专题05五大类圆锥曲线题型-2024年高考数学最后冲刺大题秒杀技巧及题型专项训练（新高考新题型专用）（原卷版）_2024年4月_01按日期_16号

专题 05 五类圆锥曲线题型-2024 年高考数学大题秒 杀技巧及专项训练（原卷版） 【题型1 圆锥曲线中的轨迹方程问题】 【题型2 圆锥曲线中齐次化处理斜率乘积问题】 【题型3 圆锥曲线中的三角形（四边形）面积问题】 【题型4 圆锥曲线中的定点、定值、定直线问题】 【题型5 圆锥曲线中的极点与极线】 题型1 圆锥曲线中的轨迹方程问题 曲线方程的定义 一般地，如果曲线 与方程 之间有以下两个关系： ①曲线 上的点的坐标都是方程 的解； ②以方程 的解为坐标的点都是曲线 上的点． 此时，把方程 叫做曲线 的方程，曲线 叫做方程 的曲线． 求曲线方程的一般步骤： （1）建立适当的直角坐标系（如果已给出，本步骤省略）； （2）设曲线上任意一点的坐标为 ； （3）根据曲线上点所适合的条件写出等式； x、y （4）用坐标 表示这个等式，并化简； （5）确定化简后的式子中点的范围． 上述五个步骤可简记为：求轨迹方程的步骤：建系、设点、列式、化简、确定点的范围．求轨迹方程的方法： 定义法： 如果动点 的运动规律合乎我们已知的某种曲线（如圆、椭圆、双曲线、抛物线）的定 义，则可先设出轨迹方程，再根据已知条件，待定方程中的常数，即可得到轨迹方程。 直接法： 如果动点 的运动规律是否合乎我们熟知的某些曲线的定义难以判断，但点 满足的等量 关系易于建立，则可以先表示出点 所满足的几何上的等量关系，再用点 的坐标 表示该等量关系式，即可得到轨迹方程。 代入法（相关点法）： 如果动点 的运动是由另外某一点 的运动引发的，而该点的运动规律已知，（该点坐标 满足某已知曲线方程），则可以设出 ，用 表示出相关点 的坐标，然后把 的坐标代入已知曲线方程，即可得到动点 的轨迹方程。 点差法： 圆锥曲线中与弦的中点有关的轨迹问题可用点差法，其基本方法是把弦的两端点 的坐标代入圆锥曲线方程，然而相减，利用平方差公式可得 ， ， ， 等关系式，由于弦 的中点 的坐标满足 ， 且直线 的斜率为 ，由此可求得弦 中点的轨迹方程. 已知双曲线 与直线 ： 有唯一的公共点 ，过点 且与 垂直的直线 分别交 轴， 轴于 ， 两点，点 坐标为 ，当 点坐标为 时， 点坐标为 . (1)求双曲线的标准方程； (2)当点 运动时，求 点的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线.已知A1,0,B1,0 ，直线AM,BM 相交于M ，且直线AM,BM 的斜率之积为2. (1)求动点M 的轨迹方程； (2)设P,Q是点M 轨迹上不同的两点且都在y轴的右侧，直线AP,BQ在y轴上的截距之比 为1:2，求证：直线PQ经过一个定点，并求出该定点坐标.     在平面直角坐标系xOy中，已知点F 1  3,0 ､F 2 3,0 , MF 1  MF 2 4，点 M 的轨迹为C. (1)求C的方程； (2)设点 P 在直线xs(s 2)上，A､B为C的左右顶点，直线PA交C于点E（异于A,B）， 直线PB交C于点F （异于A,B），EF交AB于G，过G作x轴的垂线分别交PA､PB于 R､T ，问是否存在常数，使得 RG TG .1．M是一个动点， 与直线 垂直，垂足 位于第一象限， 与直线 垂直，垂足 位于第四象限，且 ． (1)求动点M的轨迹方程E； (2)设 ， ，过点 的直线l与曲线E交于A，B两点（点A在x轴上方）， P为直线 ， 的交点，当点P的纵坐标为 时，求直线l的方程． 2．在平面直角坐标系 中，已知双曲线 经过点 ，点 与点 关于 原点对称， 为 上一动点，且 异于 两点. (1)求 的离心率； (2)若△ 的重心为 ，点 ，求 的最小值； (3)若△ 的垂心为 ，求动点 的轨迹方程. 3．已知长为2 2的线段PQ的中点为原点O，圆T经过P,Q两点且与直线y20相切， 圆心T的轨迹为曲线C. (1)求曲线C的方程； (2)过点D1,b 且互相垂直的直线l,l 分别与曲线C交于点E,H 和点M,N，且 ED  DH ， 1 2 四边形MENH 的面积为15 6，求实数b的值.x2 y2 4．已知椭圆C:  1(ab0)的离心率为1 ，长轴长为4， 是其左、右顶点， a2 b2 2 A,B F 是其右焦点． (1)求椭圆C的标准方程； (2)设Px 0 ,y 0 y 0 0 是椭圆C上一点，PFB的角平分线与直线 AP 交于点T． ①求点T的轨迹方程； 9 ②若 面积为 ，求 ． △TPF 4 x 0 5．