第04讲直线、平面垂直的判定与性质（五大题型）（讲义）（解析版）_2.2025数学总复习_2024年新高考资料_1.2024一轮复习_2024年高考数学一轮复习讲练测（新教材新高考）

第 04 讲 直线、平面垂直的判定与性质 目录 考点要求 考题统计 考情分析 （1）理解空间中直线与直 选择题、填空题中考查直线、平面 2022年乙卷（文）第9题，5分 线、直线与平面、平面与 位置关系判断；解答题第一问中多 2022年乙卷（文）第18题，12分 平面的垂直关系． 考查平行、垂直的证明．证明一些 2021年浙江卷第6题，4分 （2）掌握直线与平面、平 空间位置关系，利用性质定理、判 2021年II卷第10题，5分 面与平面垂直的判定与性 定定理探究平行、垂直位置关系的 质，并会简单的应用． 存在性问题． 知识点1：直线与平面垂直的定义 如果一条直线和这个平面内的任意一条直线都垂直，那称这条直线和这个平面相互垂直． 知识点2：判定定理（文字语言、图形语言、符号语言） 文字语言 图形语言 符号语言一条直线与一 个平面内的两条相 判断定理 交直线都垂直，则 该直线与此平面垂 直 两 个 平 面 垂 直，则在一个平面 _ 面⊥面⇒线⊥ 内垂直于交线的直 面 _a 线与另一个平面垂 直 一条直线与两 _ 平行平面中的一个 平行与垂直的 平面垂直，则该直 关系 线与另一个平面也 垂直 两平行直线中 _a _b 平行与垂直的 有一条与平面垂 关系 直，则另一条直线 与该平面也垂直 知识点3：性质定理（文字语言、图形语言、符号语言） 文字语言 图形语言 符号语言 _a _b 垂直于同一平面 性质定理 的两条直线平行 文字语言 图形语言 符号语言 _ 垂直于同一 垂直与平行的 直线的两个平面 关系 平行 如果一条直 线垂直于一个平 线垂直于面的 面，则该直线与 性质 平面内所有直线 都垂直 知识点4：平面与平面垂直的定义 如果两个相交平面的交线与第三个平面垂直，又这两个平面与第三个平面相交所得的两条交线互相垂直．（如图所示，若 ，且 ，则 ） 一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直． 知识点5：判定定理（文字语言、图形语言、符号语言） 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 一个平面过 另一个平面的垂 _ 线，则这两个平 面垂直 知识点6：性质定理（文字语言、图形语言、符号语言） 文字语言 图形语言 符号语言 性质定理 两 个 平 面 垂 直，则一个平面内 _ 垂直于交线的直线 _a 与另一个平面垂直 【解题方法总结】 判定定理 判定定理   线线 性质定理 线面 性质定理 面面 （1）证明线线垂直的方法 ①等腰三角形底边上的中线是高； ②勾股定理逆定理； ③菱形对角线互相垂直； ④直径所对的圆周角是直角； ⑤向量的数量积为零； ⑥线面垂直的性质 ； ⑦平行线垂直直线的传递性（ ）． （2）证明线面垂直的方法 ①线面垂直的定义； ②线面垂直的判定（ ）；③面面垂直的性质（ ）； 平行线垂直平面的传递性（ ）； ⑤面面垂直的性质（ ）． （3）证明面面垂直的方法 ①面面垂直的定义； ②面面垂直的判定定理（ ）． 空间中的线面平行、垂直的位置关系结构图如图所示，由图可知，线面垂直在所有关系中处于核心位 置． 