2015年高考数学试卷（文）（湖南）（解析卷）_历年高考真题合集_数学历年高考真题_新·Word版2008-2025·高考数学真题_数学（按年份分类）2008-2025_2015·高考数学真题

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的. 1、已知(1i)2 = （ 为虚数单位），则复数 ( ) 1i i z  z A、1i B、1i C、 1i D、1i 【答案】D 【考点定位】复数的运算 【名师点睛】在对复数之间进行乘法运算时，直接利用多项式的乘法分配律进行计算，在最后一步的计算 i2 1 中，根据 ，最后根据复数的加法原则，实部与实部相加，虚部与虚部相加便可得到最终结果；在进 行复数的除法运算时，首先将分式的分子分母同时乘以分母的共轭复数，分子的运算遵循复数的乘法运算 法则，从而得到相应的结果. 2、在一次马拉松比赛中，35名运动员的成绩（单位：分钟）如图I所示; [来源:学#科#网Z#X#X#K] 若将运动员按成绩由好到差编为1~35号，再用系统抽样方法从中抽取7人，则其中成绩在区间[139,151]上 的运动员人数为( ) A、3 B、4 C、5 D、6 【答案】B 第1页 | 共21页【考点定位】茎叶图 【名师点睛】系统抽样是指当总体中个数较多时，将总体分成均衡的几部分，然后按照预先定出的规则， 从每一部分抽取1个个体，得到所需要的样本的抽样方法，其实质为等距抽样. 茎叶图的优点是保留了原始 数据，便于记录及表示，能反映数据在各段上的分布情况．缺点为不能直接反映总体的分布情况. 由数据 集中情况可以估计平均数大小，再根据其分散程度可以估测方差大小． 3、设 R，则“ >1”是“ >1”的（ ） x x x2 A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件 【答案】C 【考点定位】充要关系 【名师点睛】判断充分条件和必要条件的方法 (1)命题判断法： 设“若p，则q”为原命题，那么： [来源:学,科,网Z,X,X,K] ①原命题为真，逆命题为假时，p是q的充分不必要条件； ②原命题为假，逆命题为真时，p是q的必要不充分条件； ③原命题与逆命题都为真时，p是q的充要条件； ④原命题与逆命题都为假时，p是q的既不充分也不必要条件． (2)集合判断法： 从集合的观点看，建立命题p，q相应的集合：p：A＝{x|p(x)成立}，q：B＝{x|q(x)成立}，那么： ①若A⊆B，则p是q的充分条件；若AB时，则p是q的充分不必要条件； ②若B⊆A，则p是q的必要条件；若BA时，则p是q的必要不充分条件； ③若A⊆B且B⊆A，即A＝B时，则p是q的充要条件． (3)等价转化法： p是q的什么条件等价于綈q是綈p的什么条件． 第2页 | 共21页x y1  4、若变量x，y满足约束条件 yx1 ，则z 2x y的最小值为( )  x1  A、1 B、0 C、1 D、2 【答案】A 【考点定位】简单的线性规划 【名师点睛】求目标函数的最值的一般步骤为：一画二移三求．其关键是准确作出可行域，理解目标函数 的意义．常见的目标函数有： (1)截距型：形如 z axby，求这类目标函数的最值常将函数 a 1 z z axby转化为直线的斜截式： y  x z,(b0)，通过求直线的截距 的最值间接求出z 的最 b b b yb 值． (2)距离型：形如z (xa)2 (yb)2. (3)斜率型：形如z  .注意：转化的等价性及几何意 xa 义． 5、执行如图2所示的程序框图，如果输入n=3，中输入的S=( ) 第3页 | 共21页6 3 8 4 A、 B、 C、 D、 7 7 9 9 【答案】B [来源:Zxxk.Com] 【考点定位】程序框图 【名师点睛】识别运行算法流程图和完善流程图是高考的热点．解答这一类问题，第一，要明确流程图的 顺序结构、条件结构和循环结构；第二，要识别运行流程图，理解框图所解决的实际问题；第三，按照题 目的要求完成解答．对流程图的考查常与数列和函数等知识相结合，进一步强化框图问题的实际背景． 6、若双曲线 x2 y2 的一条渐近线经过点（3，-4），则此双曲线的离心率为( )  1 a2 b2 A、 7 B、5 C、4 D、5 3 4 3 3 【答案】D 第4页 | 共21页故选D. 