文档内容
第 04 讲 直线、平面垂直的判定与性质
目录
01 考情透视·目标导航..........................................................................................................................2
02 知识导图·思维引航..........................................................................................................................3
03 考点突破·题型探究..........................................................................................................................4
知识点1：直线与平面垂直的定义.....................................................................................................4
知识点2：直线与平面垂直的判定定理.............................................................................................4
知识点3：直线与平面垂直的性质定理.............................................................................................5
知识点4：平面与平面垂直的定义.....................................................................................................6
知识点5：平面与平面垂直的判定定理.............................................................................................7
知识点6：平面与平面垂直的性质定理.............................................................................................7
解题方法总结........................................................................................................................................8
题型一：垂直性质的简单判定............................................................................................................9
题型二：证明线线垂直......................................................................................................................10
题型三：证明线面垂直......................................................................................................................12
题型四：证明面面垂直......................................................................................................................13
题型五：面面垂直的性质定理..........................................................................................................15
题型六：垂直关系的综合应用..........................................................................................................17
题型七：鳖臑几何体中的垂直..........................................................................................................19
04真题练习·命题洞见........................................................................................................................20
05课本典例·高考素材........................................................................................................................22
06易错分析·答题模板........................................................................................................................23
易错点：忽视用证明垂直的方法求夹角..........................................................................................23
答题模板：线线垂直、线面垂直的证明..........................................................................................23考点要求 考题统计 考情分析
2024 年 II 卷第 17（1）题，7
分
2023 年 II 卷第 20（1）题，6
分
选择题、填空题中考查直线、平面
（1）直线与平面 2023年北京卷第16（1）题，5
位置关系判断；解答题第一问中多考查
垂直的判定与性质 分
平行、垂直的证明．证明一些空间位置
（2）平面与平面 2022年乙卷（文）第 9题，5
关系，利用性质定理、判定定理探究平
垂直的判定与性质 分
行、垂直位置关系的存在性问题．
2022 年乙卷（文）第 18 题，
12分
2021年浙江卷第6题，4分
2021年II卷第10题，5分
复习目标：
（1）理解空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系．
（2）掌握直线与平面、平面与平面垂直的判定与性质，并会简单的应用．知识点1：直线与平面垂直的定义
如果一条直线和这个平面内的任意一条直线都垂直，那称这条直线和这个平面相互垂直．
【诊断自测】（2024·高三·河北·期末）已知 、 是不重合的两条直线， 、 是不重合的两个平面，
则下列结论正确的是（ ）
A．若 ， ， ，则
B．若 ， ， ，则
C．若 ， ， ，则
D．若 ， ，则
知识点2：直线与平面垂直的判定定理
文字语言 图形语言 符号语言
一条直线与一
个平面内的两条相
判断定理 交直线都垂直，则
该直线与此平面垂
直
两 个 平 面 垂
直，则在一个平面 _
面⊥面⇒线⊥
内垂直于交线的直
面 _a
线与另一个平面垂
直
一条直线与两 _
平行平面中的一个
平行与垂直的
平面垂直，则该直
关系
线与另一个平面也
垂直两平行直线中 _a _b
平行与垂直的 有一条与平面垂
关系 直，则另一条直线
与该平面也垂直
【诊断自测】如图，在三棱锥 中，平面 平面 ， ， 为棱
的中点，点 在棱 上， ，且 .
证明： 平面 ；
知识点3：直线与平面垂直的性质定理
文字语言 图形语言 符号语言
_a _b
垂直于同一平
性质定理
面的两条直线平行
_
垂直与平行的 垂直于同一直
关系 线的两个平面平行
如果一条直线
线垂直于面的 垂直于一个平面，
性质 则该直线与平面内
所有直线都垂直
【诊断自测】（2024·高三·江苏南通·期中）如图， 且 ， ， 且
， 且 ， 平面 ， .(1)设面BCF与面EFG的交线为 ，求证： ；
(2)证明:
知识点4：平面与平面垂直的定义
如果两个相交平面的交线与第三个平面垂直，又这两个平面与第三个平面相交所得的两条交线互相垂
直．（如图所示，若 ，且 ，则 ）
一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．
【诊断自测】（2024·福建泉州·模拟预测）已知 是两条不同的直线， 是三个不同的平面，
则下列命题是真命题的是（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
知识点5：平面与平面垂直的判定定理
文字语言 图形语言 符号语言
判定定理 一个平面过
另一个平面的垂 _
线，则这两个平
面垂直【诊断自测】如图，在三棱锥 中，平面 平面 ， 和 均为等腰直角三角
形，且 ， ．
证明：平面 平面 ；
知识点6：平面与平面垂直的性质定理
文字语言 图形语言 符号语言
性质定理 两 个 平 面 垂
直，则一个平面内
_
垂直于交线的直线
_a
与另一个平面垂直
【诊断自测】如图1，四边形 为菱形， ， ， 分别为 ， 的中点.如图2，将
沿 向上折叠，使得平面 平面 ，将 沿 向上折叠．使得平面 平面
.求证： 四点共面.