线∥面 判定 判定 性质 判定 性质 线∥线 面∥面 性质 判定 判定 线⊥线 线⊥面 面⊥面 性质 性质 题型一：垂直性质的简单判定 例1．（2023·甘肃兰州·校考模拟预测）设 是两条不同的直线， 是两个不同的平面，则下列说法 正确的是（） A．若 ，则 B．若 ，则 C．若 ，则 D．若 ，则 【答案】D 【解析】当 ， 时，可能有 ，但也有可能 或 ，故A选项错误； 当 ， 时，可能有 ，但也有可能 或 ，故选项B错误； 在如图所示的正方体 中，取 为 ， 为 ， 为平面 ， 为平面 ，这时满足 ， ， ，但 不成立，故选项C错误； 当 ， ， 时，必有 ，从而 ，故选项D正确； 故选：D. 例2．（2023·重庆·统考模拟预测）已知l，m，n表示不同的直线， ， ， 表示不同的平面，则下列四 个命题正确的是（） A．若 ，且 ，则 B．若 ， ， ，则 C．若 ，且 ，则 D．若 ， ， ，则 【答案】C 【解析】对于选项A：若 ，且 ，则l，m可能平行、相交或异面，并不一定垂直，故A错误； 对于选项B：若 ， ， ，则m，n可能平行、相交或异面，并不一定平行，故B错误； 对于选项C：若 ，且 ，根据线面垂直可得： ，故C正确； 对于选项D：若 ， ，但不能得到 ， 所以虽然 ，不能得到 ，故D错误； 故选：C. 例3．（2023·陕西咸阳·统考二模）已知 ， 是两条不同的直线， ， 是两个不同的平面，有以下四 个命题： ①若 ∥ ， ，则 ∥ ， ②若 ， ，则 ， ③若 ， ，则 ∥ ， ④若 ， ， ，则 其中正确的命题是（） A．②③ B．②④ C．①③ D．①② 【答案】A 【解析】对于①，当 ∥ ， 时， ∥ 或 ，所以①错误， 对于②，当 ， 时，由面面垂直的判定定理可得 ，所以②正确， 对于③，当 ， 时，有 ∥ ，所以③正确， 对于④，当 ， ， 时，如图所示， ∥ ，所以④错误，故选：A 变式1．（2023·河南·校联考模拟预测）已知 是两个不同的平面， 是两条不同的直线，则下列命 题中正确的是（） A．若 ，则 B．若 ，则 C．若 ，则 D．若 ，则 【答案】D 【解析】对于A，可能会出现 ，或 与 相交但不垂直的情况，所以A不正确； 对于B， 可能平行、可能异面，所以B不正确； 对于C，若 ，仍然满足 且 ，所以C不正确； 对于D， ，则 ，再由 ，可得 ,可知D正确. 故选：D. 变式2．（2023·陕西咸阳·统考模拟预测）如图所示的菱形 中， 对角线 交 于点 ，将 沿 折到 位置，使平面 平面 .以下命题: ① ； ②平面 平面 ； ③平面 平面 ； ④三棱锥 体积为 . 其中正确命题序号为（ ） A．①②③ B．②③ C．③④ D．①②④ 【答案】D 【解析】如图：因为四边形 是菱形， ， 所以 ， 为 的中点， 所以 ， ， ， 面 ， 所以 面 ，又 面 ，所以 ，即①正确； 由①知 面 ，又 面 ，所以平面 平面 ，即②正确； 如图： 取 的中点为 ，连接 ， ，依题意， ， 所 ， ，所以 是二面角 的平面角， 又因为平面 平面 ，平面 平面 ， 所以 面 ， 和 是边长为2的正三角形， 所以 ，且有 ， 所以在 中， ， 又 和 是两全等的等腰三角形， ， 的中点为 ，所以 ， 由已知可得 是边长为2的正三角形，得 ， 则在 中，容易算得 ， ， ， 所以 ，所以二面角 不是直二面角，故③错误； 由已知可得 是边长为2的正三角形，又由上得 面 ， 所以三棱锥 的高即为 ， ， 是边长为2的正三角形， 所以三棱锥 的体积为 ，故④正确.