北京曲一线图书策划有限公司 2024版《5年高考3年模拟》A
版
8.4 直线、平面垂直的判定和性质
考点一 直线、平面垂直的判定和性质
π 1
1.(2015陕西,18,12分)如图1,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠BAD= ,AB=BC= AD=a,E是AD的中点,O
2 2
是AC与BE的交点.将△ABE沿BE折起到图2中△ABE的位置,得到四棱锥A-BCDE.
1 1
(1)证明:CD⊥平面AOC;
1
(2)当平面ABE⊥平面BCDE时,四棱锥A-BCDE的体积为36√2,求a的值.
1 1
解析 (1)证明:在题图1中,
1
因为AB=BC= AD=a,E是AD的中点,
2
π
∠BAD= ,所以BE⊥AC.
2
即在题图2中,BE⊥AO,BE⊥OC,
1
又AO∩OC=O,
1
从而BE⊥平面AOC,
1
又CD∥BE,
所以CD⊥平面AOC.
1
(2)由已知,平面ABE⊥平面BCDE,
1
且平面ABE∩平面BCDE=BE,
1
又由(1)知,AO⊥BE,
1
所以AO⊥平面BCDE,
1
即AO是四棱锥A-BCDE的高.
1 1
√2 √2
由题图1知,AO= AB= a,平行四边形BCDE的面积
1
2 2
S=BC·AB=a2.
从而四棱锥A-BCDE的体积为
1
1 1 √2 √2
V= ×S×AO= ×a2× a= a3,
1
3 3 2 6北京曲一线图书策划有限公司 2024版《5年高考3年模拟》A
版
√2
由 a3=36√2,得a=6.
6
评析 本题首先借“折叠”问题考查空间想象能力,同时考查线面垂直的判定及面面垂直性质的应用.
2.(2015福建,20,12分)如图,AB是圆O的直径,点C是圆O上异于A,B的点,PO垂直于圆O所在的平面,且
PO=OB=1.
(1)若D为线段AC的中点,求证:AC⊥平面PDO;
(2)求三棱锥P-ABC体积的最大值;
(3)若BC=√2,点E在线段PB上,求CE+OE的最小值.
解析 (1)证明:在△AOC中,因为OA=OC,D为AC的中点,所以AC⊥DO.
又PO垂直于圆O所在的平面,
所以PO⊥AC.
因为DO∩PO=O,
所以AC⊥平面PDO.
(2)因为点C在圆O上,
所以当CO⊥AB时,C到AB的距离最大,且最大值为1.
1
又AB=2,所以△ABC面积的最大值为 ×2×1=1.
2
又因为三棱锥P-ABC的高PO=1,
1 1
故三棱锥P-ABC体积的最大值为 ×1×1= .
3 3
(3)解法一:在△POB中,PO=OB=1,∠POB=90°,
所以PB= = .同理,PC= ,所以PB=PC=BC.
√12+12 √2 √2
在三棱锥P-ABC中,将侧面BCP绕PB所在直线旋转至平面BC'P,使之与平面ABP共面,如图所示.
当O,E,C'共线时,CE+OE取得最小值.北京曲一线图书策划有限公司 2024版《5年高考3年模拟》A
版
又因为OP=OB,C'P=C'B,所以OC'垂直平分PB,
√2 √6 √2+√6
即E为PB中点.从而OC'=OE+EC'= + = ,
2 2 2
√2+√6
亦即CE+OE的最小值为 .
2
解法二:在△POB中,PO=OB=1,∠POB=90°,
所以∠OPB=45°,PB= = .同理PC= .
√12+12 √2 √2
所以PB=PC=BC,所以∠CPB=60°.
在三棱锥P-ABC中,将侧面BCP绕PB所在直线旋转至平面BC'P,使之与平面ABP共面,如图所示.
当O,E,C'共线时,CE+OE取得最小值.
所以在△OC'P中,由余弦定理得:
OC'2=1+2-2×1×√2×cos(45°+60°)
=1+2-2 (√2 1 √2 √3)=2+ .
√2 × − × √3
2 2 2 2
√2+√6
从而OC'=√2+√3= .
2
√2 √6
所以CE+OE的最小值为 + .
2 2
评析 本题主要考查直线与平面的位置关系、锥体的体积等基础知识,考查空间想象能力、推理论证能力、
运算求解能力,考查数形结合思想、化归与转化思想.
3.(2014福建文,19,12分)如图,三棱锥A-BCD中,AB⊥平面BCD,CD⊥BD.
(1)求证:CD⊥平面ABD;
(2)若AB=BD=CD=1,M为AD中点,求三棱锥A-MBC的体积.
解析 (1)证明:∵AB⊥平面BCD,CD⊂平面BCD,∴AB⊥CD.
又∵CD⊥BD,AB∩BD=B,AB⊂平面ABD,BD⊂平面ABD,
∴CD⊥平面ABD.
(2)解法一:由AB⊥平面BCD,得AB⊥BD.北京曲一线图书策划有限公司 2024版《5年高考3年模拟》A
版
∵AB=BD=1,
1
∴S = .
△ABD
2
∵M是AD的中点,
1 1
∴S = S = .
△ABM
2
△ABD
4
由(1)知,CD⊥平面ABD,
∴三棱锥C-ABM的高h=CD=1,
1 1
因此V =V = S ·h= .
