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4.3.1等比数列的概念 (2) -A基础练
一、选择题
1．（2021·天津和平区·耀华中学高二期末）已知等比数列 中， ， ，则公比q=
（ ）
A． B． C． D．2
【答案】B
【详解】 ，即 ，解得 .故选：B.
2．（2021·河南信阳市高二期末）“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法
计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，
依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于
.若第一个单音的频率为 ，则第六个单音的频率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由题意知，十三个单音的频率构成等比数列 ，公比为 ， 第六个单音的频率
.故选：B.
3．（2021·南昌市新建区二中高二期末）若数列 是公比为4的等比数列，且 ，则数列
是（ ）
A．公差为2的等差数列 B．公差为 的等差数列
C．公比为2的等比数列 D．公比为 的等比数列
【答案】A【详解】因为数列 是公比为4的等比数列，且 ，
所以 ，， ，
所以数列 是公差为2的等差数列，故选A.
4．（2021·安徽宣城市高二期末）在等比数列 中， ， ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解： ．∵在等比数列 中， ，
所以 ．故选：B．
5．（多选题）（2021·江苏连云港市高二期末）据美国学者詹姆斯·马丁的测算，近十年，人类知识
总量已达到每三年翻一番，到2020年甚至要达到每73天翻一番的空前速度．因此，基础教育的任
务已不是教会一切人一切知识，而是让一切人学会学习．已知2000年底，人类知识总量为 ，假
如从2000年底到2009年底是每三年翻一番，从2009年底到2019年底是每一年翻一番，2020年
（按365天计算）是每73天翻一番，则下列说法正确的是（ ）．
A．2006年底人类知识总量是 B．2009年底人类知识总量是
C．2019年底人类知识总量是 D．2020年底人类知识总量是
【答案】BCD
【详解】2000年到2006年每三年翻一番，则总共翻了 番.
2000年底，人类知识总量为a，则2006年底，人类知识总量为 ，故A错.2000年到2009年每三年翻一番，则总共翻了 番.
则2009年底，人类知识总量为 ，故B正确，
2009年到2009年每一年翻一番，则总共翻了 番
则2019年底，人类知识总量为 ，故C正确.
2020年是每73天翻一番，则总共翻了 番，
则2020年底，人类知识总量为 ，故D正确.故选：BCD.
6．（多选题）（2021·江苏宿迁高二期末）设 是公比为 的等比数列，下列四个选项中是正确
的命题有（ ）
A． 是公比为 的等比数列 B． 是公比为 的等比数列
C． 是公比为 的等比数列 D． 是公比为 的等比数列
【答案】AB
【详解】由于数列 是公比为 的等比数列，则对任意的 ， ，且公比为
.
对于A选项， ，即数列 是公比为 的等比数列，A选项正确；
对于B选项， ，即数列 是公比为 的等比数列，B选项正确；对于C选项，，即数列 是公比为 的等比数列，C选项错误；对于D选项，
，即数列 是公比为 的等比数列，D选项错误.故选：AB.
二、填空题
7．（2021·安徽池州市高期二末）已知数列 是等比数列， ， ，且 ，
则数列 的公比 ___________ .
【答案】2
【详解】数列 是等比数列，则 ，所以 ，
而 ， ，所以公比 .
8．（2021·北京昌平区昌平一中高二期末）有一改形塔几何体由若干个正方体构成，构成方式如图
所示，上层正方体下底面的四个顶点是下层正方体上底面各边的中点.已知最底层正方体的棱长为
8，如果改形塔的最上层正方体的边长等于1，那么该塔形中正方体的个数是___________ .
【答案】7
【详解】设从最底层开始的第 层的正方体棱长为 ，
则 为以8为首项，以 为公比的等比数列，所以其通项公式为 ，
令 可得， .
9．（2021·天津和平区·耀华中学高二期末）在等比数列 中， ， ，则
值为__________．
【答案】6
【详解】因为 是等比数列， ，
所以 ．
10．（2021·陕西咸阳市高二期末）已知数列 满足 ， .设
， ，且数列 是递增数列，则实数 的取值范围是________.
【答案】
【详解】由 可得，数列 是首项和公比均为 的等比数列，所以 ，
则 ，又因为 是递增数列，所以
恒成立，即 恒成立，
所以 ，所以 .
三、解答题11．（2021·安徽肥东高二期末）已知数列 的前n项和 ．
（1）证明： 是等比数列．
（2）求数列 的前n项和．
【详解】（1）当 时．， ，
又 ，
所以 的通项公式为 ．
因为 ，所以 是首项为9，公比为3的等比数列．
（2）因为 ，
所以 ，
所以数列 的前n项和：
.
12．（2021·上海市建平中学高二期末）诺贝尔奖每年发放一次，把奖金总金额平均分成6份，奖
励在6项(物理、化学、文学、经济学、生理学和医学、和平)为人类做出最有贡献人．每年发放奖
金的总金额是基金在该年度所获利息的一半，另一半利息用于增加基金总额，以便保证奖金数逐年
递增．资料显示：1998年诺贝尔奖发奖后的基金总额(即1999年的初始基金总额)已达19516万美元，
基金平均年利率为 ．
（1）求1999年每项诺贝尔奖发放奖金为多少万美元(精确到0.01)；
（2）设 表示 年诺贝尔奖发奖后的基金总额，其中 ，求数列 的通项公式，
并因此判断“2020年每项诺贝尔奖发放奖金将高达193.46万美元”的推测是否具有可信度．
【详解】（1）由题意得1999年诺贝尔奖发奖后基金总额为
万美元，
每项诺贝尔奖发放奖金为 万美元；
（2）由题意得 ，
，
…
所以 ，
年诺贝尔奖发奖后基本总额为 ，
年每项诺贝尔奖发放奖金为 万美元，
故该推测具有可信度．