解题方法总结
判定定理 判定定理
线线 性质定理 线面 性质定理 面面
（1）证明线线垂直的方法
①等腰三角形底边上的中线是高；
②勾股定理逆定理；
③菱形对角线互相垂直；
④直径所对的圆周角是直角；⑤向量的数量积为零；
⑥线面垂直的性质 ；
⑦平行线垂直直线的传递性（ ）．
（2）证明线面垂直的方法
①线面垂直的定义；
②线面垂直的判定（ ）；
③面面垂直的性质（ ）；
平行线垂直平面的传递性（ ）；
⑤面面垂直的性质（ ）．
（3）证明面面垂直的方法
①面面垂直的定义；
②面面垂直的判定定理（ ）．
空间中的线面平行、垂直的位置关系结构图如图所示，由图可知，线面垂直在所有关系中处于核心位
置．
线∥面
判定 判定
性质 判定 性质
线∥线 面∥面
性质
判定 判定
线⊥线 线⊥面 面⊥面
性质 性质
题型一：垂直性质的简单判定
【典例1-1】（2024·四川·模拟预测）设 为两条不同的直线， 为两个不同的平面，下列说法正
确的是（ ）
A．若 ， ，则
B．若 与 所成的角相等，则
C．若 ， ，则D．若 ，则
【典例1-2】（2024·湖南·三模）已知m，n是两条不重合的直线， 是两个不重合的平面，下列命
题正确的是（ ）
A．若 ，则
B．若 ，则
C．若 ，则
D．若 ，则
【方法技巧】
此类问题可以转化为一个正方体的棱、面等，进而进行排除．
【变式1-1】在四边形 中， ，将 折起，使平
面 平面 ，构成三棱锥 ，如图，则在三棱锥 中，下列结论不正确的是（ ）
A． B．
C．平面 平面 D．平面 平面
【变式1-2】已知下面给出的四个图都是正方体，A，B为顶点，E，F分别是所在棱的中点，
则满足直线 的图形的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式1-3】已知正四面体 中， 是 的中点，连接 是 的中点，点 满足
，则（ ）
A．
B． 平面
C． 平面D．平面 平面
题型二：证明线线垂直
【典例2-1】（2024·陕西榆林·模拟预测）如图，在四棱锥 中， 平面ABCD，底面
ABCD为正方形，E为线段AB的中点， ．
求证： ；
【典例2-2】（2024·四川·模拟预测）如图，多面体 中，已知面 是边长为4的正方形，
是等边三角形， ， ，平面 平面 ．
求证： ；
【方法技巧】
【变式2-1】（2024·广东佛山·模拟预测）如图，已知多面体 的底面ABCD是菱形，
侧棱 底面 ，且 ．证明： ；
【变式2-2】（2024·陕西榆林·模拟预测）如图，在四棱锥 中， 平面 ，底面
为正方形，E为线段 的中点， ．
(1)求证： ；
(2)求点E到平面 的距离．
【变式2-3】（2024·河南·模拟预测）如图所示，在三棱锥 中，平面 平面 ，
， 为锐角.
证明： ；
题型三：证明线面垂直
【典例3-1】如图，AB是圆的直径，平面PAC 面ACB，且AP AC．
求证： 平面 ；
【典例3-2】在 中， ， ，D为边 上一点， ，E为 上一点，
，将 沿 翻折，使A到 处， .证明： 平面 ；
【方法技巧】
方法一：线面垂直的判定．
线线垂直 线面垂直，符号表示为： ，那么 ．
方法二：面面垂直的性质．
面面垂直 线面垂直，符号表示为： ，那么 ．
【变式3-1】（2024·河南驻马店·二模）在如图①所示的平面图形中，四边形 为菱形，现沿
进行翻折，使得 平面 ，过点 作 ，且 ，连接 ，所得图形如图②
所示，其中 为线段 的中点，连接 .
