北京曲一线图书策划有限公司 2024版《5年高考3年模拟》A
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11.4 抽样方法与总体分布的估计
考点一 随机抽样
1.(2015湖南文,2,5分)在一次马拉松比赛中,35名运动员的成绩(单位:分钟)的茎叶图如图所示.
若将运动员按成绩由好到差编为1~35号,再用系统抽样方法从中抽取7人,则其中成绩在区间[139,151]上的
运动员人数是 ( )
A.3 B.4 C.5 D.6
答案 B 从35人中用系统抽样方法抽取7人,则可将这35人分成7组,每组5人,从每一组中抽取1人,而成
绩在[139,151]上的有4组,所以抽取4人,故选B.
2.(2015北京文,4,5分)某校老年、中年和青年教师的人数见下表.采用分层抽样的方法调查教师的身体状况,
在抽取的样本中,青年教师有320人,则该样本中的老年教师人数为( )
类别 人数
老年教师 900
中年教师 1 800
青年教师 1 600
合计 4 300
A.90 B.100 C.180 D.300
答案 C 本题考查分层抽样,根据样本中的青年教师有320人,且青年教师与老年教师人数的比为1
9
600∶900=16∶9,可以得到样本中的老年教师的人数为 ×320=180,故选C.
16
3.(2014重庆文,3,5分)某中学有高中生3 500人,初中生1 500人.为了解学生的学习情况,用分层抽样的方法
从该校学生中抽取一个容量为n的样本,已知从高中生中抽取70人,则n为( )
A.100 B.150 C.200 D.250
70 n
答案 A 由分层抽样的特点可知 = ,解之得n=100.
3 500 3 500+1 500
4.(2017山东文,8,5分)如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各5名工人某日的产量数据(单位:件).若这两组
数据的中位数相等,且平均值也相等,则x和y的值分别为( )北京曲一线图书策划有限公司 2024版《5年高考3年模拟》A
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A.3,5 B.5,5 C.3,7 D.5,7
答案 A 由茎叶图,可得甲组数据的中位数为65,从而乙组数据的中位数也是65,所以y=5.
由乙组数据59,61,67,65,78,可得乙组数据的平均值为66,
56+62+65+74+70+x
故甲组数据的平均值也为66,从而有 =66,解得x=3.故选A.
5
5.(2016山东,理3文3,5分)某高校调查了200名学生每周的自习时间(单位:小时),制成了如图所示的频率分
布直方图,其中自习时间的范围是[17.5,30],样本数据分组为[17.5,20),[20,22.5),[22.5,25),[25,27.5),[27.5,30].根
据直方图,这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是( )
A.56 B.60 C.120 D.140
答案 D 由频率分布直方图知这200名学生每周的自习时间不少于22.5小时的频率为1-
(0.02+0.10)×2.5=0.7,则这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数为200×0.7=140,故选D.
6.(2016课标Ⅲ理,4,5分)某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况,绘制了一年中各月平均最高气温和平均
最低气温的雷达图.图中A点表示十月的平均最高气温约为15 ℃,B点表示四月的平均最低气温约为5 ℃.
下面叙述不正确的是( )
A.各月的平均最低气温都在0 ℃以上北京曲一线图书策划有限公司 2024版《5年高考3年模拟》A
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B.七月的平均温差比一月的平均温差大
C.三月和十一月的平均最高气温基本相同
D.平均最高气温高于20 ℃的月份有5个
答案 D 由雷达图易知A、C正确;七月的平均最高气温超过20 ℃,平均最低气温约为12 ℃,一月的平均
最高气温约为6 ℃,平均最低气温约为2 ℃,所以七月的平均温差比一月的平均温差大,故B正确;由雷达图
知平均最高气温超过20 ℃的月份有3个月.故选D.
7.(2015课标Ⅱ理,3,5分)根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫年排放量(单位:万吨)柱形图,以下
结论中不正确的是( )
A.逐年比较,2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著
B.2007年我国治理二氧化硫排放显现成效
C.2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势
D.2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关
答案 D 由柱形图可知:A、B、C均正确,2006年以来我国二氧化硫年排放量在逐渐减少,所以排放量与年
份负相关,∴D不正确.
