北京曲一线图书策划有限公司 2024版《5年高考3年模拟》A
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专题九 平面解析几何
9.1 直线与圆
考点一 直线的方程
1.(2014四川文,9,5分)设m∈R,过定点A的动直线x+my=0和过定点B的动直线mx-y-m+3=0交于点P(x,y),
则|PA|+|PB|的取值范围是( )
A.[√5,2√5] B.[√10,2√5]
C.[√10,4√5] D.[2√5,4√5]
答案 B 直线x+my=0过定点A(0,0),直线mx-y-m+3=0过定点B(1,3).
①当m=0时,过定点A的直线方程为x=0,过定点B的直线方程为y=3,两条直线互相垂直,此时P(0,3),∴|PA|+|
PB|=4.
1 1
②当m≠0时,直线x+my=0的斜率为- ,直线mx-y-m+3=0的斜率为m.∵- ×m=-1,∴两条直线互相垂直,即
m m
点P可视为以AB为直径的圆上的点.当点P与点A或点B重合时,|PA|+|PB|有最小值√10.当点P不与点A,
点B重合时,△PAB为直角三角形,且|PA|2+|PB|2=|AB|2=10.由不等式性质知|PA|+|PB|≤2√|PA|2+|PB|2
2
=2√5,∴|PA|+|PB|∈[√10,2√5].
综合①②得|PA|+|PB|∈[√10,2√5].
评析 本题考查直线的方程、两直线垂直及不等式的性质,解答本题的关键是找到点P的轨迹.属中档题.
2.(2013湖南理,8,5分)在等腰直角三角形ABC中,AB=AC=4,点P是边AB上异于A,B的一点.光线从点P出
发,经BC,CA反射后又回到点P(如图).若光线QR经过△ABC的重心,则AP等于( )
8 4
A.2 B.1 C. D.
3 3
答案 D 以AB为x轴,AC为y轴建立如图所示的坐标系,由题可知B(4,0),C(0,4),A(0,0),则直线BC的方程
为x+y-4=0.北京曲一线图书策划有限公司 2024版《5年高考3年模拟》A
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设P(t,0)(0<t<4),由对称知识可得点P关于直线BC的对称点P 的坐标为(4,4-t),点P关于y轴的对称点P 的
1 2
坐标为(-t,0),根据反射定理可知PP 就是光线RQ所在直线.由P、P 两点坐标可得直线PP 的方程为y=
1 2 1 2 1 2
4−t(x+t),设△ABC的重心为G,易知G(4 4).因为重心G(4 4)在光线RQ上,所以有4=
, ,
4+t 3 3 3 3 3
4−t(4 ),即3t2-4t=0.
+t
4+t 3
4 4 4
所以t=0或t= ,因为0<t<4,所以t= ,即AP= ,故选D.
3 3 3
3.(2012浙江理,3,5分)设a∈R,则“a=1”是“直线l:ax+2y-1=0与直线l:x+(a+1)y+4=0平行”的( )
1 2
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
a 1
答案 A 由l∥l,得- =- ,解得a=1或a=-2,代入检验符合,即“a=1”是“l∥l”的充分不必要条件,
1 2 2 a+1 1 2
故选A.
评析 本题考查两直线平行和充要条件的判断,考查运算求解能力.
4.(2011浙江文,12,4分)若直线x-2y+5=0与直线2x+my-6=0互相垂直,则实数m= .
答案 1
解析 依题意m≠0,所以由( 2)×1=-1,得m=1.
−
m 2
评析 本题考查两条直线垂直的充要条件,属容易题.注意与平行的区别.
考点二 圆的方程北京曲一线图书策划有限公司 2024版《5年高考3年模拟》A
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1.(2015课标Ⅱ理,7,5分)过三点A(1,3),B(4,2),C(1,-7)的圆交y轴于M,N两点,则|MN|=( )
A.2√6 B.8 C.4√6 D.10
3−7
答案 C 设圆心为P(a,b),由点A(1,3),C(1,-7)在圆上,知b= =-2.再由|PA|=|PB|,得a=1.则P(1,-2),|PA|=
2
=5,于是圆P的方程为(x-1)2+(y+2)2=25.令x=0,得y=-2±2 ,则|MN|=|(-2+2 )-(-2-2
√(1−1) 2+(3+2) 2 √6 √6
√6)|=4√6.
2.(2015课标Ⅱ文,7,5分)已知三点A(1,0),B(0,√3),C(2,√3),则△ABC外接圆的圆心到原点的距离为( )
5 √21 2√5 4
A. B. C. D.
3 3 3 3
答案 B 在平面直角坐标系xOy中画出△ABC,易知△ABC是边长为2的正三角形,其外接圆的圆心为D
( 1, 2√3).因此|OD|= √ 12+ (2√3) 2 =√7= √21 .故选B.