已知点F1,0 和直线m:x2，点 P 到m的距离d 4 2 PF . (1)求点P的轨迹方程； (2)不经过圆点O的直线l与点P的轨迹交于A，B两点. 设直线OA，OB的斜率分别为k 1 ， k 2 ，记 k 1 k 2 t，是否存在t值使得OAB的面积为定值，若存在，求出t的值；若不存在， 说明理由. 6．已知动圆过定点A2,0 ，且截y轴所得的弦长为4. (1)求动圆圆心C的轨迹方程； (2)若点F1,0 ，过点P5,4 的直线交C的轨迹于M,N两点，求 FM  FN 的最小值.7．在ABC中，已知B1,0 ，C1,0 ，设G,H,W 分别是ABC的重心、垂心、外心， (cid:3) (cid:3) 且存在R使GH BC. (1)求点A的轨迹的方程； (2)求ABC的外心W 的纵坐标m的取值范围； (3)设直线AW 与的另一个交点为M ，记△AWG与MGH的面积分别为S 1 ,S 2 ，是否存在 S 7 1  实数 使 ？若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由.  S 22  2 8．已知A2,0 ， B2,0 ， 为平面上的一个动点.设直线AP,BP的斜率分别为k ，k ， P 1 2 3 且满足k k  .记 的轨迹为曲线 . 1 2 4 P Γ (1)求Γ的轨迹方程； (cid:3) (cid:3) (2)直线PA，PB分别交动直线xt于点C,D，过点C作PB的垂线交x轴于点H .HCHD 是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，说明理由. 题型2 圆锥曲线中齐次化处理斜率乘积问题 ： x2 y2  1(a b0) P(x ,y ) a2 b2 A,B 已知点 0 0 是椭圆 上的一个定点， 是椭圆上的两个动 点。 2y 2b2x  x  0， 0  y  若直线 k PA k PB  ，则直线 AB过定点且定点为   0  a2 0  ；当 0 x b2 0 k y a2 时， AB为定值 0 ； P(x ,y ) C 证 明 : 重 新 建 系 将 椭 圆 上 的 0 0 成 为 新 的 坐 标 原 点 按      x x 0 , , y y  0     x   0 , , y 0       y x  x y     x y 0 0   0 0     y x   x y     x y 0 0 得椭圆 C 1 : x a2 x 0 2  y b2 y 0 2 1 x2 y2 x 2 y 2    1 0  0 1 又 点 P x 0 ,y 0 在 椭 圆 a2 b2 上 ， 所 以 a2 b2 ， 代 入 上 式 可 得 x2 y2 2x 2y   0 x 0 y0 a2 b2 a2 b2 ①   C P x ,y A,B C O A,B 椭圆 上的定点 0 0 和动点 分别对应椭圆 1上的定点 和动点 1 1，设直线 x2 y2 2x 2y  ( 0 x 0 y)mxny0 A 1 B 1的方程为 mxny1 ，代入①得 a2 b2 a2 b2 。当 12y n y2 2x n 2y m y 12x m 0 ( 0  0 )  0 0 x0 x2 b2 x2 a2 b2 x a2 时，两边除以 得． ，因为点 y A 1 ,B 1的坐标满足这个方程，所以 k OA 1 ,k OB 1是这个关于 x 的方程的两个根． k k  k k  若 PA PB ，由平移斜率不变可知 OA 1 OB 1 ，故 2b2x n2a2y m k k  0 0  OA 1 OB 1 a2 12y n  0 2b2x n2a2y m0 0 ，当 时，所以 0 0 ，由此得 m x b2 x b2 x b2 k   0 0 0 A 1 B 1 n y 0 a2 。所以AB的斜率为定值 y 0 a2 ， k AB为定值 y 0 a2 ； 2y 2b2x  2b2x n2a2y ma2 2a2y n 0 m 0 2y n1 0 0 0  a2 0   即 ，由此知点  2y 2b2x   0， 0 2y     a2 0  在直线 A 1 B 1 :mxny1 上，从而直线AB过定点  2y 2b2x  x  0， 0  y    0  a2 0  ．