8.(2015陕西理,2,5分)某中学初中部共有110名教师,高中部共有150名教师,其性别比例如图所示,则该校女
教师的人数为( )
A.167 B.137 C.123 D.93
答案 B 初中部女教师的人数为110×70%=77,高中部女教师的人数为150×(1-60%)=60,则该校女教师的人
数为77+60=137,故选B.
9.(2015福建文,13,4分)某校高一年级有900名学生,其中女生400名.按男女比例用分层抽样的方法,从该年
级学生中抽取一个容量为45的样本,则应抽取的男生人数为 .
答案 25
45 x
解析 男生人数为900-400=500.设应抽取男生x人,则由 = 得x=25.即应抽取男生25人.
900 500北京曲一线图书策划有限公司 2024版《5年高考3年模拟》A
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10.(2014天津理,9,5分)某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向,拟采用分层抽样的方法,
从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查.已知该校一年级、二年级、三年级、四
年级的本科生人数之比为4∶5∶5∶6,则应从一年级本科生中抽取 名学生.
答案 60
4
解析 ×300=60(名).
20
11.(2012天津理,9,5分)某地区有小学150所,中学75所,大学25所.现采用分层抽样的方法从这些学校中抽
取30所学校对学生进行视力调查,应从小学中抽取 所学校,中学中抽取 所学校.
答案 18;9
150
解析 应从小学中抽取 ×30=18(所).
150+75+25
75
应从中学中抽取 ×30=9(所).
150+75+25
评析 本题考查分层抽样及数据处理能力.
12.(2012福建文,14,4分)一支田径队有男女运动员98人,其中男运动员有56人.按男女比例用分层抽样的方
法,从全体运动员中抽出一个容量为28的样本,那么应抽取女运动员人数是 .
答案 12
56 4
解析 男女运动员人数比例为 = ,
98−56 3
分层抽样中男女人数比例不变,则女运动员人数为
3
28× =12.故应抽取女运动员人数是12.
7
评析 本题考查分层抽样方法.考查学生运算求解能力.
考点二 用样本估计总体
1.(2022全国甲,理2,文2,5分,应用性)某社区通过公益讲座以普及社区居民的垃圾分类知识.为了解讲座
效果,随机抽取10位社区居民,让他们在讲座前和讲座后各回答一份垃圾分类知识问卷,这10位社区居民
在讲座前和讲座后问卷答题的正确率如下图:北京曲一线图书策划有限公司 2024版《5年高考3年模拟》A
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则 ( )
A.讲座前问卷答题的正确率的中位数小于70%
B.讲座后问卷答题的正确率的平均数大于85%
C.讲座前问卷答题的正确率的标准差小于讲座后正确率的标准差
D.讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差
答案 B 对于A项,将讲座前的10个数据从小到大排列依次为
60%,60%,65%,65%,70%,75%,80%,85%,90%,95%,易知这10个数据的中位数是第5个与第6个数据的
70%+75%
平均数,为 =72.5%>70%,故A错误;
2
1
对于B项,x = ×(90%+85%+80%+90%+85%+85%+95%+100%+85%+100%)=89.5%>85%,故B正确;
后 10
1
对于C项,x = ×(60%+60%+65%+65%+70%+75%+80%+85%+90%+95%)=74.5%,s =
前 10 前
√ 1
×[(60%−74.5%) 2+…+(95%−74.5%) 2 ]≈11.93%,
10
√ 1
s = ×[(90%−89.5%) 2+…+(100%−89.5%) 2 ]=6.5%,11.93%>6.5%,故C错误;
后
10
对于D项,讲座前问卷答题的正确率的极差为95%-60%=35%,讲座后问卷答题的正确率的极差为100%-
80%=20%,20%<35%,故D错误.故选B.
2.(2021全国甲理,2,5分)为了解某地农村经济情况,对该地农户家庭年收入进行抽样调查,将农户家庭年
收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图:北京曲一线图书策划有限公司 2024版《5年高考3年模拟》A
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根据此频率分布直方图,下面结论中不正确的是 ( )
A.该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为6%
B.该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为10%
C.估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元
D.估计该地有一半以上的农户,其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间
答案 C 解题指导:利用频率分布直方图估计频率,再将频率转化为比率.
