文档内容
专题 18 圆锥曲线
（椭圆、双曲线、抛物线）小题综合
考点 十年考情（2015-2024） 命题趋势
考点1 椭圆方程及 2023·全国甲卷、2023·全国甲卷、2022·全国新Ⅰ卷
其性质 2021·全国新Ⅰ卷、2020·山东卷、2019·全国卷、2019·全国卷
（10年6考） 2015·山东卷、2015·全国卷、2015·广东卷、2015·全国卷
2024·天津卷、2023·全国甲卷、2023·全国乙卷、2023·天津卷
2023·北京卷、2022·全国甲卷、2022·全国甲卷、2022·北京卷
2022·天津卷、2021·北京卷、2021·全国乙卷、2021·全国乙卷
1. 熟练掌握椭圆、
2021·全国新Ⅱ卷、2020·北京卷、2021·全国甲卷、2020·天津
双曲线、抛物线的方
卷
程及其性质应用，是
2020·浙江卷、2019·全国卷、2019·江苏卷、2018·北京卷
高考高频考点
考点2 双曲线方程
2018·全国卷、2018·浙江卷、2018·全国卷、2018·全国卷
2. 熟练掌握椭圆和
及其性质
2018·天津卷、2017·天津卷、2017·天津卷、2017·全国卷
双曲线的离心率的求
（10年10考）
2017·上海卷、2017·山东卷、2017·全国卷、2017·江苏卷 解及应用，同样是高
2016·江苏卷、2016·北京卷、2016·浙江卷、2016·北京卷 考热点命题方向
2016·天津卷、2016·全国卷、2016·天津卷、2015·广东卷 3. 熟练掌握直线与
2015·重庆卷、2015·天津卷、2015·安徽卷、2015·福建卷 圆锥曲线的位置关
2015·江苏卷、2015·浙江卷、2015·全国卷、2015·上海卷 系，并会求解最值及
2015·上海卷、2015·全国卷、2015·北京卷 范围，该内容也是命
题热点
2024·全国新Ⅱ卷、2024·北京卷、2024·上海卷、2024·天津卷
4. 掌握曲线方程及
2023·全国乙卷、2023·北京卷、2023·全国新Ⅱ卷
轨迹方程
2022·全国新Ⅱ卷、2022·全国新Ⅰ卷、2022·全国乙卷
考点3 抛物线方程
2021·全国新Ⅱ卷、2021·北京卷、2021·全国卷、2020·北京卷
及其性质
2020·全国卷、2019·全国卷、2019·北京卷、2018·北京卷
（10年10考）
2018·全国卷、2017·全国卷、2017·天津卷、2017·全国卷
2016·浙江卷、2016·天津卷、2016·全国卷、2016·四川卷
2015·浙江卷、2015·全国卷、2015·陕西卷、2015·上海卷2015·陕西卷
2023·全国新Ⅰ卷、2022·全国甲卷、2022·全国甲卷
考点4 椭圆的离心 2021·全国乙卷、2021·浙江卷、2019·北京卷、2018·北京卷
率及其应用 2018·全国卷、2018·全国卷、2018·全国卷、2017·浙江卷
（10年8考） 2017·全国卷、2016·浙江卷、2016·全国卷、2016·全国卷
2016·江苏卷、2015·福建卷、2015·浙江卷
2024·全国甲卷、2024·全国新Ⅰ卷、2023·全国新Ⅰ卷
2023·北京卷、2022·全国乙卷、2022·全国甲卷、2022·浙江卷
2021·全国甲卷、2021·天津卷、2021·北京卷
2021·全国新Ⅱ卷、2020·山东卷、2020·江苏卷、2020·全国卷
考点5 双曲线的离 2020·全国卷、2019·北京卷、2019·天津卷、2019·全国卷
心率及其应用 2019·全国卷、2019·全国卷、2018·江苏卷、2018·北京卷
（10年10考） 2018·北京卷、2018·全国卷、2018·天津卷、2017·天津卷
2017·全国卷、2017·全国卷、2017·全国卷、2017·北京卷
2016·山东卷、2016·浙江卷、2016·全国卷、2015·广东卷
2015·湖南卷、2015·湖北卷、2015·全国卷、2015·山东卷
2015·山东卷、2015·山东卷、2015·湖南卷
2024·北京卷、2023·天津卷、2023·全国新Ⅱ卷
考点6 直线与圆锥
2022·全国新Ⅱ卷、2021·全国甲卷、2021·全国乙卷
曲线的位置关系及
2020·全国卷、2020·全国卷、2020·全国卷、2020·全国卷
其应用
2020·山东卷、2019·浙江卷、2019·全国卷、2018·全国卷
（10年10考）
2018·全国卷、2017·全国卷、2016·四川卷、2015·全国卷
考点7 曲线方程及 2024·全国新Ⅰ卷、2024·全国新Ⅱ卷、2021·浙江卷
曲线轨迹 2020·全国新Ⅰ卷、2020·全国卷、2019·北京卷
（10年6考） 2016·四川卷、2015·山东卷、2015·浙江卷
2021·全国乙卷、2021·全国乙卷、2021·全国新Ⅰ卷
考点8 圆锥曲线中
2020·全国卷、2018·浙江卷、2017·全国卷、2017·全国卷
的最值及范围问题
2017·全国卷、2016·四川卷、2016·全国卷、2016·浙江卷