3 3 3 3
3.(2015北京文,2,5分)圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是( )
A.(x-1)2+(y-1)2=1 B.(x+1)2+(y+1)2=1
C.(x+1)2+(y+1)2=2 D.(x-1)2+(y-1)2=2
答案 D 由题意得圆的半径为√2,故该圆的方程为(x-1)2+(y-1)2=2,故选D.
4.(2022全国乙,理14,文15,5分)过四点(0,0),(4,0),(-1,1),(4,2)中的三点的一个圆的方程为
.
答案 8 14 16 16
(x-2)2+(y-1)2=5 或x2+y2-4x-6y=0或x2+y2- x− y=0或x2+y2- x−2y− =0
3 3 5 5
解析
选取(0,0),(4,0),(4,2)时,不妨设这三点分别为O,A,B,则线段OA的垂直平分线的方程为x=2,
线段AB的垂直平分线的方程为y=1,所以经过这三点的圆的圆心坐标为(2,1),记为C,圆的半径r=|CO|=
,所以所求圆的方程为(x-2)2+(y-1)2=5.
√22+12=√5
选取(0,0),(4,0),(-1,1)时,设所求圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0),则
{
F=0, {D=−4,
16+4D+F=0, 解得 E=−6,所以所求圆的方程为x2+y2-4x-6y=0.
1+1−D+E+F=0, F=0.北京曲一线图书策划有限公司 2024版《5年高考3年模拟》A
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选取(0,0),(-1,1),(4,2)时,设所求圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0),则
8
{D=− ,
{ F=0, 3
1+1−D+E+F=0, 解得 14
E=− ,
16+4+4D+2E+F=0, 3
F=0.
8 14
所以所求圆的方程为x2+y2- x− y=0.
3 3
选取(4,0),(-1,1),(4,2)时,设所求圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0),则
16
{D=− ,
{ 16+4D+F=0, 5
所以所求圆的方程为x2+y2-16 16=0.
1+1−D+E+F=0, 解得 E=−2, x−2y−
5 5
16+4+4D+2E+F=0, 16
F=− .
5
5.(2022全国甲文,14,5分)设点M在直线2x+y-1=0上,点(3,0)和(0,1)均在☉M上,则☉M的方程为
.
答案
(x-1)2+(y+1)2=5
{ 2a+b−1=0, { a=1,
解析 解法一:设☉M的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),则 (3−a) 2+(0−b) 2=r2,解得 b=−1,
(0−a) 2+(1−b) 2=r2, r=√5,
所以☉M的方程为(x-1)2+(y+1)2=5.
x
解法二:易得过(3,0)和(0,1)的直线方程为 +y=1,即x+3y-3=0.
3
{2x+ y−1=0, { x=1,
以(3,0)和(0,1)为端点的线段的垂直平分线的方程为3x-y-4=0,联立 解得
3x−y−4=0, y=−1,
所以圆心为(1,-1),则所求圆的半径r= ,所以☉M的方程为(x-1)2+(y+1)2=5.
√(1−3) 2+(−1−0) 2=√5北京曲一线图书策划有限公司 2024版《5年高考3年模拟》A
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6.(2016天津文,12,5分)已知圆C的圆心在x轴的正半轴上,点M(0,√5)在圆C上,且圆心到直线2x-y=0的距
4√5
离为 ,则圆C的方程为 .
5
答案 (x-2)2+y2=9
解析 设圆C的方程为(x-a)2+y2=r2(a>0),
{ |2a| 4√5
由题意可得 √5
=
5
,
解得
{a=2,
所以圆C的方程为(x-2)2+y2=9.
r2=9,
(−a) 2+(√5) 2=r2,
方法总结 待定系数法是求解圆方程的常用方法,一般步骤为①设出圆的方程;②列出关于系数的方程组,并
求出各系数的值;③检验各值是否符合题意,并写出满足题意的圆的方程.有时也可利用圆的几何性质进行求
解.
评析 本题主要考查点与圆的位置关系,点到直线的距离公式以及圆的方程的求法,考查方程思想方法的应
用,注意圆心的横坐标的取值范围是解决本题的关键.
x2 y2
7.(2015课标Ⅰ理,14,5分)一个圆经过椭圆 + =1的三个顶点,且圆心在x轴的正半轴上,则该圆的标准
16 4
方程为 .
答案 ( 3) 2 +y2=25
x−
2 4
解析 由已知得该圆经过椭圆的三个顶点A(4,0)、B(0,2)、C(0,-2).易知线段AB的垂直平分线的方程为2x-
y-3=0.令y=0,得x=3,所以圆心坐标为(3 ),则半径r=4-3=5.故该圆的标准方程为( 3) 2 +y2=25.
