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第 82 讲 随机抽样的方法、用样本估计总体
一、抽样方法
1. 简单随机抽样
(1)定义：设一个总体含有N个个体，从中 抽取n个个体作为样本(n≤N)，如果每次抽
取时总体内的各个个体被抽到的机会 ，就把这种抽样方法叫做简单随机抽样．
(2)最常用的简单随机抽样的方法： 和 ．
2. 分层抽样
(1)定义：在抽样时，将总体分成 的层，然后按照 从各层独立地抽取一
定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样方法叫做分层抽样．
(2)分层抽样的应用范围：当总体是由 组成时，往往选用分层抽样．
3. 两种抽样方法的区别与联系：
类别 简单随机抽样 分层抽样
抽样过程中每个个体被抽到的机会均等，不
共同点
放回抽样
各自特点 从总体中逐个抽取 将总体分n层，分层进行抽取
适用范围 总体中个体数较少 总体由差异明显的几部分组成
二、总体分布特征数的估计
1. 总体分布
(1)频率分布表：当总体很大或不便于获得时，可以用样本的频率分布估计总体的频率分布，我们把反
映总体频率分布的表格称为 ．
(2)频率分布直方图：利用直方图反映样本的频率分布规律，这样的直方图称为频率分布直方图．
(3)频率分布折线图：如果将频率分布直方图中，各相邻的矩形的上底边的中点顺次连结起来，就得到
一条折线，我们称这条折线为本组数据的频率分布折线图．频率分布折线图的优点是它反映了数据的变化
趋势．
4. 总体特征数的估计
(1)中位数：在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图面积应该相等，由此可以估计中位数的
值．
(2)众数：在频率分布直方图中，众数是最高的矩形的中点的横坐标．
(3)平均数及其估计：平均数是直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩
形底边中点的横坐标之和．
平均数x＝ ．
(4)方差与标准差
标准差s＝ 、方差s2＝ ．
5、频率分布直方图中的常见结论
(1)众数的估计值为最高矩形的中点对应的横坐标．
(2)平均数的估计值等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和．
(3)中位数的估计值的左边和右边的小矩形的面积和是相等的．
平均数、方差的公式推广
(1)若数据x，x，…，x 的平均数为，则mx＋a，mx＋a，mx＋a，…，mx＋a的平均数是m＋a.
1 2 n 1 2 3 n
(2)若数据x，x，…，x 的方差为s2，则数据ax＋b，ax＋b，…，ax＋b的方差为a2s2.
1 2 n 1 2 n
1、（2023•上海）如图为 年上海市货物进出口总额的条形统计图，则下列对于进出口贸易额描述错误的是
A．从2018年开始，2021年的进出口总额增长率最大
B．从2018年开始，进出口总额逐年增大
C．从2018年开始，进口总额逐年增大
D．从2018年开始，2020年的进出口总额增长率最小
2、（2023•上海）现有某地一年四个季度的 （亿元），第一季度 为232（亿元），第四季度
为241（亿元），四个季度的 逐季度增长，且中位数与平均数相同，则该地一年的 为 ．
3、（2023•上海）某校抽取100名学生测身高，其中身高最大值为 ，最小值为 ，根据身高数
据绘制频率组距分布直方图，组距为5，且第一组下限为153.5，则组数为 ．
4、（2022•天津）为研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据（单
位： 的分组区间为 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，将其按从左到右的顺序
分别编号为第一组，第二组， ，第五组，右图是根据试验数据制成的频率分布直方图．已知第一组与第
二组共有20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为A．8 B．12 C．16 D．18
