北京曲一线图书策划有限公司 2024版《5年高考3年模
拟》A版
7.2 等差数列
基础篇
考点一 等差数列及其前n项和
1.(2023届辽宁六校期初考试,3)设等差数列{a }的前n项和为S ,若
n n
a +a +a +a +a =20,则S = ( )
6 7 8 9 10 15
A.150 B.120 C.75 D.60
答案 D
2.(2015重庆,2,5分)在等差数列{a }中,若a =4,a =2,则a =( )
n 2 4 6
A.-1 B.0 C.1 D.6
答案 B
3.(2021重庆二模,4)已知公差不为0的等差数列{a }中,a +a =a ,a =a2,则a = (
n 2 4 6 9 6 10
)
5
A. B.5 C.10 D.40
2
答案 A
4.(2019课标Ⅰ理,9,5分)记S 为等差数列{a }的前n项和.已知S =0,a =5,则 (
n n 4 5
)
A.a =2n-5 B.a =3n-10
n n
1
C.S =2n2-8n D.S = n2-2n
n n 2
答案 A
5.(2022广东综合能力测试,7)记数列{a }的前n项和为S ,a =2,a -
n n 1 n+1
a ∈{1,3,5},S=100,则k可以等于 ( )
n k
A.8 B.9 C.11 D.12
答案 A
6.(2022全国乙文,13,5分)记S 为等差数列{a }的前n项和.若2S =3S +6,则公差d=
n n 3 2
.
答案 2
7.(2020课标Ⅱ文,14,5分)记S 为等差数列{a }的前n项和.若a =-2,a +a =2,则S =
n n 1 2 6 10
.
答案 25
8.(2020新高考Ⅰ,14,5分)将数列{2n-1}与{3n-2}的公共项从小到大排列得到数列{a },
n
则{a }的前n项和为 .
n
答案 3n2-2n
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9.(2022海南东方琼西中学月考,17)等差数列{a }的前n项和为S ,已知a =30,a =50.
n n 10 20
(1)求通项公式a ;
n
(2)若S =242,求n.
n
解析 (1)设等差数列{a }的公差为d,
n
{a =a +9d=30, {a =12,
依题意有 10 1 解得 1
a =a +19d=50, d=2,
20 1
所以a =2n+10(n∈N*).
n
n(n-1)
(2)由(1)可得S =12n+ ×2=n2+11n,令n2+11n=242,解得n=-22(舍)或n=11,故
n 2
n=11.
10.(2019课标Ⅰ文,18,12分)记S 为等差数列{a }的前n项和.已知S =-a .
n n 9 5
(1)若a =4,求{a }的通项公式;
3 n
(2)若a >0,求使得S ≥a 的n的取值范围.
1 n n
解析 (1)设{a }的公差为d.
n
由S =-a 得a +4d=0.由a =4得a +2d=4.
9 5 1 3 1
于是a =8,d=-2.
1
因此{a }的通项公式为a =10-2n.
n n
n(n-9)d
(2)由(1)得a =-4d,故a =(n-5)d,S = .由a >0知d<0,故S ≥a 等价于n2-
1 n n 2 1 n n
11n+10≤0,解得1≤n≤10.所以n的取值范围是{n|1≤n≤10,n∈N*}.
11.(2021新高考Ⅱ,17,10分)记S 为公差不为零的等差数列{a }的前n项和,若
n n
a =S ,a ·a =S .
3 5 2 4 4
(1)求{a }的通项公式;
n
(2)求使得S >a 成立的n的最小值.
n n
解析 (1)a =S a +2d=5a +10d 4a +8d=0 a +2d=0 a =-2d,①
3 5 1 1 1 1 1
a ·a =S (a +d)(a +3d)=4a +6d,②
2 4 4 1 ⇒ 1 1 ⇒ ⇒ ⇒
将①代入②得-d2=-2d d=0(舍)或d=2,
⇒
∴a =-2d=-4,∴a =-4+(n-1)×2=2n-6.
1 n ⇒
(2)由(1)知a =2n-6,
n
n(n-1)
S =na + d=-4n+n(n-1)=n2-5n.
n 1 2
S >a n2-5n>2n-6 n2-7n+6>0 (n-1)(n-6)>0,
n n
解得n<1(舍)或n>6,∴n的最小值为7.
⇔ ⇔ ⇔
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考点二 等差数列的性质
考向一 等差数列项的性质
1.(2022南京金陵中学二模,3)设{a }是公差d=-2的等差数列,如果a +a +a +…+a =50,
n 1 4 7 97
那么a +a +a +…+a = ( )
3 6 9 99
A.-182 B.-78 C.-147 D.-82
答案 D
2.(2022辽宁渤海大学附中月考二)在等差数列{a }中,若a +a +a =6,a =4,则公差d=(
n 2 3 4 6
)
1 2
A.1 B.2 C. D.
