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秘籍 12 导数小题归类
概率预测 ☆ ☆ ☆ ☆ ☆
题型预测 选择题、填空题☆ ☆ ☆ ☆ ☆
考向预测 同构式求解参数取值范围、恒成立问题
导数一直是压轴题不可撼动的题型，这里的题型很多，结合的内容也偏多，比如常出现的比较大小和
恒成立问题等都结合着构造函数的思想，而如何构造就需要学生对出题人的出题思路再根据构造函数的思
维从而进行推理，是不简单的知识点。
【题型一】 公切线求参
(1)以曲线上的点(x，f(x))为切点的切线方程的求解步骤：
0 0
①求出函数f(x)的导数f′(x)；
②求切线的斜率f′(x)；
0
③写出切线方程y－f(x)＝f′(x)(x－x)，并化简．
0 0 0
(2)如果已知点(x ，y)不在曲线上，则设出切点(x ，y)，解方程组 得切点(x ，y)，进而确
1 1 0 0 0 0
定切线方程．
1．（2023·浙江·统考二模）与曲线 和 都相切的直线方程为__________.
2．（2023·湖南长沙·湖南师大附中校考模拟预测）若曲线 和曲线 恰好存在
两条公切线，则实数a的取值范围为__________．
3．（2023·山东日照·统考二模）已知曲线 与 的两条公切线的夹角余弦值为 ，则
_________．1．（2023·湖南衡阳·校联考模拟预测）若曲线 与 有三条公切线，则 的取值范围
为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·湖南郴州·统考模拟预测）定义：若直线l与函数 ， 的图象都相切，则称直线l
为函数 和 的公切线．若函数 和 有且仅有一条公切线，则实
数a的值为（ ）
A．e B． C． D．
3．（2023·江西上饶·统考二模）若曲线 与曲线 有公切线，则实数a的取值范围
（ ）
A． B．
C． D．
【题型二】 “过点”切线条数
导数运算及切线的理解应注意的问题：
一是利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆．
二是直线与曲线公共点的个数不是切线的本质，直线与曲线只有一个公共点，直线不一定是曲线的切线，
同样，直线是曲线的切线，则直线与曲线可能有两个或两个以上的公共点．
1．（2023·河南周口·统考模拟预测）若曲线 有三条过点 的切线，则实数 的取值范围为
（ ）A． B． C． D．
2．（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测）若过点 可作曲线 的两条切线，则点
可以是（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·陕西西安·统考一模）过点 可作三条直线与曲线 相切，则实数a的取值范
围为（ ）
A． B． C． D．
1．（2023·江苏泰州·统考一模）若过点 可以作曲线 的两条切线，切点分别为
，则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2022·河南濮阳·统考模拟预测）下列条件是“过点 可以作两条与曲线 相切的直线”的充
分条件的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·广东·统考二模）已知 ，若过点 恰能作两条直线与曲线 相切，且这
两条切线关于直线 对称，则 的一个可能值为______．【题型三】 切线法解题
涉及到交点或者零点的小题题型，函数图像通过求导，大多数属于凸凹型函数，则可以用切线分隔（分
界）思维来求解。切线，多涉及到“过点”型切线，
1.已知函数 ， .若 的图象与 轴有且仅有两个交点，则实数 的取值范
围是（ ）
A． B． C． D．
2..已知 ， ，直线 与曲线 相切，则 的最小值为___________.
3.．对任意的 ，若关于 的不等式 恒成立，则 的最小值为__________.
1．（2023·江苏南通·江苏省如皋中学校考模拟预测）已知直线 与函数
的图象恰有两个切点，设满足条件的k所有可能取值中最大的两个值分别为
和 ，且 ，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 （ 为自然对数的底数），则函数
的零点个数为（ ）
A．3 B．5 C．7 D．9
3．（2023·陕西咸阳·统考三模）已知抛物线 ，把该抛物线绕其对称轴旋转一周得到一个几何体，在该几何体中放置一个小球，若使得小球始终与该几何体的底部相接，则小球体积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【题型四】 恒成立求参
不等式的恒成立求参数问题， 不等式恒成立问题常见方法：
①分离参数 恒成立( 即可)或 恒成立（ 即可）；
②数形结合( 图像在 上方即可)；
③讨论最值 或 恒成立.
涉及到不等式整数解的问题时，要充分利用导数研究函数单调性，结合单调性考查整数解相邻整数点函数
值的符号问题，列不等式求解，考查运算能力与分析问题的能力.