： x2 y2      1a b0 P x , y C a2 b2 A,B 已知点 0 0 是平面内一个定点，椭圆 ： 上有两动点 若直线 k PA k PB  ，则直线AB过定点． P(x ,y ) C 证 明 ： 重 新 建 系 将 椭 圆 上 的 0 0 成 为 新 的 坐 标 原 点 按      x x 0 , , y y  0     x   0 , , y 0       y x  x y     x y 0 0   0 0     y x   x y     x y 0 0 椭圆 C 1：  x a2 x 0 2   y b2 y 0 2 1 x2 y2 2x 2y x2 y2   0 x 0 y 0  0 10 a2 b2 a2 b2 a2 b2 ，展开得： ．   P x , y C A、B C O A 平面内的定点 0 0 和椭圆 上的动点 分别对应椭圆 1上的定点 和动点 1 B AB mxny1 、 1， 设 直 线 1 1的 方 程 为 ， 代 入 展 开 式 得 x2 y2 2x 2y   x2 y2    0 x 0 y  mxny  0  0 1 mxny2 0   a2 b2  a2 b2   a2 b2  （ 构 造 齐 次 x0 x2 式 ） ， 当 时 ， 两 边 同 时 除 以 整 理 得 ， n2x2  ny 1 2  y2 2mnx22x n 2mny22y m  y  mx 1 2 m2y2   0  0 n2  0 0  0 0 2mn  0  0 m20  a2 b2  x2  a2 b2  x  a2 b2        y 因为点 A 1 、B 1的坐标满足这个方程，所以 k OA 1和 k OB 1是关于 x 的方程的两根．若 k k  k k  PA PB ， 由 平 移 斜 率 不 变 可 知 OA 1 OB 1 所 以 2mnx2 2x n 2mny2 2y m 0 0  0 0 2mn a2 b2 k k   OA 1 OB 1 n2x2 ny 12 0  0 n2 a2 b2 整理可得到 m 和 n 的关系，从 而可知直线 A 1 B 1过定点，由平移规律可得直线AB过定点．x2 y2 已知椭圆  1(a b0)的左、右焦点分别为 ， ， 点 是椭圆的 C: a2 b2 F F M(0,2) 1 2 一个顶点， △FMF 是等腰直角三角形． 1 2 （1）求椭圆C的方程； （2）设点P是椭圆C上一动点，求线段PM 的中点Q的轨迹方程； （3）过点M 分别作直线MA，MB交椭圆于A，B两点，设两直线的斜率分别为 k 1 ， k 2 k  k 8 ，且 ，探究：直线AB是否过定点，并说明理由. 1 2 x2 y2 已知椭圆 a2  b2 1a b0 的左、右焦点分别是 F ， F ，点 P0,1在椭圆上，且 1 2 (cid:3) (cid:3) PF PF 2． 1 2 （1）求椭圆的标准方程； Q2,1 （2）过点 且不过点 P 的直线l交椭圆于A， B 两点，求证：直线PA与PB的斜 率之和为定值． x2 y2 2 如图，椭圆E: a2  b2 1(ab0)经过点 A0,1，且离心率为 2 ．（1）求椭圆E的方程； 1,1 （2）若经过点 ，且斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点P，Q（均异于点A）， 证明：直线AP与AQ的斜率之和为定值．  3 1．已知椭圆C: x2  y2 1ab0经过点B  1,  ，下顶点 为抛物线 的焦点． a2 b2  2  A x2 4y (1)求椭圆C的方程； 1 (2)若点Px 1 ,y 1 ,Qx 2 ,y 2 y 1  y 2 均在椭圆C上，且满足直线 AP 与AQ的斜率之积为 2 ， （ⅰ）求证：直线PQ过定点； (cid:3) (cid:3) （ⅱ）当OP//AQ时，求直线PQ的方程． x2 y2 2．已知椭圆 ：  1（ ）中，点 ， 分别是 的左、上顶点， E a2 b2 a b 0 A C E AC  5，且E的焦距为2 3． (1)求E的方程和离心率； (2)过点 1,0 且斜率不为零的直线交椭圆于 R ，S两点，设直线RS ，CR，CS 的斜率分别为k，k ，k ，若k k 3，求k的值． 1 2 1 2 x2 y2 3．