5、（2021•天津）从某网络平台推荐的影视作品中抽取400部，统计其评分数据，将所得400个评分数据
分为8组： ， ， ， ， ， ， ，并整理得到如下的频率分布直方图，则评分在区间
， 内的影视作品数量是
A．20 B．40 C．64 D．80
6、（多选题）（2023•新高考Ⅰ）有一组样本数据 ， ， ， ，其中 是最小值， 是最大值，则
A． ， ， ， 的平均数等于 ， ， ， 的平均数
B． ， ， ， 的中位数等于 ， ， ， 的中位数C． ， ， ， 的标准差不小于 ， ， ， 的标准差
D． ， ， ， 的极差不大于 ， ， ， 的极差
7、（多选题）（2021•新高考Ⅱ）下列统计量中，能度量样本 ， ， ， 的离散程度的有
A．样本 ， ， ， 的标准差 B．样本 ， ， ， 的中位数
C．样本 ， ， ， 的极差 D．样本 ， ， ， 的平均数
8、（多选题）（2021•新高考Ⅰ）有一组样本数据 ， ， ， ，由这组数据得到新样本数据 ， ，
， ，其中 ，2， ， ， 为非零常数，则
A．两组样本数据的样本平均数相同
B．两组样本数据的样本中位数相同
C．两组样本数据的样本标准差相同
D．两组样本数据的样本极差相同．
1、某公司有员工500人，其中不到35岁的有125人，35～49岁的有280人，50岁以上的有95人，为了调
查员工的身体健康状况，从中抽取100名员工，则应在这三个年龄段分别抽取人数为( )
A. 33，34，33 B. 25，56，19
C. 20，40，30 D. 30，50，20
2、一个容量为32的样本，已知某组样本的频率为0.25，则该组样本的频数为( )
A. 4 B. 8 C. 12 D. 16
3、已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图①和图②所示．为了解该地区中小学生的近视形成原因，
用分层随机抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本量和抽取的高中生近视人数分别为( )
A．200,20 B．100,20
C．200,10 D.100,104、给定一组数据5,5,4,3,3,3,2,2,2,1，则这组数据( )
A．众数为2 B．平均数为2.5
C．方差为1.6 D．标准差为4
考向一 抽样方法
例1 要考察某种品牌的850颗种子的发芽率，从中抽取50颗种子进行实验，利用随机数表法抽取种子，
先将850颗种子按001，002，…，850进行编号，如果从随机数表第3行第6列的数开始向右读，请依次
写出最先检验的4颗种子的编号： ．
注：下面抽取了随机数表第1行至第5行．
03 47 43 73 86 36 96 47 36 61 46 98 63 71 62
33 26 16 80 45 60 11 14 10 95
97 74 24 67 62 42 81 14 57 20 42 53 32 37 32
27 07 36 07 51 24 51 79 89 73
16 76 62 27 66 56 50 26 71 07 32 90 79 78 53
13 55 38 58 59 88 97 54 14 10
12 56 85 99 26 96 96 68 27 31 05 03 72 93 15
57 12 10 14 21 88 26 49 81 76
55 59 56 35 64 38 54 82 46 22 31 62 43 09 90
06 18 44 32 53 23 83 01 30 30
变式1、下列抽取样本的方式属于简单随机抽样的个数为( )
①从无限多个个体中抽取100个个体作为样本；
②盒子里共有80个零件，从中选出5个零件进行质量检验．在抽样操作时，从中任意拿出一个零件进
行质量检验后再把它放回盒子里；
③从20件玩具中一次性抽取3件进行质量检验；
④某班有56名同学，指定个子最高的5名同学参加学校组织的篮球赛．
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
