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2024版《5年高考3年模拟》A版
7.4 数列求和、数列的综合
基础篇
考点一 数列求和
考向一 分组、并项求和
1.(2023届湖北黄冈调研,8)已知数列{a }满足a ·(-1)n+a =2n-1,S =650,则a = (
n n n+2 20 23
)
A.231 B.234 C.279 D.276
答案 B
2.(多选)(2022广东北江实验学校模拟,9)已知数列{a }的通项公式为a =
n n
{3n+1,n为奇数,
则 ( )
2−2n,n为偶数,
A.a =19 B.a >a
6 7 6
C.S =22 D.S >S
5 6 8
答案 BC
3.(2023届江苏百校联考,17)从①(3n-1)·a =(3n+2)a ,②a =5,2a =a +a 这两个条
n+1 n 2 n+1 n n+2
件中任选一个,补充在下面的问题中并作答.已知数列{a }满足a =2, .
n 1
(1)求{a }的通项公式;
n
(1) a n
(2)设b = ,求数列{a +b }的前n项和T .
n 2 n n n
注:若选两个条件分别作答,则按第一个解答计分.
a 3n+2
解析 (1)选①,由(3n-1)a =(3n+2)a 及a =2,可知a ≠0,所以
n+1=
,
n+1 n 1 n a 3n−1
n
a a a a a
当n≥2时,有a = n × n−1×…× 4× 3× 2 ×a
n a a a a a 1
n−1 n−2 3 2 1
3n−1 3n−4 11 8 5
= × ×…× × × ×2=3n-1.当n=1时,a =2适合上式,故
3n−4 3n−7 8 5 2 1
a =3n-1(n∈N*).
n
选②,由2a =a +a ,得a -a =a -a ,所以{a }为等差数列,
n+1 n n+2 n+2 n+1 n+1 n n
由a =2,a =5,得该数列的公差d=a -a =5-2=3,
1 2 2 1
所以a =a +(n-1)d=2+3(n-1)=3n-1.
n 1
(1) 3n−1 (1) 3n−1
(2)由(1)知b = ,∴a +b =3n-1+ ,
n 2 n n 2
[1 1 (1) 3n−1]
则T =[2+5+8+…+(3n-1)]+ + +…+
n 4 32 2北京曲一线图书策划有限公司
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1[ (1) n]
1−
(2+3n−1)n 4 8
= +
2 1
1−
8
(3n+1)n 2[ (1) n]
= + 1− .
2 7 8
4.(2022长沙雅礼中学月考,17)已知数列{a }中,a =1,a =3,其前n项和S 满足
n 1 2 n
S +S =2S +2(n≥2,n∈N*).
n+1 n-1 n
(1)求数列{a }的通项公式;
n
(2)若b =a +2a n,求数列{b }的前n项和T .
n n n n
解析 (1)由题意得S -S =S -S +2(n≥2),即a -a =2(n≥2),又a -a =3-1=2,所以a -
n+1 n n n-1 n+1 n 2 1 n+1
a =2(n∈N*).所以数列{a }是以1为首项,2为公差的等差数列,所以a =2n-1(n∈N*).
n n n
1 1
(2)b =a +2a n=2n−1+22n−1=2n−1+ ·4n,所以T =[1+3+5+…+(2n-1)]+
n n 2 n 2
2(4n−1)
×(4+42+43+…+4n)=n2+ .
3
5.(2022重庆市育才中学入学考,17)已知等比数列{a }的前n项和为S (n∈N*),且
n n
1 1 2
− = ,S =63.
a a a 6
1 2 3
(1)求{a }的通项公式;
n
(2)若对任意的n∈N*,b 是log a 和log a 的等差中项,求数列{(-1)nb2}的前2n项和.
n 2 n 2 n+1 n
1 1 2
解析 (1)设数列{a }的公比为q,由已知,有 − = ,解得q=2或q=-1.又由
n a a q a q2
1 1 1
1−q6 1−26
S =a · =63,知q≠-1,所以a · =63,得a =1,所以a =2n-1.
6 1 1 1 n
1−q 1−2
1 1 1 1
(2)由题意,得b = (log a +log a )= (log 2n-1+log 2n)=n- ,即{b }是首项为 ,公差为1
n 2 2 n 2 n+1 2 2 2 2 n 2
的等差数列.
设数列{(-1)nb2}的前n项和为T ,则T =(-b2+b2)+(-b2+b2)+…+(-b2 +b2
n n 2n 1 2 3 4 2n−1 2n
2n(b +b )
)=b +b +…+b = 1 2n =2n2.
