ ３ ５ ＋２ ３ －５ ５ －１０＝０ :
ａ 的前 ｎ 项和 已知 ａ Ｓ .
(１) 数列 { ａ ｎ} 的通项公式 ꎻ { ｎ} ꎬ １ ＝－７ꎬ ３ ＝－１５
求 ａ 的通项公式
(２) Ｓ ｎ 的最值. (１) { ｎ} ꎻ
解析 (１) 由 ａ ｎ ＋１ ＝ ａ ｎ＋ ｄ ( ｄ 为常数 ) 知数列 (２) 求 Ｓ ｎꎬ 并求 Ｓ ｎ 的最小值.
解析 设 ａ 的公差为 ｄ 由题意得 ａ
{ ａ ｎ} 是等差数列 ꎬ 且 ｄ 为公差.由 Ｓ ３ ＝ ａ １ ＋ ａ ２ ＋ (１) { ｎ} ꎬ ３ １
ｄ .
ａ ａ 得 ａ
＋３ ＝－１５
３
＝３
２
＝１２
２
＝４ꎬ
由 ａ 得 ｄ .
由 ａ ａ ａ ａ 得 ａ ａ
３ ５ ＋２ ３ －５ ５ －１０＝０ ( ３ －５)( ５ ＋２) １
＝－７ ＝２
所以 ａ 的通项公式为 ａ ｎ .
{ ｎ} ｎ＝２ －９
＝ ０ꎬ
所以 ａ 或 ａ 由 得 Ｓ ｎ２ ｎ ｎ ２ .
３
＝５
５
＝－２ꎬ (２) (１) ｎ＝ －８ ＝( －４) －１６
{ａ 所以当 ｎ 时 Ｓ 取得最小值 最小值为
由 ２ ＝４ꎬ得 ａ ｄ 此时 ａ ｎ . ＝ ４ ꎬ ｎ ꎬ
ａ １
＝３ꎬ ＝１ꎬ ｎ＝ ＋２ .
－１６
３
＝５
专
题
七
数
列
２３７