【考点定位】双曲线的简单性质 【名师点睛】渐近线是双曲线独特的性质，在解决有关双曲线问题时，需结合渐近线从数形结合上找突破 x2 y2 x2 y2 口.与渐近线有关的结论或方法还有：(1)与双曲线  1共渐近线的可设为  (0)；(2) a2 b2 a2 b2 b x2 y2 若渐近线方程为y x，则可设为  (0)；(3) 双曲线的焦点到渐近线的距离等于虚半轴长 a a2 b2 x2 y2 b c2 a2  1(a0.b0)   e2 1 b；(4) a2 b2 的一条渐近线的斜率为a a2 .可以看出，双曲线的渐近线 和离心率的实质都表示双曲线张口的大小．另外解决不等式恒成立问题关键是等价转化，其实质是确定极 端或极限位置. 1 2 7、若实数a,b满足   ab ，则ab的最小值为( ) a b A、 B、2 C、2 D、4 2 2 【答案】C 【考点定位】基本不等式 【名师点睛】基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能，因此 可以用在一些不等式的证明中，还可以用于求代数式的最值或取值范围．如果条件等式中，同时含有两个 变量的和与积的形式，就可以直接利用基本不等式对两个正数的和与积进行转化，然后通过解不等式进行 求解． 第5页 | 共21页8、设函数 ，则 是( ) f(x)ln(1x)ln(1x) f(x) A、奇函数，且在（0,1）上是增函数 B、奇函数，且在（0,1）上是减函数 C、偶函数，且在（0,1）上是增函数 D、偶函数，且在（0,1）上是减函数 【答案】A 1 1 1 f 'x   ，在（0,1）上 f 'x0 ，所以 f(x)在(0,1)上单调递增，故选A. 1x 1x 1x2 【考点定位】利用导数研究函数的性质 【名师点睛】利用导数研究函数 f(x)在(a，b)内的单调性的步骤：(1)求 f 'x ；(2)确认 f 'x 在(a，b)内 的符号；(3)作出结论： f 'x0 时为增函数； f 'x0 时为减函数．研究函数性质时，首先要明确函 数定义域. (cid:3) (cid:3) (cid:3) 9、已知点A,B,C在圆 x2  y2 1 上运动，且AB  BC，若点P的坐标为（2，0），则 PAPBPC 的 最大值为( ) A、6 B、7 C、8 D、9 【答案】B 【考点定位】直线与圆的位置关系、平面向量的运算性质 【名师点睛】与圆有关的最值问题是命题的热点内容，它着重考查数形结合与转化思想. 由平面几何知识 知，圆上的一点与圆外一定点距离最值在定点和圆心连线与圆的两个交点处取到．圆周角为直角的弦为圆 的半径，平面向量加法几何意义这些小结论是转化问题的关键. 10、某工作的三视图如图3所示，现将该工作通过切削，加工成一个体积尽可能大的正方体新工件，并使 新工件的一个面落在原工作的一个面内，则原 工件材料的利用率为（材料利用率=新工件的体积/原工件的 体积） 第6页 | 共21页A、 8 B、 8 C、 24( 21)2 D、 8( 21)2 9 27   【答案】A 【考点定位】三视图、基本不等式求最值、圆锥的内接长方体 第7页 | 共21页【名师点睛】运用基本不等式求最值要紧紧抓住“一正二定三相等”条件，本题“和为定”是解决问题的 关键.空间想象能力是解决三视图的关键，可从长方体三个侧面进行想象几何体.求组合体的体积，关键是 确定组合体的组成形式及各部分几何体的特征，再结合分割法、补体法、转化法等方法求体积. 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分. 11、已知集合U=1,2,3,4，A=1,3,B=1,3,4,则A  ( � B )=_____. U 【答案】 {1，2，3}. 【解析】由题 ={2}，所以A ( )={1，2，3}. � B  � B U U 【考点定位】集合的运算 【名师点睛】研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键是将两 集合的关系转化为元素间的关系，本题实质求满足属于集合A或不属于集合B的元素的集合. 本题需注意 检验集合的元素是否满足互异性，否则容易出错． 