（10年6考）
2015·上海卷、2015·全国卷、2015·江苏卷
考点01 椭圆方程及其性质1．（2023·全国甲卷·高考真题）设 为椭圆 的两个焦点，点 在 上，若 ，
则 （ ）
A．1 B．2 C．4 D．5
2．（2023·全国甲卷·高考真题）设O为坐标原点， 为椭圆 的两个焦点，点 P在C上，
，则 （ ）
A． B． C． D．
3．（2022·全国新Ⅰ卷·高考真题）已知椭圆 ，C的上顶点为A，两个焦点为 ， ，
离心率为 ．过 且垂直于 的直线与C交于D，E两点， ，则 的周长是
．
4．（2021·全国新Ⅰ卷·高考真题）已知 ， 是椭圆 ： 的两个焦点，点 在 上，则
的最大值为（ ）
A．13 B．12 C．9 D．6
5．（2020·山东·高考真题）已知椭圆的长轴长为10，焦距为8，则该椭圆的短轴长等于（ ）
A．3 B．6 C．8 D．12
6．（2019·全国·高考真题）已知椭圆C的焦点为 ，过F 的直线与C交于A，B两点.若
2
， ，则C的方程为
A． B． C． D．
7．（2019·全国·高考真题）设 为椭圆 的两个焦点， 为 上一点且在第一象限.若
为等腰三角形，则 的坐标为 .
8．（2015·山东·高考真题）已知椭圆的中心在坐标原点，右焦点与圆 的圆心重合，长
轴长等于圆的直径，那么短轴长等于 ．
9．（2015·全国·高考真题）已知椭圆E的中心为坐标原点，离心率为 ，E的右焦点与抛物线 的
焦点重合， 是C的准线与E的两个交点，则
A． B． C． D．10．（2015·广东·高考真题）已知椭圆 （ ）的左焦点为 ，则
A． B． C． D．
11．（2015·全国·高考真题）一个圆经过椭圆 的三个顶点，且圆心在x轴的正半轴上，则该圆的
标准方程为 .
考点02 双曲线方程及其性质
1．（2024·天津·高考真题）双曲线 的左、右焦点分别为 是双曲线右支上一
点，且直线 的斜率为2． 是面积为8的直角三角形，则双曲线的方程为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·全国甲卷·高考真题）已知双曲线 的离心率为 ，C的一条渐近线与
圆 交于A，B两点，则 （ ）
A． B． C． D．
3．（2023·全国乙卷·高考真题）设A，B为双曲线 上两点，下列四个点中，可为线段AB中点的是
（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·天津·高考真题）已知双曲线 的左、右焦点分别为 ．过 向一条渐
近线作垂线，垂足为 ．若 ，直线 的斜率为 ，则双曲线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
5．（2022·天津·高考真题）已知抛物线 分别是双曲线 的左、右焦点，
抛物线的准线过双曲线的左焦点 ，与双曲线的渐近线交于点A，若 ，则双曲线的标准方程为
（ ）A． B．
C． D．
6．（2021·北京·高考真题）若双曲线 离心率为 ，过点 ，则该双曲线的方程为
（ ）
A． B． C． D．
7．（2021·全国甲卷·高考真题）点 到双曲线 的一条渐近线的距离为（ ）
A． B． C． D．
8．（2020·天津·高考真题）设双曲线 的方程为 ，过抛物线 的焦点和点
的直线为 ．若 的一条渐近线与 平行，另一条渐近线与 垂直，则双曲线 的方程为（ ）
A． B． C． D．
9．（2020·浙江·高考真题）已知点O（0，0），A（–2，0），B（2，0）．设点P满足|PA|–|PB|=2，且P
为函数y= 图像上的点，则|OP|=（ ）
A． B． C． D．
10．（2019·全国·高考真题）双曲线C： =1的右焦点为F，点P在C的一条渐近线上，O为坐标原
点，若 ，则△PFO的面积为
A． B． C． D．
11．（2018·全国·高考真题）已知双曲线 的离心率为 ，则点 到 的渐近
线的距离为
A． B． C． D．
12．（2018·浙江·高考真题）双曲线 的焦点坐标是
A． ， B． ，C． ， D． ，
13．（2018·全国·高考真题）双曲线 的离心率为 ，则其渐近线方程为
A． B． C． D．
14．（2018·全国·高考真题）已知双曲线C： ，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与
C的两条渐近线的交点分别为M、N.若 OMN为直角三角形，则|MN|=
A． B．3 C． D．4
15．（2018·天津·高考真题）已知双曲线 的离心率为2，过右焦点且垂直于 轴的直线
与双曲线交于 两点.设 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为 和 ，且 则双曲线的
方程为
A． B．
C． D．
16．（2017·天津·高考真题）【陕西省西安市长安区第一中学上学期期末考】已知双曲线
