文档内容
秘籍 11 函数性质归类
概率预测 ☆ ☆ ☆ ☆ ☆
题型预测 选择题、填空题☆ ☆ ☆ ☆ ☆
考向预测 数学语言、中心对称图形
函数知识无处不在，它可以和任何知识结合起来考察，尤其是由数学语言来判断函数的周期或者
对称轴以及对称中心，再解决相应的问题，所以熟练掌握函数的基本性质是基础，而高考考察的即为延申
的代数问题，包括抽象函数的理解和图象的变化。
【题型一】 中心对称性质 1：几个复杂的奇函数
中心对称的数学语言：
若 满足 ，则 关于 中心对称
三次函数的对称中心的横坐标即为二次求导的零点。
1．（2023·辽宁·校联考二模）设函数 在 上满足 ， ，且
在闭区间 上只有 ，则方程 在闭区间 上的根的个数（ ）．
A．1348 B．1347 C．1346 D．1345
（多选）2．（2023·全国·模拟预测）已知函数 ，则（ ）A． 的单调递减区间是 B． 有4个零点
C． 的图象关于点 对称 D．曲线 与 轴不相切
3．（2023·湖北·统考二模）已知函数 及其导函数 定义域均为R，满足 ，
记 ，其导函数为 且 的图象关于原点对称，则 （ ）
A．0 B．3 C．4 D．1
1．（2023·浙江·校联考模拟预测）已知函数 ，则（ ）
A． 为奇函数 B． 为偶函数
C． 为奇函数 D． 为偶函数
2．（2023·河北承德·统考模拟预测）已知 ，若 为奇函数，则实数 （ ）
A．0 B． C．1 D．2
3．（2023·江西·校联考二模）函数 和 的定义域均为 ，且 为偶函数，
为奇函数，对 ，均有 ，则 ______.
【题型二】 中心对称性质 2：与三角函数结合的中心对称
1.三角函数的对称中心（对称轴）有无数个，适当结合条件确定合适 。
2.要注意一个隐含性质：一次函数是直线，它上边任何一个点都可以作为对称中心。一般情况下，选择它
与坐标轴交点，或则别的合适的点1．（2023·天津·统考二模）设函数 ， .当 时， 与 的图
象所有交点的横坐标之和为（ ）
A．4051 B．4049 C．2025 D．2023
2．（2023·陕西西安·西安中学校考模拟预测）已知定义在 上的函数 是偶函数，当 时，
，若关于 的方程 有且仅有 个不同实数根，则
实数 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2023·湖南邵阳·统考二模）已知函数 若存在实数 ， ， ，
，满足 ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
（多选）1．（2023·湖南岳阳·统考二模）设函数 在 上的最小值为 ，函数在 上的最大值为 ，若 ，则满足条件的实数 可以是（ ）
A． B． C． D．
2.（2023·天津和平·统考二模）已知函数 ，若关于 的方程
恰有5个不同的实数解，则实数 的取值范围为__________．
3．（2023·湖南益阳·统考模拟预测）已知函数 ，若存在实数 满足
，且 ，则 的取值范围是__________.
【题型三】 轴对称
数学语言：
1.函数 对于定义域内任意实数 满足 ，则函数 关于直线 对称，特别
地当 时，函数 关于直线 对称；
2.如果函数
y=f (x)
满足
f (a+x)=f (a−x)
，则函数
y=f (x)
的图象关于直线x=a对称.