求证： 平面 ；
【变式3-2】（2024·四川乐山·三模）如图，平行六面体 中，底面 是边长为2
的菱形，且 ， 与平面 所成的角为 与 交于 ．
证明： 平面 ；
【变式3-3】（2024·高三·湖北武汉·开学考试）如图，在三棱锥 中，
为 上的动点.若 ，求证： 平面 ；
【变式3-4】（2024·四川雅安·三模）四棱锥 中， ，底面 为等腰梯形，
， ， 为线段 的中点， .
证明： 平面 ；
题型四：证明面面垂直
【典例4-1】（2024·湖南·三模）如图，四棱锥 的底面 是梯形，
平面 .
求证：平面 平面 ；
【典例4-2】在三棱台 中，底面 是等边三角形，侧面 是等腰梯形， 是
的中点， 是两异面直线 和 的公垂线，且 ， ．
证明：侧面 平面 ；
【方法技巧】
主要证明方法是利用面面垂直的判定定理（线面垂直 面面垂直）．证明时，先从现有的直线中寻找
平面的垂线，若图中不存在这样的直线，则可通过作辅助线来解决．
【变式4-1】（2024·四川德阳·三模）如图，在三棱柱 中，底面 是等边三角形，
，D为 的中点，过 的平面交棱 于E，交 于F.求证：平面 平面 ；
【变式4-2】如图，在四棱锥 中，平面 平面 ，底面 为菱形，
， ， 是 的中点．
(1)证明：平面 平面 ．
(2)求点 到平面 的距离．
【变式4-3】（2024·陕西宝鸡·三模）如图，在三棱柱 中， 与 的距离为 ，
， .
证明：平面 平面ABC；
【变式4-4】（2024·新疆乌鲁木齐·三模）由平行六面体 截去三棱锥 后得到
如图所示的几何体，其体积为5，底面ABCD为菱形，AC与BD交于点O， ．
(1)证明 平面 ；(2)证明平面 平面 ；
题型五：面面垂直的性质定理
【典例5-1】（2024·陕西西安·三模）在四棱锥 中，平面 平面 ， ，
， ， ．
证明： ．
【典例5-2】（2024·江苏·三模）如图，在三棱锥 中， 底面 为 上一点，且平
面 平面 ，三棱锥 的体积为 .
求证： 为 的中点；
【方法技巧】
两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直
【变式5-1】（2024·高三·河南·开学考试）如图，在三棱锥 中， 为 的中点，平面
平面 是等腰直角三角形， .证明： ；
【变式5-2】如图，在三棱台 .中， ，平面 平面 .
求证： 平面 ；
【变式5-3】（2024·陕西西安·模拟预测）如图，四棱锥 ，侧面PAD是边长为2的正三角形
且与底面垂直，底面ABCD是 的菱形， 为棱PC上的动点且 .
(1)求证: 为直角三角形;
(2)试确定 的值，使得三棱锥 的体积为 .
题型六：垂直关系的综合应用
【典例6-1】如图，在直三棱柱 中， ， ．试在平面 内确定
一点H，使得 平面 ，并写出证明过程；
【典例6-2】在四棱锥 中， 是等边三角形，且平面 平面 ，
， ．在AD上是否存在一点M，使得平面 平面 ，若存在，请证明；若不存在，请说明理由；
【方法技巧】
（1）三种垂直的综合问题，一般通过作辅助线进行线线、线面、面面垂直间的转化．
（2）对于线面关系中的存在性问题，首先假设存在，然后在该假设条件下，利用线面关系的相关定
理、性质进行推理论证．
【变式6-1】如图，在直三棱柱 中，M为棱 的中点， ， ， .
在棱 上是否存在点N，使得平面 平面 ？如果存在，求此时 的值；如果不存在，请
说明理由.
【变式6-2】（2024·高三·浙江温州·开学考试）如图，在四棱锥 中，底面 是边长为
的菱形且 ， ， ．
(1)求 的值；
(2)若 ，是否存在 ，使得平面 平面 ？若存在，求出 的值；若不存在，请说明理
由．【变式6-3】如图，在四棱锥 中，底面 是正方形，侧面 是正三角形，侧面
底面 ，M是 的中点．
(1)求证： 平面 ；
(2)在棱 上是否存在点N使平面 平面 成立？如果存在，求出 ；如果不存在，说明理由．
题型七：鳖臑几何体中的垂直
【典例7-1】如图，在四棱锥 中，四边形 为菱形， ， ， 平
面 ， 分别是 ， 的中点．
证明：直线 平面 ；
【典例7-2】如图，在四棱锥 中，底面 为正方形， 平面 为
线段 的中点， 为线段 （不含端点）上的动点.