3 3
答案 D
3.(2022湖南百校大联考,4)设S 为等差数列{a -2n}的前n项和,且a =7,S =49,则a =
n n 2 7 7
( )
A.75 B.141 C.7 D.99
答案 B
4.(2022广东梅州东山中学期中,3)已知等差数列{a }的前n项和为S ,若a +a =14,则
n n 3 7
S = ( )
9
A.21 B.63 C.42 D.126
答案 B
5.(多选)(2022湖南永州三模,9)已知等差数列{a }是递减数列,S 为其前n项和,且
n n
S =S ,则 ( )
7 8
A.d>0
B.a =0
8
C.S >0
15
D.S 、S 均为S 的最大值
7 8 n
答案 BD
6.(多选)(2022广东深圳实验学校等校联考,10)设等差数列{a }的前n项和为S ,若
n n
S <S <S ,则下列结论正确的是 ( )
11 9 10
A.数列{a }是递增数列
n
B.a +a <0
10 11
C.当n≥20时,S <0
n
D.S -S >0
15 5
答案 BC
考向二 等差数列前n项和的性质
1.(2021广州月考)设等差数列{a }的前n项和为S ,若S =6,S =3,则S 等于 ( )
n n 3 6 12
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A.-3 B.-12 C.-21 D.-30
答案 D
2.(2022辽宁名校联考,5)已知数列{a }是等差数列,S 为数列{a }的前n项和,
n n n
a +a +a +a =3,a +a +a +a =5,则S = ( )
1 2 3 4 17 18 19 20 20
A.10 B.15 C.20 D.40
答案 C
a 1
3.(2022山东学情联考,6)已知等差数列{a }、{b }的前n项和分别为S 、T ,且 4= ,
n n n n b 3
6
S
7
则 =( )
T
11
7 1 14 7
A. B. C. D.
33 3 33 11
答案 A
综合篇
考法一 等差数列的判定
1.(2022河北邯郸一模,7)“中国剩余定理”又称“孙子定理”,可见于中国南北朝时期
的数学著作《孙子算经》卷下第十六题的“物不知数”问题,原文如下:今有物不知其
数,三三数之剩二,五五数之剩三,七七数之剩二,问物几何?现有一个相关的问题:将1
到2 022这2 022个自然数中被3除余2且被5除余4的数按照从小到大的顺序排成一
列,构成一个数列,则该数列的项数为 ( )
A.132 B.133 C.134 D.135
答案 C
2.(2023届广东普宁华美实验学校月考,17)记S 为数列{a }的前n项和,已知S =na -
n n n n
n2+n.
(1)证明:{a }是等差数列;
n
S +9
(2)若a ,a ,a 成等比数列,求 n 的最小值.
1 4 6 n
解析 (1)证明:∵S =na -n2+n①,
n n
∴当n≥2时,S =(n-1)a -(n-1)2+n-1(n≥2)②,
n-1 n-1
由①-②,得a =na -(n-1)a -2(n-1),
n n n-1
即(n-1)a -(n-1)a =2(n-1),∴a -a =2,n≥2,
n n-1 n n-1
∴{a }是以2为公差的等差数列.
n
(2)由(1)可得a =a +6,a =a +10.
4 1 6 1
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∵a ,a ,a 成等比数列,∴a2 =a a ,即(a +6) 2 =a (a +10),解得a =-18,
1 4 6 4 1 6 1 1 1 1
n(n-1)
∴S =-18n+ ×2=n2-19n,
n 2
S +9 n2-19n+9 9 √ 9
∴ n = =n+ -19≥2 n· -19=-13,
n n n n
9 S +9
当且仅当n= ,即n=3时取等号,∴ n 的最小值为-13.
n n
3.(2021全国甲理,18,12分)已知数列{a }的各项均为正数,记S 为{a }的前n项和,从下
n n n
面①②③中选取两个作为条件,证明另外一个成立.
①数列{a }是等差数列;②数列{√S }是等差数列;③a =3a .
n n 2 1
注:若选择不同的组合分别解答,则按第一个解答计分.
解析 选①②作为条件,证明③.
证明:设等差数列{a }的公差为d,因为{√S }是等差数列,所以2√S =√S +√S ,即2
n n 2 1 3
√2a +d=√a +√3a +3d,两边平方,得4(2a +d)=a +3a +3d+2√a (3a +3d),整理得
1 1 1 1 1 1 1 1
4a +d=2√a (3a +3d),两边平方,得16a2+8a d+d2=4(3a2+3a d),化简得4a2-4a d+d2=0,
1 1 1 1 1 1 1 1 1
即(2a -d) 2 =0,所以d=2a ,则a =a +d=3a .