故选：D. 变式3．（2023·广西南宁·武鸣县武鸣中学校考三模）已知l，m，n是三条不同的直线， ， 是不同的平 面，则下列条件中能推出 的是（） A． ， ，且 B． ， ， ，且 ， C． ， ， ，且 D． ， ，且 【答案】D 【解析】对于A， ， ，且 ， ， 可以平行、相交不垂直、垂直，A不正确； 对于B， ， ， ，且 ， ，当 不相交时，l不一定与 垂直，则 不一定与 垂直，B不正确； 对于C， ， ， ，且 ，显然直线 与 无关系， ， 可以平行、相交不垂直、 垂直，C不正确； 对于D，由 ， ，得 ，又 ，根据面面垂直的判定知 ，D正确． 故选：D 【解题方法总结】 此类问题可以转化为一个正方体的棱、面等，进而进行排除． 题型二：证明线线垂直 例4．（2023·贵州黔东南·凯里一中校考模拟预测）如图，在三棱柱 中， ， ． (1)证明： ； 【解析】（1）取 的中点 ，连接 ， ， ， ， ， ， 又 ， 平面 ， 平面 ， 而 平面 ， ； 例5．（2023·广东深圳·统考二模）如图，在四棱锥 中，底面 为矩形， 平面 ，点 是 的中点.(1)证明： ； 【解析】（1）证明：因为 ，点 是 的中点，所以 . 因为 平面 平面 ，所以平面 平面 ， 因为四边形 为矩形，所以 ， 因为平面 平面 ， 平面 ， 所以 平面 ，所以 ， 因为 ， 平面 ， 所以 平面 ， 因为 平面 ，所以 . 例6．（2023·河南·校联考模拟预测）已知三棱柱 中， 是 的中点， 是线段 上一点. (1)求证： ； 【解析】（1）证明：连接 ， ， 是 的中点 ， 是 的中点， ， 平面 平面 ， 平面 ， ， 在三棱柱 中， ， ， ， ， 平面 ， 平面 ， ． 变式4．（2023·福建宁德·校考模拟预测）图1是由直角梯形ABCD和以CD为直径的半圆组成的平面图形， ， ， ．E是半圆上的一个动点，当△CDE周长最大时，将半圆沿着 CD折起，使平面 平面ABCD，此时的点E到达点P的位置，如图2． (1)求证： ； 【解析】（1）如下图，过点D作 交 于点 ，连结 ， 因为 ， ， ． 所以 ， ， ，由 , 所以 ， 因为平面 平面ABCD，平面 平面 ， 平面 , 所以 平面 ，又 平面 ， 所以 . 变式5．（2023·河南·校联考模拟预测）如图，已知三棱柱 中， ， ， ， 是 的中点， 是线段 上一点.(1)求证： ； (2)设 是棱 上的动点（不包括边界），当 的面积最小时，求棱锥 的体积. 【解析】（1）连接 ， ， 为 中点， . 又 ， ， ，且 . ， ， ， 又 ， ， 平面 ， 平面 ，又 平面 ， . 由已知 ， ， ， 又 ， 平面 ， 平面 . 而 ， 平面 ， . （2）由（1）可知 ， . 又 ， 平面 ， 平面 ， 又 ， 平面 ， . 所以 ，又 在棱 上移动， 当 时， 最小，此时 面积最小. 在 中， ， ，则 ， ， . 在 中，过 做 于 ，则 ， ， 平面 ，于是可得 . .变式6．（2023·贵州毕节·校考模拟预测）在梯形 中， ， ， ， ， 如图1.沿对角线 将 折起，使点 到达点 的位置， 为 的中点，如图2. (1)证明： . 