解析 由频率分布直方图可得,该地农户家庭年收入低于4.5万元和不低于10.5万元的频率分别为0.06和
0.1,则农户比率分别为6%和10%,故A、B中结论正确;家庭年收入介于4.5万元和8.5万元之间的频率为
0.1+0.14+0.2+0.2=0.64,故D中结论正确;
家庭年收入的平均值为
0.02×3+0.04×4+0.1×5+0.14×6+0.2×7+0.2×8+0.1×9+0.1×10+0.04×11+0.02×12+0.02×13+0.02×14=7.68万元,因
为7.68>6.5,所以估计该地区农户家庭年收入的平均值超过6.5万元,故C中结论不正确.故选C.
3.(多选)(2021新高考Ⅰ,9,5分)有一组样本数据x,x,…,x,由这组数据得到新样本数据y,y,…,y,其中
1 2 n 1 2 n
y=x+c(i=1,2,…,n),c为非零常数,则( )
i i
A.两组样本数据的样本平均数相同
B.两组样本数据的样本中位数相同
C.两组样本数据的样本标准差相同
D.两组样本数据的样本极差相同
1 n 1 n 1 n 1 n
答案 CD A项,设x= ∑❑x,则y= ∑❑yi= ∑❑(x+c)= ∑❑x+c,因为c≠0,所以
n i n n i n i
i=1 i=1 i=1 i=1
y=x+c,
所以x≠ y,所以A选项错误.
B项,因为y=x+c(i=1,2,…,n),所以y,y,…,y 的中位数是x,x,…,x 的中位数加c,所以B选项错误.
i i 1 2 n 1 2 n
1 n 1 n
C项,设s2= ∑❑(x-x)2,s2= ∑❑(y-y)2,
1 n i 2 n i
i=1 i=1
1 n 1 n
所以s2= ∑❑(x+c-x-c)2= ∑❑(x-x)2,
2 n i n i
i=1 i=1北京曲一线图书策划有限公司 2024版《5年高考3年模拟》A
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所以 ,
s2=s2
1 2
所以两组数据的方差相同,从而这两组数据的标准差相同,所以C选项正确.
D项,设x<x<…<x,则第一组数据的极差为x-x,
1 2 n n 1
设y<y<…<y,则第二组数据的极差为y-y=(x+c)-(x+c)=x-x,
1 2 n n 1 n 1 n 1
所以两组数据的极差相同,
所以D选项正确,故选CD.
4.(2015安徽理,6,5分)若样本数据x,x,…,x 的标准差为8,则数据2x-1,2x-1,…,2x -1的标准差为( )
1 2 10 1 2 10
A.8 B.15 C.16 D.32
答案 C 设样本数据x,x,…,x 的标准差为s,则s=8,可知数据2x-1,2x-1,…,2x -1的标准差为2s=16.
1 2 10 1 2 10
5.(2014陕西文,9,5分)某公司10位员工的月工资(单位:元)为x,x,…,x ,其均值和方差分别为x和s2,若从下
1 2 10
月起每位员工的月工资增加100元,则这10位员工下月工资的均值和方差分别为( )
A.x,s2+1002 B.x+100,s2+1002
C.x,s2 D.x+100,s2
1
答案 D 设增加工资后10位员工下月工资均值为x',方差为s'2,则x'= [(x+100)+(x+100)+…+
1 2
10
1 1 1
(x +100)]= (x+x+…+x )+100=x+100;方差s'2= [(x+100-x')2+(x+100-x')2+…+(x +100-x')2]= [(x-
10 1 2 10 1 2 10 1
10 10 10
x)2+(x-x)2+…+(x -x)2]=s2.故选D.
2 10
6.(2011江苏,6,5分)某老师从星期一到星期五收到的信件数分别为10,6,8,5,6,则该组数据的方差s2=
.
16
答案
5
x +x +x +x +x
解析 记星期一到星期五收到的信件数分别为x,x,x,x,x,则x= 1 2 3 4 5 =
1 2 3 4 5
5
10+6+8+5+6
=7.