1 1 2 1 1
选①③作为条件,证明②.
证明:设等差数列{a }的公差为d.
n
因为a =3a ,即a +d=3a ,所以d=2a .
2 1 1 1 1
n(n-1) n(n-1)
所以等差数列{a }的前n项和S =na + d=na1+ ·2a =n2a .又a >0,所以
n n 1 2 2 1 1 1
√S =n√a .
n 1
则√S -√S =(n+1)√a -n√a =√a ,所以数列{√S }是公差为√a 的等差数列.
n+1 n 1 1 1 n 1
选②③作为条件,证明①.
证明:设等差数列{√S }的公差为d,因为√S =√a ,√S =√a +a =√a +3a =2√a ,所
n 1 1 2 1 2 1 1 1
以d=√S -√S =2√a -√a =√a ,则等差数列{√S }的通项公式为√S =√a +(n-1)
2 1 1 1 1 n n 1
√a =n√a ,所以S =n2a ,当n≥2时,a =S -S =n2a -(n-1)2a =(2n-1)a ,且当n=1时,上式
1 1 n 1 n n n-1 1 1 1
也成立,所以数列{a }的通项公式为a =(2n-1)a ,则a -a =(2n+1)a -(2n-1)a =2a ,所以
n n 1 n+1 n 1 1 1
数列{a }是公差为2a 的等差数列.
n 1
方法总结:证明数列{a }是等差数列的方法
n
1.定义法:证明a -a =d(n≥2,n∈N*)或a -a =d(n∈N*);
n n-1 n+1 n
2.等差中项法:证明2a =a +a (n≥2,n∈N*).
n n-1 n+1
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2S
4.(2022全国甲,理17,文18,12分)记S 为数列{a }的前n项和.已知 n+n=2a +1.
n n n n
(1)证明:{a }是等差数列;
n
(2)若a ,a ,a 成等比数列,求S 的最小值.
4 7 9 n
2S
解析 (1)证明:由已知条件 n+n=2a +1可得,
n n
2S =2na +n-n2①,当n≥2时,由①可得2S =2(n-1)·a +(n-1)-(n-1)2②,由a =S -S 及①-
n n n-1 n-1 n n n-1
②可得,(2n-2)a -(2n-2)a =2n-2,n≥2,且n∈N*,
n n-1
即a -a =1,因此{a }是等差数列,公差为1.
n n-1 n
(2)∵a ,a ,a 成等比数列,且a =a +3,a =a +6,a =a +8,∴a2 =a ·a ,即(a +6)2=(a +3)
4 7 9 4 1 7 1 9 1 7 4 9 1 1
(a +8),
1
解得a =-12,∴等差数列{a }的通项公式为a =-12+(n-1)·1=n-13,
1 n n
∴S =
(a
1
+a
n
)n
=
1
n2-
25
n=
1(
n-
25) 2
-
625
,
n 2 2 2 2 2 8
∵n∈N*,∴当n=12或n=13时,S 最小,
n
最小值为-78.
5.(2022广州模拟,19)已知正项数列{a },其前n项和S 满足a (2S -a )=1(n∈N*).
n n n n n
(1)求证:数列{S2}是等差数列,并求出S 的表达式;
n n
1 1 1
(2)数列{a }中是否存在连续三项a,a ,a ,使得 , , 构成等差数列?请说明
n k k+1 k+2 a a a
k k+1 k+2
理由.
解析 (1)依题意,得正项数列{a }中,a2 =1,即a =1,当n≥2时,a =S -S ,即(S -S )[2S -
n 1 1 n n n-1 n n-1 n
(S -S )]=1,整理得S2-S2 =1,又S2=a2 =1,因此,数列{S2}是以1为首项,1为公差的等
n n-1 n n-1 1 1 n
差数列,则S2 =n,因为{a }是正项数列,即S >0,所以S =√n.
n n n n
(2)不存在.理由如下:当n≥2时,a =S -S =√n-√n-1,又a =1,即∀n∈N*,都有a =
n n n-1 1 n
√n-√n-1,
1 1
则
= =√n+√n-1
.
a √n-√n-1
n
1 1 1
假设存在满足要求的连续三项a,a ,a ,使得 , , 构成等差数列,则2(
k k+1 k+2 a a a
k k+1 k+2
√k+1+√k)=√k+√k-1+√k+2+√k+1,即√k+1+√k=√k-1+√k+2,两边同时平方,
得k+1+k+2√k+1√k=k-1+k+2+2√k-1√k+2,即(k+1)k=(k-1)(k+2),整理得
k2+k=k2+k-2,即0=-2,显然不成立,因此假设是错误的,所以数列{a }中不存在满足要求的
n
连续三项.