【解析】（1）因为 ， ，所以 ， 所以 ，所以 ，则 ， 又 ，所以 为等边三角形，所以 ，又 为 的中点， 连接 交 于点 ，则 ， ， 所以 ，所以 ，即 ， 则折起后 ， ， ， 平面 ， 所以 平面 ， 平面 ，所以 . 【解题方法总结】 题型三：证明线面垂直 13．（2023·陕西榆林·陕西省神木中学校考三模）如图，在四棱柱 中， 底面 ，底面 满足 ，且 ， . (1)求证： 平面 ； (2)求四棱锥 的体积. 【解析】（1）由 底面 ， 平面 ， 所以 ， 又因为 ， . 满足 ，可得 ， 又 ， 平面 ， 所以 平面 . （2）由（1）中 ，且 ， ，可得 ， 因此 ，即 ， 又 平面 ， ， 可得 平面 ， 平面 ， 即 ， 又 ， 平面 ， 所以 平面 ，即 为四棱锥 的高， 即四棱锥 的体积. . 例7．（2023·云南·校联考模拟预测）如图，在四棱锥 中，已知 ， . (1)证明： 平面 ；【解析】（1）在 中， ， 所以 . 所以 ，故 ，则 . 又 ，即 . 平面 ， 所以 平面 . 例8．（2023·云南昭通·校联考模拟预测）如图，在三棱锥 中， 平面ABD，E为AB的中点， ， . (1)证明： 平面CED； 【解析】（1）因为 平面 ， 平面 ，所以 ， 又因为 为 的中点，所以 是 的中线， 所以 ，且 ， 平面 ， 所以 平面 . 例9．（2023·内蒙古赤峰·赤峰二中校联考模拟预测）如图1，在五边形 中，四边形 为正方形， ， ，如图2，将 沿 折起，使得A至 处，且 ． (1)证明： 平面 ； 【解析】（1）由题意得 ， ， ， 因为 ，则 ，又 ， 面 ，所以 面 ， 又 面 ，则 ， 又 ， ， 平面 ， 平面 ， 所以 平面 ． 变式7．（2023·重庆巴南·统考一模）如图所示，在三棱锥 中，已知 平面 ，平面 平面 ． (1)证明： 平面 ； 【解析】（1）过点 作 于点 ， 因为平面 平面 ，且平面 平面 ， 平面 ， 所以 平面 ， 又 平面 ，所以 ， 又 平面 ， 平面 ， 所以 ， 又因为 ， ， 平面 ， 所以 平面 ． 变式8．（2023·广东广州·统考三模）如图，在几何体 中，矩形 所在平面与平面 互相 垂直，且 ， ， ．(1)求证： 平面 ； 【解析】（1）在矩形 中， ， 又平面 平面 ，平面 平面 = ， 平面 ， 所以 平面 ， 又 平面 ， 所以 ， 在矩形 中， , 又 ，所以 , 所以 . 又 ， 平面 ， 所以 平面 ； 变式9．（2023·天津津南·天津市咸水沽第一中学校考模拟预测）如图，在三棱柱 中，平面 平面 ， 是 的中点，且 . (1)证明： 平面 ； 【解析】（1）连接 ， 由题意可知： 为等边三角形，且 是 的中点， 所以 ， 因为平面 平面 ，平面 平面 ， ， 所以 平面 ， 且 平面 ，可得 ， ， 平面 ，所以 平面 . 【解题方法总结】 垂直关系中线面垂直是重点． ①垂直两条相交线；  ②垂直里面作垂线； 线垂面哪里找 ③直（正）棱柱的侧棱是垂线；  ④正棱锥的顶点与底面的中心的连线是垂线.  ①垂直面里所有线（证线线垂直）； 线垂面有何用 ②过垂线作垂面（证面面垂直）.  证明线面垂直常用两种方法． 方法一：线面垂直的判定．  线线垂直 线面垂直，符号表示为： ，那么 ． 方法二：面面垂直的性质．  面面垂直 线面垂直，符号表示为： ，那么 ． 题型四：证明面面垂直 例10．