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第 4 节 数列求和
考试要求 1.熟练掌握等差、等比数列的前n项和公式.2.掌握非等差数列，非等
比数列求和的几种常见方法.
1.特殊数列的求和公式
(1)等差数列的前n项和公式：
S ＝＝na ＋d.
n 1
(2)等比数列的前n项和公式：
S ＝
n
2.数列求和的几种常用方法
(1)分组转化法
把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解.
(2)裂项相消法
把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其
和.
(3)错位相减法
如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，这
个数列的前n项和可用错位相减法求解.
(4)倒序相加法
如果一个数列{a }的前n项中与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同
n
一个常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法求解.
1.1＋2＋3＋4＋…＋n＝.
2.12＋22＋…＋n2＝.
3.裂项求和常用的三种变形
(1)＝－.
(2)＝.
(3)＝－.
4.在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解.
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)若数列{a }为等比数列，且公比不等于1，则其前n项和S ＝.( )
n n
(2)当n≥2时，＝(－).( )
(3)求S ＝a＋2a2＋3a3＋…＋nan时只要把上式等号两边同时乘以a即可根据错位
n
相减法求和.( )
(4)若数列a ，a －a ，…，a －a 是首项为1，公比为3的等比数列，则数列{a }的
1 2 1 n n－1 n
通项公式是a ＝.( )
n
答案 (1)√ (2)√ (3)× (4)√
解析 (3)要分a＝0或a＝1或a≠0且a≠1讨论求解.
2.(2022·烟台模拟)设数列{a }的前n项和为S ，若a ＝，则S ＝( )
n n n 99
A.7 B.8 C.9 D.10
答案 C
解析 a ＝＝－，
n
所以S ＝(－1)＋(－)＋…＋(－)＝－1＝9.
99
3.(2022·石家庄检测)数列1，3，5，7，…，(2n－1)＋…的前n项和S 的值等于(
n
)
A.n2＋1－ B.2n2－n＋1－
C.n2＋1－ D.n2－n＋1－
答案 A
解析 S ＝[1＋3＋…＋(2n－1)]＋＝＋
n
＝n2＋1－.
4.(易错题)数列{(n＋3)·2n－1}前20项的和为________.
答案 22·220－2
解析 S ＝4·1＋5·21＋6·22＋…＋23·219，2S ＝4·2＋5·22＋6·23＋…＋23·220，
20 20
两式相减，得－S ＝4＋2＋22＋…＋219－23·220＝4＋－23·220＝－22·220＋2.
20
故S ＝22·220－2.
20
5.(2021·河北“五个一”名校质检)若f(x)＋f(1－x)＝4，a ＝f(0)＋f＋…＋f＋f(1)
n
(n∈N*)，则数列{a }的通项公式为________.
n
答案 a ＝2(n＋1)
n
解析 由f(x)＋f(1－x)＝4，可得f(0)＋f(1)＝4，…，
f＋f＝4，
所以2a ＝(f(0)＋f(1))
n
＋＋…＋(f(1)＋f(0))＝4(n＋1)，即a ＝2(n＋1).
n
考点一 分组转化求和
例1 已知等差数列{a }的前n项和为S ，且关于x的不等式a x2－S x＋2＜0的解
n n 1 2
集为(1，2).
(1)求数列{a }的通项公式；
n
(2)若数列{b }满足b ＝a ＋2a －1，求数列{b }的前n项和T .
n n 2n n n n
解 (1)设等差数列{a }的公差为d，
n
因为关于x的不等式a x2－S x＋2＜0的解集为(1，2)，
1 2
所以＝1＋2＝3.
又S ＝2a ＋d，所以a ＝d，
2 1 1
易知＝2，所以a ＝1，d＝1.
1
所以数列{a }的通项公式为a ＝n.
n n
(2)由(1)可得，a ＝2n，2a ＝2n.
2n n
因为b ＝a ＋2a －1，所以b ＝2n－1＋2n，
n 2n n n
所以数列{b }的前n项和T ＝(1＋3＋5＋…＋2n－1)＋(2＋22＋23＋…＋2n)
n n
＝＋＝n2＋2n＋1－2.
