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秘籍 02 三角函数求归类
概率预测 ☆ ☆ ☆ ☆ ☆
题型预测 选择题、填空题☆ ☆ ☆ ☆ ☆
考向预测 求的范围和最值
三角函数一直都是考试的热门，一般会有两道小题加一道大题，而小题中就经常会考察求范围的题
型，往往都会在第7题的单选中，存在一定的难度，但是掌握好方法，问题也是不大，这里总结了相关的
各个题型，需要清晰的分清对于三角函数图象的影响以及题干的条件从而用对应的方法解决。
【题型一】 利用单调性、对称轴、对称中心求 ω
函数 的性质：
由 求增区间；由 求减区间.
由 求对称轴.
由 求对称中心.
1.已知函数 （ ， ）在 上单调递增，则 的取值
范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】根据正弦和角与差角公式化简函数式可得，（ ， ）.
根据正弦函数单调递增区间可知 ，（ ）上单调递增，
化简得 ， ；∴函数 的单调增区间为 ，（
）.
∵在 上单调递减，可得 ，解得 ，（ ）.又 ，
当 时，可得 ；当 时，可得 .故选：D.
2.已知向量 ，函数 ，且 ，若 的任何一条对称轴与
轴交点的横坐标都不属于区间 ，则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
, ,由 ，得 ， ,由对称轴
,假设对称轴在区间 内，可知 当k=1,2，3
时， ，现不属于区间 ，所以上面的并集在全集 中做补
集，得 ，选B.
3.设函数 的图象关于点 中心对称，则 的最小值为（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用 为对称中心，列出方程，求出 ， ，求出 的最小值.
【详解】由题意得： ， ，解得： ， ，所以 ， ，
当 时， 取得最小值为 .故选：D
1．（2023·黑龙江大庆·大庆中学校考模拟预测）已知函数 ，其中 ．若 在
区间 上单调递增，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】 ，
∵函数 在区间 内单调递增，
∴ ，∴ ，
∵ ，∴ ，
若 在区间 上单调递增，
则解得 ，
当 时， ，
当 时， ，
当 取其它值时不满足 ，
∴ 的取值范围为 ，
故选：D
2．（2023春·河南开封·高三统考开学考试）记函数 的最小正周期为
T，若 ，且函数 的图象关于点 对称，则当 取得最小值时， （ ）
A．2 B．1 C．－1 D．－2
【答案】D
【详解】由已知得 ，
因为函数 的图象关于 对称，所以 ，
所以 ，所以 ，
又因为 ，所以 ， ，
由 的图象关于 对称得 ，
所以 ，即有 ，
又因为 ，所以当 最小时， ，此时 ，
所以 ，故选：D．
3．（2023·江苏泰州·泰州中学校考一模）记函数 的最小正周期为T．若
，且点 和直线 分别是 图像的对称中心和对称轴，则T＝（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：由题意
在 中，
设对称点和与对称轴在 轴上的交点间的距离为
对称中心：
对称轴：
由几何知识得，
解得： （ 为属于 的参数）
∵ ，且点 和直线 分别是 图像的对称中心和对称轴
∴
解得：
∵
∴ ,
故选：A.【题型二】 极（最）值点“恰有”型求 ω：
涉及到对称轴对称中心以及单调性多个同时出现时， ，不
要把所有的都写成一个k,因为需要多个式子，而这些式子的不一定一致， 即它们本身不一定相等.实际上
建议换成不同的字母教合适。
1.已知函数f(x)=2sin(ωx+ )(ω>0)的图象在区间[0，1]上恰有3个最高点，则ω的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
函数f（x）＝2sin（ωx+ ）（ω＞0），∵x∈[0，1]上，∴ωx+ ∈[ ，ω+ ]，
图象在区间[0，1]上恰有3个最高点，
∴ ，解得： ．故选：C．
2.已知 ，函数 在区间 上恰有 个极值点，则正
实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：
令 ，解得对称轴 ， ，
又函数 在区间 恰有 个极值点，只需
解得 ．故选： ．
3.已知函数 ， 的图像在区间 上恰有三个最低点，则 的取值范围为________．
【答案】
解： ， ， ．根据正弦型函数图象的特点知， 轴左侧有1个或2个
最低点．
①若函数图象在 轴左侧仅有1个最低点，则 ，解得 ， ， ，
此时在 轴左侧至少有2个最低点． 函数图象在 轴左侧仅有1个最低点不符合题意；
②若函数图象在 轴左侧有2个最低点，则 ，解得 ，又 ，则
，
故 ， 时， 在 ， 恰有3个最低点．
综上所述， ．故答案为： ．
1．（2023·山西·统考模拟预测）已知函数 ，集合 中恰有
3个元素，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】因为函数 ，
所以 ，
因为集合 含有 个元素，
所以 时在 上只有三解，即 ，
解得： 或 ，
故 或 ，要使其落在 上，
故只有 、 、 ，其他值均不在 内，
故 ，解得 ，故 ，
故选：D.