的左焦点为 ，点 在双曲线的渐近线上， 是边长为2的等边三角形（ 为原
点），则双曲线的方程为（ ）
A． B． C． D．
17．（2017·天津·高考真题）已知双曲线 的左焦点为 ，离心率为 .若经过 和
两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为
A． B． C． D．
18．（2017·全国·高考真题）已知F是双曲线C： 的右焦点，P是C上一点，且PF与x轴垂直，
点A的坐标是(1，3)，则 的面积为
A． B．
C． D．19．（2016·天津·高考真题）已知双曲线 （b>0），以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长
的圆与双曲线的两条渐近线相交于A，B，C，D四点，四边形ABCD的面积为2b，则双曲线的方程为
A．
B．
C．
D．
20．（2016·全国·高考真题）已知方程 表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，
则n的取值范围是
A．(–1,3) B．(–1, ) C．(0,3) D．(0, )
21．（2016·天津·高考真题）已知双曲线 的焦距为 ，且双曲线的一条渐近线
与直线 垂直，则双曲线的方程为
A．
B．
C．
D．
22．（2015·广东·高考真题）已知双曲线C： ﹣ =1的离心率e= ，且其右焦点为F （5，0），则双曲
2
线C的方程为
A． ﹣ =1 B． ﹣ =1 C． ﹣ =1 D． ﹣ =1
23．（2015·重庆·高考真题）设双曲线 的右焦点是F，左、右顶点分别是 ,过F作
的垂线与双曲线交于B，C两点，若 ,则双曲线的渐近线的斜率为A． B． C． D．
24．（2015·天津·高考真题）已知双曲线 的一个焦点为 ,且双曲线的渐近线与
圆 相切,则双曲线的方程为
A． B． C． D．
25．（2015·安徽·高考真题）下列双曲线中，渐近线方程为 的是
A． B．
C． D．
26．（2015·福建·高考真题）若双曲线 的左、右焦点分别为 ，点 在双曲线 上，且
，则 等于
A．11 B．9 C．5 D．3
二、填空题
27．（2023·北京·高考真题）已知双曲线C的焦点为 和 ，离心率为 ，则C的方程为
．
28．（2022·全国甲卷·高考真题）记双曲线 的离心率为e，写出满足条件“直线
与C无公共点”的e的一个值 ．
29．（2022·全国甲卷·高考真题）若双曲线 的渐近线与圆 相切，则
．
30．（2022·北京·高考真题）已知双曲线 的渐近线方程为 ，则 ．
31．（2021·全国乙卷·高考真题）已知双曲线 的一条渐近线为 ，则C的焦
距为 ．
32．（2021·全国乙卷·高考真题）双曲线 的右焦点到直线 的距离为 ．
33．（2021·全国新Ⅱ卷·高考真题）若双曲线 的离心率为2，则此双曲线的渐近线方程
.34．（2020·北京·高考真题）已知双曲线 ，则C的右焦点的坐标为 ；C的焦点到其
渐近线的距离是 ．
35．（2019·江苏·高考真题）在平面直角坐标系 中，若双曲线 经过点（3，4)，则该双
曲线的渐近线方程是 .
36．（2018·北京·高考真题）若双曲线 的离心率为 ，则a= .
37．（2017·上海·高考真题）设双曲线 的焦点为 、 ， 为该双曲线上的一点，若
，则
38．（2017·山东·高考真题）在平面直角坐标系 中，双曲线 的右支与焦点为
的抛物线 交于 两点，若 ，则该双曲线的渐近线方程为 .
39．（2017·全国·高考真题）双曲线 的一条渐近线方程为 ，则 ．
40．（2017·江苏·高考真题）在平面直角坐标系xOy中，双曲线 的右准线与它的两条渐近线分
别交于点P，Q，其焦点是F ，F ，则四边形F P F Q的面积是 ．
1 2 1 2
41．（2016·江苏·高考真题）在平面直角坐标系 中，双曲线 的焦距是 .
42．（2016·北京·高考真题）双曲线 ( ， )的渐近线为正方形OABC的边OA，OC所在的
直线，点B为该双曲线的焦点.若正方形OABC的边长为2，则a= .
43．（2016·浙江·高考真题）设双曲线x2– =1的左、右焦点分别为F ，F ．若点P在双曲线上，且△F PF
1 2 1 2
为锐角三角形，则|PF |+|PF |的取值范围是 ．
1 2
44．（2016·北京·高考真题）已知双曲线 的一条渐近线为 ，一个焦点为 ，
则 ； ．
45．（2015·江苏·高考真题）在平面直角坐标系 中， 为双曲线 右支上的一个动点．若点
到直线 的距离大于c恒成立，则实数c的最大值为
46．（2015·浙江·高考真题）双曲线 的焦距是 ，渐近线方程是 ．47．（2015·全国·高考真题）已知 是双曲线 的右焦点，P是C左支上一点， ，当
周长最小时，该三角形的面积为 ．
48．（2015·上海·高考真题）已知双曲线 、 的顶点重合， 的方程为 ，若 的一条渐
近线的斜率是 的一条渐近线的斜率的2倍，则 的方程为 .