感悟提升 1.若数列{c }满足c ＝a ±b ，且{a }，{b }为等差或等比数列，可采用
n n n n n n
分组求和法求数列{c }的前n项和.
n
2.若数列{c }满足c ＝其中数列{a }，{b }是等比数列或等差数列，可采用分组求
n n n n
和法求{c }的前n项和.
n
训练1 已知数列{a }的通项公式是a ＝2·3n－1＋(－1)n(ln 2－ln 3)＋(－1)nnln 3，求
n n
其前n项和S .
n
解 S ＝2(1＋3＋…＋3n－1)＋[－1＋1－1＋…＋(－1)n]·(ln 2－ln 3)＋[－1＋2－3
n
＋…＋(－1)nn]ln 3，
所以当n为偶数时，
S ＝2×＋ln 3＝3n＋ln 3－1；
n
当n为奇数时，
S ＝2×－(ln 2－ln 3)＋ln 3
n＝3n－ln 3－ln 2－1.
综上所述，
S ＝
n
考点二 裂项相消法求和
例2 (2021·开原三模)给出以下三个条件：①4a ，3a ，2a 成等差数列；②∀n∈N*，
3 4 5
点(n，S )均在函数y＝2x－a的图象上，其中a为常数；③S ＝7.请从这三个条件中
n 3
任选一个将下面的题目补充完整，并求解.
设{a }是一个公比为q(q＞0，且q≠1)的等比数列，且它的首项a ＝1，________.
n 1
(1)求数列{a }的通项公式；
n
(2)令b ＝2log a ＋1(n∈N*)，证明：数列的前n项和T ＜.
n 2 n n
(1)解 选①进行作答.
因为4a ，3a ，2a 成等差数列，
3 4 5
所以6a ＝4a ＋2a ，
4 3 5
即6a ·q＝4a ＋2a q2，
3 3 3
解得q＝1(舍)或q＝2，所以a ＝2n－1.
n
选②进行作答.
由题意得S ＝2n－a，
n
因为a ＝S ＝2－a＝1，所以a＝1，
1 1
所以S ＝2n－1，
n
当n≥2时，S ＝2n－1－1，
n－1
则a ＝S －S ＝2n－1，
n n n－1
当n＝1时，a ＝1，符合上式，所以a ＝2n－1.
1 n
选③作答.
由S ＝7，得a ＋a ＋a ＝7，即a ＋a ·q＋a ·q2＝7，解得q＝2或q＝－3，又因为q
3 1 2 3 1 1 1
＞0，所以q＝2，所以a ＝2n－1.
n
(2)证明 b ＝2log 2n－1＋1＝2n－1，n∈N*，
n 2
则＝
＝，
所以T ＝
n
＝，
因为n∈N*，所以1－＜1，
所以T ＜，得证.
n
感悟提升 1.用裂项相消法求和时，要对通项进行变换，如：＝(－)，＝(－)，裂项后可以产生连续相互抵消的项.
2.消项规律：消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第
几项.
训练2 (2022·聊城模拟)已知数列{a }的前n项和为S ，且S ＝2a －a (n∈N*)，数
n n n n 1
列{b }满足b ＝6，b ＝S ＋＋4(n∈N*).
n 1 n n
(1)求数列{a }的通项公式；
n
(2)记数列的前n项和为T ，证明：T ＜.
n n
(1)解 已知S ＝2a －a ，
n n 1
当n≥2时，S ＝2a －a ，
n－1 n－1 1
两式相减得a ＝2a ，n≥2，
n n－1
所以＝2为常数，
b ＝S ＋＋4，
n n
令n＝1，得6＝a ＋＋4，解得a ＝1，
1 1
所以数列{a }是公比为2，首项为1的等比数列，
n
所以{a }的通项公式为a ＝2n－1.
n n
(2)证明 由S ＝2a －a ＝2n－1，得b ＝2n＋＋3，
n n 1 n
则＝＝－，
所以T ＝＋＋…＋
n
＝－＜.