（2023·山西运城·山西省运城中学校校考二模）如图，在三棱柱 中，侧面 为菱 形， ， ， . (1)证明：平面 平面 ； 【解析】（1）如图，连接 ，交 于 ，连接 . 因为侧面 为菱形，所以 ，且 为 的中点.又 ，故 . 又 ，且 ，所以 ，所以 .又 ，所以 ，所以 . 因为 平面 ， ，所以 平面 . 又 平面 ，所以平面 平面 .例11．（2023·贵州贵阳·校联考三模）如图所示，在四棱锥 中，底面 为直角梯形， ， ， ， ， ， . (1)求证：平面 平面 ； 【解析】（1） 四边形 为直角梯形， ， ， 又 ， ， 平面 ， 平面 ， 又 平面 ， ； 作 ， ， ， ， ， 又 ， ， ， ， ， ， 平面 ， 平面 ， 平面 ， 平面 平面 . 例12．（2023·西藏日喀则·统考一模）如图，已知直角梯形 与 ， ， ， ，AD⊥AB， ，G是线段 上一点. (1)平面 ⊥平面ABF【解析】（1）因为 ， ， ，AF、AB 平面ABF， 所以AD⊥平面ABF，又AD 平面ABCD， 所以平面 ⊥平面ABF. 变式10．（2023·广东梅州·统考三模）如图所示，在几何体 中， 平面 ，点 在平面 的投影在线段 上 ， ， ， ， 平面 . (1)证明：平面 平面 . 【解析】（1）由题知，平面 平面 ，过点 作 的垂线，垂足为 ，连接 ， 又因为平面 平面 ，所以 平面 . 因为 平面 ，所以 ，则 共面. 因为 平面 ， 平面 ，平面 平面 ， 所以 ，则四边形 为平行四边形，所以 . 因为 ， ，所以 ， 因为 ，所以 ， 由正弦定理得 ，即 ， 所以 ，因为 ，所以 ， 所以 ，即 . 因为 平面 ， 平面 ，所以 ， 又因为 , 平面 ，所以 平面 . 因为 ，所以 平面 . 因为 平面 ，所以平面 平面 . 变式11．（2023·河北张家口·统考三模）如图，在三棱柱 中，侧面 为菱形， .(1)证明：平面 平面 ； 【解析】（1）连 、 交于 ，则 为 、 的中点，连 ， 因为 ，所以 ， 因为侧面 为菱形， ， ， 所以 ， ，所以 ，即 ， 因为 ， 平面 ， 所以 平面 ，因为 平面 ， 所以平面 平面 . 变式12．（2023·陕西西安·西安市大明宫中学校考模拟预测）如图，在长方体 中， 为棱 的中点． (1)证明：平面 平面 ； (2)画出平面 与平面 的交线，并说明理由； (3)求过 三点的平面 将四棱柱分成的上、下两部分的体积之比． 【解析】（1）在长方体 中， ， 与 都是等腰直角三角形， ， ， 平面 平面 ， ，又 面 ， 面 ， 又 平面 平面 平面 ； （2）延长 与 的延长线相交于 ，连接 ， 则 即为平面 与平面 的交线，理由如下： 平面 ， 平面 ， 平面 与平面 的交线为 ； （3）令 与 的交点为 ， 则三棱台 的体积为 ， 为棱 的中点， 为 的中点， 是 的中点， 是 的中点， ， ， ， 三棱台 的体积为 ， 过 三点的平面 将四棱柱分成的上部分的体积为 . 过 三点的平面 将四棱柱分成的上、下两部分的体积之比为 . 变式13．（2023·云南·云南师大附中校考模拟预测）如图， 为圆锥的顶点，A， 为底面圆 上两点， ， 为 中点，点 在线段 上，且 .(1)证明：平面 平面 ； 【解析】（1）设圆O的半径为r， 在 中， ， ， ， 故 ，又 ，故 ， 在 中，由余弦定理得 ， 所以 ，即 ； 圆锥中， 底面 ， 底面 ，故 ， 又 ，所以 平面 ， 又 平面 ，所以平面 平面 . 