49．（2015·上海·高考真题）已知点 和 的横坐标相同， 的纵坐标是 的纵坐标的 倍， 和 的轨迹
分别为双曲线 和 ．若 的渐近线方程为 ，则 的渐近线方程为 ．
50．（2015·全国·高考真题）已知双曲线过点 ，且渐近线方程为 ，则该双曲线的标准方程
为 .
51．（2015·北京·高考真题）已知 是双曲线 （ ）的一个焦点，则 ．
考点03 抛物线方程及其性质
1．（2023·北京·高考真题）已知抛物线 的焦点为 ，点 在 上．若 到直线 的距离为
5，则 （ ）
A．7 B．6 C．5 D．4
2．（2022·全国乙卷·高考真题）设F为抛物线 的焦点，点A在C上，点 ，若 ，
则 （ ）
A．2 B． C．3 D．
3．（2021·全国新Ⅱ卷·高考真题）抛物线 的焦点到直线 的距离为 ，则 （ ）
A．1 B．2 C． D．4
4．（2020·北京·高考真题）设抛物线的顶点为 ，焦点为 ，准线为 ． 是抛物线上异于 的一点，过
作 于 ，则线段 的垂直平分线（ ）．
A．经过点 B．经过点
C．平行于直线 D．垂直于直线
5．（2020·全国·高考真题）已知A为抛物线C:y2=2px（p>0）上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴
的距离为9，则p=（ ）
A．2 B．3 C．6 D．9
6．（2019·全国·高考真题）若抛物线y2=2px（p>0）的焦点是椭圆 的一个焦点，则p=
A．2 B．3C．4 D．8
7．（2017·全国·高考真题）已知F为抛物线C：y2=4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l ，l ，直线l
1 2 1
与C交于A、B两点，直线l 与C交于D、E两点，则|AB|+|DE|的最小值为
2
A．16 B．14 C．12 D．10
8．（2016·全国·高考真题）设 为抛物线 的焦点，曲线 与 交于点 ， 轴，
则
A． B． C． D．
9．（2016·四川·高考真题）抛物线y2=4x的焦点坐标是
A．（0,2） B．（0,1） C．（2,0） D．（1,0）
10．（2015·浙江·高考真题）如图，设抛物线 的焦点为 ，不经过焦点的直线上有三个不同的点
， ， ，其中点 ， 在抛物线上，点 在 轴上，则 与 的面积之比是
A． B． C． D．
11．（2015·全国·高考真题）已知椭圆E的中心为坐标原点，离心率为 ，E的右焦点与抛物线
的焦点
重合， 是C的准线与E的两个交点，则
A． B． C． D．
12．（2015·陕西·高考真题）已知抛物线 的准线经过点 ，则抛物线焦点坐标为
A． B． C． D．
二、多选题
13．（2024·全国新Ⅱ卷·高考真题）抛物线C： 的准线为l，P为C上的动点，过P作
的一条切线，Q为切点，过P作l的垂线，垂足为B，则（ ）
A．l与 相切B．当P，A，B三点共线时，
C．当 时，
D．满足 的点 有且仅有2个
14．（2023·全国新Ⅱ卷·高考真题）设O为坐标原点，直线 过抛物线 的焦
点，且与C交于M，N两点，l为C的准线，则（ ）．
A． B．
C．以MN为直径的圆与l相切 D． 为等腰三角形
15．（2022·全国新Ⅱ卷·高考真题）已知O为坐标原点，过抛物线 焦点F的直线与C交
于A，B两点，其中A在第一象限，点 ，若 ，则（ ）
A．直线 的斜率为 B．
C． D．
16．（2022·全国新Ⅰ卷·高考真题）已知O为坐标原点，点 在抛物线 上，过点
的直线交C于P，Q两点，则（ ）
A．C的准线为 B．直线AB与C相切
C． D．
三、填空题
17．（2024·北京·高考真题）抛物线 的焦点坐标为 ．
18．（2024·上海·高考真题）已知抛物线 上有一点 到准线的距离为9，那么点 到 轴的距离为
．
19．（2024·天津·高考真题）圆 的圆心与抛物线 的焦点 重合， 为两曲
线的交点，则原点到直线 的距离为 ．
20．（2023·全国乙卷·高考真题）已知点 在抛物线C： 上，则A到C的准线的距离为
.
21．（2021·北京·高考真题）已知抛物线 的焦点为 ，点 在抛物线上， 垂直 轴于点 .若
，则点 的横坐标为 ； 的面积为 ．
22．（2021·全国·高考真题）已知 为坐标原点，抛物线 ： ( )的焦点为 ， 为 上一点，
与 轴垂直， 为 轴上一点，且 ，若 ，则 的准线方程为 .