5
1 1 16
∴s2= [(x-x)2+(x-x)2+(x-x)2+(x-x)2+(x-x)2]= [(10-7)2+(6-7)2+(8-7)2+(5-7)2+(6-7)2]= .
1 2 3 4 5
5 5 5
评析 本题主要考查方差的公式,考查学生的运算求解能力.公式记忆准确,运算无误是解答本题的关键,属中
等难度题.北京曲一线图书策划有限公司 2024版《5年高考3年模拟》A
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7.(2015湖北文,14,5分)某电子商务公司对10 000名网络购物者2014年度的消费情况进行统计,发现消费金
额(单位:万元)都在区间[0.3,0.9]内,其频率分布直方图如图所示.
(1)直方图中的a= ;
(2)在这些购物者中,消费金额在区间[0.5,0.9]内的购物者的人数为 .
答案 (1)3 (2)6 000
解析 (1)由频率分布直方图可知:
0.1×(0.2+0.8+1.5+2.0+2.5+a)=1,解得a=3.
(2)消费金额在区间[0.5,0.9]内的购物者的频率为0.1×(3.0+2.0+0.8+0.2)=0.6,所以所求购物者的人数为0.6×10
000=6 000.
8.(2014江苏文,6,5分)为了了解一片经济林的生长情况,随机抽测了其中60株树木的底部周长(单位:cm),所
得数据均在区间[80,130]上,其频率分布直方图如图所示,则在抽测的60株树木中,有 株树木的底部
周长小于100 cm.
答案 24
解析 60×(0.015+0.025)×10=24(株).
9.(2019课标Ⅱ,理13文14,5分)我国高铁发展迅速,技术先进.经统计,在经停某站的高铁列车中,有10个车次
的正点率为0.97,有20个车次的正点率为0.98,有10个车次的正点率为0.99,则经停该站高铁列车所有车次
的平均正点率的估计值为 .
答案 0.98
解析 本题考查离散型随机变量的均值计算;考查抽象概括能力和运算求解能力;考查的核心素养为数学抽
象和数学运算.北京曲一线图书策划有限公司 2024版《5年高考3年模拟》A
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设经停该站高铁列车所有车次中正点率为0.97的事件为A,正点率为0.98的事件为B,正点率为0.99的事件
10 1 20 1 10 1
为C,则用频率估计概率有P(A)= = ,P(B)= = ,P(C)= = ,所以经
10+20+10 4 10+20+10 2 10+20+10 4
1 1 1
停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为0.97× +0.98× +0.99× =0.98.
4 2 4
10.(2021全国乙理,17,12分)某厂研制了一种生产高精产品的设备,为检验新设备生产产品的某项指标有
无提高,用一台旧设备和一台新设备各生产了10件产品,得到各件产品该项指标数据如下:
旧设备 9.8 10.3 10.0 10.2 9.9 9.8 10.0 10.1 10.2 9.7
新设备 10.1 10.4 10.1 10.0 10.1 10.3 10.6 10.5 10.4 10.5
旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为
x和y
,样本方差分别记为
s2 和s2
.
1 2
(1)求 ;
x,y,s2,s2
1 2
(2)判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高 如果
√s2+s2
,则认为新
y−x≥2 1 2
10
设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高,否则不认为有显著提高 .
1
解析 (1)x= ×(9.8+10.3+10.0+10.2+9.9+9.8+10.0+10.1+10.2+9.7)=10.
10
1
y= ×(10.1+10.4+10.1+10.0+10.1+10.3+10.6+10.5+10.4+10.5)=10.3.
10
1
s2= ×(0.22+0.32+02+0.22+0.12+0.22+02+0.12+0.22+0.32)=0.036.
1 10
1
s2= ×(0.22+0.12+0.22+0.32+0.22+02+0.32+0.22+0.12+0.22)=0.04.
2 10
(2)∵ y−x=10.3−10=0.3= 3 = 15,2√s 1 2+s 2 2 =2 √0.036+0.04 =2×√0.007 6= √76
10 50
10 10 50
,且15 √225 √76,∴ √s2+s2 成立,∴认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备
= > y−x≥2 1 2
50 50 50 10
有显著提高.
易错警示 1.要牢记数据方差的计算公式;2.注意数据计算的准确性.