在研究函数时用导数求极值研究极值时，无法正常求出极值点，可设出极值点构造等式或者方程作分析，
进行合适的等量代换或者合适的换元消元消参，考查了分析推理能力，运算能力，综合应用能力，难度很
大.
1．（2023·江西·校联考二模）已知函数 ，当 时， 恒成立，则实
数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·全国·模拟预测）已知当 时，关于 的不等式 恒成立，则实数 的值不可能是
（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
3．（2023·全国·模拟预测）已知函数 满足 ，且 （ 为 的导
函数），若对于任意的 ，不等式 恒成立，则 的取值范围为（ ）
A． B．C． D．
1．（2023·河南·校联考模拟预测）若函数 在 上单调递增，则实数m的取值
范围为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·云南·校联考二模）已知 ，使
恒成立的有序数对 有（ ）
A．2个 B．4个 C．6个 D．8个
3．（2023·福建福州·统考模拟预测）已知 ，函数 ， .若
，则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【题型五】 能成立求参
对于利用导数研究函数的综合问题的求解策略：
1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；
2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．
3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造
的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放
缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．1．（2023·河南开封·开封高中校考一模）若存在 ，使得关于 的不等式 成立，则实
数 的最小值为（ ）
A．2 B． C． D．
2．（2023·河南开封·开封高中校考模拟预测）已知函数 ，若 ，使得
成立，则 的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
3．（2023·河南·统考二模）已知函数 ，若曲线 上存在点 使得
，则a的取值范围是_______．
1．（2023·贵州·校联考二模）已知函数 ， ，对任意 ， ，都
有不等式 成立，则a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023·四川广安·统考二模）若存在 ，使不等式 成立，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·江西·校联考模拟预测）已知 有解，则实数a的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【题型六】 零点与隐零点
（多选）1．（2023·广东茂名·统考二模）已知 ，若关于 的方程
恰好有6个不同的实数解，则 的取值可以是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·云南曲靖·统考模拟预测）已知函数 的导函数为 ，且对任意的实数 都有
（ 是自然对数的底数），且 ，若关于 的方程 恰有两个实数
根，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·广东湛江·统考二模）对于两个函数 与 ，若这两个函数值相等时对应的自变量分别为 ，则 的最小值为（ ）
A．-1 B． C． D．
1．（2023·河北衡水·模拟预测）已知函数 有两个极值点 ，且 ，
则实数 的取值范围为_________.
2．（2023·陕西西安·长安一中校考二模）若函数 在 和 ，两处取得极值，且
，则实数a的取值范围是__________．
3．（2023·湖南郴州·统考模拟预测）已知函数 有两个极值点 ，则
实数a的取值范围为________；若 ，则 的最大值为________．
【题型七】 双变量问题
一般地，若 时，涉及到双变量的不等式的证明，函数的最值问题可以使用比值换元，令
，将问题转化为关于 的函数，利用导数进行求解.
1．（2023·湖北武汉·统考二模）已知直线 与函数 的图象恰有两个切点，
设满足条件的 所有可能取值中最大的两个值分别为 和 ，且 ，则（ ）
A． B． C． D．2．（2022·四川成都·统考一模）已知 ，且 ，则下列说法正确的有（ ）
① ； ② ；③ ； ④ .
A．①②③ B．②③④ C．②④ D．③④
（多选）3．（2022·广东广州·统考一模）已知 ，则（ ）
A． B．
C． D．
（多选）1．（2022·全国·模拟预测）已知方程 有两个不同的根 ， ，则下列
结论一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．
（多选）2．（2022·云南·统考模拟预测）函数 ，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C．若 ，x､y均为正数，则 D．若 有两个不相等的实根 ，则
3．（2023·全国·模拟预测）若对于 ， ，使得不等式
恒成立，则实数x的范围为______．
【题型八】 构造函数求参
1.构造函数法求解函数解析式，利用导数研究函数增减性，常用以下方法：
（1）利用含导数方程还原原表达式需要结合导数四则运算特征，如本题中同乘 移项后就得到除法对应导
数公式；
（2）利用导数研究函数增减性,如遇导数不能判断正负的情况下，往往需要再次求导，通过二阶导数判断一阶导数的正负，再通过一阶导数的正负判断原函数的增减.