已知椭圆E：  （1 ab0）经过点 ，右焦点为 ，A，B分别为椭圆 a2 b2 (2, 2) F(2,0) E的上顶点和下顶点. (1)求椭圆E的标准方程； (2)已知过(0,1)且斜率存在的直线l与椭圆E交于C、D两点，直线BD与直线AC的斜率分 k 1 别为k 和k，求 的值. 1 2 k 2 4．在平面直角坐标系xOy中，重新定义两点Ax,y ,Bx ,y  之间的“距离”为 1 1 2 2 AB  x x  y y ，我们把到两定点F c,0,F c,0c0 的“距离”之和为常数 2 1 2 1 1 2 2aac 的点的轨迹叫“椭圆”． (1)求“椭圆”的方程； (2)根据“椭圆”的方程，研究“椭圆”的范围、对称性，并说明理由； (3)设c1,a2，作出“椭圆”的图形，设此“椭圆”的外接椭圆为C,C的左顶点为A， 过F 2 作直线交C于M,N两点，AMN 的外心为Q，求证：直线OQ与MN的斜率之积为定 值．x2 y2 5．焦点在 x 轴上的椭圆 4  b2 1的左顶点为 M ， Ax 1 ,y 1  ， Bx 2 ,y 2  ， Cx 3 ,y 3 为椭圆 1 上不同三点，且当(cid:3) (cid:3) 时，直线 和直线 的斜率之积为 ． OBOC MB MC 4 (1)求b的值； (2)若OAB的面积为1，求x 1 2x 2 2 和y 1 2y 2 2 的值； (3)在（2）的条件下，设AB的中点为D，求OD  AB 的最大值． x2 y2 6．已知 ， 分别是椭圆C:  1ab0的左、右焦点，左顶点为A，则上顶点 F 1 F 2 a2 b2 为B ，且AB 的方程为 3x2y2 30. 1 1 (1)求椭圆C的标准方程； (2)若P是直线x3上一点，过点P的两条不同直线分别交C于点D，E和点M ，N ，且 PD PM  ，求证：直线 的斜率与直线 的斜率之和为定值. PN PE DE MN x2 y2 7．已知椭圆C:  1(ab0)的左、右焦点分别为 ， ，上顶点为 ，右顶点为 a2 b2 F 1 F 2 A π ， 的面积为 ，FAF  . B ABF 1 2 22 1 2 2 (1)求椭圆C的标准方程； (2)过点F 1 且斜率大于0的直线l交椭圆C于M ，N 两点，线段MN的中点为Q，若  5 2 P  0,  ，求直线 与直线 的斜率之积的最小值. 2   PQ l8．已知P为圆x2y2 4上任意一点，过点P作x轴的垂线，垂足为Q，M为PQ的中点. M的轨迹曲线E. (1)求曲线E的轨迹方程； (2)曲线E交x轴正半轴于点A，交y轴正半轴于点B.直线l与曲线E交于C，D两点，若直 线l//直线AB，设直线AC，BD的斜率分别为k ,k .证明：k k 为定值． 1 2 1 2 题型3 圆锥曲线中的三角形（四边形）面积问题 弦长公式 |AB| （x x )2 (y  y )2 1 2 1 2 |AB| (1+k2)(x x )2 1 2  1k2 x  x 1 2  (1+k2)[（x  x )2 4x x ] 1 2 1 2 （最常用公式，使用频率最高） 1  1 (y  y )2 4y y k2 1 2 1 2 三角形面积问题kx  y m 直线 方程： d  PH  0 0 AB ykxm 1k2 1 1  kx  y m  kx  y m S  AB d  1k2  0 0  0 0 ABP 2 2 A' 1k2 2 A' 焦点三角形的面积 y A F 1 O F 2 x B 直线AB过焦点F ,ABF 的面积为 2 1 1 c  S  FF  y  y c y  y  ABF1 2 1 2 1 2 1 2 A' 1 1 4a2b2(a2A2 b2B2 C2) |C| S = |AB|d  A2 B2 AOB 2 2 a2A2 b2B2 A2 B2ab (a2A2 b2B2 C2)C2  a2A2 b2B2 注意：A'为联立消去 x 后关于 y 的一元二次方程的二次项系数 平行四边形的面积 y C A 直线AB为ykxm 1 ，直线CD为ykxm 2 O H x D B m m d  CH  1 2 1k2 B' C'  AB  1k2 x x  1k2 (x x )2 4xx  1k2 ( )2 4  1k2 1 2 1 2 1 2 A' A' A'  m m  m m S  AB d  1k2  1 2  1 2 ABCD A' 1k2 A' 注意：A'为直线与椭圆联立后消去 y 后的一元二次方程的系数. 