变式2、.下列抽样方法是简单随机抽样的是( )
A.质检员从50个零件中一次性抽取5个做质量检验
B.“隔空不隔爱，停课不停学”，网课上，李老师对全班45名学生中点名表扬了3名发言积极的
C.老师要求学生从实数集中逐个抽取10个分析奇偶性
D.某运动员从8条跑道中随机抽取一条跑道试跑
方法总结：简单随机抽样的两种方法
(1)抽签法，抽签法的步骤是：
①将总体中的N个个体编号；
②将这N个号码写在形状、大小相同的号签上；
③将号签放在同一箱中，并搅拌均匀；
④从箱中每次抽取1个号签，连续抽取k次；
⑤将总体中与抽到的号签的编号一致的k个个体取出．
(2)随机数表法，随机数表法的步骤是：
①将总体的个体编号(每个号码的位数一致)；
②在随机数表中任选一个数作为开始；
③从选定的数开始按一定的方向读下去，若得到的号码在编号中，则取出；若得到的号码不在编号中
或前面已经取出，则跳过，如此继续下去，直到取满为止；
④根据选定的号码抽取样本．
考向二 总体分布的估计以及均值与方差例2、（2022·广东罗湖·高三期末）为了分析某次考试的情况，随机抽取了若干学生，将其考试成绩分组为：
， ， ， ， ， ， ， ， ，并绘
制成如下图所示的频率分布直方图，据此可估计该次考试成绩的中位数 ，则整数k的值为（
）
A．99 B．100 C．101 D．102
变式1、（2022·山东济南·高三期末）酒后驾驶是严重危害交通安全的行为，某交通管理部门对辖区内四个
地区（甲、乙、丙、丁）的酒驾治理情况进行检查督导，若“连续8天，每天查获的酒驾人数不超过
10”，则认为“该地区酒驾治理达标”，根据连续8天检查所得数据的数字特征推断，酒驾治理一定达标的
地区是（ ）
A．甲地，均值为4，中位数为5 B．乙地：众数为3，中位数为2
C．丙地：均值为7，方差为2 D．丁地：极差为 ， 分位数为8
变式2、（2022·江苏无锡·高三期末）某年的足球联赛上，甲队每场比赛平均失球数是 个，全年比赛失
球个数的标准差为 ；乙队每场比赛平均失球数是 个，全年比赛失球个数的标准差为 ，下列说法正
确的是（ ）
A．甲乙两队相比，乙队很少失球
B．甲队比乙队技术水平更稳定
C．平均来说，甲队比乙队防守技术好
D．乙队有时表现很差，有时表现又非常好
变式3、（2022·江苏苏州·高三期末）（多选题）甲同学投掷骰子 次，并请乙同学将向上的点数记录下来，计算出平均数和方差．由于记录遗失，乙同学只记得这五个点数的平均数为 ，方差在区间 内，
则这五个点数（ ）
A．众数可能为 B．中位数可能为
C．一定不会出现 D．出现 的次数不会超过两次
方法总结： 本题主要考查频率分布直方图，是一道基础题目．图表题作为一道应用题，主要考查考生的
视图、用图能力，以及应用数学解决实际问题的能力．频率分布直方图的两个要点：
(1)各个小矩形的面积之和等于1，各个小矩形的面积为各组的频率，小矩形的高为.
(2)＝频率，＝样本容量，样本容量×频率＝频数．
考向三 统计图表
例3、已知某市某居民小区户主人数和户主对户型结构的满意率分别如图1和图2所示，为了解该小区户
主对户型结构的满意程度，用分层随机抽样的方法抽取 30%的户主进行调查，则样本量和抽取的户主对四
居室满意的人数分别为( )
A.240，18 B.200，20
C.240，20 D.200，18
变式1、（2022·山东青岛·高三期末）如图是民航部门统计的 年春运期间十二个城市售出的往返机票
的平均价格以及相比去年同期变化幅度的数据统计图表，根据图表，下面叙述不正确的是（ ）
A．深圳的变化幅度最小，北京的平均价格最高B．深圳和厦门的春运期间往返机票价格同去年相比有所下降
C．平均价格的涨幅从高到低居于前三位的城市为天津、西安、厦门
D．平均价格从高到低居于前三位的城市为北京、深圳、广州
变式2、．（2022·河北保定·高三期末）为了增强大学生的环保意识，加强对“碳中和”概念的宣传，某公
益组织分别在 两所大学随机选取10名学生进行环保问题测试（满分100分），这20名学生得分的折
线图如图所示，关于这两所学校被选取的学生的得分，下列结论错误的是（ ）