2．（2021·河南·校联考模拟预测）函数 在 有5个极值点，则 的取值范围是
__________．
【答案】
【详解】因为 ，所以 ，函数 在 上的前6个极值点分别为 ，
， ， ， ， ，所以 ，即 ，所以 的取值范围是 ．
故答案为：
3．（2022·安徽合肥·合肥市第五中学校考模拟预测）已知函数 在 内
恰有3个最值点和4个零点，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】 ，因为 ，所以 ，
又因为函数 在 内恰有 个最值点和4个零点，
由图像得： ，解得： ，
所以实数 的取值范围是 .
故选：A
【题型 三】 极（最）值点“没有”型求 ω
涉及到三角函数图像性质的运用，在这里需注意：
两对称轴之间的距离为半个周期；
相邻对称轴心之间的距离为半个周期；
相邻对称轴和对称中心之间的距离为 个周期．
1. 已知不等式 的解集为M，且函数 在 上
无最值，
则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】解：由题得 ，
所以 ，所以 ，
所以 ，
所以 或 .所以 , .
假设 在 上有最值，则 ，
所以 ，设 所以
所以 或 .
解之得 或 ，
令 得 或 .
所以 在 上无最值，则 的取值范围是 .
故选：A
2.已知 ，函数 在区间 内没有最值，则 的取值范围（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由 ， ，得 ， ，
因为函数 在区间 内没有最值，
所以对任意 ，都有 ，
当 ， 时， ，故选项 不正确；
当 时，存在 使得 ，故选 不正确.
故选：C.
3.已知函数 ，若 在区间 内无最值，则 的取值范围是
A． B． C． D．【答案】B
【详解】 , 若 在区间 内无最值，则在区间 内无对称轴，令
＝ ,可得 ＝kπ ，∴函数对称轴为x＝ ，k∈Z．令π＜ ＜2π，解得ω﹣
＜k＜2ω﹣ ，
∵函数f（x）在区间（π，2π）内无对称轴，∴区间（ω﹣ ，2ω﹣ ）上没有整数，
由f（x）在（π，2π）内无对称轴可得 ≥π，0＜ω≤1．
∴（ω﹣ ，2ω﹣ ）⊆（﹣1，0）或（ω﹣ ，2ω﹣ ）⊆（0，1），
∴ 或 解得0＜ω≤ 或 ≤ω≤ ．故选B．
1．（2023·山西·校联考模拟预测）已知偶函数 在 上有
且仅有一个极大值点，没有极小值点，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】由题可知， 为偶函数，
∴ ，即 ．∵ ，∴ ．∴ ，
令 ，由 得 ，
∴ 转化为 ， ．
如图， 在 上有且仅有一个极大值点没有极小值点时， ，∴ ．
故选：A．
2．（2023·高一单元测试）已知 ，若函数 在 上无零点，则
的值可能为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】令 ，则 ，
故 ，则 ，故 在 无零点，所
以 ，
所以 或 ，
当 时，由于 ，所以 ，
因为 ，所以 ；
当 时， ，则 ，即 ，故 ，
因为 ，所以 ，故 ，则 ；综上： 或 ，所以 不可能为第二角限角.