1 2 2n 2
考向二 倒序相加求和
( 1) 1 n
1.(2022辽宁阜新月考,7)已知函数f(x)=x+3sin x− + ,数列{a }满足a = ,则
2 2 n n 2 021
f(a )+f(a )+…+f(a )= ( )
1 2 2 021
A.2 021 B.2 022 C.4 042 D.4 040北京曲一线图书策划有限公司
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答案 A
2.(2022江苏无锡检测,6)德国数学家高斯是近代数学奠基者之一,有“数学王子”之称,
在历史上有很大的影响.他幼年时就表现出超人的数学才能,10岁时,他在进行
1+2+3+…+100的求和运算时,就提出了倒序相加法的原理,该原理基于所给数据前后对
2n−98
应项的和呈现一定的规律生成,因此,此方法也称为高斯算法.已知数列a = ,则
n 2n−99
a +a +…+a = ( )
1 2 98
A.96 B.97 C.98 D.99
答案 C
cosx
3.(2022山东东营一中月考,8)设f(x)= ,根据课本中推导等差数列前n项
cos(30°−x)
和的方法可以求得f(1°)+f(2°)+…+f(59°)的值是 ( )
59√3 59
A. B.0C.59D.
2 2
答案 A
x
4.(2022湖北重点高中联考,15)设函数f(x)=log ,定义S =f
31−x n
(1) (2) (n−1)
+f +…+f ,其中n∈N*,n≥2,则S = .
n n n n
答案 0
考向三 公式法求和
1.(2021山东菏泽期末,7)已知数列{a }的前n项和是S ,且S =2a -1,若a ∈(0,2 021),
n n n n n
则称项a 为“和谐项”,则数列{a }的所有“和谐项”的和为 ( )
n n
A.1 022 B.1 023 C.2 046 D.2 047
答案 D
2. (2022湖南新高考教学教研联盟第一次联考,5)如图,连接△ABC的各边中点得到一
个新的△A B C ,又连接△A B C 各边中点得到一个新的△A B C ,如此无限继续下去,
1 1 1 1 1 1 2 2 2
得到一系列三角形: ABC, A B C , A B C ,…,这一系列所有三角形的面积和趋向于
1 1 1 2 2 2
一个常数.已知A(0,0),B(5,0),C(1,3),则这个常数是 ( )
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10
A. B.5 C.10 D.15
3
答案 C
{a +1,n为奇数,
3.(2021新高考Ⅰ,17,10分)已知数列{a }满足a =1,a = n
n 1 n+1 a +2,n为偶数.
n
(1)记b =a ,写出b ,b ,并求数列{b }的通项公式;
n 2n 1 2 n
(2)求{a }的前20项和.
n
解析 (1)由题意得a =a +2,a =a +1,
2n+1 2n 2n+2 2n+1
所以a =a +3,即b =b +3,且b =a =a +1=2,
2n+2 2n n+1 n 1 2 1
所以数列{b }是以2为首项,3为公差的等差数列,
n
所以b =2,b =5,b =2+(n-1)×3=3n-1.
1 2 n
(2)当n为奇数时,a =a -1.
n n+1
设数列{a }的前n项和为S ,
n n
则S =a +a +…+a
20 1 2 20
=(a +a +…+a )+(a +a +…+a )
1 3 19 2 4 20
=[(a -1)+(a -1)+…+(a -1)]+(a +a +…+a )
2 4 20 2 4 20
=2(a +a +…+a )-10,
2 4 20
10×9
由(1)可知a +a +…+a =b +b +…+b =10×2+ ×3=155,
2 4 20 1 2 10 2
故S =2×155-10=300,即{a }的前20项和为300.
20 n
4.(2023届长沙雅礼中学月考,18)设正项数列{a }的前n项和为S ,已知2S =a2 +a .
n n n n n
(1)求{a }的通项公式;
n
2a π
(2)记b =a2cos n ,T 是数列{b }的前n项和,求T .
n n 3 n n 3n
解析 (1)当n=1时,2S =a2 +a ,所以a2 =a ,又a >0,故a =1;
1 1 1 1 1 1 1
当n≥2时,2S =a2 +a ,而2S =a2 +a ,两式相减得2a =a2−a2 +a -a ,整理得(a +a )
n-1 n−1 n-1 n n n n n n−1 n n-1 n n-1
(a -a -1)=0,因为a +a >0,所以a -a =1,故{a }是以1为公差的等差数列,从而a =a +
n n-1 n n-1 n n-1 n n 1
(n-1)×1=n.
( 4π) ( 2π)
(2)设c=b +b +b =(3k-2)2cos 2kπ− +(3k-1)2cos 2kπ− +(3k)2cos 2kπ=-
k 3k-2 3k-1 3k 3 3
1 1 5
(3k-2)2- (3k-1)2+9k2=9k- ,其中k∈N*,
2 2 2
( 5 5)
n 9− +9n−
所以T =c +c +…+c = 2 2 9n2+4n.