变式14．（2023·江苏南京·南京市第一中学校考模拟预测）在如图所示的空间几何体中， 与 均是等边三角形，直线 平面 ，直线 平面 ， . (1)求证：平面 平面 ； 【解析】（1）如图1，设平面 与直线 的交点为 ，连接 ， . 因为直线 平面 ，直线 平面 ， 平面 ， 平面 ， 所以 ， . 因为 ， 平面 ， 平面 ， 所以 平面 . 因为 平面 ， 平面 ， 所以 ， . 又因为 与 均是等边三角形， 所以 为 中点，且二面角 的平面角为 . 在平面四边形 中， 因为 ， 所以 ， 所以平面 平面 . 【解题方法总结】  主要证明方法是利用面面垂直的判定定理（线面垂直 面面垂直）．证明时，先从现有的直线中寻找 平面的垂线，若图中不存在这样的直线，则可通过作辅助线来解决． 题型五：垂直关系的综合应用 例13．（2023·贵州铜仁·统考二模）如图，在直三棱柱 中， ， ． (1)试在平面 内确定一点H，使得 平面 ，并写出证明过程；【解析】（1）取棱BC的中点D，连接 ，AD．在等腰直角 ABC中， ， 又 ， 平面 ，故 平面△ ． 又 平面 ，故平面 平面 ，这两个平面的交线为 ． 在 中，作 ，则有 平面 ； 例14．（2023·全国·校联考模拟预测）如图，在正三棱柱 （侧棱垂直于底面，且底面三角形 是等边三角形）中， ， 、 、 分别是 ， ， 的中点． (1)求证：平面 平面 ； (2)在线段 上是否存在一点 使 平面 ？若存在，确定点 的位置；若不存在，也请说明理由． 【解析】（1）（1）证明： 、 、 分别是 ， ， 的中点． ，四边形 为平行四边形，可得 ， 因为 平面 ； 平面 ； 平面 ； 同理可得 平面 ； 又 ， 平面 ， 平面 平面 ． （2）假设在线段 上存在一点 使 平面 ． 四边形 是正方形，因此点 为点 ． 不妨取 ，如图建立空间直角坐标系，则 ， ， ， ， ， ， ， ． 所以 ， ，又 ， 平面 ，所以 平面 ， 在线段 上存在一点 ，使 平面 ，其中点 为 点．例15．（2023·天津·耀华中学校考二模）如图，在三棱锥A﹣BCD中，顶点A在底面BCD上的射影O在棱 BD上，AB＝AD＝ ，BC＝BD＝2，∠CBD＝90°，E为CD的中点． （1）求证：AD⊥平面ABC； （2）求二面角B﹣AE﹣C的余弦值； （3）已知P是平面ABD内一点，点Q为AE中点，且PQ⊥平面ABE，求线段PQ的长． 【解析】（1）因为顶点A在底面BCD上的投影O在棱BD上， 所以AO⊥平面BCD， 因为AO 平面ABD， 所以平面ABD⊥平面BCD， ⊂ 因为∠CBD＝90°， 所以BC⊥BD， 因为平面ABD∩平面BCD＝BD，BC 平面BCD， 所以BC⊥平面ABD， ⊂ 又AD 平面ABD， 所以BC⊥AD， ⊂ 由AB＝AD＝ ，BD＝2，得 ， 所以AD⊥AB， 因为AB∩BC＝B，AB 平面ABC，BC 平面ABC， 所以AD⊥平面ABC． ⊂ ⊂ （2）连接OE，因为O为BD的中点，E为CD的中点，OE∥BC，所以OE⊥BD，如图，以O为坐标原点，分别以OE，OD，OA为x轴，y轴，z轴为正方向，建立空间直角坐标系， 则O（0，0，0），A（0，0，1），B（0，﹣1，0），C（2，﹣1，0），D（0，1，0），E （1，0，0）， ， ， ， 设平面ABE的一个法向量 ＝（x，y，z）， 取x＝1，得 ＝（1，﹣1，1）， 设平面ACE的一个法向量 ＝（a，b，c）， 取c＝1，则 ， 设二面角B﹣AE﹣C的平面角为θ，由图知二面角为锐角， 则cosθ＝ ＝ ． 