北京曲一线图书策划有限公司 2024版《5年高考3年模拟》A
版
9.5 圆锥曲线的综合问题
考法一 求轨迹方程
1.(2021新高考Ⅰ,21,12分)在平面直角坐标系xOy中,已知点F(-√17,0),F(√17,0),点M满足|MF|-|
1 2 1
MF|=2.记M的轨迹为C.
2
(1)求C的方程;
1
(2)设点T在直线x= 上,过T的两条直线分别交C于A,B两点和P,Q两点,且|TA|·|TB|=|TP|·|TQ|,求直线
2
AB的斜率与直线PQ的斜率之和.
解析 √17 √17
(1)由题意知|FF|=2 ,因为|MF|-|MF|=2<|FF|=2 ,所以结合双曲线定义知,点M的轨迹
1 2 1 2 1 2
C是以F、F 为焦点的双曲线的右支.
1 2
设其方程为x2 y2
=1(a>0,b>0,x≥a),则2a=2,2c=2 ,
− √17
a2 b2
解得a=1,c=√17,则b2=c2-a2=(√17)2-12=16,
y2
所以M的轨迹C的方程为x2- =1(x≥1).
16
{ ( 1)
y=k x− +m,
(2)如图,设T(1 ,m ),直线AB的方程为y-m=k 1 ( x− 1),由 1 2 得(16-k2)x2+( k2
2 2 y2 1 1
x2− =1(x≥1),
16
1
-2km)x- k2 +km-m2-16=0,
1 4 1 1
设A(x,y),B(x,y),
1 1 2 2北京曲一线图书策划有限公司 2024版《5年高考3年模拟》A
版
1
则x 1 +x 2 = k 1 2−2k 1 m,x 1 x 2 = 4 k 1 2+m2−k 1 m+16 ,
k2−16
1
k2−16
1
则|TA|= √1+k2(
x −
1),|TB|= √1+k2(
x −
1),
1 1 2 1 2 2
所以|TA|·|TB|=(1+ k2 ) ( x − 1)( x − 1) =
(m2+12)(1+k
1
2
) .
1 1 2 2 2 k2−16
1
设直线PQ的方程为y-m=k 2(
x−
1),
2
(m2+12)(1+k2
)
同理得|TP|·|TQ|= 2 ,
k2−16
2
因为|TA|·|TB|=|TP|·|TQ|,
(m2+12)(1+k2
)
(m2+12)(1+k2
)
所以 1 = 2 ,
k2−16 k2−16
1 2
1+k2 1+k2
所以 1 = 2 ,即 k2=k2,由题意知k 1 ≠k 2 ,所以k 1 +k 2 =0,
k2−16 k2−16 1 2
1 2
即直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和为0.
一题多解 (2)设T(1
,m
),直线AB的倾斜角为θ
1
,直线PQ的倾斜角为θ
2
,由题不妨设
2
⃗AB ⃗AB ,t>0,t>0,
⃗TA=t1· ,⃗TB=t2· 1 2
|⃗AB| |⃗AB|
则|⃗TA|=t,|⃗TB|=t.
1 2
设A(x,y),因为
⃗TA=t1·
⃗AB ,所以(
x−
1
,y−m
)=t
1
(cos θ
1
,sin θ
1
),所以x=1+t
1
cos θ
1
,y=m+t
1
sin
|⃗AB| 2 2
θ,
1
又因为点A在双曲线上,北京曲一线图书策划有限公司 2024版《5年高考3年模拟》A
版
所以16(1 +t cos θ ) 2 -(m+t 1 sin θ 1 )2=16,即(16cos2θ 1 -sin2θ 1 ) t2 +(16cos θ 1 -2msin θ 1 )t 1 -(m2+12)=0.
2 1 1 1
同理可得(16cos2θ-sin2θ) +(16cos θ-2msin θ)t-(m2+12)=0.
1 1 t2 1 1 2
2
所以t,t 即为方程(16cos2θ-sin2θ)t2+(16cos θ-2msin θ)t-(m2+12)=0的两个根,
1 2 1 1 1 1
则|TA|·|TB|=tt=
−(m2+12)
,
12
16cos2θ −sin2θ
1 1
同理|TP|·|TQ|=
−(m2+12)
,
16cos2θ −sin2θ
2 2
结合|TA|·|TB|=|TP|·|TQ|,得cos2θ=cos2θ,
1 2
又因为AB与PQ是不同直线,
所以cos θ=-cos θ,于是θ+θ=π,则k +k =0,
1 2 1 2 AB PQ
即直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和为0.
易错警示 解答本题第一问时,容易出现所求C的方程为x2-
y2
=1的错误结果,从而致使第二问直接做错.