考点三 错位相减法求和
例3 (2021·全国乙卷)设{a }是首项为1的等比数列，数列{b }满足b ＝.已知a ，
n n n 1
3a ，9a 成等差数列.
2 3
(1)求{a }和{b }的通项公式；
n n
(2)记S 和T 分别为{a }和{b }的前n项和.证明：T <.
n n n n n
(1)解 设{a }的公比为q，则a ＝qn－1.
n n
因为a ，3a ，9a 成等差数列，
1 2 3
所以1＋9q2＝2×3q，解得q＝，
故a ＝，b ＝.
n n
(2)证明 由(1)知S ＝
n
＝，
T ＝＋＋＋…＋，①
n
T ＝＋＋＋…＋＋，②
n
①－②得T ＝＋＋＋…＋－，
n即T ＝－
n
＝－，
整理得T ＝－，
n
则2T －S ＝2－＝－<0，故T <.
n n n
感悟提升 (1)如果数列{a }是等差数列，{b }是等比数列，求数列{a ·b }的前n项
n n n n
和时，常采用错位相减法.
(2)错位相减法求和时，应注意：
①要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形.
②在写出“S ”与“qS ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，以便于下一
n n
步准确地写出“S －qS ”的表达式.
n n
③应用等比数列求和公式必须注意公比q是否等于1，如果q＝1，应用公式S ＝
n
na .
1
训练3 (2021·福州质量检测)在①S ＝2a ＋1；②a ＝－1，log (a a )＝2n－1；
n n 1 2 n n＋1
③a＝a a ，S ＝－3，a ＝－4这三个条件中任选一个，补充在下面问题的横线
n n＋2 2 3
上，并解答.
问题：已知单调数列{a }的前n项和为S ，且满足________.
n n
(1)求{a }的通项公式；
n
(2)求数列{－na }的前n项和T .
n n
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
解 (1)选①，即S ＝2a ＋1.①
n n
当n＝1时，S ＝2a ＋1，故a ＝－1；
1 1 1
当n≥2时，S ＝2a ＋1，②
n－1 n－1
①②两式相减得a ＝2a ，
n n－1
所以{a }为等比数列，其中公比为2，首项为－1.
n
所以a ＝－2n－1.
n
选②，即a ＝－1，log (a a )＝2n－1.
1 2 n n＋1
所以当n≥2时，log (a a )－log (a a )＝2，
2 n n＋1 2 n－1 n
即＝4，
所以{a }(k∈N*)为等比数列，其中首项为a ＝－1，公比为4，
2k－1 1
所以a ＝－1×4k－1＝－2(2k－1)－1；
2k－1
由a ＝－1，log (a a )＝1，得a ＝－2，
1 2 1 2 2
同理可得，a ＝－2×4k－1
2k
＝－22k－1(k∈N*).综上，a ＝－2n－1.
n
选③，即a＝a a ，S ＝－3，a ＝－4.
n n＋2 2 3
所以{a }为等比数列，设其公比为q，
n
则解得
或
又因为{a }为单调数列，所以q＞0，
n
故所以a ＝－2n－1.
n
(2)由(1)知，－na ＝n·2n－1，
n
所以T ＝1＋2×2＋3×22＋…＋(n－1)·2n－2＋n·2n－1，
n
2T ＝2＋2×22＋…＋(n－2)·
n
2n－2＋(n－1)·2n－1＋n·2n，
两式相减得－T ＝1＋2＋22＋…＋2n－2＋2n－1－n·2n＝(2n－1)－n·2n.
n
所以T ＝(n－1)·2n＋1.
n
数列中的奇偶项问题
数列中的奇、偶项问题是对一个数列分成两个新数列进行单独研究，利用新数列
的特征(等差、等比数列或其他特征)求解原数列.
(1)数列中的奇、偶项问题的常见题型
①数列中连续两项和或积的问题(a ＋a ＝f(n)或a ·a ＝f(n))；
n n＋1 n n＋1
②含有(－1)n的类型；
③含有{a }，{a }的类型；
2n 2n－1
④已知条件明确奇偶项问题.