范围问题 应用均值不等式求解最值时，应注意“一正二定三相等” 圆锥曲线经常用到的均值不等式形式列举： 2t 2 S   （1） t2 64 64 （注意分 三种情况讨论） t t t 0,t 0,t0 12k2 12 12 AB2 3 3 3 （2） 9t4 6k2 1 1 236 9k2  6 k2 1 当且仅当9k2  时，等号成立 k2 25y2 9x2 25y2 9x2 （3） PQ2 3425 0 9 0 342 25 0 9 0 64 9x2 25y2 9x2 25y2 0 0 0 0 25y2 9x2 当且仅当25 0 9 0 时等号成立. 9x2 25y2 0 01 3 m 1 1 1 1 m2 m2 8 （4）S  12 m2   m2(m2 8)    2 2 2 3 2 2 2 2 2 当且仅当m2 m2 8时，等号成立 (5) 2k2 m2 1m2 1 1 2k2 m2 1 2m (2k2 m2 1)m2 S 2 2 1k2 1  1 4 2 1 1 4 2 2 2 2 12k2 1k2 12k2 12k2 当且仅当2k2 12m2时等号成立. 1 双曲线，最早由门奈赫莫斯发现， 后来阿波罗尼兹进行了总结和完善.在他的著作中，双 x2 y2 曲线也被称作“超曲线”. 已知双曲线C:  1(a，b0)的实半轴长为2，左､右顶点 a2 b2 分别为A 1 ，A 2 ，经过点B4，0 的直线l与C的右支分别交于M，N 两点，其中点M 在x轴 上方. k 2 (1)若 轴时， ，设直线 的斜率分别为 ，求 的值； l x MN 2 6 MA，NA k，k 2k 1 2 1 2 1 (2)若BA N 2BAM ，求AMN 的面积. 2 1 1 设抛物线方程为y2 2x，过点 P 的直线PA,PB分别与抛物线相切于A,B两点，且点A在x 轴下方，点B在x轴上方. (1)当点 的坐标为 1,2 时，求 AB ； P(2)点C在抛物线上，且在x轴下方，直线BC交x轴于点N ，直线AB交x轴于点M ，且 S ABC .若 的重心在 轴上，求 的最大值.（注： 表示三角形的面积） 3 AM 2 BM ABC x S S BMN x2 y2 2 已知椭圆C：  1(ab0)过点A（2， ），且C的离心率为 . a2 b2 2 2 (1)求C的方程； (2)设直线l交C于不同于点A的M，N两点，直线AM，AN的倾斜角分别为，，若 cos 1，求 面积的最大值. cos AMN x2 1．设点 F 1 c,0、 F 2 c,0分别是椭圆C: a2 y2 1的左、右焦点， P 为椭圆 C 上任意一 (cid:3) (cid:3) 点，且PF 1 PF 2 的最小值为2．(1)求椭圆C的方程； (2)求椭圆C的外切矩形ABCD的面积S的最大值． x2 y2 2．在椭圆C:  1上任取一点 ，过点 作 轴的垂线段 ， 为垂足，点 在线 4 2 P P x PD D M 段PD上，且满足 DP  2 DM . (1)当点P在椭圆C上运动时，求点M 的轨迹E的方程； (2)若曲线E与x， y 轴的正半轴分别交于点A，B，点N 是E上第三象限内一点，线段 AN与 y 轴交于点H ，线段BN 与x轴交于点G，求四边形ABGH的面积. 3．在椭圆(双曲线)中，任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，该圆的圆心是椭 圆(双曲线)的中心，半径等于椭圆(双曲线)长半轴(实半轴)与短半轴(虚半轴)平方和(差)的算 x2 y2 术平方根，则这个圆叫蒙日圆.已知椭圆E:  1(ab0)的蒙日圆的面积为 ，该 a2 b2 13π  1 椭圆的上顶点和下顶点分别为 ，且 ，设过点Q0, 的直线 与椭圆 交于 P 1 ,P 2 P 1 P 2 2  2 l 1 E A,B两点（不与P,P 两点重合）且直线l :x2y60. 1 2 2 (1)证明：AP 1 ，BP 2 的交点P在直线y2上; (2)求直线AP,BP,l 围成的三角形面积的最小值. 1 1 2 x2 y2 4．已知椭圆 C 的方程 a2  b2 1ab0，右焦点为 F1,0，且离心率为1 2 (1)求椭圆C的方程；(2)设A，B是椭圆C的左、右顶点，过F 的直线l交C于D，E两点（其中D点在x轴上 方），求DBF与△AEF 的面积之比的取值范围. x2 y2 2 5．已知椭圆C:  1(ab0)的左、右焦点分别为 、 ，离心率为 ．点 在 a2 b2 F 1 F 2 2 M 直线x3(y0)上运动，且直线MF 的斜率与直线MF 的斜率之商为2． 