a+b
x=
y=f (a−x) y=(x−b) 2
3. 与 关于直线 对称。
常见的偶函数：
（多选）1．（2023·湖南·校联考二模）已知函数 满足：① 为偶函数；②， ． 是 的导函数，则下列结论正确的是（ ）
A． 关于 对称 B． 的一个周期为
C． 不关于 对称 D． 关于 对称
（多选）2．（2023·河北唐山·统考二模）已知函数 及其导函数 的定义域均为 ．
， ，当 时， ， ，则（ ）
A． 的图象关于 对称
B． 为偶函数
C．
D．不等式 的解集为
（多选）3．（2023·辽宁大连·统考一模）定义在 上的函数 ，则（ ）
A．存在唯一实数 ，使函数 图象关于直线 对称
B．存在实数 ，使函数 为单调函数
C．任意实数 ，函数 都存在最小值
D．任意实数 ，函数 都存在两条过原点的切线
（多选）1．（2023·全国·模拟预测）已知函数 ，则（ ）
A． B． 的图象关于直线 对称C． D． 仅有一个极值点
2．（2023·陕西安康·陕西省安康中学校考模拟预测）定义在 上函数 满足 ，
.当 时， ，则下列选项能使 成立的为（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·贵州贵阳·统考模拟预测）关于函数 ，有如下四个命题：
①若 ，则 的图象关于点 对称；
②若 的图象关于直线 对称，则 ；
③当 时，函数 的极值为 ；
④当 时，函数 有两个零点．
其中所有真命题的序号是________．
【题型四】 中心对称和轴对称构造出周期性
基本规律
关于对称中心与对称轴构造周期的经验结论
1.若函数有两个对称中心（a，0）与（b，0）），则函数具有周期性，周期T=2|a-b|。
2.若函数有两条对称轴x=a与x=b，则函数具有周期性，周期T=2|a-b|。
3.若函数有一个对称中心（a，0）与一条对称轴x=b，，则函数具有周期性，周期T=4|a-b|。
1．（2023·新疆乌鲁木齐·统考二模）已知 ， 都是定义在 上的函数，对任意x，y满足
，且 ，则下列说法正确的是（ ）A． B．函数 的图象关于点 对称
C． D．若 ，则
2．（2023春·江西·高三校联考阶段练习）设 分别为函数 在其定义域 上的导函数，
已知 ， 为奇函数， ，且 ，则 （ ）
A．-2 B．-1 C．2 D．3
3．（2023·河南开封·统考三模）已知函数 的定义域为 ， 为奇函数， 为偶函数，且
，则 （ ）
A． B． C． D．
1．（2023春·四川凉山·高二宁南中学校考阶段练习）已知定义在R上的函数 满足 ，
且函数 是偶函数，当 时， ，则 （ ）
A． B． C． D．
（多选）2．（2023·山西太原·太原五中校考一模）已知定义域为 的函数 对任意实数 都有
，且 ，则以下结论一定正确的有（ ）
A． B． 是偶函数C． 关于 中心对称 D．
（多选）3．（2023春·湖北·高一校联考期中）已知函数 ， 的定义域均为R，且
， ．若 的图象关于直线 对称， ，则下列结论正
确的是（ ）
A． B． C． D．
【题型五】 画图：类周期函数
基本规律
“似周期函数”或者“类周期函数”，俗称放大镜函数，要注意以下几点辨析：
1.是从左往右放大，还是从右往左放大。
2.放大（缩小）时，要注意是否函数值有0。
3.放大（缩小）时，是否发生了上下平移。
1.已知函数 满足当 时， ，且当 时， ；当 时，
且 ).若函数 的图象上关于原点对称的点恰好有3对，则 的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
2.设函数 的定义域为 ，满足 ，且当 时， ．若对任意 ，
都有 ，则m的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．3.定义在 上函数 满足 ，且当 时， .则使得 在
上恒成立的 的最小值是（ ）
A． B． C． D．
（多选）1．（2023·福建福州·统考模拟预测）已知函数 定义域为 ，满足 ，当
时， .若函数 的图象与函数 的图象的交点为
，（其中 表示不超过 的最大整数），则（ ）
A． 是偶函数 B．
C． D．
2．（2023·云南昆明·安宁市第一中学校考模拟预测）设函数 的定义域为R，且 ，当
时， ，若对任意 ，都有 ，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3.设函数 的定义域为 ，如果存在非零常数 ，对于任意 ，都有 ，则称函
数 是“似周期函数”，非零常数 为函数 的“似周期”．现有下面四个关于“似周期函
数”的命题：
①如果“似周期函数” 的“似周期”为 ，那么它是周期为2的周期函数；
②函数 是“似周期函数”；③如果函数 是“似周期函数”，那么“ 或 ”．
以上正确结论的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【题型六】 恒成立和存在型问题
基本规律
常见不等式恒成立转最值问题：
（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） ；
（5） ；
（6） ；
（7） ；
（8） ；
1．（2023·广东梅州·统考二模）设函数 在R上存在导数 ，对任意的 ，有
，且在 上 ．若 ，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
（多选）2．（2023·江苏·统考二模）已知函数 的图象是连续不间断的，函数 的
图象关于点 对称，在区间 上单调递增.若 对任意恒成立，则下列选项中 的可能取值有（ ）
A． B． C． D．
（多选）3．（2023·山东菏泽·山东省东明县第一中学校联考模拟预测）已知函数 的定义域为R，
为奇函数，且对 ， 恒成立，则（ ）
A． 为奇函数 B． C． D．
1．（2023·湖北·模拟预测）已知函数 及其导函数 的定义域均为R，且满足
时， ．若不等式 在 上恒成立，则a的
取值范围是__________,
2．（2023·山东·沂水县第一中学校联考模拟预测）已知函数 的定义域 为 ， 在
上单调递减，且对任意的 ，都有 ，若对任意的 ，不等
式 恒成立，则实数 的取值范围是______．
3．（2023·山东潍坊·统考二模）已知函数 .