所以二面角B﹣AE﹣C的余弦值为 ． （3）设P（0，y，z），Q（ ，0， ）， 因为PQ⊥平面ABE，∴ ． ∴ ， ＝λ（1，﹣1，1）．∴ y＝ ，z＝0，∴ P（0， ，0） ∴ PQ＝ 变式15．（2023·全国·校联考模拟预测）如图，在正方体 中， ， . （1）求证： ； （2）在线段 上，是否存在点 ，使得 平面 ？并说明理由. 【解析】（1）如图，连接 ，因为 ， ，所以 ， 分别为 ， 的中点， 所以 ， 又 ，所以 . （2）如图，取 的中点 ，连接 ， ， 因为 平面 ，所以 ，又 ，所以 . 因为 ， ，所以 . 因为 ，所以 平面 ， 所以在线段 上，存在点 ，使得 平面 . 变式16．（2023·江西赣州·统考模拟预测）如图，在三棱柱 中，侧面 是矩形，侧面 是菱形， ， 、 分别为棱 、 的中点， 为线段 的中点.(1)证明： 平面 ； (2)在棱 上是否存在一点 ，使平面 平面 ？若存在，请指出点 的位置，并证明你的 结论；若不存在，请说明理由. 【解析】（1）证明：取 的中点 ，连接 、 、 ， 因为 且 ，故四边形 为平行四边形，所以， 且 ， 因为 为 的中点，则 且 ， 因为 、 分别为 、 的中点，所以， 且 ， 所以， 且 ，故四边形 为平行四边形，所以， ， 因为 平面 ， 平面 ，所以， 平面 ， 因为 、 分别为 、 的中点，所以， ， 因为 平面 ， 平面 ，所以， 平面 ， 因为 ， 、 平面 ，所以，平面 平面 ， 因为 平面 ，故 平面 . （2）当点 为 的中点时，平面 平面 ， 因为四边形 为矩形，则 ，因为 ，则 ， 因为四边形 为菱形，则 ， 因为 ，则 为等边三角形， 因为 为 的中点，所以， ， 因为 ， 、 平面 ，所以， 平面 ， 因为 平面 ，所以，平面 平面 ，因此，当点 为 的中点时，平面 平面 . 变式17．（2023·安徽淮北·统考一模）如图，已知四棱锥 的底面是平行四边形，侧面PAB是等 边三角形， ， ， ． (1)求证：面 面ABCD； (2)设Q为侧棱PD上一点，四边形BEQF是过B，Q两点的截面，且 平面BEQF，是否存在点Q，使 得平面 平面PAD？若存在，确定点Q的位置；若不存在，说明理由． 【解析】（1）在 中，因为 ， ， 所以 ， ， 所以 ，则 ，即 ， 又 ， ， 面PAB， 所以 面PAB，又 面ABCD， 所以面 面ABCD； （2）假设存在点Q，使得平面 平面PAD； 如图，以A为原点，分别以 ， 为x，y轴的正方向建立空间直角坐标系 ， 设 ，则 ， ， ， ， ， ， ， ， 设 是平面PAD的法向量，则 ，取 ， 设 ，其中 ．则 连接EF，因 平面BEQF， 平面PAC，平面 平面 ，故 ， 取与 同向的单位向量 ， 设 是平面BEQF的法向量， 则 ，取 ． 由平面 平面PAD，知 ，有 ，解得 ． 故在侧棱PD上存在点Q且当 时，使得平面 平面PAD． 变式18．（2023·河北邯郸·统考二模）如图，直三棱柱ABCABC 中，D，E分别是棱BC，AB的中点，点 1 1 1 F在棱CC 上，已知AB＝AC，AA＝3，BC＝CF＝2． 