12、在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系.若曲线C的极坐标方程为 ，则曲线C的直角坐标方程为_____. 2sin 【答案】 x2 （y1）2 1 【考点定位】圆的极坐标方程 2  x2  y2,y sin,xcos 【名师点睛】1.运用互化公式： 将极坐标化为直角坐标； 2.直角坐标方程与极坐标方程的互化，关键要掌握好互化公式，研究极坐标系下图形的性质，可转化直角 坐标系的情境进行． 13. 若直线 3x4y50 与圆 x2  y2 r2r 0相交于A,B两点，且 AOB 120o （O为坐标原点）， 则r=_____. 第8页 | 共21页【答案】 【考点定位】直线与圆的位置关系 【名师点睛】涉及圆的弦长的常用方法为几何法：设圆的半径为 r，弦心距为 d ，弦长为l，则 l ( )2 r2 d2.本题条件是圆心角，可利用直角三角形转化为弦心距与半径之间关系,再根据点到直线距离 2 公式列等量关系. 14、若函数 有两个零点，则实数 的取值范围是_____. f(x)|2x 2|b b 【答案】0b2 第9页 | 共21页【考点定位】函数零点 [来源:学_科_网Z_X_X_K] 【名师点睛】已知函数有零点(方程有根)求参数取值范围常用的方法 (1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围． (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决． (3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图像，然后数形结合求解． 15、已知 >0,在函数y=2sin x与y=2cos x的图像的交点中，距离最短的两个交点的距离为2 ，则    3  =_____.  【答案】 2 【考点定位】三角函数图像与性质 【名师点睛】正、余弦函数的图像既是中心对称图形，又是轴对称图形. 应把三角函数的对称性与奇偶性 结合，体会二者的统一.这样就能理解条件“距离最短的两个交点” 一定在同一个周期内，本题也可从五 点作图法上理解. 三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 16. （本小题满分12分）某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖，抽奖方法是： 从装有2个红球 和1个白球 的甲箱与装有2个红球 和2个白球 的乙箱中，各随机摸出1 A,A B a ,a b,b 1 2 1 2 1 2 个球，若摸出的2个球都是红球则中奖，否则不中奖。 第10页 | 共21页（I）用球的标号列出所有可能的摸出结果； （II）有人认为：两个箱子中的红球比白球多，所以中奖的概率大于不中奖的概率，你认为正确吗？请说 明理由。 【答案】（I） {A,a},{A,a },{A,b},{A,b },{A ,a},{A ,a }, 1 1 1 2 1 1 1 2 2 1 2 2 (II) 说法不正确； {A ,b},{A ,b },{B,a},{B,a },{B,b},{B,b }, 2 1 2 2 1 2 1 2 【考点定位】概率统计 【名师点睛】古典概型中基本事件的探求方法 1．枚举法：适合给定的基本事件个数较少且易一一列举出的． 2．树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求，注意在确定基本事件时(x，y)可以看成是有序 的，如(1,2)与(2,1)不同．有时也可以看成是无序的，如(1,2)(2,1)相同． 17. （本小题满分12分）设 的内角 的对边分别为 . ABC A,B,C a,b,c,a btanA （I）证明：sinBcosA； 3 (II) 若sinCsin AcosB ，且B为钝角，求A,B,C. 4 【答案】（I）略；(II) A30,B 120,C 30. 第11页 | 共21页【考点定位】正弦定理及其运用 【名师点睛】解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷． 