23．（2019·北京·高考真题）设抛物线y2=4x的焦点为F，准线为l.则以F为圆心，且与l相切的圆的方程为．
24．（2018·北京·高考真题）已知直线l过点（1,0）且垂直于 轴，若l被抛物线 截得的线段长为
4，则抛物线的焦点坐标为 .
考点04 椭圆的离心率及其应用
1．（2023·全国新Ⅰ卷·高考真题）设椭圆 的离心率分别为 ．若
，则 （ ）
A． B． C． D．
2．（2022·全国·甲卷高考真题）已知椭圆 的离心率为 ， 分别为C的左、右
顶点，B为C的上顶点．若 ，则C的方程为（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·全国甲卷·高考真题）椭圆 的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y
轴对称．若直线 的斜率之积为 ，则C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
4．（2021·全国乙卷·高考真题）设 是椭圆 的上顶点，若 上的任意一点 都满足
，则 的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．（2021·浙江·高考真题）已知椭圆 ，焦点 ， ，若过 的直线
和圆 相切，与椭圆在第一象限交于点P，且 轴，则该直线的斜率是 ，
椭圆的离心率是 .
6．（2019·北京·高考真题）已知椭圆 （a＞b＞0）的离心率为 ，则
A．a2=2b2 B．3a2=4b2 C．a=2b D．3a=4b7．（2018·北京·高考真题）已知椭圆 ，双曲线 ．若双曲线N的两条
渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M的离心率为
；双曲线N的离心率为 ．
8．（2018·全国·高考真题）已知 ， 是椭圆 的两个焦点， 是 上的一点，若 ，且
，则 的离心率为
A． B． C． D．
9．（2018·全国·高考真题）已知椭圆 ： 的一个焦点为 ，则 的离心率为
A． B． C． D．
10．（2018·全国·高考真题）已知 ， 是椭圆 的左，右焦点， 是 的左顶点，点
在过 且斜率为 的直线上， 为等腰三角形， ，则 的离心率为
A． B． C． D．
11．（2017·浙江·高考真题）椭圆 的离心率是（ ）
A． B． C． D．
12．（2017·全国·高考真题）已知椭圆C： 的左、右顶点分别为A ，A ，且以线段
1 2
A A 为直径的圆与直线 相切，则C的离心率为
1 2
A． B．
C． D．
13．（2016·浙江·高考真题）已知椭圆C ： +y2=1（m＞1）与双曲线C ： –y2=1（n＞0）的焦点重合，
1 2
e ，e 分别为C ，C 的离心率，则
1 2 1 2
A．m＞n且e e ＞1 B．m＞n且e e ＜1
1 2 1 2
C．m＜n且e e ＞1 D．m＜n且e e ＜1
1 2 1 2
14．（2016·全国·高考真题）已知O为坐标原点，F是椭圆C： 的左焦点，A，B分别为C的左，右顶点.P为C上一点，且PF⊥x轴.过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E.若直
线BM经过OE的中点，则C的离心率为
A． B． C． D．
15．（2016·全国·高考真题）直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l的距离为其短轴长的
，则该椭圆的离心率为 ( )
A． B．
C． D．
16．（2016·江苏·高考真题）如图，在平面直角坐标系 中， 是椭圆 的右焦点，
直线 与椭圆交于 两点，且 ，则该椭圆的离心率是 ．
17．（2015·福建·高考真题）已知椭圆 的右焦点为 ．短轴的一个端点为 ，直线
交椭圆 于 两点．若 ，点 到直线 的距离不小于 ，则椭圆 的离心率
的取值范围是
A． B． C． D．
18．（2015·浙江·高考真题）椭圆 （ ）的右焦点 关于直线 的对称点
在椭圆上，则椭圆的离心率是 ．
考点05 双曲线的离心率及其应用
1．（2024·全国甲卷·高考真题）已知双曲线的两个焦点分别为 ，点 在该双曲线上，则
该双曲线的离心率为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．2．（2022·全国乙卷·高考真题）（多选）双曲线C的两个焦点为 ，以C的实轴为直径的圆记为D，
过 作D的切线与C交于M，N两点，且 ，则C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
3．（2021·全国甲卷·高考真题）已知 是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且
，则C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
4．（2021·天津·高考真题）已知双曲线 的右焦点与抛物线 的焦点重合，
抛物线的准线交双曲线于A，B两点，交双曲线的渐近线于C、D两点，若 ．则双曲线的离心
率为（ ）
A． B． C．2 D．3
5．（2021·北京·高考真题）若双曲线 离心率为 ，过点 ，则该双曲线的方程为
（ ）
A． B． C． D．
6．（2019·北京·高考真题）已知双曲线 （a＞0）的离心率是 则a=
A． B．4 C．2 D．