1 2 (1)求C的方程； (2)若点A、B在椭圆C上，O为坐标原点，且OAOB，求AOB面积的最小值． x2 y2 6．已知椭圆C:  1(ab0)的下、上顶点分别为 ，左、右顶点分别为 ， a2 b2 B,B A,A 1 2 1 2 四边形ABA B 的面积为6 5，若椭圆C上的点到右焦点距离的最大值和最小值之和为6. 1 1 2 2 (1)求椭圆C的方程； (2)过点 1,0 且斜率不为0的直线l与C交于P,Q（异于A 1 ,A 2  两点，设直线A 2 P与直线 A 1 Q交于点M ，探究三角形B 1 B 2 M 的面积是否为定值，请说明理由. x2 y2  6  3 7．已知椭圆E: a2  b2 1(a0,b0)经过P   2, 2   ，Q  1, 2   两点． (1)求E的方程； (2)若圆x2y2 1的两条相互垂直的切线l 1 ,l 2 均不与坐标轴垂直，且直线l 1 ,l 2 分别与E相交 于点A，C和B，D，求四边形ABCD面积的最小值．x2 y2 8．已知椭圆 的方程为  1ab0，由其 个顶点确定的三角形的面积为 ，点 C a2 b2 3 4 P2,1 在C上，A,B为直线x4上关于x轴对称的两个动点，直线AP,BP与C的另一个交 点分别为M,N. (1)求C的标准方程； (2)证明：直线MN经过定点； (3)O为坐标原点，求△MON 面积的最大值. 题型4 圆锥曲线中的定点、定值、定直线问题 定点问题 1.求解(或证明)直线和曲线过定点的基本思路是：把直线或曲线方程中的变量x， y 视作 常数，把方程一边化为零，既然是过定点，那么这个方程就是对任意参数都成立，这时参 数的系数就要全部等于零，这样就得到一个关于x， y 的方程组，这个方程组的解所确定 的点就是直线或曲线所过的定点． 2.常用方法：一是引进参数法，引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究 变化的量与参数何时没有关系，找到定点；二是特殊到一般法，根据动点或动线的特殊情 况探索出定点，再证明该定点与变量无关. 定值问题 1.解析几何中的定值问题是指某些几何量(线段的长度、图形的面积、角的度数、直线的斜率等)的大小或某些代数表达式的值等和题目中的参数无关，不依参数的变化而变化，而始 终是一个确定的值．常见定值问题的处理方法： （1）确定一个（或两个）变量为核心变量，其余量均利用条件用核心变量进行表示 （2）将所求表达式用核心变量进行表示，然后进行化简，看能否得到一个常数. 2. 定值问题的处理技巧： （1）对于较为复杂的问题，可先采用特殊位置（例如斜率不存在的直线等）求出定值，进 而给后面一般情况的处理提供一个方向. （2）在运算过程中，尽量减少所求表达式中变量的个数，以便于向定值靠拢 （3）巧妙利用变量间的关系，例如点的坐标符合曲线方程等，尽量做到整体代入，简化运 算 定直线问题 定直线问题是证明动点在 定直线上，其实质是求动点的轨迹方程，所以所用的方法即为 求轨迹方程的方法，如定义法、消参法、交轨法等． 已知抛物线C：y2=2px（p>0），M是其准线与x轴的交点，过点M的直线l与抛物线C交 于A，B两点，当点A的坐标为（4，y）时，有|MB||BA|． 0 (1)求抛物线C的方程； (2)设点A关于x轴的对称点为点P，证明：直线BP过定点，并求出该定点坐标． 已知斜率为 3的直线l与抛物线C:y2 4x相交于P,Q两点．(1)求线段PQ中点纵坐标的值； (2)已知点T( 3,0)，直线TP,TQ分别与抛物线相交于M,N两点（异于P,Q）．求证：直线 MN恒过定点，并求出该定点的坐标． x2 已知双曲线C: 4  y2 1，点 A 是双曲线 C 的左顶点，点 P 坐标为4,0. (1)过点P作C的两条渐近线的平行线分别交双曲线C于R，S两点.求直线RS 的方程； x2 (2)过点 作直线 与椭圆 y2 1交于点 ， ，直线 ， 与双曲线 的另一个交 P l 4 D E AD AE C 点分别是点M ，N .试问：直线MN是否过定点，若是，请求出该定点坐标；若不过定点， 请说明理由. x2 y2 1．已知椭圆C: a2  b2 1(ab0)的左､右焦点分别为 F,F ,C 过点 B2,3，且 C 的长 1 2 轴长为8. (1)求C的方程. (2)设C的右顶点为点A，过点D4,6 的直线l与C交于P,Q两点（异于 B ），直线 AP,AQ与y轴分别交于点M,N，试问线段MN的中点是否为定点？