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第九章 统计
知识点一：抽样方法
从调查的对象中按照一定的方法抽取一部分，进行调查或观测，获取数据，并以此对调查对象的某项
指标做出推断，这就是抽样调查．调查对象的全体称为总体，被抽取的一部分称为样本.
1．简单的随机抽样
简单随机抽样的概念：
设一个总体的个体数为N．如果通过逐个抽取的方法从中抽取一个样本，且每次抽取时各个个体被抽
到的概率相等，就称这样的抽样为简单随机抽样．
① 用简单随机抽样从含有N个个体的总体中抽取一个容量为n的样本时，每次抽取一个个体时，任一
个体被抽到的概率为 ；在整个抽样过程中各个个体被抽到的概率为 ；
②简单随机抽样的特点是：不放回抽样，逐个地进行抽取，各个个体被抽到的概率相等；
③简单随机抽样方法体现了抽样的客观性与公平性，是其他更复杂抽样方法的基础．
简单抽样常用方法：
①抽签法：先将总体中的所有个体(共有N个)编号(号码可从1到N)，并把号码写在形状、大小相同的
号签上(号签可用小球、卡片、纸条等制作)，然后将这些号签放在同一个箱子里，进行均匀搅拌，抽签时
每次从中抽一个号签，连续抽取n次，就得到一个容量为n的样本．
适用范围：总体的个体数不多．优点：抽签法简便易行，当总体的个体数不太多时适宜采用抽签法．
②随机数表法：随机数表抽样“三步曲”：第一步，将总体中的个体编号；第二步，选定开始的数字；
第三步，获取样本号码．
2．分层随机抽样：
当已知总体由差异明显的几部分组成时，为了使样本更充分地反映总体的情况，常将总体分成几部分，
然后按照各部分所占的比例进行抽样，这种抽样叫做分层抽样，所分成的部分叫做层．
知识点二：用样本估计总体
二、用样本估计总体
1．频率分布直方图
可以利用频率分布直方图估计总体的取值规律．
2．百分位数与总体百分位数的估计
(1)第p百分位数：一般地，一组数据的第p百分位数是这样一个值，它使得这组数数据中至少有p%的
数据小于或等于这个值，且至少有(100－p)%的数据大于或等于这个值．
(2)可以用样本数据的百分位数估计总体的百分位数．
3．众数、中位数和平均数与总体集中趋势的估计
4．总体集中趋势的估计类型一 抽样方法的运用
例1为了解某地区的中小学生的视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已了解
到该地区小学，初中，高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女视力情况差异不大，在下面
的抽样方法中，最合理的抽样方法是（ ）
A.简单随机抽样 B.按性别分层抽样 C.按学段分层抽样 D.按学校分层抽样
解析：由于小学、初中、高中三个 学段学生的视力情况差异较大，而男女视力差异不大，则需按学
段分类抽样.
答案：C
例2总体由编号为 的20个体组成，利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是随机
数表第1行的第五列和第六列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出的第 5个个体的编号为
（ ）
7816 6572 0802 6314 0702 4369 9728 0198
3204 9234 4935 8200 3623 4869 6938 7481
A .08 B.07 C.02 D .01
解析：由随机数表法抽取样本的过程可知，选出的 5个个体的编号是08，02，14，07，01 ，所以第
五个个体的编号01.
答案D
类型二 用样本的频率分布估计总体分布
例3某学校随机抽取20个班，调查个班中有网上购物经历的人数，所得茎叶图如图，以组距为5将数据分
组 成 时 ， 所 作 的 频 率 分 布 直 方 图 是
（ ）解析：方法1：由题意如样本容量为20，剧组为5
列表
分组 频数 频率
1 0.01
1 0.01
4 0.04
2 0.02
4 0.04
3 0.03
3 0.03
2 0.02
合计 20 1
观察各选项的频率分布直方图，故选A
解后反思：（1）在茎叶图中，要弄清“茎”和“叶”表示的意义.在本题中，“茎”表示的是数据的
十位数字，“性叶”表示’的是数据的个位数字.（2）排除法是做选择题的一种非常简单有效的方法.
类型三 用样本的数字特征估计总体的数字特征
例4 茎叶图记录了甲乙丙组各五名同学在一次英语听力测试中的成绩（单位：分）已知甲组数据中位数
为15，乙组数据的平均数为16.8，则 的值分别为 （ ）A.2.5 B.5.5 C.5.8 D.8.
解 析 ： 因 为 甲 组 数 据 的 中 位 数 为 ， 所 以 . 因 为 乙 组 的 平 均 数 为
， 所以 ，所以 得值分别为 .
答案：C
解后反思：中位数是将一组数据按大小顺序排列后，处于中间位置的数或中间两个数的平均数；平均
数等于所有数据之和除以数据个数.
例5将某选手的9个得分去掉一个最高分，去掉一个最低分，7个剩余分数的平均分为91，现场作的九个
分数的茎叶图，后来有1个数据后来有一个数据模糊，无法辨别，在图中用 表示：
则7个剩余分数的方差为 （ ）
A． B． C． D．
解析：根据茎叶图，去掉1个最低分87，去掉一个最高分99，则
，所以 ，所以
答案：B
解后反思：（1）由茎叶图可知，选手的9个得分均为两位数，故最高分为99分.
（2）方差的计算公式：
类型四 统计案例例6为了调查甲，乙两校高三年级学生某次联考数学成绩情况，用简单随机抽样，从这两个学校的学生各
抽取30名高三学生，以他们的数学成绩（百分制）作为样本，样本数据的茎叶图如图所示
（1）若甲校高三年级每位学生被抽取的概率为0，05，求甲校高三年级学生总人数，并估计甲校高三
年级这次数学联考的及格率（60分以及60分以上算是及格）
（2）设甲，乙两校高三年级学生这次联考数学平均成绩分别为 估计 .
分析：（1）由样本数除以所占的比例得总体n，计算样本中的及格率，利用样本估计总体，（2）阅
读茎叶图，带入平均数公式计算可解.
解：（1）设甲校高三学生总数为n，又题意得，知 ，解得 样本中甲校高三年极数
学成绩不及格的人数为5，据此估计甲校高三年级这次联考数学成绩的及格率为
（2）设甲、乙两校样本平均数分别为
根据样本茎叶图，知
因此 ，所以 的估计值为0.5分.
解后反思：（1）在计算一组数据的平均数时，如果数据较大，可将这组数据同时减去一个数，计算
所得新数据的平均数，然后将这个平均数加上减去的那个数即为所求.