故选：D.
3．（2022·辽宁沈阳·东北育才双语学校校考一模）函数 ，且 ，若
在 内无零点，则 的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】 ，当
时， ，
则 或 ，
解得 或 ，又 ，
当 ，令 ，得 ，故 ；
当 ，令 ，得 ；
综上 .
故选：D.【题型四】 极（最）值点“至少、至多”型求 ω
求待定系数 和 ，常用如下两种方法：
(1)由 即可求出 ；确定 时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零点”横坐标 ，
则令 (或 )，即可求出 .
(2)代入点的坐标，利用一些已知点(最高点、最低点或“零点”)坐标代入解析式，再结合图形解出 和 ，
若对 ， 的符号或对 的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求.
1.函数 在区间 ， 上至少出现10次最大值，则 的最小值是
A． B． C． D．
【解答】解：函数 在区间 ， 上至少出现10次最大值，
，即 ，求得 ，
故 的最小值为 ，
故选： ．
2．（2023·河南开封·开封高中校考一模）已知将函数 的图象向右
平移 个单位长度，得到函数 的图象，若 在 上有3个极值点，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】因为又因为 ，
令 ，又因为 ,当 时,
在 上有3个极值点等价于 在 上有3个极值点，
的图象如图所示：
由余弦函数 的性质可得: ,
解得: .
故选:C.
3．（2019·云南大理·高三统考阶段练习）函数 在区间 上至少取得1个
最小值，则正整数 的最小值是
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】B
【详解】函数 ，
∴ 的最小正周期 ，
且 时， ，
结合 在区间 上至少取得1个最小值可得：，解得 ，∴正整数 的最小值是3，
故选B．
1．（2023春·山西大同·高一大同一中校考阶段练习）已知函数 的图
象经过点 ，若 在区间 上至多有1个零点，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：由题可知 ．
因为 ，所以 ．所以 ．令 ，则 ， ，
所以 ， ．当 ，2时， 的零点为 ， ．由于 在区间 上至多有1个
零点，所以 ．所以a的取值范围是 ．
故选：C
2.（2023·全国·高三专题练习）已知 在 有且仅有6个实数根，则实
数 的取值范围为（ ）
A． B．C． D．
【答案】D
【详解】解：由 ，
得 ，即 .
设 ，
即 在 有且仅有6个实数根，
因为 ，
故只需 ，
解得 ，
故选：D．
3. （2023·全国·高三专题练习）已知函数 ，若 的图象在区间 上
有且只有1个最低点，则实数 的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】由题意得 ，
因为 ，
所以 ，因为 有且只有1个最低点，
所以 ，解得 .
故选：D
【题型五】最值与恒成立型求 ω
函数 的图象求解析式
.
1．（2023·吉林·东北师大附中校考二模）函数 的部分图象如图，
轴，当 时，不等式 恒成立，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】因为 轴，所以图象最低点的横坐标为 ，
所以 ，所以 解得 ，
又因为 ，所以 ，即 ，
又因为 ，所以 ，
所以 ，
由 可得 ，
即 也即 ，
令 ，
因为 ，所以 ，所以 ，
因为 恒成立，所以 .
故选:A.
2.已知 ，函数 ，若对任意给定的 ，总存在 ，
使得 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C．5 D．6
【答案】D
【详解】
详解：当a≠0时， ，
由f(x)=0得 ，
因为
所以 ，
根据三角函数的图像得只要coswx=1满足条件即可，
这时 ，所以
当a=0时， ，令f(x)=0，所以coswx=0，须满足综合得 故答案为D.
3．（2022·浙江绍兴·模拟预测）已知 ，设函数 ， ，若当
对 恒成立时， 的最大值为 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】设 ，因为 的最大值为 ，所以 时， 必取到最值，
当 时，根据余弦函数对称性得 ，此时
或者 ，此时
由 ，
设 时 对应解为 ，
由上分析可知
当 ， 或 ， 时，满足 的最大值为 ，
所以 ，即 ，所以 .