(2)对于通项公式分奇、偶不同的数列{a }求S 时，我们可以分别求出奇数项的和
n n
与偶数项的和，也可以把a ＋a 看作一项，求出S ，再求S ＝S －a .
2k－1 2k 2k 2k－1 2k 2k
一、含有(－1)n的类型
例1 已知数列{a }中，a ＝1，a ＝3，且数列{a －a }是以2为公比的等比数列.
n 1 2 n＋1 n
(1)求数列{a }的通项公式；
n
(2)令c ＝(－1)n＋1a ，求数列{c }的前n项和S .
n n n n
解 (1)依题意可知数列{a －a }是以a －a ＝3－1＝2为首项，以2为公比的等
n＋1 n 2 1
比数列，
所以a －a ＝2×2n－1＝2n，等式两边同时除以2n得，
n＋1 n
2·－＝1，即＝·＋，
所以－1＝，
又－1＝－≠0，
所以是首项为－，公比为的等比数列，所以－1＝－×＝－，
所以a ＝2n－1.
n
(2)由(1)得，c ＝(－1)n＋1(2n－1)，
n
当n为偶数时，S ＝(21－1)－(22－1)＋(23－1)－(24－1)＋…＋(2n－1－1)－(2n－1)
n
＝21－22＋23－24＋…＋2n－1－2n
＝＝[1－(－2)n]
＝(1－2n)；
当n为奇数时，n－1为偶数，
所以S ＝S ＋c ＝(1－2n－1)＋2n－1＝，
n n－1 n
综上所述，S ＝
n
二、已知条件明确的奇偶项问题
例2 已知数列{a }的前n项和为S ，a ＝ 求S .
n n n n
解 法一 当n为偶数时，S ＝a ＋a ＋…＋a ＝(a ＋a ＋…＋a )＋(a ＋a ＋…
n 1 2 n 1 3 n－1 2 4
＋a )
n
＝(1＋3＋…＋n－1)
＝＋1－.
当n为奇数时，S ＝S ＋a ＝＋1－＋n＝＋1－.
n n－1 n
法二
∴a ＝2n－1，a ＝，
2n－1 2n∴S ＝a ＋a ＋…＋a ＝(a ＋a ＋…＋a )＋(a ＋a ＋…＋a )
2n 1 2 2n 1 3 2n－1 2 4 2n
＝(1＋3＋…＋2n－1)＋
＝＋
＝n2＋1－.
S ＝S －a ＝n2＋1－－
2n－1 2n 2n
＝n2＋1－.
数列中的放缩
放缩法的注意事项以及解题策略：
(1)对于“和式”数列不等式，若能够直接求和，则考虑先求和，再放缩证明不等
式；若不能或很难求和，则可考虑先放缩后求和证明不等式.而对于“和式”数列
不等式，放缩的最主要目的是通过放缩，把原数列变为可求和、易求和的数列.
(2)明确放缩的方向：是放大还是缩小.若要证明小于某值，则放大；若要证明大于
某值，则缩小.
(3)放缩的项数：不一定对所有项进行放缩，有时从第一项开始，或从第二项，或从
第三项等开始.
(4)常见的放缩方法有：①增加(减少)某些项；②增大(减少)分子(分母)；③增大(减
小)被开方数；增大(减小)底数(指数)；④利用不等式的性质或基本不等式；⑤利用
函数的单调性等.
放缩法，常见的放缩技巧有：
(1)＜＝.
(2)－＜＜－.
(3)2(－)＜＜2(－).
(4)＜＜，＜≤.
一、先求和再放缩
例1 已知S 为等差数列{a }的前n项和，S ＝24，S ＝120.
n n 4 10
(1)求S ；
n
(2)记数列的前n项和为T ，证明：T ＜.
n n
(1)解 设等差数列{a }的公差为d，
n
则S ＝na ＋，
n 1∴由题意，有
得a ＝3，d＝2.