1 1 （1）求证：C E 平面ADF； 1 （2）设点M在棱BB 上，当BM为何值时，平面CAM⊥平面ADF． 1 【解析】（1）证明：连接CE交AD于O，连接OF． 因为CE，AD为 ABC的中线， 则O为 ABC的重心， 故 ， 故OF C E， 1 因为OF⊂平面ADF，C E⊄平面ADF， 1 所以C E 平面ADF； 1（2）当BM＝1时，平面CAM⊥平面ADF． 证明如下：因为AB＝AC，D为BC的中点， 故AD⊥BC．在直三棱柱ABCABC 中， 1 1 1 BB⊥平面ABC，BB⊂平面BBCC ， 1 1 1 1 故平面BBCC ⊥平面ABC． 1 1 又平面BBCC ∩平面ABC＝BC，AD⊂平面ABC， 1 1 所以AD⊥平面BBCC ， 1 1 又CM⊂平面BBCC ， 1 1 故AD⊥CM． 又BM＝1，BC＝2，CD＝1，FC＝2， 故Rt CBM≌Rt FCD． 易证CM⊥DF，又DF∩AD＝D，DF，AD⊂平面ADF， 故CM⊥平面ADF． 又CM⊂平面CAM， 故平面CAM⊥平面ADF． 【解题方法总结】 （1）三种垂直的综合问题，一般通过作辅助线进行线线、线面、面面垂直间的转化． （2）对于线面关系中的存在性问题，首先假设存在，然后在该假设条件下，利用线面关系的相关定 理、性质进行推理论证． 1．（2022•乙卷（文））在正方体 中， ， 分别为 ， 的中点，则 A．平面 平面 B．平面 平面 C．平面 平面 D．平面 平面【答案】 【解析】对于 ，由于 ， 分别为 ， 的中点，则 ， 又 ， ， ，且 ， 平面 ， 平面 ，则 平面 ， 又 平面 ， 平面 平面 ，选项 正确； 对于 ，由选项 可知，平面 平面 ，而平面 平面 ，在该正方体中，试 想 运动至 时，平面 不可能与平面 垂直，选项 错误； 对于 ，在平面 上，易知 与 必相交，故平面 与平面 不平行，选项 错误； 对于 ，易知平面 平面 ，而平面 与平面 有公共点 ，故平面 与平面 不可能平行，选项 错误． 故选： ． 2．（2021•浙江）如图，已知正方体 ， ， 分别是 ， 的中点，则 A．直线 与直线 垂直，直线 平面 B．直线 与直线 平行，直线 平面 C．直线 与直线 相交，直线 平面 D．直线 与直线 异面，直线 平面 【答案】 【解析】连接 ，如图： 由正方体可知 ， ， 平面 ，，由题意知 为△ 的中位线， ， 又 平面 ， 平面 ， 平面 ． 对； 由正方体可知 与平面 相交于点 ， 平面 ， ， 直线 与直线 是异面直线， 、 错； ， 不与平面 垂直， 不与平面 垂直， 错． 故选： ． 3．（多选题）（2021•新高考Ⅱ）如图，下列正方体中， 为底面的中心， 为所在棱的中点， ， 为正方体的顶点，则满足 的是 A． B． C． D． 【答案】 【解析】对于 ，设正方体棱长为2，设 与 所成角为 ， 则 ， 不满足 ，故 错误； 对于 ，如图，作出平面直角坐标系，设正方体棱长为2，则 ，0， ， ，0， ， ，0， ， ，1， ， ，0， ， ， ， ， ， 满足 ，故 正确； 对于 ，如图，作出平面直角坐标系，设正方体棱长为2， 则 ，2， ， ，2， ， ，1， ， ，0， ， ，0， ， ， ， ， ， 满足 ，故 正确； 对于 ，如图， 作出平面直角坐标系，设正方体棱长为2， 则 ，2， ， ，0， ， ，1， ， ，1， ， ， ， ， ，0， ， ， 不满足 ，故 错误． 故选： ．