如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次 式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到． 18. （本小题满分12分）如图4，直三棱柱 的底面是边长为2的正三角形， 分别是 ABCABC E,F 1 1 1 的中点。 BC,CC 1 （I）证明：平面 平面 ； AEF  BBCC 1 1 （II）若直线 与平面 所成的角为 ，求三棱锥 的体积。 AC AABB 45 F AEC 1 1 1 第12页 | 共21页【答案】（I）略；(II) 6 . 12 第13页 | 共21页【考点定位】柱体、椎体、台体的体积；面面垂直的判定与性质 【名师点睛】证明面面垂直的关键在于熟练把握空间垂直关系的判定与性质，注意平面图形中的一些线线 垂直关系的灵活利用，这是证明空间垂直关系的基础．由于“线线垂直”“线面垂直”“面面垂直”之间 可以相互转化，因此整个证明过程围绕着线面垂直这个核心而展开，这是化解空间垂直关系难点的技巧所 在．求锥的体积关键在于确定其高，即确定线面垂直. 19. （本小题满分13分）设数列 的前 项和为 ，已知 ，且 {a } n S a 1,a 2 a 3S n n 1 2 n1 n ， S 3,(nN*) n1 （I）证明： ； a 3a n2 n 第14页 | 共21页（II）求 。 S n 3 n2  (53 2 1),(n2k1,kN*) 【答案】（I）略；(II) 2 S  n 3 n (32 1),(n2k,kN*) 2 第15页 | 共21页【考点定位】数列递推关系、数列求和 【名师点睛】已知数列{a}的前n项和S，求数列的通项公式，其求解过程分为三步： n n (1)先利用a ＝S 求出a ；(2)用n－1替换S 中的n得到一个新的关系，利用a ＝S －S (n≥2)便可求出 1 1 1 n n n n－1 当n≥2时a 的表达式；(3)对n＝1时的结果进行检验，看是否符合n≥2时a 的表达式，如果符合，则可 n n 以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分n＝1与n≥2两段来写．数列求和的常用方法有倒序相 加法，错位相减法，裂项相消法，分组求和法，并项求和法等，可根据通项特点进行选用. 20. （本小题满分13分）已知抛物线 的焦点F也是椭圆 y2 x2 C :x2 4y C :  1 1 2 a2 b2 的一个焦点， 与 的公共弦长为 ，过点F的直线 与 相交于 两点，与 相交 (a b0) C C 2 6 l C A,B C 1 2 1 2 第16页 | 共21页于 两点，且(cid:3) 与(cid:3) 同向. C,D AC BD （I）求 的方程； C 2 （II）若 ，求直线 的斜率. AC  BD l 【答案】（I） y2 x2 ；(II) 6 .  1  9 8 4 第17页 | 共21页【考点定位】直线与圆锥曲线的位置关系；椭圆的性质 【名师点睛】求椭圆标准方程的方法一般为待定系数法：根据条件确定关于a，b，c的方程组，解出a2， b2，从而写出椭圆的标准方程．解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭 圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题．涉及弦长问题利用弦长公 式解决，往往会更简单． 21. （本小题满分13分）函数 ，记 为 的从小到大的第 个 f(x)ae2cosx(x[0,) x f(x) n(nN*) n 第18页 | 共21页极值点。 （I）证明：数列 是等比数列； {f(x )} n （II）若对一切 nN*,x  f(x ) 恒成立，求 a 的取值范围。 [来源:学科网] n n 【答案】（I）略；(II) 第19页 | 共21页第20页 | 共21页【考点定位】恒成立问题；等比数列的性质 【名师点睛】解决数列与函数的综合问题时，如果是证明题要根据等比数列的定义明确证明的方向，如果 是不等式恒成立问题，要使用不等式恒成立的各种不同解法，如变量分离法、最值法、因式分解法等，总 之解决这类问题把数列看做特殊函数，并把它和不等式的知识巧妙结合起来综合处理就行了． 第21页 | 共21页