或 ，即 或 ，
故选：A.1．（2023·江苏·高一专题练习）已知 ，若存在 ，使不等式
有解，则实数 的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】
.
，使不等式 有解
则
当 时， 取得最小值， .
所以解之得： 或
的取值范围是
故选：B
2．（2022春·江西宜春·高一校考期末）若关于x的不等式 在 上恒成立，则m
的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】不等式 可转化为
，
即 在 上恒成立，当 时， ，则 ，则
.
故选：D.
3．（2022·陕西西安·西北工业大学附属中学校联考模拟预测）已知不等式
对 恒成立，则m的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：因为不等式 对 恒成立，所以不等式 对 恒成立，
令 ，
因为 ，所以 ，
则 ，
所以 ，
所以 ，解得 ，
所以m的最小值为 ，
故选：D
高考模拟练习
1．（2021·江苏扬州·扬州中学校考模拟预测）设函数 ，其图象的一条对称
轴在区间 内，且 的最小正周期大于 ，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】 ，
由 ，得 ，
取 ，得 ，取 ，得 ，由 ，得 ，此时 ，
由 ，得 ，此时 ，不合题意，
依次当 取其它整数时，不合题意，所以 的取值范围为 ，
故选：D
2．（2022·全国·模拟预测）已知 ， ，且 ，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】易知 ，且 ，
展开整理得 ，
所以 ，
因为 ，所以 ．
故选：C
3．（2023·全国·模拟预测）已知 .若存在 ，使不等式
有解，则实数m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】，
若存在 ，使不等式 有解，
则问题转化为在 上
因为 ，所以 ，
所以 ，
所以 ，
解得： 或
即实数m的取值范围为： ，
故选：B.
4．（2023·全国·校联考模拟预测）已知函数 在区间 上单调递增，则
的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解： ，
因为 ，所以
因为函数 在区间 上单调递增，所以函数 在 上单调递增，且 ，即 .
因为 ，
所以，函数 在 上单调递增等价于 或 ，
所以，解不等式得 或 ，
所以， 的取值范围是 .
故选：D
5．（2021·天津津南·天津市咸水沽第一中学校考模拟预测）已知函数
是偶函数.若将曲线 向左平移 个单位长度
后得到曲线 ，若方程 在 有且仅有两个不相等实根，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
是偶函数，则 ， ， ，故 ， ．
若将曲线 向左平移 个单位长度后，得到曲线 ，∴
，
当 ，则 ，
若方程 在 有且仅有两个不相等实根，
则有 ，解得 ，则实数 的取值范围是 .
故选：B
6．（2022·河南·马店第一高级中学校联考模拟预测）已知函数 在
内有且仅有1个零点，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】由题意得
当 时， ，
因为 在 内有且仅有1个零点，
所以 ，解得 ，
故选：D
7．（2022·江苏苏州·苏州中学校考模拟预测）已知函数 ，若 在 上的值域是 ，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】 ，令 ，则 ， ，因为
， ， 的值域为 ，所以 ，解得
.
故选：B.
8．（2022·全国·安阳市第二中学校联考模拟预测）若函数 在 上存在两
个零点，则实数m的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】因为
所以
令 ，则
因为 ，所以
若函数 在 上存在两个零点，问题转化为 与 图像有两个交点
如图
由图可得：
解得：
故选：B.
9．（2022·河南信阳·统考一模）已知函数 ，若 在区间 上单
调递减，则实数 的取值范围（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
，
由 ，则 ，由题意， ，则 ，解得
.
故选：C.
10．（2022·青海海东·校考模拟预测）已知函数 ，若函数f(x)在上单调递减，则实数ω的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】函数
，
由函数f(x)在 上单调递减，且 ，
得 ， ，解 ， .
又因为ω>0， ，所以k＝0，
所以实数ω的取值范围是 .
故选：B