16
2.(2016课标Ⅲ,理20,文20,12分)已知抛物线C:y2=2x的焦点为F,平行于x轴的两条直线l,l 分别交C于
1 2
A,B两点,交C的准线于P,Q两点.
(1)若F在线段AB上,R是PQ的中点,证明AR∥FQ;
(2)若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍,求AB中点的轨迹方程.
解析 由题设知F(1
,0
).设l
1
:y=a,l
2
:y=b,则ab≠0,
2
且A(a2 ),B(b2 ),P( 1 ),Q( 1 ),R( 1 a+b).
,a ,b − ,a − ,b − ,
2 2 2 2 2 2
记过A,B两点的直线为l,则l的方程为2x-(a+b)y+ab=0.(3分)
(1)由于F在线段AB上,故1+ab=0.
记AR的斜率为k,FQ的斜率为k,则
1 2
a−b a−b 1 −ab
k= = = = =-b=k.
1 1+a2 a2−ab a a 2北京曲一线图书策划有限公司 2024版《5年高考3年模拟》A
版
所以AR∥FQ.(5分)
(2)设l与x轴的交点为D(x,0),则S =1|b-a||FD|=1|b-a|| 1|,S =|a−b|.
1 △ABF x − △PQF
2 2 1 2 2
由题设可得2×1|b-a|| 1|=|a−b|,
x −
2 1 2 2
所以x=0(舍去),或x=1.(8分)
1 1
设满足条件的AB的中点为E(x,y).
2 y
当AB与x轴不垂直时,由k =k 可得 = (x≠1).
AB DE a+b x−1
a+b
而 =y,所以y2=x-1(x≠1).
2
当AB与x轴垂直时,E与D重合.所以,所求轨迹方程为y2=x-1.(12分)
疑难突破 第(1)问求解关键是把AR∥FQ的证明转化为k =k 的证明;第(2)问需找到AB中点所满足的几
AR FQ
何条件,从而将其转化为等量关系.在利用斜率表示几何等量关系时应注意分类讨论思想的应用.
评析 本题主要考查抛物线的性质,直线的斜率及其应用,轨迹方程的求法等知识,考查分类讨论思想的应用,
考查考生对基础知识和基本技能的应用能力.
3.(2014广东理,20,14分)已知椭圆C:x2 +y2 =1(a>b>0)的一个焦点为( ,0),离心率为√5.
√5
a2 b2 3
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)若动点P(x,y)为椭圆C外一点,且点P到椭圆C的两条切线相互垂直,求点P的轨迹方程.
0 0
c √5
解析 (1)由题意知c=√5,e= = ,
a 3
∴a=3,b2=a2-c2=4,
x2 y2
故椭圆C的标准方程为 + =1.
9 4
(2)设两切线为l,l,
1 2
①当l⊥x轴或l∥x轴时,l∥x轴或l⊥x轴,可知P(±3,±2).
1 1 2 2
1
②当l 与x轴不垂直且不平行时,x≠±3,设l 的斜率为k,且k≠0,则l 的斜率为- ,l 的方程为y-y=k(x-x),与
1 0 1 2 1 0 0
k
x2 y2
+ =1联立,
9 4北京曲一线图书策划有限公司 2024版《5年高考3年模拟》A
版
整理得(9k2+4)x2+18(y-kx)kx+9(y-kx)2-36=0,
0 0 0 0
∵直线l 与椭圆相切,∴Δ=0,即9(y-kx)2k2-(9k2+4)·[(y-kx)2-4]=0,
1 0 0 0 0
∴(
x2
-9)k2-2x
0
y
0
k+
y2
-4=0,
0 0
∴k是方程(
x2
-9)x2-2x
0
y
0
x+
y2
-4=0的一个根,
0 0
1
同理,- 是方程(x2-9)x2-2xyx+y2-4=0的另一个根,
k 0 0 0 0
∴k·( − 1)= y2 0 −4 ,整理得 x2+ y2=13,其中x 0 ≠±3,
k x2−9 0 0
0
∴点P的轨迹方程为x2+y2=13(x≠±3).
P(±3,±2)满足上式.
综上,点P的轨迹方程为x2+y2=13.
评析 本题考查椭圆的标准方程、直线与圆锥曲线的位置关系以及轨迹方程的求法.考查分类讨论思想以
及方程思想的应用.
4.(2014湖北理,21,14分)在平面直角坐标系xOy中,点M到点F(1,0)的距离比它到y轴的距离多1.记点M的
轨迹为C.
(1)求轨迹C的方程;
(2)设斜率为k的直线l过定点P(-2,1).求直线l与轨迹C恰好有一个公共点、两个公共点、三个公共点时k
的相应取值范围.