7．（2019·天津·高考真题）已知抛物线 的焦点为 ，准线为 .若 与双曲线
的两条渐近线分别交于点A和点B，且 （ 为原点），则双曲线的离心率为
A． B． C．2 D．
8．（2019·全国·高考真题）设F为双曲线C： （a>0，b>0）的右焦点，O为坐标原点，以OF为
直径的圆与圆x2+y2=a2交于P、Q两点．若|PQ|=|OF|，则C的离心率为
A． B．
C．2 D．
9．（2019·全国·高考真题）双曲线C: 的 一条渐近线的倾斜角为130°，则C的离心率
为A．2sin40° B．2cos40° C． D．
10．（2018·全国·高考真题）设 , 是双曲线 （ ）的左、右焦点， 是坐标原
点．过 作 的一条渐近线的垂线，垂足为 ．若 ，则 的离心率为
A． B． C． D．
11．（2018·天津·高考真题）已知双曲线 的离心率为2，过右焦点且垂直于 轴的直线
与双曲线交于 两点.设 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为 和 ，且 则双曲线的
方程为
A． B．
C． D．
12．（2017·天津·高考真题）已知双曲线 的左焦点为 ，离心率为 .若经过 和
两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为
A． B． C． D．
13．（2017·全国·高考真题）若双曲线 （ ， ）的一条渐近线被圆 所
截
得的弦长为2，则 的离心率为
A．2 B． C． D．
14．（2017·全国·高考真题）若 ，则双曲线 的离心率的取值范围是
A． B． C． D．
15．（2016·浙江·高考真题）已知椭圆C ： +y2=1（m＞1）与双曲线C ： –y2=1（n＞0）的焦点重合，
1 2
e ，e 分别为C ，C 的离心率，则
1 2 1 2
A．m＞n且e e ＞1 B．m＞n且e e ＜1
1 2 1 2
C．m＜n且e e ＞1 D．m＜n且e e ＜1
1 2 1 2
16．（2016·全国·高考真题）（2016新课标全国Ⅱ理科）已知F，F 是双曲线E： 的左，右焦
1 2点，点M在E上，M F 与 轴垂直，sin ,则E的离心率为
1
A． B．
C． D．2
17．（2015·广东·高考真题）已知双曲线C： ﹣ =1的离心率e= ，且其右焦点为F （5，0），则双曲
2
线C的方程为
A． ﹣ =1 B． ﹣ =1 C． ﹣ =1 D． ﹣ =1
18．（2015·湖南·高考真题）若双曲线 的一条渐近线经过点 ，则此双曲线的离心率为
A． B． C． D．
19．（2015·湖北·高考真题）将离心率为 的双曲线 的实半轴长 和虚半轴长 同时增加
个单位长度，得到离心率为 的双曲线 ，则
A．对任意的 ，
B．当 时， ；当 时，
C．对任意的 ，
D．当 时， ；当 时，
20．（2015·全国·高考真题）已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，∆ABM为等腰三角形，且
顶角为120°，则E的离心率为
A． B． C． D．
21．（2015·山东·高考真题）已知 是双曲线 （ ， ）的左焦点，点 在双曲线上，直
线 与 轴垂直，且 ，那么双曲线的离心率是（ ）
A． B． C．2 D．3
二、填空题
22．（2024·全国新Ⅰ卷·高考真题）设双曲线 的左右焦点分别为 ，过 作平
行于 轴的直线交C于A，B两点，若 ，则C的离心率为 ．23．（2023·全国新Ⅰ卷·高考真题）已知双曲线 的左、右焦点分别为 ．点 在
上，点 在 轴上， ，则 的离心率为 ．
24．（2023·北京·高考真题）已知双曲线C的焦点为 和 ，离心率为 ，则C的方程为
．
25．（2022·全国甲卷·高考真题）记双曲线 的离心率为e，写出满足条件“直线
与C无公共点”的e的一个值 ．
26．（2022·浙江·高考真题）已知双曲线 的左焦点为F，过F且斜率为 的直线交双
曲线于点 ，交双曲线的渐近线于点 且 ．若 ，则双曲线的离心率是
．
27．（2021·全国新Ⅱ卷·高考真题）若双曲线 的离心率为2，则此双曲线的渐近线方程
.
28．（2020·山东·高考真题）已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点 与双曲线 的左焦点
重合，若两曲线相交于 ， 两点，且线段 的中点是点 ，则该双曲线的离心率等于 .
29．（2020·江苏·高考真题）在平面直角坐标系xOy中，若双曲线 ﹣ =1(a＞0)的一条渐近线方程为y=
x，则该双曲线的离心率是 .
30．（2020·全国·高考真题）设双曲线C： (a>0，b>0)的一条渐近线为y= x，则C的离心率为
．
31．（2020·全国·高考真题）已知F为双曲线 的右焦点，A为C的右顶点，B为C上
的点，且BF垂直于x轴.若AB的斜率为3，则C的离心率为 .
32．（2019·全国·高考真题）已知双曲线C： 的左、右焦点分别为F，F，过F 的直线
1 2 1
与C的两条渐近线分别交于A，B两点．若 ， ，则C的离心率为 ．
33．（2018·江苏·高考真题）在平面直角坐标系 中，若双曲线 的右焦点 到
一条渐近线的距离为 ，则其离心率的值是 ．34．（2018·北京·高考真题）已知椭圆 ，双曲线 ．若双曲线N的两条
渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M的离心率为
；双曲线N的离心率为 ．
35．（2018·北京·高考真题）若双曲线 的离心率为 ，则a= .