,0 x−
2 2 2 2 2 4
评析 本题考查圆和椭圆的方程,求出圆心坐标是解题关键.
8.(2014陕西理,12,5分)若圆C的半径为1,其圆心与点(1,0)关于直线y=x对称,则圆C的标准方程为
.
答案 x2+(y-1)2=1
解析 根据题意得点(1,0)关于直线y=x对称的点(0,1)为圆心,又半径r=1,所以圆C的标准方程为x2+(y-1)2=1.
考点三 直线与圆的位置关系
1.(2022北京,3,4分)若直线2x+y-1=0是圆(x-a)2+y2=1的一条对称轴,则a= ( )北京曲一线图书策划有限公司 2024版《5年高考3年模拟》A
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1 1
A. B.− C.1 D.-1
2 2
1
答案
A 由题意可知圆心(a,0)在直线2x+y-1=0上,故2a+0-1=0,解得a= .故选A.
2
2.(多选)(2021新高考Ⅰ,11,5分)已知点P在圆(x-5)2+(y-5)2=16上,点A(4,0),B(0,2),则 ( )
A.点P到直线AB的距离小于10
B.点P到直线AB的距离大于2
C.当∠PBA最小时,|PB|=3√2
D.当∠PBA最大时,|PB|=3√2
x y
答案 ACD 由题意可知直线AB的方程为 + =1,即x+2y-4=0,
4 2
则圆心(5,5)到直线AB的距离d= |5+2×5−4|
=
11√5>4,
√12+22 5
∴直线AB与圆(x-5)2+(y-5)2=16相离,
∴点P到直线AB的距离的取值范围为[11√5 11√5 ],
−4, +4
5 5
11√5 11√5
∵ -4∈(0,1), +4∈(8,9),
5 5
∴选项A正确,选项B错误.
过点B作圆的两条切线,切点分别为P,P,如图,当点P在切点P 的位置时,∠PBA最小,当点P在切点P
1 2 1 2
的位置时,∠PBA最大,易知|PB|=|PB|,圆心(5,5)到点B的距离为√34,圆的半径为4,所以|PB|=|PB|=
1 2 1 2
√34−16=√18=3√2,故选项C,D均正确.故选ACD.
方法点拨:1.当直线与圆C相离时,圆上的点P到直线的距离的取值范围为[d-r,d+r],其中r为半径,d为圆
心到直线的距离.2.从圆外一点Q(x,y)向圆x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0)引切线,切点为A,则|QA|=
0 0
.
√x2+ y2+Dx +E y +F
0 0 0 0北京曲一线图书策划有限公司 2024版《5年高考3年模拟》A
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3.(2015广东理,5,5分)平行于直线2x+y+1=0且与圆x2+y2=5相切的直线的方程是( )
A.2x+y+5=0或2x+y-5=0
B.2x+y+√5=0或2x+y-√5=0
C.2x-y+5=0或2x-y-5=0
D.2x-y+√5=0或2x-y-√5=0
|c|
答案 A 切线平行于直线2x+y+1=0,故可设切线方程为2x+y+c=0(c≠1),结合题意可得 =√5,解得
√5
c=±5.故选A.
4.(2015山东理,9,5分)一条光线从点(-2,-3)射出,经y轴反射后与圆(x+3)2+(y-2)2=1相切,则反射光线所在直线
的斜率为( )
5 3 3 2
A.- 或- B.- 或-
3 5 2 3
5 4 4 3
C.- 或- D.- 或-
4 5 3 4
答案 D 由题意可知反射光线所在直线过点(2,-3),设反射光线所在直线方程为y+3=k(x-2),即kx-y-2k-3=0.
∵反射光线所在直线与圆相切,∴ |−3k−2−2k−3| =1,解得k=-4或k=-3.
√k2+1 3 4
评析 本题主要考查直线和圆的位置关系.
5.(2015重庆理,8,5分)已知直线l:x+ay-1=0(a∈R)是圆C:x2+y2-4x-2y+1=0的对称轴.过点A(-4,a)作圆C的一
条切线,切点为B,则|AB|=( )
A.2 B.4√2 C.6 D.2√10
答案 C 圆C的标准方程为(x-2)2+(y-1)2=22,圆心为C(2,1),半径r=2,由直线l是圆C的对称轴,知直线l过点
C,所以2+a×1-1=0,a=-1,所以A(-4,-1),于是|AC|2=40,所以|AB|= = =6.故选C.
√|AC|2−22 √40−4
6.(2014课标Ⅱ文,12,5分)设点M(x,1),若在圆O:x2+y2=1上存在点N,使得∠OMN=45°,则x 的取值范围是(
0 0
)
A.[-1,1] B.[ 1 1]
− ,
2 2