若是，求出该定点的 坐标；若不是，请说明理由.x2 y2 2．已知椭圆C:  1(ab0)的上下顶点分别为 ，左右顶点分别为 ，四 a2 b2 B,B A,A 1 2 1 2 边形ABA B 的面积为6 5，若椭圆C上的点到右焦点距离的最大值和最小值之和为6.(1) 1 1 2 2 求椭圆C的方程； (2)过点 1,0 且斜率不为0的直线l与C交于P,Q（异于A,A ）两点，设直线A P与直线 1 2 2 A 1 Q交于点M ，证明：点M 在定直线上. x2 y2 3．如图，已知椭圆 的短轴长为 ，焦点与双曲线  1的焦点重合.点 P4,0，斜  4 4t t 1 率为 2 的直线l 1 与椭圆  交于A,B两点. (1)求常数t的取值范围，并求椭圆的方程. (2)(本题可以使用解析几何的方法，也可以利用下面材料所给的结论进行解答) 极点与极线是法国数学家吉拉德·迪沙格于1639年在射影几何学的奠基之作《圆锥曲线论 x2 y2 稿》中正式阐述的.对于椭圆:  1，极点Px ,y （不是原点）对应的极线为 a2 b2 0 0 x x y y l : 0  0 1，且若极点 在 轴上，则过点 作椭圆的割线交 于点 ，则对于 P a2 b2 P x P  A 1 ,B 1 l P 上任意一点Q，均有k k 2k （当斜率均存在时）.已知点Q是直线l 上的一点，且 QA1 QB1 PQ 1 点Q的横坐标为2.连接PQ交y轴于点E.连接PA,PB分别交椭圆于M,N两点.①设直线AB、MN分别交 y 轴于点D、点T，证明：点E为D、T的中点； ②证明直线：MN恒过定点，并求出定点的坐标. x2 y2 4．已知椭圆C: a2  b2 1ab0的左､右焦点分别为 F,F ， C 过点 B2,3，且 1 2 (cid:3) (cid:3) (cid:3) FBFF  BF . 1 1 2 2 (1)求C的方程. (2)设C的右顶点为点A，过点D4,6 的直线l与C交于P,Q两点（异于 B ），直线 AP,AQ与y轴分别交于点M,N，试问线段MN的中点是否为定点？若是，求出该定点的 坐标；若不是，请说明理由. x2 y2  3 5．已知椭圆C:  1(ab0)的离心率为1 ，且经过点1, . a2 b2 2  2 (1)求椭圆C的方程； (2)设过点P0,1 且不与坐标轴垂直的直线l与椭圆C交于A,B两点，过A,B分别作y轴的 垂线，垂足为点M,N，求证：直线AN与BM 的交点在某条定直线上，并求该定直线的方 程.x2 y2 6．已知椭圆L: a2  b2 1(ab0)的左顶点 A3,0和下顶点B，焦距为 4 2 ，直线l交 椭圆L于C，D（不同于椭圆的顶点）两点，直线AD交y轴于M，直线BC交x轴于N，且 直线MN交l于P. (1)求椭圆L的标准方程； (2)若直线AD，BC的斜率相等，证明：点P在一条定直线上运动. 1 7．在平面直角坐标系xOy中，动点M到点F1,0的距离与到直线 的距离之比为 ． x4 2 (1)求动点M轨迹W的方程； (2)过点F的两条直线分别交W于A，B两点和C，D两点，线段AB，CD的中点分别为 1 1  1 P，Q．设直线AB，CD的斜率分别为 ， ，且 ，试判断直线PQ是否过定点． k k k k 1 2 1 2 若是，求出定点的坐标；若不是，请说明理由．    2 8．已知动圆 经过定点F  3,0 ，且与圆F ： x 3 y2 16内切. M 1 2 (1)求动圆圆心M 的轨迹C的方程； (2)设轨迹C与x轴从左到右的交点为A，B，点P为轨迹C上异于A，B的动点，设PB交 直线x4于点T，连接AT 交轨迹C于点Q，直线AP，AQ的斜率分别为k AP ，k AQ . ①求证：k ·k 为定值； AP AQ ②证明：直线PQ经过x轴上的定点，并求出该定点的坐标.题型5 圆锥曲线中的极点与极线 圆锥曲线的极点与极线 x2 y2 x x y y 已知椭圆  1（a＞b＞0），则称点 和直线 0  0 1为椭圆的一对极 C: a2 b2 P(x ,y ) a2 b2 0 0 点和极线．极点和极线是成对出现的． 我们先从几何的角度来研究圆锥曲线的极点与极线． 从几何角度看极点与极线 如图，设P是不在圆锥曲线上的一点，过P点引两条割线依次交圆锥曲线于四点E，F ， G，H ，连接EH ，FG交于N ，连接EG，FH 交于M ，则直线MN为点P对应的极线． 