36．（2017·全国·高考真题）已知双曲线 ： 的右顶点为 ，以 为圆心， 为半径作
圆 ，圆 与双曲线 的一条渐近线于交 、 两点，若 ，则 的离心率为 ．
37．（2017·北京·高考真题）若双曲线 的离心率为 ，则实数 ．
38．（2016·山东·高考真题）已知双曲线E： – =1（a>0，b>0）．矩形ABCD的四个顶点在E上，
AB，CD的中点为E的两个焦点，且2|AB|=3|BC|，则E的离心率是 ．
39．（2015·山东·高考真题）过双曲线 的右焦点作一条与其渐近线平行的直线，
交 于点 .若点 的横坐标为 ,则 的离心率为 .
40．（2015·山东·高考真题）平面直角坐标系 中，双曲线 的渐近线与抛物线
交于点 .若 的垂心为 的焦点，则 的离心率为
41．（2015·湖南·高考真题）设F是双曲线C： － ＝1(a>0，b>0)的一个焦点，若C上存在点P，使线
段PF的中点恰为其虚轴的一个端点，则C的离心率为 ．
考点06 直线与圆锥曲线的位置关系及其应用
1．（2023·全国新Ⅱ卷·高考真题）已知椭圆 的左、右焦点分别为 ， ，直线 与C
交于A，B两点，若 面积是 面积的2倍，则 （ ）．
A． B． C． D．
2．（2021·全国乙卷·高考真题）设B是椭圆 的上顶点，点P在C上，则 的最大值为
（ ）
A． B． C． D．23．（2020·全国·高考真题）设双曲线C： （a>0，b>0）的左、右焦点分别为F ，F ，离心率为
1 2
．P是C上一点，且F P⊥F P．若△PF F 的面积为4，则a=（ ）
1 2 1 2
A．1 B．2 C．4 D．8
4．（2020·全国·高考真题）设 为坐标原点，直线 与抛物线C： 交于 ， 两点，
若 ，则 的焦点坐标为（ ）
A． B． C． D．
5．（2020·全国·高考真题）设 是双曲线 的两个焦点， 为坐标原点，点 在 上且
，则 的面积为（ ）
A． B．3 C． D．2
6．（2020·全国·高考真题）设 为坐标原点，直线 与双曲线 的两条渐近线分别
交于 两点，若 的面积为8，则 的焦距的最小值为（ ）
A．4 B．8 C．16 D．32
7．（2019·全国·高考真题）已知 是双曲线 的一个焦点，点 在 上， 为坐标原点，若
，则 的面积为
A． B． C． D．
8．（2017·全国·高考真题）过抛物线C：y2＝4x的焦点F，且斜率为 的直线交C于点M(M在x轴的上方)，
l为C的准线，点N在l上且MN⊥l，则M到直线NF的距离为（ ）
A． B． C． D．
9．（2018·全国·高考真题）设抛物线C：y2=4x的焦点为F，过点（–2，0）且斜率为 的直线与C交于
M，N两点，则 =
A．5 B．6 C．7 D．8
10．（2016·四川·高考真题）设 为坐标原点， 是以 为焦点的抛物线 上任意一点，
是线段 上的点，且 ,则直线 的斜率的最大值为（ ）A． B． C． D．1
11．（2015·全国·高考真题）已知椭圆E的中心为坐标原点，离心率为 ，E的右焦点与抛物线
的焦点
重合， 是C的准线与E的两个交点，则
A． B． C． D．
二、填空题
12．（2024·北京·高考真题）若直线 与双曲线 只有一个公共点，则 的一个取值为
．
13．（2023·天津·高考真题）已知过原点O的一条直线l与圆 相切，且l与抛物线
交于点 两点，若 ，则 ．
14．（2022·全国新Ⅱ卷·高考真题）已知直线l与椭圆 在第一象限交于A，B两点，l与x轴，y轴
分别交于M，N两点，且 ，则l的方程为 ．
15．（2021·全国甲卷·高考真题）已知 为椭圆C： 的两个焦点，P，Q为C上关于坐标原点
对称的两点，且 ，则四边形 的面积为 ．
16．（2020·山东·高考真题）斜率为 的直线过抛物线C：y2=4x的焦点，且与C交于A，B两点，则 =
．
17．（2019·浙江·高考真题）已知椭圆 的左焦点为 ，点 在椭圆上且在 轴的上方，若线段
的中点在以原点 为圆心， 为半径的圆上，则直线 的斜率是 .
18．（2018·全国·高考真题）已知点 和抛物线 ，过 的焦点且斜率为 的直线与 交于
， 两点．若 ，则 ．考点07 曲线方程及曲线轨迹
1．（2024·全国新Ⅰ卷·高考真题）（多选）设计一条美丽的丝带,其造型 可以看作图中的曲线C的一部分.