2.几种导数的常见构造：
对于 ，构造
若遇到 ，构造
对于 ，构造
对于 ，构造
对于 或 ，构造
对于 ，构造
对于 ，构造
1.已知函数 的导函数为 ，任意 均有 ，且 ，若函数
在 上有两个零点，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2.）若定义域 的函数 满足 且 ，若 恒成立，则m的取
值范围为（ ）
A． B． C． D．
3.设奇函数 的定义域为 ，且 的图象是连续不间断， ，有
，若 ，则 的取值范围是（ ）．
A． B． C． D．
1．（2023·广东深圳·统考二模）已知 ， ，且 ，则下列关系式恒成立的
为（ ）A． B． C． D．
2．（2023·四川乐山·统考三模）已知函数 有两个零点 、 ，函数 有两个零点
、 ，给出下列 个结论：① ；② ；③ ；④ ．其中所有正确结论的序
号是（ ）
A．①② B．②③ C．①②③ D．①②④
3．（2023·山东日照·统考二模）已知 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【题型九】 极值点偏移
1．（2023·湖南长沙·雅礼中学校考一模）已知 ， ， ，则a，b，c的大小
关系是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023·江西·校联考模拟预测）已知 ， ， ， ，则
（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·四川成都·成都实外校考模拟预测）已知两个不相等的正实数x，y满足 ，则下列结
论一定正确的是（ ）
A． B．C． D．
（多选）1．（2022·河北衡水·衡水市第二中学校考一模）直线 ： 与 的图象交于 、
两点 ， 在A､B两点的切线交于 ， 的中点为 ，则（ ）
A． B．点 的横坐标大于1
C． D． 的斜率大于0
（多选）2．（2023·河北·河北衡水中学校考模拟预测）若当实数a变化时，直线 恒与定曲线
相切，且 ，则（ ）
A． 有一个极大值点 B．
C． D．
（多选）3．（2022·重庆江北·校考一模）已知函数 则下列结论正确的有（ ）
A．当 时， 是 的极值点
B．当 时， 恒成立
C．当 时， 有2个零点
D．若 是关于x的方程 的2个不等实数根，则
高考模拟练习
1．（2023·浙江台州·统考二模）设函数 ，则（ ）
A．函数 有且仅有一个零点B．对 ， ，函数 有且仅有一个零点
C． ， 恒成立
D． ， 恒成立
2．（2023·江苏南通·三模）已知宽为 的走廊与另外一条走廊垂直相连，若长为 的细杆能水平地通过拐
角，则另外一条走廊的宽度至少是( ).
A． B． C． D．
3．（2023·四川成都·成都七中校考模拟预测）函数 与其导函数为 ，满足
，其中 ；若 ， ，其中 ，则下列不等式
一定成立的有（ ）个
①
②
③
④
A．1 B．2 C．3 D．4
4．（2023·重庆·统考二模）在数学王国中有许多例如 ， 等美妙的常数，我们记常数 为 的零点，
若曲线 与 存在公切线，则实数 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2023·河南郑州·统考二模） 和e是数学上两个神奇的无理数． 产生于圆周，在数学中无处不在，
时至今日，科学家借助于超级计算机依然进行 的计算．而当涉及到增长时，e就会出现，无论是人口、经济还是其它的自然数量，它们的增长总是不可避免地涉及到e．已知 ， ， ，
，则a，b，c，d的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
6．（2023·河南·校联考二模）已知函数 ，其中 ，若函数满足以下条件：
①函数 在区间 上是单调函数；② 对任意 恒成立；
③经过点 的任意直线与函数 恒有交点，则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
7．（2023·河南·洛阳市第三中学校联考模拟预测）已知曲线 ，过曲线上A，B两点分
别作曲线的切线交于点P，AP⊥BP．记A，B两点的横坐标分别为 ，则 （ ）
A． B．1 C． D．2
8．（2023·江西吉安·统考一模）已知 ，且 ，则 的可能取值为（ ）
（参考数据： ， ）
A． B． C． D．
9．（2023·山东菏泽·统考一模）定义在实数集 上的函数 ，如果 ，使得 ，则称
为函数 的不动点.给定函数 ， ，已知函数 ， ， 在
上均存在唯一不动点，分别记为 ，则（ ）A． B． C． D．
10．（2023·河北·河北衡水中学校考模拟预测）过正态分布曲线 上非顶点的一点 作切线，
若切线与曲线仅有一个交点，则 （ ）
A． B． C． D．
