第四章指数函数与对数函数知识总结（思维导图+知识记诵）（打印版）_2.2025数学总复习_2023年新高考资料_备战2023年高考数学抢分秘籍（新高考专用）

第四章 指数函数与对数函数 知识点一、指数及指数幂的运算 1.根式的概念 a的n次方根的定义：一般地，如果xn a，那么x叫做a的n次方根，其中n1,nN* 当n为奇数时，正数的n次方根为正数，负数的n次方根是负数，表示为n a；当n为偶数时，正数的n 次方根有两个，这两个数互为相反数可以表示为n a. 负数没有偶次方根，0的任何次方根都是0. 式子n a叫做根式，n叫做根指数，a叫做被开方数. 2.n次方根的性质： a,a 0, (1)当n为奇数时，n an  a；当n为偶数时，n an  a   a,a 0; 1 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ n (2) n a  a 3.分数指数幂的意义： m  m 1 an  n am a 0,m,nN,n1；a n  a 0,m,nN,n1 m an 要点诠释： 0的正分数指数幂等于0，负分数指数幂没有意义. 4.有理数指数幂的运算性质： a 0,b0,r,sQ (1)aras ars (2)(ar)s ars (3) abr arbr 知识点二、指数函数及其性质 1.指数函数概念 一般地，函数y axa 0,且a 1叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域为R. 2.指数函数函数性质： 函数 指数函数 名称 定义 函数y ax(a0且a 1)叫做指数函数 a1 0a1 y y  ax y  ax y 图象 y 1 y 1 (0,1) (0,1) 1 1 O 0 x O 0 x 定义域 R 值域 (0,) 过定点 图象过定点(0,1)，即当x0时，y 1. 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！奇偶性 非奇非偶 单调性 在R上是增函数 在R上是减函数 ax 1 (x 0) ax 1 (x0) 函数值的 ax 1 (x 0) ax 1 (x 0) 变化情况 ax 1 (x0) ax 1 (x0) a 变化对 在第一象限内，从逆时针方向看图象，a逐渐增大；在第二象限内，从逆时 图象的影 针方向看图象，a逐渐减小. 响 知识点三：对数与对数运算 1.对数的定义 (1)若ax  N(a0,且a1)，则x叫做以a为底N 的对数，记作xlog N ，其中a叫做底数，N 叫 a 做真数. (2)负数和零没有对数. (3)对数式与指数式的互化：xlog N  ax  N(a 0,a 1,N 0). a 2.几个重要的对数恒等式 log 10，log a1，log ab b. a a a 3.常用对数与自然对数 常用对数：lgN ，即log N；自然对数：lnN ，即log N(其中e2.71828…). 10 e 4.对数的运算性质 如果a 0,a 1,M 0,N 0，那么 ①加法：log M log N log (MN) a a a M ②减法：log M log N log a a a N ③数乘：nlog M log Mn(nR) a a ④alog a N  N n ⑤log Mn  log M(b0,nR) ab b a 3 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！log N ⑥换底公式：log N  b (b0,且b1) a log a b 知识点四：对数函数及其性质 1.对数函数定义 一般地，函数y log xa 0,且a 1叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域0,. a 2.对数函数性质： 函数 对数函数 名称 定义 函数y log x(a0且a 1)叫做对数函数 a a1 0a1 x 1 y x 1 y  log x y y  log x a a 图象 (1,0) 1 1 O x 0 O (1,0) x 0 定义域 (0,) 值域 R 过定点 图象过定点(1,0)，即当x1时，y 0. 奇偶性 非奇非偶 单调性 在(0,)上是增函数 在(0,)上是减函数 log x0 (x1) log x0 (x1) a a 函数值的 log x0 (x1) log x0 (x1) a a 变化情况 log x0 (0 x1) log x0 (0 x1) a a a 变化对 在第一象限内，从顺时针方向看图象，a逐渐增大；在第四象限内，从顺时 图象的影 针方向看图象，a逐渐减小. 4 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！