A． 校学生分数的平均分大于 校学生分数的平均分
B． 校学生分数的众数大于 校学生分数的众数
C． 校学生分数的中位数等于 校学生分数的中位数
D． 校学生分数的方差大于 校学生分数的方
变式3、（2022·山东临沂·高三期末）某中学为了解学生数学史知识的积累情况，随机抽取150名同学参加
数学史知识测试，测试题共5道，每答对一题得20分，答错得0分．得分不少于60分记为及格，不少于
80分记为优秀，测试成绩百分比分布图如图所示，则（ ）
A．该次数学史知识测试及格率超过90%
B．该次数学史知识测试得满分的同学有15名C．该次测试成绩的中位数大于测试成绩的平均数
D．若该校共有1500名学生，则数学史知识测试成绩能得优秀的同学大约有720名
方法总结：统计图表的主要应用
扇形图：直观描述各类数据占总数的比例；
折线图：描述数据随时间的变化趋势；
条形图和直方图：直观描述不同类别或分组数据的频数和频率；
1、（2022年福建省晋江二中高三模拟试卷）为贯彻落实健康第一的指导思想，切实加强学校体育工作，
促进学生积极参加体育锻炼，养成良好的锻炼习惯，提高体质健康水平.某市抽调三所中学进行中学生体育
达标测试，现简称为A校、B校、C校.现对本次测试进行调查统计，得到测试成绩排在前200名学生层次
分布的饼状图、A校前200名学生的分布条形图，则下列结论不一定正确的是（ ）
A. 测试成绩前200名学生中B校人数超过C校人数的1.5倍
B. 测试成绩前100名学生中A校人数超过一半以上
C. 测试成绩在51—100名学生中A校人数多于C校人数
D. 测试成绩在101—150名学生中B校人数最多29人
2、 （2022年福建省南平市第三中学高三模拟试卷） 某地教育行政部门为了解“双减”政策的落实情况，
在某校随机抽取了100名学生，调查他们课后完成作业的时间，根据调查结果绘制如下频率直方图.根据此
频率直方图，下列结论中错误的是（ ）的
A. 估计该校学生 平均完成作业的时间超过2.7小时
B. 所抽取的学生中有25人在2小时至2.5小时之间完成作业
C. 该校学生完成作业的时间超过3.5小时的概率估计为20%
D. 估计该校有一半以上的学生完成作业的时间在2小时至3小时之间
3、（2022年广东省高三模拟试卷）（多选题） 一组数据 ， ，…， 是公差为 的等差数列，若
去掉首末两项 ， 后，则（ ）
A. 平均数变大 B. 中位数没变 C. 方差变小 D. 极差没变
4、（2022·广东清远·高三期末）（多选题）某学校组织了一次劳动技能大赛，共有100名学生参赛，经过
评判，这100名参赛者的得分都在 内，得分60分以下为不及格，其得分的频率分布直方图如图所
示（按得分分成 这五组），则下列结论正确的是（ ）
A．直方图中
B．此次比赛得分不及格的共有40人
C．以频率为概率，从这100名参赛者中随机选取1人，其得分在 的概率为0.5
D．这100名参赛者得分的中位数为65
5、（2022·广东东莞·高三期末）（多选题）气象意义上从春季进入夏季的标志为“当且仅当连续 天每天
日平均温度不低于 ”．现有甲、乙、丙三地连续 天日平均温度的记录数据（数据均为正整数，单位
）且满足以下条件：
甲地： 个数据的中位数是 ，众数是 ；
乙地： 个数据的中位数是 ，平均数是 ；丙地： 个数据有 个是 ，平均数是 ，方差是 ；
根据以上数据，下列统计结论正确的是（ ）
A．甲地进入了夏季 B．乙地进入了夏季
C．不能确定丙地进入了夏季 D．恰有2地确定进入了夏季
6、（2022·湖南娄底·高三期末）（多选题）2017年3月，由国家信息中心“一带一路”大数据中心等编写
的《“一带一路”贸易合作大数据报告（2017）》发布，呈现了我国与“一带一路”沿线国家的贸易成果
现状报告．贸易顺差额=贸易出口额-贸易进口额．由数据分析可知，在2011年到2016年这六年中
（ ）．
中国与“一带一路”沿线国家出口额和进口额（亿美元）
A．2016年中国与沿线国家贸易进口额最小
B．中国与沿线国家贸易进口额的中位数为4492亿美元
C．中国与沿线国家贸易出口额逐年递增
D．中国与沿线国家贸易顺差额逐年递增