1
∴S ＝3n＋n2－n＝n2＋2n.
n
(2)证明 ＝＝，
∴T ＝＋＋＋…＋
n
＝
＝＜＝.
二、先放缩再求和
例2 设数列{a }的前n项和为S .已知a ＝1，＝a －n2－n－，n∈N*.
n n 1 n＋1
(1)求a 的值；
2
(2)求数列{a }的通项公式；
n
(3)证明：对一切正整数n，有＋＋…＋＜.
(1)解 依题意，2S ＝a －－1－，
1 2
又S ＝a ＝1，所以a ＝4.
1 1 2
(2)解 由题意2S ＝na －n3－n2－n，
n n＋1
当n≥2时，2S ＝(n－1)a －(n－1)3－(n－1)2－(n－1)，
n－1 n
两式相减得2a ＝na －(n－1)a －
n n＋1 n
(3n2－3n＋1)－(2n－1)－，
整理得(n＋1)a ＝na －n(n＋1)，
n n＋1
即－＝1.又－＝1，
故数列是首项为＝1，公差为1的等差数列，
所以＝1＋(n－1)×1＝n，所以a ＝n2.
n
故数列{a }的通项公式为a ＝n2.
n n
(3)证明 当n＝1时，＝1＜；
当n＝2时，＋＝1＋＝＜；
当n≥3时，＝＜＝－，
此时＋＋…＋
＝1＋＋＋＋…＋
＜1＋＋＋
＋…＋
＝1＋＋－＝－＜.
综上，对一切正整数n，有＋＋…＋＜.
1.数列{a }的通项公式是a ＝(－1)n(2n－1)，则该数列的前100项之和为( )
n n
A.－200 B.－100 C.200 D.100
答案 D
解析 S ＝(－1＋3)＋(－5＋7)＋…＋(－197＋199)＝2×50＝100.
100
2.(2021·东营调考)已知数列{a }满足a －a ＝2，a ＝－5，则|a |＋|a |＋…＋|a |
n n＋1 n 1 1 2 6
＝( )
A.9 B.15 C.18 D.30
答案 C
解析 由题意知{a }是以2为公差的等差数列，又a ＝－5，所以|a |＋|a |＋…＋|
n 1 1 2
a |＝|－5|＋|－3|＋|－1|＋1＋3＋5＝5＋3＋1＋1＋3＋5＝18.
6
3.我国古代数学名著《算法统宗》中说： “九百九十六斤棉，赠分八子做盘缠.次
第每人多十七，要将第八数来言.务要分明依次第，孝和休惹外人传.”意为：
“996斤棉花，分别赠送给8个子女做旅费，从第1个孩子开始，以后每人依次多
17斤，直到第8个孩子为止.分配时一定要按照次序分，要顺从父母，兄弟间和气
不要引得外人说闲话.”在这个问题中，第8个孩子分到的棉花为( )
A.184斤 B.176斤
C.65斤 D.60斤
答案 A
解析 依题意得，八个子女所得棉花斤数依次构成等差数列，设该等差数列为
{a }，公差为d，前n项和为S ，第一个孩子所得棉花斤数为a ，则由题意得，d＝
n n 1
17，S ＝8a ＋×17＝996，解得a ＝65，∴a ＝a ＋(8－1)d＝184.
8 1 1 8 1
4.在数列{a }中，若a ＝1，a ＝3，a ＝a －a (n∈N*)，则该数列的前100项之
n 1 2 n＋2 n＋1 n
和是( )
A.18 B.8 C.5 D.2
答案 C
解析 由a ＝a －a ＝(a －a )－a
n＋2 n＋1 n n n－1 n
＝－a ＝－(a －a )＝－(a －a )＋a ＝a ，
n－1 n－2 n－3 n－3 n－4 n－3 n－4
得{a }是周期为6的周期函数，
n又a ＝a －a ＝3－1＝2，a ＝2－3＝－1，a ＝－1－2＝－3，a ＝－3＋1＝－2，
3 2 1 4 5 6
∵100＝16×6＋4，
∴S ＝16×(1＋3＋2－1－3－2)＋(1＋3＋2－1)＝5.