证明：平面 平面 ；
【方法技巧】
l l l
若一条直线 垂直于一个平面，如果在被垂直的平面内找到两条相交的相互垂直的直线 1与 2，则与l l l l
异面的直线 1垂直于 和 2构成的平面．
【变式7-1】（2024·全国·模拟预测）如图，在三棱锥 中，平面 平面ABC，且
， ，E为棱PC的中点，F为棱PB上的点.
证明： ；
【变式7-2】如图，在三棱锥 中， ， ， ， ，
的中点分别为 ， ，点 在 上， ．
(1)证明： 平面 ；
(2)证明：平面 平面 ；
【变式7-3】《九章算术》中有这样一段话：“斜解立方，得两堑堵，斜解堑堵，其一为阳马，一为
鳖臑”，这里所谓的“阳马”，就是底面是矩形且一条侧棱垂直于底面的四棱锥.如图，四棱锥
为阳马， 底面 ， 分别为 的中点.
(1)证明： 平面 ；
(2)证明： 平面 ；1．（2022年高考全国乙卷数学（理）真题）在正方体 中，E，F分别为 的中点，
则（ ）
A．平面 平面 B．平面 平面
C．平面 平面 D．平面 平面
2．（2021年浙江省高考数学试题）如图已知正方体 ，M，N分别是 ， 的中点，
则（ ）
A．直线 与直线 垂直，直线 平面
B．直线 与直线 平行，直线 平面
C．直线 与直线 相交，直线 平面
D．直线 与直线 异面，直线 平面
3．（2014年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（广东卷带解析））若空间中四条直线 、 、 、
，满足 、 、 ，则下列结论一定正确的是．
A． B．
C． 、 既不平行也不垂直 D． 、 位置关系不确定
4．（多选题）（2021年全国新高考II卷数学试题）如图，在正方体中，O为底面的中心，P为所在棱的
中点，M，N为正方体的顶点．则满足 的是（ ）A． B．
C． D．
1．如图，在三V-ABC中，已知 ，判断平面VAB与平面VBC的位置关系，并
说明理由.
2．如图，在V-ABC中， 平面ABC， ，你能判定 ，以及
吗？3．如图，在正方形 中，E，F分别是 的中点，D是EF的中点，若沿SE，SF及EF把这
个正方形折成一个四面体，使 三点重合，重合后的点记为G，则在四面体S-EFG中，哪些棱与面
互相垂直？
4．如图，AB是 的直径，点C是 上的动点，过动点C的直线VC垂直于 所在平面，D，E分别
是VA，VC的中点，判断直线DE与平面VBC的位置关系，并说明理由.
5．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形， 底面ABCD， ，E为线段PB的中点，
F为线段BC上的动点，平面AEF与平面PBC是否互相垂直？如果垂直.请证明；如果不垂直，请说明理由.
过 所在平面 外一点P，作 ，垂足为O，连接 .（1）若 ，则点O
是 的 心.（2）若 ， ，则点O是 边的 .（3）若 ， ，
，垂足都为P，则点O是 的 心.
易错点：忽视用证明垂直的方法求夹角
易错分析：容易忽视垂直的特殊方法，导致方法使用不当而浪费很多时间.
【易错题1】在三棱柱 中，若ΔABC是等边三角形， 底面 ，且 ，则
与 所成角的大小为（ ）
A． B． C． D．【易错题2】正三棱柱 中，若 ，则 与 所成的角的大小为（ ）
A．60° B．90° C．45° D．120°
答题模板：线线垂直、线面垂直的证明
1、模板解决思路
通过线面垂直的判定定理证明直线 与平面 垂直时，关键是在平面 内找到两条与直线 垂直的相
交直线，并证明.
2、模板解决步骤
第一步：证明直线 与平面 内两条相交直线都垂直.
第二步：通过线面垂直的判定定理证明直线 与平面 垂直.
第三步：通过线面垂直的性质证明直线 与平面 内的直线 垂直.
【典型例题1】如图，已知三棱台 ，底面 是以 为直角顶点的等腰直角三角形，体积为
，平面 平面 ，且 .
证明： 平面 ；
【典型例题2】如图所示，三棱柱 中，侧棱 垂直于底面， ， ， ，
点P，D分别为AB， 的中点．
(1)求证： 平面 ；(2)求证： ；