解析 (1)设点M(x,y),依题意得|MF|=|x|+1,
即 =|x|+1,
√(x−1) 2+ y2
化简整理得y2=2(|x|+x).
{4x,x≥0,
故点M的轨迹C的方程为y2=
0,x<0.
(2)在点M的轨迹C中,记C:y2=4x,C:y=0(x<0),
1 2
依题意,可设直线l的方程为y-1=k(x+2).
由方程组{y−1=k(x+2),
可得ky2-4y+4(2k+1)=0.①
y2=4x,
1
(i)当k=0时,此时y=1.把y=1代入轨迹C的方程,得x= .
4北京曲一线图书策划有限公司 2024版《5年高考3年模拟》A
版
故此时直线l:y=1与轨迹C恰好有一个公共点(1 ).
,1
4
(ii)当k≠0时,方程①的判别式为Δ=-16(2k2+k-1).②
设直线l与x轴的交点为(x,0),则
0
2k+1
由y-1=k(x+2),令y=0,得x=- .③
0
k
1°若{Δ<0, 由②③解得k<-1或k>1.
x <0, 2
0
即当k∈(-∞,-1)∪(1
,+∞
)时,直线l与C
1
没有公共点,与C
2
有一个公共点,
2
故此时直线l与轨迹C恰好有一个公共点.
2°若{Δ=0, 或{Δ>0, 则由②③解得k∈{ 1}或-1≤k<0.
−1,
x <0 x ≥0, 2 2
0 0
即当k∈{ 1}时,直线l与C 只有一个公共点,与C 有一个公共点.
−1, 1 2
2
当k∈[
−
1
,0
)时,直线l与C
1
有两个公共点,与C
2
没有公共点.
2
故当k∈[ 1 )∪{ 1}时,直线l与轨迹C恰好有两个公共点.
− ,0 −1,
2 2
3°若{Δ>0, 则由②③解得-1<k<-1或0<k<1.
x <0, 2 2
0
即当k∈(
−1,−
1)∪(
0,
1)时,直线l与C
1
有两个公共点,与C
2
有一个公共点,
2 2
故此时直线l与轨迹C恰好有三个公共点.北京曲一线图书策划有限公司 2024版《5年高考3年模拟》A
版
综合(i)(ii)可知,当k∈(-∞,-1)∪(1 )∪{0}时,直线l与轨迹C恰好有一个公共点;当k∈[ 1 )∪
,+∞ − ,0
2 2
{ 1}时,直线l与轨迹C恰好有两个公共点;当k∈( 1)∪( 1)时,直线l与轨迹C恰好有三
−1, −1,− 0,
2 2 2
个公共点.
评析 本题考查了直线和抛物线的位置关系,考查了数形结合的方法,灵活地利用判别式是求解的关键.盲目
利用抛物线的定义而漏掉射线y=0(x<0)就会造成错解而失分.
5.(2013课标Ⅰ,理20,文21,12分)已知圆M:(x+1)2+y2=1,圆N:(x-1)2+y2=9,动圆P与圆M外切并且与圆N内切,
圆心P的轨迹为曲线C.
(1)求C的方程;
(2)l是与圆P,圆M都相切的一条直线,l与曲线C交于A,B两点,当圆P的半径最长时,求|AB|.
解析 由已知得圆M的圆心为M(-1,0),半径r=1;圆N的圆心为N(1,0),半径r=3.设圆P的圆心为P(x,y),半
1 2
径为R.
(1)因为圆P与圆M外切并且与圆N内切,所以|PM|+|PN|=(R+r)+(r-R)=r+r=4.
1 2 1 2
由椭圆的定义可知,曲线C是以M、N为左、右焦点,长半轴长为2,短半轴长为√3的椭圆(左顶点除外),其方
x2 y2
程为 + =1(x≠-2).
4 3
(2)对于曲线C上任意一点P(x,y),由于|PM|-|PN|=2R-2≤2,所以R≤2,当且仅当圆P的圆心为(2,0)时,R=2.所以
当圆P的半径最长时,其方程为(x-2)2+y2=4.
若l的倾斜角为90°,则l与y轴重合,可得|AB|=2√3.
|QP| R
若l的倾斜角不为90°,由r≠R知l不平行于x轴,设l与x轴的交点为Q,则 = ,可求得Q(-4,0),所以
1 |QM| r
1
可设l:y=k(x+4).由l与圆M相切得 |3k| =1,解得k=±√2.
√1+k2 4
√2 √2 x2 y2 −4±6√2
当k= 时,将y= x+√2代入 + =1,并整理得7x2+8x-8=0,解得x = .
1,2
4 4 4 3 7
18
所以|AB|=√1+k2|x
2
-x
1
|= .
7