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6.(2021全国乙理,19,12分)记S 为数列{a }的前n项和,b 为数列{S }的前n项积,已知
n n n n
2 1
+
=2.
S b
n n
(1)证明:数列{b }是等差数列;
n
(2)求{a }的通项公式.
n
解析 (1)证明:由b =S ·S ·…·S 可得,
n 1 2 n
b ,n=1,
{
1 2 1
S = b 由 + =2知,
n n ,n≥2. S b
b n n
n-1
2 1 2 1 3
当n=1时, + =2,即 + =2,所以b =S = ,
S b b b 1 1 2
1 1 1 1
2 1
+
1 3 1
当n≥2时, b b =2,即2b =2b +1,即b -b = ,故数列{b }是首项为 ,公差为 的
n n n n-1 n n-1 2 n 2 2
b
n-1
等差数列.
3 1 n+2
(2)由(1)知,b = +(n-1)× = ,
n 2 2 2
b n+2
故当n≥2时,S = n = ,S 也符合该式,
n b n+1 1
n-1
n+2 3
即S = (n∈N*),从而a =S = ,
n n+1 1 1 2
n+2 n+1 1
当n≥2时,a =S -S = - =- ,a 不符合该式,
n n n-1 n+1 n n(n+1) 1
3
{ ,n=1,
2
所以a =
n 1
- ,n≥2.
n(n+1)
考法二 等差数列前n项和最值问题
1.(2022八省八校联考二,3)记S 为等差数列{a }的前n项和,且满足a <0,S =S ,则当S
n n 1 3 9 n
取得最小值时,n的值为 ( )
A.3 B.6 C.9 D.12
答案 B
2.(2023届长沙市明德中学检测,4)设等差数列{a }的前n项和为S ,且S >0,S <0,
n n 4 045 4 044
则S 最小时,n= ( )
n
A.4 045 B.4 044 C.2 023 D.2 022
答案 D
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3.(2022长沙雅礼中学月考,7)设等差数列{a }的前n项和为S ,若a =-11,a +a =-6,则当
n n 1 4 6
S 取最小值时,n等于 ( )
n
A.6 B.7 C.8 D.9
答案 A
4.(多选)(2022广东珠海二中月考,11)等差数列{a }的前n项和为S ,已知S =0,S =25,
n n 10 15
则 ( )
A.a =0
5
B.{a }的前n项和中S 最小
n 5
C.nS 的最小值为-49
n
S
D. n的最大值为0
n
答案 BC
5.(2019北京理,10,5分)设等差数列{a }的前n项和为S .若a =-3,S =-10,则a =
n n 2 5 5
,S 的最小值为 .
n
答案 0 -10
6.(2022湖南衡阳八中月考,14)已知公差不为0的等差数列{a }的前n项和为S ,若
n n
a ,S ,S ∈{-10,0},则S 的最小值为 .
4 5 7 n
答案 -12
7.(2022湖南湘潭模拟,17)已知S 为数列{a }的前n项和,且a =a +d(n∈N*,d为常数),
n n n+1 n
若S =12,a a +2a -5a -10=0.求:
3 3 5 3 5
(1)数列{a }的通项公式;
n
(2)S 的最值.
n
解析 (1)由a =a +d(d为常数)知数列{a }是等差数列,且d为公差.由
n+1 n n
S =a +a +a =3a =12得a =4,
3 1 2 3 2 2
由a a +2a -5a -10=0得(a -5)(a +2)=0,
3 5 3 5 3 5
所以a =5或a =-2,
3 5
{a =4,
2
由 得a =3,d=1,此时a =n+2.
a =5 1 n
3
{a =4,
2
由 得a =6,d=-2,此时a =-2n+8.
a =-2 1 n
5
所以a =n+2或a =-2n+8.
n n
n2+5n n2+5n
(2)当a =n+2时,S = ,因为S = 是关于正整数n的增函数,所以S =3为S
n n 2 n 2 1 n
的最小值,S 无最大值;
n
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( 7) 2 49
当a =-2n+8时,S =-n2+7n=- n- + ,因为n为正整数,所以当n=3或n=4时,S 取最
n n 2 4 n
大值S =S =12,S 无最小值.
3 4 n
8.(2018课标Ⅱ,17,12分)记S 为等差数列{a }的前n项和,已知a =-7,S =-15.
n n 1 3
(1)求{a }的通项公式;
n
(2)求S ,并求S 的最小值.
n n
解析 (1)设{a }的公差为d,由题意得3a +3d=-15.
n 1
由a =-7得d=2.
1
所以{a }的通项公式为a =2n-9.
n n
(2)由(1)得S =n2-8n=(n-4)2-16.
n
所以当n=4时,S 取得最小值,最小值为-16.
n
第 9 页 共 9 页