(1)若 在 上周期为 ，求 的值；
(2)当 时，判断函数 在 上零点的个数：
(3)已知 在 上恒成立，求实数 的取值范围.高考模拟练习
（多选）1．（2023·安徽合肥·校联考三模）已知函数 ，则下列说法正确的有（ ）
A． ，函数 是奇函数
B． ，使得过原点 至少可以作 的一条切线
C． ，方程 一定有实根
D． ，使得方程 有实根
（多选）2．（2023·河北·统考模拟预测）函数 及导函数 的定义域均为R，则下列选项错误的是
（ ）
A．若 ，则 的周期为2
B．若 ，则 为奇函数
C．若 ，则 为偶函数
D．若 ，则 为偶函数
（多选）3．（2023·全国·模拟预测）在平面直角坐标系中，将函数 的图象绕坐标原点逆时针旋转
后，所得曲线仍然是某个函数的图象，则称 为“ 旋转函数”.那么（ ）
A．存在 旋转函数
B． 旋转函数一定是 旋转函数
C．若 为 旋转函数，则
D．若 为 旋转函数，则
（多选）4．（2023·浙江温州·统考三模）已知函数 ，其中 是
其图象上四个不重合的点，直线 为函数 在点 处的切线，则（ ）A．函数 的图象关于 中心对称
B．函数 的极大值有可能小于零
C．对任意的 ，直线 的斜率恒大于直线 的斜率
D．若 三点共线，则 .
（多选）5．（2023·重庆·二模）设 是定义域为 的奇函数，且 的图象关于直线 对
称，若 时， ，则（ ）
A． 为偶函数
B． 在 上单调递减
C． 在区间 上有4046个零点
D．
6．（2023·浙江·统考二模）已知函数 ， ， ， ，若
， ，则（ ）．
A． B．
C． D．
7．（2023·广西·校联考模拟预测）果树的负载量，是影响果树产量和质量的重要因素.苹果树结果期的负载
量y（单位：kg）与干周x（树干横截面周长，单位：cm）可用模型 模拟，其中 ， ，均是常数.则下列最符合实际情况的是（ ）
A． 时，y是偶函数 B．模型函数的图象是中心对称图形
C．若 ， 均是正数，则y有最大值 D．苹果树负载量的最小值是
8．（2022·重庆沙坪坝·重庆八中校考模拟预测）已知函数 ，且
，则（ ）
A． B． C． D．
9．（2023·江西·统考模拟预测）已知函数 为 上的奇函数，且 ，当 时，
，则 ， ， 的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
10．（2023·北京东城·统考二模）定义在区间 上的函数 的图象是一条连续不断的曲线， 在
区间 上单调递增，在区间 上单调递减， 给出下列四个结论：
①若 为递增数列，则 存在最大值；
②若 为递增数列，则 存在最小值；
③若 ，且 存在最小值，则 存在最小值；
④若 ，且 存在最大值，则 存在最大值.
其中所有错误结论的序号有_______．