已知C过坐标原点O.且C上的点满足:横坐标大于 ，到点 的距离与到定直线 的距离之
积为4，则（ ）
A． B．点 在C上
C．C在第一象限的点的纵坐标的最大值为1 D．当点 在C上时，
2．（2024·全国新Ⅱ卷·高考真题）已知曲线C： （ ），从C上任意一点P向x轴作垂线段
， 为垂足，则线段 的中点M的轨迹方程为（ ）
A． （ ） B． （ ）
C． （ ） D． （ ）
3．（2021·浙江·高考真题）已知 ，函数 .若 成等比
数列，则平面上点 的轨迹是（ ）
A．直线和圆 B．直线和椭圆 C．直线和双曲线 D．直线和抛物线
4．（2020·全国新Ⅰ卷·高考真题）已知曲线 .（ ）
A．若m>n>0，则C是椭圆，其焦点在y轴上
B．若m=n>0，则C是圆，其半径为
C．若mn<0，则C是双曲线，其渐近线方程为
D．若m=0，n>0，则C是两条直线
5．（2020·全国·高考真题）在平面内，A，B是两个定点，C是动点，若 ，则点C的轨迹为（ ）
A．圆 B．椭圆 C．抛物线 D．直线
6．（2019·北京·高考真题）数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线C： 就是其中之一（如图）.给出下列三个结论：
①曲线C恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；
②曲线C上任意一点到原点的距离都不超过 ；
③曲线C所围成的“心形”区域的面积小于3.
其中，所有正确结论的序号是
A．① B．② C．①② D．①②③
7．（2016·四川·高考真题）在平面直角坐标系中，当 不是原点时，定义 的“伴随点”为
，当P是原点时，定义“伴随点”为它自身，现有下列命题：
①若点A的“伴随点”是点 ，则点 的“伴随点”是点 .
②单元圆上的“伴随点”还在单位圆上．
③若两点关于x轴对称，则他们的“伴随点”关于y轴对称
④若三点在同一条直线上，则他们的“伴随点”一定共线．
其中的真命题是 ．
8．（2015·山东·高考真题）关于 ， 的方程 ，给出以下命题；
①当 时，方程表示双曲线；②当 时，方程表示抛物线；③当 时，方程表示椭圆；④当
时，方程表示等轴双曲线；⑤当 时，方程表示椭圆．
其中，真命题的个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
9．（2015·浙江·高考真题）如图，斜线段 与平面 所成的角为 ， 为斜足，平面 上的动点 满足
，则点 的轨迹是
A．直线 B．抛物线
C．椭圆 D．双曲线的一支考点08 圆锥曲线中的最值及范围问题
1．（2021·全国乙卷·高考真题）设 是椭圆 的上顶点，若 上的任意一点 都满足
，则 的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．（2021·全国乙卷·高考真题）设B是椭圆 的上顶点，点P在C上，则 的最大值为
（ ）
A． B． C． D．2
3．（2021·全国新Ⅰ卷·高考真题）已知 ， 是椭圆 ： 的两个焦点，点 在 上，则
的最大值为（ ）
A．13 B．12 C．9 D．6
4．（2020·全国·高考真题）设 为坐标原点，直线 与双曲线 的两条渐近线分别
交于 两点，若 的面积为8，则 的焦距的最小值为（ ）
A．4 B．8 C．16 D．32
5．（2018·浙江·高考真题）已知点P(0，1)，椭圆 (m>1)上两点A，B满足 ，则当m=
时，点B横坐标的绝对值最大．
6．（2017·全国·高考真题）已知F为抛物线C：y2=4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l ，l ，直线l
1 2 1
与C交于A、B两点，直线l 与C交于D、E两点，则|AB|+|DE|的最小值为
2
A．16 B．14 C．12 D．10
7．（2017·全国·高考真题）（2017新课标全国卷Ⅰ文科）设A，B是椭圆C： 长轴的两个端点，
若C上存在点M满足∠AMB=120°，则m的取值范围是
A． B．
C． D．
8．（2017·全国·高考真题）若 ，则双曲线 的离心率的取值范围是
A． B． C． D．
9．（2016·四川·高考真题）设 为坐标原点， 是以 为焦点的抛物线 上任意一点， 是线段 上的点，且 ,则直线 的斜率的最大值为（ ）
A． B． C． D．1
10．（2016·全国·高考真题）已知方程 表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，
则n的取值范围是
A．(–1,3) B．(–1, ) C．(0,3) D．(0, )
11．（2016·浙江·高考真题）设双曲线x2– =1的左、右焦点分别为F ，F ．若点P在双曲线上，且△F PF
1 2 1 2
为锐角三角形，则|PF |+|PF |的取值范围是 ．
1 2
12．（2015·上海·高考真题）抛物线 上的动点 到焦点的距离的最小值为1，则
.
13．（2015·全国·高考真题）已知 是双曲线 ： 上的一点， ， 是 的两个焦点，
若 ，则 的取值范围是
A． B． C． D．
14．（2015·江苏·高考真题）在平面直角坐标系 中， 为双曲线 右支上的一个动点．若点
到直线 的距离大于c恒成立，则实数c的最大值为