3n 1 2 n =
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考点二 数列的综合
考向一 数列与函数综合
1.(多选)(2022江苏泰州模考,9)若正整数m,n只有1为公约数,则称m,n互质,对于正
整数k,φ(k)是不大于k的正整数中与k互质的数的个数,函数φ(k)以其首名研究者欧拉
命名,称为欧拉函数.例如:φ(2)=1,φ(3)=2,φ(6)=2,φ(8)=4.已知欧拉函数是积性函数,
即如果m,n互质,那么φ(mn)=φ(m)φ(n),例如:φ(6)=φ(2)φ(3),则 ( )
A.φ(5)=φ(8)
B.数列{φ(2n)}是等比数列
C.数列{φ(6n)}不是递增数列
{ 1 } 3
D.数列 的前n项和小于
φ(6n ) 5
答案 ABD
2.(2023届山东潍坊五县联考,15)视力表是根据视角原理设计的,所谓视角就是由外界
物体边缘上的两点在眼结点处所形成的夹角,用α表示,其单位为分.视力表以一分视角
(1')为单位进行设计.我国视力的记录采用“五分记录法”,视力表由14行开口方向各
异的正方形“E”形视标所组成,从上到下分别对应视力4.0,4.1,…,5.2,5.3,从上面的
1
第一行开始往下,每一行“E”形视标边长都是下一行“E”形视标边长的
1010
倍,且视
力L与视角α的关系式为L=5-lg α.若某同学的视力是4.0,则其视角α= 分;若视
力4.0的视标边长为1,则视力5.0的视标边长为 .
1
答案10 或0.1
10
考向二 数列与不等式综合
a
n
1.(2021浙江,10,4分)已知数列{a }满足a =1,a = (n∈N*).记数列{a }的前n项
n 1 n+1 1+√a n
n
和为S ,则 ( )
n
3
A. <S <3 B.3<S <4
2 100 100
9 9
C.4<S < D. <S <5
100 2 2 100
答案 A
2.(2022福州三中质检,8)已知在等差数列{a }中,a =3,a =11,数列{b }的通项公式为
n 2 6 n
( 1 )
b =log 1+ (a>1),S 是数列{b }的前n项和,若T =log √a +1,则S 与T 的大小关系
n a a n n n a n n n
n
是 ( )北京曲一线图书策划有限公司
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A.S ≥T B.S >T
n n n n
C.S <T D.S ≤T
n n n n
答案 B
3.(2022长沙长郡中学月考,18)已知数列{a }满足a -2a =0,a =8.
n n+1 n 3
(1)求数列{a }的通项公式;
n
n
(2)设b = ,数列{b }的前n项和为T .若2T >m-2 021对n∈N*恒成立,求正整数m的最
n a n n n
n
大值.
解析 (1)由a -2a =0得a =2a ,则{a }是以2为公比的等比数列,
n+1 n n+1 n n
又a =8,即4a =8,解得a =2,所以a =2n.
3 1 1 n
n n 1 2 3 n 1 1 2 3 n
(2)由(1)可得b = = ,则T = + + +…+ , Tn= + + +…+ ,两式
n a 2n n 2 22 23 2n 2 22 23 24 2n+1
n
1( 1 )
1−
1 1 1 1 1 n
2 2n
n
n+2
相减可得 Tn= + + +…+ − = − ,化简可得T =2-
2 2 22 23 2n 2n+1 1 2n+1 n 2n
1−
2
n+3 n+2 n+1 1
(n∈N*),因为T -T =2- −2+ = >0,所以{T }逐项递增,T 最小,为 ,所以
n+1 n 2n+1 2n 2n+1 n 1 2
1
2× >m-
2
2 021,解得m<2 022,又m∈N*,所以m的最大值为2 021.
4.(2023届山东青岛调研检测,19)记关于x的不等式x2-4nx+3n2≤0(n∈N*)的整数解的个
数为a ,数列{b }的前n项和为T ,满足4T =3n+1-a -2.
n n n n n
(1)求数列{b }的通项公式;
n
( 3) n
(2)设c =2b -λ − ,若对任意n∈N*,都有c <c 成立,试求实数λ的取值范围.
n n 2 n n+1
解析 (1)由不等式x2-4nx+3n2≤0可得n≤x≤3n,
1 1 3
∴a =2n+1,T = ×3n+1− n− ,
n n 4 2 4
当n=1时,b =T =1,
1 1
1 1
当n≥2时,b =T -T = ×3n− ,
n n n-1 2 2
1 1
∵b =1适合上式,∴b = ×3n− ,n∈N*.
1 n 2 2
(3) n
(2)由(1)可得c =3n-1+(-1)n-1λ ,
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(3) n+1
∴c =3n+1-1+(-1)nλ ,
n+1 2
5 (3) n
∵c <c ,∴c -c =2×3n+ (-1)nλ >0,
n n+1 n+1 n 2 2
4
∴(-1)nλ>- ×2n,
5
4
当n为奇数时,λ< ×2n,
5
4 4 8 8
∵ ×2n随着n的增大而增大,∴当n=1时, ×2n的值最小,为 ,∴λ< ,
5 5 5 5
4
当n为偶数时,λ>- ×2n,
5
4 4 16 16
∵- ×2n随着n的增大而减小,∴当n=2时,- ×2n的值最大,为- ,∴λ>- .
5 5 5 5
16 8
综上,可知- <λ<− .
5 5