100
5.(2022·大连模拟)已知幂函数y＝f(x)过点(4，2)，令a ＝f(n＋1)＋f(n)，n∈N*，记
n
数列的前n项和为S ，则S ＝10时，n的值是( )
n n
A.10 B.120 C.130 D.140
答案 B
解析 设f(x)＝xα，且f(x)过点(4，2)，
∴4α＝2，∴α＝，则f(x)＝.
∴a ＝＋，从而＝－，
n
故S ＝－1＋－＋…＋－＝－1，
n
从而－1＝10，∴n＝120.
6.(多选)(2021·济南调研)已知数列{a }：，＋，＋＋，…，＋＋＋…＋，…，若b ＝，
n n
设数列{b }的前n项和S ，则( )
n n
A.a ＝ B.a ＝n
n n
C.S ＝ D.S ＝
n n
答案 AC
解析 由题意得a ＝＋＋…＋＝＝，
n
∴b ＝＝＝4，
n
∴数列{b }的前n项和
n
S ＝b ＋b ＋b ＋…＋b ＝
n 1 2 3 n
4
＝4＝.故选AC.
7.(2021·合肥质检)已知数列{a }的首项为－1，a a ＝－2n，则数列{a }的前10项
n n n＋1 n
之和等于________.
答案 31
解析 因为a a ＝－2n，所以a a ＝－2n＋1，因此＝2，
n n＋1 n＋1 n＋2
所以{a }的奇数项和偶数项均为公比为2的等比数列，
n
又a ＝－1，a ＝＝2，
1 2
∴S ＝(a ＋a ＋…＋a )＋(a ＋a ＋…＋a )
10 1 3 9 2 4 10
＝＋＝－31＋2×31＝31.
8.(2021·石家庄模拟)已知数列{a }满足a ＝1，且a ＋a ＝n－1 009(n∈N*)，则
n 1 n＋1 n其前2 021项之和S ＝________.
2 021
答案 2 021
解析 S ＝a ＋(a ＋a )＋(a ＋a )＋…＋(a ＋a )，
2 021 1 2 3 4 5 2 020 2 021
又a ＋a ＝n－1 009(n∈N*), 且a ＝1，
n＋1 n 1
∴S ＝1＋(2－1 009)＋(4－1 009)＋…＋(2 020－1 009)
2 021
＝1＋(2＋4＋6＋…＋2 020)－1 009×1 010
＝1＋×1 010－1 009×1 010＝2 021.
9.已知数列{na }的前n项和为S ，且a ＝2n，且使得S －na ＋50<0的最小正整
n n n n n＋1
数n的值为________.
答案 5
解析 S ＝1×21＋2×22＋…＋n×2n，
n
则2S ＝1×22＋2×23＋…＋n×2n＋1，两式相减得
n
－S ＝2＋22＋…＋2n－n·2n＋1＝－n·2n＋1，
n
故S ＝2＋(n－1)·2n＋1.
n
又a ＝2n，
n
∴S －na ＋50＝2＋(n－1)·2n＋1－n·2n＋1＋50＝52－2n＋1，
n n＋1
依题意52－2n＋1<0，故最小正整数n的值为5.
10.(2022·临沂模拟)在①＝，②a a ＝2S ，③a＋a ＝2S 这三个条件中任选一个，
n＋1 n n n n
补充在下面的问题中，并解答该问题.
已知正项数列{a }的前n项和为S ，a ＝1，满足________.
n n 1
(1)求a ；
n
(2)若b ＝(a ＋1)·2a ，求数列{b }的前n项和T .
n n n n n
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
解 (1)若选①，即2S ＝na ，
n n＋1
当n≥2时，2S ＝(n－1)a ，
n－1 n
两式作差得2a ＝na －(n－1)a ，
n n＋1 n
即(n＋1)a ＝na ，
n n＋1
∴＝，∴a ＝××…×××a ＝n，
n 1
当n＝1时也成立，∴a ＝n.
n
若选②，即2S ＝a a ，
n n＋1 n
当n≥2时，2S ＝a a ，
n－1 n n－1
两式作差得2a ＝a a －a a ，
n n n＋1 n n－1由a ＞0，得a －a ＝2.
n n＋1 n－1
当n＝1时，2S ＝a a ，得a ＝2.