响 知识点五：函数、方程的有关问题 1．函数零点的判定 （1）利用函数零点存在性的判定定理 如果函数 y  f(x)在一个区间 a，b 上的图象不间断，并且在它的两个端点处的函数值异号，即 f a f b0，则这个函数在这个区间上，至少有一个零点，即存在一点x a，b，使 f x 0， 0 0 这个x 也就是方程 f(x)0的根. 0 要点诠释： ①满足上述条件，我们只能判定区间内有零点，但不能确定有几个．若函数在区间内单调，则只有一个； 若不单调，则个数不确定． ②若函数 f(x)在区间 a,b 上有 f(a) f(b)0， f(x)在(a,b)内也可能有零点，例如 f(x) x2在 1,1 上， f(x) x2 2x3 在区间 2,4 上就是这样的．故 f(x) 在a,b内有零点，不一定有 f(a) f(b)0． ③若函数 f(x)在区间 a,b 上的图象不是连续不断的曲线， f(x)在a,b内也可能是有零点，例如函 1 数 f(x) 1在 2,2 上就是这样的． x （2）利用方程求解法 求函数的零点时，先考虑解方程 f(x)0，方程 f(x)0无实根则函数无零点，方程 f(x)0有实根 则函数有零点． （3）利用数形结合法 函数 F(x) f(x)g(x) 的零点就是方程 f(x) g(x) 的实数根，也就是函数 y  f(x) 的图象与 y  g(x)的图象交点的横坐标． 2.用二分法求函数零点的一般步骤： 已知函数y  f x定义在区间D上，求它在D上的一个零点x 的近似值x，使它满足给定的精确度. 0 第一步：在 D 内取一个闭区间 a ,b  D，使 f a 与 f b 异号，即 f a  f b 0，零点位 0 0 0 0 0 0 于区间 a ,b  中. 0 0 第二步：取区间 a ,b  的中点，则此中点对应的坐标为 0 0 1 1 x a  b a  a b . 0 0 2 0 0 2 0 0 计算 f x 和 f a ，并判断： 0 0 ①如果 f x 0，则x 就是 f x的零点，计算终止； 0 0 5 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！②如果 f a  f x 0，则零点位于区间 a ,x  中，令a a ,b  x ； 0 0 0 0 1 0 1 0 ③如果 f a  f x 0，则零点位于区间 x ,b  中，令a  x ,b b 0 0 0 0 1 0 1 0 第三步：取区间 a ,b 的中点，则此中点对应的坐标为 1 1 1 1 x a  b a  a b . 1 1 2 1 1 2 1 1 计算 f x 和 f a ，并判断： 1 1 ①如果 f x 0，则x 就是 f x的零点，计算终止； 1 1 ②如果 f a  f x 0，则零点位于区间 a ,x  中，令a a ,b  x ； 1 1 1 1 2 1 2 1 ③如果 f a  f x 0，则零点位于区间 x ,b  中，令a  x ,b b ； 1 1 1 1 2 1 2 1 …… 继续实施上述步骤，直到区间 a ,b  ，函数的零点总位于区间 a ,b  上，当a 和b 按照给定的精确 n n n n n n 度所取的近似值相同时，这个相同的近似值就是函数y f x的近似零点，计算终止.这时函数y f x 的近似零点满足给定的精确度. 要点诠释： （1）第一步中要使：①区间长度尽量小；② f(a)、 f(b)的值比较容易计算且 f(a) f(b) <0．  （2）根据函数的零点与相应方程的根的关系，求函数的零点和求相应方程的根式等价的．对于求方程 f(x) g(x)的根，可以构造函数F(x) f(x)g(x)，函数F(x)的零点即为方程 f(x) g(x)的根． 知识点六：函数的实际应用 求解函数应用题时一般按以下几步进行： 第一步：审题 弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择模型. 第二步：建模 在细心阅读与深入理解题意的基础上，引进数学符号，将问题的非数学语言合理转化为数学语言，然后 根据题意，列出数量关系，建立函数模型.这时，要注意函数的定义域应符合实际问题的要求. 第三步：求模 运用数学方法及函数知识进行推理、运算，求解数学模型，得出结果. 第四步：还原 把数学结果转译成实际问题作出解答，对于解出的结果要代入原问题中进行检验、评判，使其符合实际 背景. 上述四步可概括为以下流程： 实际问题(文字语言)数学问题(数量关系与函数模型)建模(数学语言)求模(求解数学问题)反 馈(还原成实际问题的解答). 6 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！