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第七章 复数
知识点一：复数的基本知识
1、虚数单位 ，规定它的平方等于 ，即 .
可与实数进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立.
2、形如 （ ）的数叫做复数，记作： （ ）；
当b=0时， 是实数 ；
当b≠0时， 叫做虚数；
当a=0且b≠0时， 叫做纯虚数.则
3、两个复数相等的充要条件：若 ， .
4、复数的几何意义：
O⃗Z
复平面内的点 平面向量
复数
O⃗Z
复数的模：设 （ ），则向量 的长度叫做复数 的模，记作
5、
.
即 .
要点诠释：
（1）
的周期性：如果n∈N，则有： ， ， ， ；
（2）复数 的共轭复数，记为 ；
（3） .
知识点二：复数的运算
设 ， （ ），则：
要点诠释：（1）设 ω＝ ，则 ， ， ， ， ，
(n∈N)等；
+
（2）复数求解计算时，要灵活利用i、ω的性质，或适当变形，创造条件，从而转化为关于i、ω的计算问题． 比如 ； ； ；
（3）作复数除法运算时，有如下技巧： ．
类型一 复数的概念
【例1】若 （ 是虚数单位），则 的值分别等于( )．
A. B. C. D.
【解析】由已知得 ，所以 ， ，选A．
【答案】A
类型二 复数的运算
【例2】 是虚数单位，复数 ( )．
A. B. C. D.
【解析】 .
【答案】A
类型三 复数的模
【例3】(1)设 ，则 ( )．
A. B. C. D.2
(2)若复数 满足 （ 为虚数单位），则 ( )．
A．1 B.2 C. D.
【解析】(1) ，则 .(2) 方 法 一 ： 设 ， 则 由 ， 得 ， 所 以
， 由 复 数 相 等 的 条 件 得 解 得 ， 所 以 ， 故
.
方法二：由 ，得 ，所以 .
【答案】(1)B (2)C
类型四 复数的几何意义
【例4】(1)在复平面内，复数 （ 为虚数单位）的共轭复数对应的点位于( ).
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
(2)设复数 在复平面内的对应点关于虚轴对称， ，则 ( )．
A.-5 B.5 C. D.
【解析】(1) 的共轭复数为 ，对应的点为 ，在第四象限.
(2)由题知 ，所以 ．
【答案】(1)D (2)A
类型五 共轭复数
【例5】设 ，则 的共轭复数为( ).
A. B. C. D.
【解析】 ，根据共轭复数的定义，其共轭复数是 .
【答案】D
类型六 复数方程
【例6】若 是关于 的实系数方程 的一个复数根，则( )．
A. B. C. D.
【解析】根据实系数方程的根的特点知 也是该方程的另一个根，所以 ，即 ， ，故选D．
【答案】D
类型七 与复数有关的创新型问题
复数是高中数学的重要组成部分，创新是高考的热点之一，给复数定义一个新运算，它既能考查同学们的
创新思维，又能考查复数与其他知识的综合．
1.新定义型
【例7】定义新运算 ，则满足关系 的复数 是( ).
A. B. C. D.
【解析】因为 ，所以 ．
【答案】D
【点评】本题给出了一个新定义运算，根据新定义运算构造出关于 的方程，从而将问题顺利解决．
2.结论开放型
给出多个结论，需要同学们对每个备选结论判断真伪，写出满足条件的结论.
【例 8】对于任意两个复数 ， ，定义运算“ ”为
.设非零复数 在复平面内对应的点分别为 ，点 为坐标原点，若
，则在 中， 的大小为____.
【解析】方法一：设非零复数 ， （ ，且 ，
），则得点 ， .由题意知 不为原点，且由 ，得
.
由两直线垂直的充要条件，知直线 垂直. ，即 .
方法二：设非零复数 ， （ ，且 ， ），则
， ，且 为非零向量.由 ，知 ．设向量
与 的夹角为 ，则 .
.
【答案】
类型八 分类解析复数与三角函数的交汇问题在知识网络交汇处设计命题，贴近课本，立意高，情境新同时有较强地考查同学们的思维能力的功能，以
及考查同学们对中学数学不同分支的重要基础知识联系的深层次理解及运用能力下面就复数与三角函数的
交汇试题分类解析.
1.复数概念与三角函数的交汇
【例9】设复数 ，求 为何值时，(1) 为实数；(2) 为虚数；(3) 为纯
虚数.
【 解 析 】 (1) 为 实 数 ， ， . 即 当
时， 为实数.
(2) 为 虚 数 ， ， ， . 即 当
时， 为虚数.
(3) 为纯虚数， .即当 时， 为纯虚
数．
2.复数共轭与三角函数的交汇
【例10】已知复数 ， ，当 为何值时， 与 共轭？
【解析】由 与 共轭知 由①得 或 . ， 或
或 .由②得 ， .综上可知，当 为 时， 与 共轭.
【点评】本题通过利用复数共扼，建立三角函数方程组，通过结合三角函数套式可求得结果.
3.复数相等与三角函数的交汇
【例11】实数 有以下关系： （其中 是虚数单位），则
的最大值为( ).
A.30 B.15 C.25 D.100
【解析】由复数相等知 则 （其中 为辅助角）.
的最大值为100.
【答案】D【点评】本题是通过复数相等，建立 的目标函数，并注意三角函数有界性的应用.
4.复数几何意义与三角函数的交汇
【例12】设角 为锐角三角形的两个内角，则复数 对应的点位于
坐标平面的( ).
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
【解析】 ，又 此三角形为锐角三角形，则有 ，
，故有 ， ， 复数 时
应的点位于第二象限．
【答案】B
【点评】本题如果运用单位圆中的三角函数线，更易解决.
5.复数运算与三角函数的交汇
【例13】已知复数 ， ，且 ，求 的值.
【 解 析 】 由 ， 得 ，
， 即 ，