1 2 1 2
又∵a ＝1，a ＝2，∴{a }是公差为2，首项为2的等差数列，
1 2 2n
{a }是公差为2，首项为1的等差数列，故a ＝n.
2n－1 n
若选③，即a＋a ＝2S ，当n≥2时，a＋a ＝2S ，
n n n－1 n－1
两式相减得a＋a －a－a ＝2a ，
n n－1 n
即(a ＋a )(a －a －1)＝0，
n n－1 n n－1
由a ＞0，得a －a －1＝0，
n n n－1
即a －a ＝1，
n n－1
∴{a }是首项为1，公差为1的等差数列.
n
故a ＝n.
n
(2)b ＝(n＋1)·2n，
n
T ＝2×2＋3×22＋4×23＋…＋(n＋1)·2n，
n
2T ＝2×22＋3×23＋…＋
n
n×2n＋(n＋1)·2n＋1，
两式相减，得－T ＝4＋22＋23＋…＋2n－(n＋1)·2n＋1＝4＋－(n＋1)·2n＋1
n
＝4－4＋2n＋1－(n＋1)·2n＋1＝－n·2n＋1，
故T ＝n·2n＋1.
n
11.(2021·厦门一模)在①＝＋1，②是2n＋1与a 的等比中项，③4S ＝(1＋a )2(a
n n n n
＞0)这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答.
问题：已知数列{a }的前n项和为S ，a ＝1，且满足________.若b ＝，求使不等式
n n 1 n
b ＋b ＋…＋b ＞成立的最小正整数n.
1 2 n
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
解 选①.因为＝＋1，a ＝1，
1
所以{}是首项为1，公差为1的等差数列，
则＝1＋(n－1)×1＝n，从而S ＝n2.
n
当n＞1时，a ＝S －S ＝n2－(n－1)2＝2n－1，
n n n－1
经检验，当n＝1时，a ＝1也符合上式，所以a ＝2n－1.
1 n
因为b ＝＝
n
＝，
所以b ＋b ＋…＋b
1 2 n
＝
＝＝.由＞，解得n＞9，
所以使原不等式成立的最小正整数为10.
选②.因为是2n＋1与a 的等比中项，
n
所以4S －1＝(2n＋1)a .
n n
当n＞1时，
两式相减得
4a ＝(2n＋1)a －(2n－1)a ，
n n n－1
整理得＝，
所以a ＝···…···a ＝2n－1(n≥2)，
n 1
经检验，a ＝1也符合上式，
1
所以a ＝2n－1.
n
以下同选①.
选③.由题设可得
两式相减得
4a ＝(1＋a )2－(1＋a )2(n≥2)，
n n n－1
进一步整理得(a ＋a )(a －a －2)＝0.
n n－1 n n－1
因为a ＞0，所以a －a ＝2(n≥2)，所以{a }是首项为1，公差为2的等差数列，
n n n－1 n
所以a ＝1＋2(n－1)＝2n－1.
n
以下同选①.