若P为圆锥曲线上的点，则过P点的切线即为极线． 由图同理可知，PM 为点N 对应的极线，PN 为点M 所对应的极线．因而将△MNP称为 自极三点形． 设直线MN交圆锥曲线于点A，B两点，则PA，PB恰为圆锥曲线的两条切线． 定理：（1）当P在圆锥曲线上时，则点P的极线是曲线在P点处的切线； （2）当P在外时，过点P作的两条切线，设其切点分别为A，B，则点P的极线是直 线AB（即切点弦所在的直线）； （3）当P在内时，过点P任作一割线交于A，B，设在A，B处的切线交于点Q， 则点P的极线是动点Q的轨迹．已知抛物线C:y2 2pxp0的焦点为 ，且 与圆M :x2y42 1上的点的距离的 F F 最小值4． p (1)求 ； (2)若点P在圆M 上，PA,PB是C的两条切线，A,B是切点，求PAB面积的最大值． 已知F为抛物线C:x2 2py(p0)的焦点，直线l:y2x1与C交于A，B两点且 |AF ||BF |20. （1）求C的方程. （2）若直线m: y2xt(t 1)与C交于M，N两点，且AM 与BN 相交于点T，证明：点 T在定直线上. x2 y2 4 若双曲线 与椭圆C:  1(ab0)共顶点，且它们的离心率之积为 ． x2y2 9 a2 b2 3 （1）求椭圆C的标准方程； （2）若椭圆C的左、右顶点分别为A，A ，直线l与椭圆C交于P、Q两点，设直线AP 1 2 11 与 的斜率分别为 ， ，且k  k 0．试问，直线l是否过定点？若是，求出定点 AQ k k 1 5 2 2 1 2 的坐标；若不是，请说明理由． x2 1．设A 1 , A 2 分别是椭圆: a2 y2 1(a1)的左､右顶点，点 B 为椭圆的上顶点.   （1）若ABAB4，求椭圆的方程； 1 2 （2）设a 2，F 是椭圆的右焦点，点Q是椭圆第二象限部分上一点，若线段FQ的中 2 2 点M 在 y 轴上，求△FBQ的面积. 2 （3）设a3，点P是直线x6上的动点，点C和D是椭圆上异于左右顶点的两点，且C， D分别在直线PA 1 和PA 2 上，求证：直线CD恒过一定点. y2 2．已知 ， 分别是双曲线E:x2 1的左，右顶点，直线 （不与坐标轴垂直）过点 A B 4 l N2,0 ，且与双曲线E交于C，D两点. (cid:3) (cid:3) （1）若CN 3ND，求直线l的方程；（2）若直线AC与BD相交于点P，求证：点P在定直线上. x2 y2 3．已知椭圆C:  1a0,b0与 轴的交点 （点A位于点 的上方）， 为 a2 b2 y A,B B F 2 左焦点，原点 到直线 的距离为 b. O FA 2 （1）求椭圆C的离心率； （2）设b2，直线ykx4与椭圆C交于不同的两点M,N，求证：直线BM 与直线AN 的交点G在定直线上. 3 4．已知椭圆 的离心率e ，长轴的左、右端点分别为 A 2,0，A 2,0 C 2 1 2 (1)求椭圆C的方程； (2)设直线 xmy1与椭圆C交于P，Q两点，直线A 1 P与A 2 Q交于点S，试问：当m变化 时，点S是否恒在一条直线上？若是，请写出这条直线的方程，并证明你的结论；若不是， 请说明理由.  3 5．已知椭圆C： x2  y2 1ab0经过点A  1,  ，其长半轴长为2. 2 a2 b2   (1)求椭圆C的方程： (2)设经过点B1,0 的直线l与椭圆C相交于D，E两点，点E关于x轴的对称点为F，直 线DF与x轴相交于点G，求△DEG的面积S的取值范围.x2 y2 6．已知椭圆C:  1a0的焦距为 分别为椭圆 的左、右顶点， 为椭 a2 3 2,A,B C M,N 圆C上的两点(异于A,B)，连结AM,BN,MN，且BN 斜率是AM 斜率的3倍. （1）求椭圆C的方程； （2）证明:直线MN恒过定点. x2 y2 7．椭圆C: 3b2  b2 1b0的左、右顶点分别为 A 1 ， A 2 ，上顶点为 B ，点 D1,0，线 BD的倾斜角为135. （1）求椭圆C的方程； （2）过D且斜率存在的动直线与椭圆C交于M 、N 两点，直线A 1 M 与A 2 N 交于P，求证： P在定直线上. x2 y2  3 8．已知椭圆C:  1ab0的离心率为1 ，且点1, 在椭圆上． a2 b2 2  2（1）求椭圆C的标准方程； （2）如图，椭圆C的左、右顶点分别为A，B，点M，N是椭圆上异于A，B的不同两点， 直线BN 的斜率为kk 0 ，直线AM 的斜率为3k ，求证：直线MN过定点．