A-MBC C-ABM
3
△ABM
12
解法二:由AB⊥平面BCD知,平面ABD⊥平面BCD,
又平面ABD∩平面BCD=BD,
如图,过点M作MN⊥BD交BD于点N,
1 1
则MN⊥平面BCD,且MN= AB= ,
2 2
又CD⊥BD,BD=CD=1,
1
∴S = .
△BCD
2
∴三棱锥A-MBC的体积V =V -V
A-MBC A-BCD M-BCD
1 1 1
= AB·S - MN·S = .
△BCD △BCD
3 3 12
1
4.(2014山东文,18,12分)如图,四棱锥P-ABCD中,AP⊥平面PCD,AD∥BC,AB=BC= AD,E,F分别为线段
2
AD,PC的中点.
(1)求证:AP∥平面BEF;
(2)求证:BE⊥平面PAC.北京曲一线图书策划有限公司 2024版《5年高考3年模拟》A
版
证明 (1)设AC∩BE=O,连接OF,EC.
由于E为AD的中点,
1
AB=BC= AD,AD∥BC,
2
所以AE∥BC,AE=AB=BC,
因此四边形ABCE为菱形,
所以O为AC的中点.
又F为PC的中点,
因此在△PAC中,
可得AP∥OF.
又OF⊂平面BEF,AP⊄平面BEF,
所以AP∥平面BEF.
(2)由题意知ED∥BC,ED=BC,
所以四边形BCDE为平行四边形,
因此BE∥CD.
又AP⊥平面PCD,CD⊂平面PCD,
所以AP⊥CD,因此AP⊥BE.
因为四边形ABCE为菱形,
所以BE⊥AC.
又AP∩AC=A,AP,AC⊂平面PAC,
所以BE⊥平面PAC.
5.(2014广东文,18,13分)如图1,四边形ABCD为矩形,PD⊥平面ABCD,AB=1,BC=PC=2.作如图2折叠:折痕
EF∥DC,其中点E,F分别在线段PD,PC上,沿EF折叠后点P在线段AD上的点记为M,并且MF⊥CF.
(1)证明:CF⊥平面MDF;
(2)求三棱锥M-CDE的体积.北京曲一线图书策划有限公司 2024版《5年高考3年模拟》A
版
解析 (1)证明:∵PD⊥平面ABCD,
AD⊂平面ABCD,∴PD⊥AD.
∵四边形ABCD是矩形,∴AD⊥DC.
又∵PD∩DC=D,∴AD⊥平面PCD.
∵CF⊂平面PCD,∴AD⊥CF.
又∵MF⊥CF,MF∩AD=M,
∴CF⊥平面MDF.
(2)由(1)知CF⊥DF,PD⊥DC,
在△PCD中,DC2=CF·PC.
CD2 1
∴CF= = .
PC 2
又∵EF∥DC,
1
PC FC PD·FC √3× √3
∴ = ⇒ED= = 2= .
PD ED PC 4
2
√3 3√3
∴PE=ME=√3- = ,
4 4
1 1 √3 √3
∴S = DC·ED= ×1× = .
△CDE 2 2 4 8
√6
在Rt△MDE中,MD=√M E2−ED2= ,
2
1 1 √3 √6 √2
∴V = S ·MD= × × = .
M-CDE 3 △CDE 3 8 2 16
6.(2013广东文,18,14分)如图1,在边长为1的等边三角形ABC中,D,E分别是AB,AC上的点,AD=AE,F是
√2
BC的中点,AF与DE交于点G.将△ABF沿AF折起,得到如图2所示的三棱锥A-BCF,其中BC= .
2北京曲一线图书策划有限公司 2024版《5年高考3年模拟》A
版
图1
图2
(1)证明:DE∥平面BCF;
(2)证明:CF⊥平面ABF;
2
(3)当AD= 时,求三棱锥F-DEG的体积V .
F-DEG
3
AD AE
解析 (1)证明:在等边三角形ABC中,AD=AE,∴ = ,在折叠后的三棱锥A-BCF中也成立,
DB EC
∴DE∥BC,∵DE⊄平面BCF,BC⊂平面BCF,∴DE∥平面BCF.
(2)证明:在等边三角形ABC中,F是BC的中点,
1
∴AF⊥BC,BF=CF= .
2
√2
∵在三棱锥A-BCF中,BC= ,
2
∴BC2=BF2+CF2,∴CF⊥BF.
∵BF∩AF=F,∴CF⊥平面ABF.
(3)由(1)可知GE∥CF,结合(2)可得GE⊥平面DFG.
∴V =V =1·1·DG·FG·GE=1·1·1·(1 √3)·1= √3 .
F-DEG E-DFG ·
3 2 3 2 3 3 2 3 324
评析 本题考查线面平行、线面垂直的证明以及空间几何体体积的计算,考查立体几何中翻折问题以及学
生的空间想象能力和逻辑推理论证能力.抓住翻折过程中的不变量是解决这类问题的关键,第(3)问的关键在
于对几何体的转化.
7.(2012北京文,16,14分)如图1,在Rt△ABC中,∠C=90°,D,E分别为AC,AB的中点,点F为线段CD上的一点.
将△ADE沿DE折起到△ADE的位置,使AF⊥CD,如图2.
1 1
(1)求证:DE∥平面ACB;
1