12.(多选)(2022·济南调研)设首项为1的数列{a }的前n项和为S ，若S ＝2S ＋
n n n＋1 n
n－1(n∈N*)，则下列结论正确的是( )
A.数列{S ＋n}为等比数列
n
B.数列{a }的通项公式为a ＝2n－1－1
n n
C.数列{a ＋1}为等比数列
n
D.数列{2S }的前n项和为2n＋2－n2－n－4
n
答案 AD
解析 对于A，因为S ＝2S ＋n－1，则＝＝2，又S ＋1＝2，所以数列{S ＋n}是
n＋1 n 1 n
首项为2，公比为2的等比数列，故A正确；
对于B，由选项A可得S ＋n＝(S ＋1)×2n－1＝2n，则S ＝2n－n，当n≥2时，a ＝S
n 1 n n n
－S ＝(2n－n)－[2n－1－(n－1)]＝2n－2n－1－1＝2n－1－1，当n＝1时不符合，故B
n－1
错误；对于C，由选项B可知，
a ＝则a ＋1＝所以数列{a ＋1}不是等比数列，故C错误；
n n n
对于D，因为S ＝2n－n，所以2S ＝2n＋1－2n，所以数列{2S }的前n项和为(22－2)
n n n
＋(23－4)＋(24－6)＋…＋(2n＋1－2n)＝(22＋23＋24＋…＋2n＋1)－(2＋4＋6＋…＋
2n)＝－＝2n＋2－n2－n－4，故D正确.故选AD.
13.(2021·新高考Ⅰ卷)某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸
的某条对称轴把纸对折.规格为20 dm×12 dm的长方形纸，对折1次共可以得到
10 dm×12 dm，20 dm×6 dm两种规格的图形，它们的面积之和S ＝240 dm2，对
1
折2次共可以得到5 dm×12 dm，10 dm×6 dm，20 dm×3 dm三种规格的图形，
它们的面积之和S ＝180 dm2，以此类推，则对折4次共可以得到不同规格图形的
2
种数为________；如果对折n次，那么∑S ＝________ dm2.
k
答案 5 240×
解析 依题意得，S ＝120×2＝240(dm2)；S ＝60×3＝180(dm2)；
1 2
当n＝3时，共可以得到5 dm×6 dm， dm×12 dm，
10 dm×3 dm，20 dm× dm四种规格的图形，且5×6＝30，×12＝30，10×3＝30，
20×＝30，
所以S ＝30×4＝120(dm2)；
3
当n＝4时，共可以得到5 dm×3 dm， dm×6 dm，
dm×12 dm，10 dm× dm，20 dm× dm五种规格的图形，所以对折4次共可以得
到不同规格图形的种数为5，且5×3＝15，×6＝15，×12＝15，10×＝15，20×＝
15，所以S ＝15×5＝75(dm2)；
4
……
所以可归纳S ＝·(k＋1)＝(dm2).
k
所以∑S ＝
k
240，①
所以×∑S
k
＝240×，②
由①－②得，·∑S
k
＝240
＝240
＝240，
所以∑S ＝240 dm2.
k
14.(2020·天津卷)已知为等差数列，为等比数列，a ＝b ＝1，a ＝5(a －a )，b ＝4(b
1 1 5 4 3 5 4－b ).
3
(1)求和的通项公式；
(2)记的前n项和为S ，求证：S S ＜S(n∈N*)；
n n n＋2
(3)对任意的正整数n，设c ＝
n
求数列{c }的前2n项和.
n
(1)解 设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q.由a ＝1，a ＝5(a －a )，可得
1 5 4 3
d＝1，从而的通项公式为a ＝n.
n
由b ＝1，b ＝4(b －b )，又q≠0，可得q2－4q＋4＝0，解得q＝2，从而 的通项公
1 5 4 3
式为b ＝2n－1.
n
(2)证明 由(1)可得S ＝，
n
故S S ＝n(n＋1)(n＋2)(n＋3)，
n n＋2
S＝(n＋1)2(n＋2)2，
从而S S －S＝－(n＋1)(n＋2)＜0，
n n＋2
所以S S ＜S.
n n＋2
(3)解 当n为奇数时，c ＝＝＝－；
n
当n为偶数时，c ＝＝.
n
对任意的正整数n，有∑c ＝
2k－1
∑ ＝－1，
和∑c ＝∑ ＝＋＋＋…＋.①
2k
由①得∑c ＝＋＋…＋＋.②
2k
①－②得∑c ＝＋＋…＋－
2k
＝－－，
从而得∑c ＝－.
2k
因此，∑c ＝∑c ＋∑c ＝－－.
k 2k－1 2k
所以，数列{c }的前2n项和为
n
－－.
