第一章空间向量与立体几何知识总结（思维导图+知识记诵+能力培养）（含解析）_2.2025数学总复习_2023年新高考资料_备战2023年高考数学抢分秘籍（新高考专用）

第一章 空间向量与立体几何单元总结 空间向量的线性运算 共线向量定理 空 间 向 量 空间向量的基本定理 及 其 共面向量定理 空间向 运算 量与立 体几何 空间向量分解定理 两个向量的数量积 平行与垂直的条件 空间向量的直角坐标运算 空 间 向 量 在 立 直线的方向向量与直线的向量方程 体 几 何 中 的 应 用 平面的法向量与平面的向量表示 直线与平面的夹角 二面角及其度量 距离 要点一：空间向量的有关概念 空间向量：空间中，既有大小又有方向的量；  空间向量的表示：一种是用有向线段AB表示， 叫作起点， 叫作终点；  一种是用小写字母 （印刷体）表示，也可以用a（而手写体）表示．   向量的长度（模）：表示空间向量的有向线段的长度叫做向量的长度或模，记作|AB|或 |a| ．向量的夹角：过空间任意一点 作向量 的相等向量 和 ，则 叫作向量 的夹角，记作 ，规定 ．如图： 零向量：长度为0或者说起点和终点重合的向量，记为0．规定：0与任意向量平行．  |a|1 单位向量：长度为1的空间向量，即 ． 相等向量：方向相同且模相等的向量． 相反向量：方向相反但模相等的向量． 共线向量（平行向量）：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合．   a  b a//b 平行于 记作 ，此时． =0或 =． 共面向量：平行于同一个平面的向量，叫做共面向量． 要点诠释： （1）数学中讨论的向量是自由向量，即与向量的起点无关，只与大小和方向有关． 只要不改变大小和方 向，空间向量可在空间内任意平移；       a b a b a b （2）当我们说向量 、 共线（或 // ）时，表示 、 的有向线段所在的直线可能是同一直线，也可 能是平行直线．    a a a （3）对于任意一个非零向量 ，我们把 叫作向量 的单位向量，记作 ． 与 同向．   a  b a//b （4）当 =0或时，向量 平行于 ， 记作 ；当 = 时，向量 垂直，记作 ． 要点二：空间向量的基本运算 空间向量的基本运算： 运算类 几何方法 运算性质 型1平行四边形法则： 加法交换率： 王新奎新疆屯敞 向 加法结合率： 量 的 加 2三角形法则： 法 王新奎新疆屯敞 向 量 三角形法则： 的 减 法 是一个向量，满足： 向 >0时， 与 同 量 向； 的 <0时， 与 异 乘 向； 法 ∥ =0时， =0 王新奎新疆屯敞 向 是一个数： 量 1． 的 ； 数 ， 或 2． 量 积 =0． 要点三：空间向量基本定理 a  b  b  0  a  b   a b  共线定理：两个空间向量 、 （ ≠ ）， // 的充要条件是存在唯一的实数 ，使 ．      a,b p a,b 共面向量定理：如果两个向量 不共线，则向量 与向量 共面的充要条件是存在唯一的一对实数    p xa yb ，使 ．要点诠释： （1）可以用共线定理来判定两条直线平行（进而证线面平行）或证明三点共线． （2）可以用共面向量定理证明线面平行（进而证面面平行）或证明四点共面． 空间向量分解定理： 不共面，那么对空间任一向量 ，存在一个唯一的有序实数组 ，使 如果三个向量 . 要点诠释： （1）空间任意三个不共面的向量都可以作为空间向量的一个基底； （2）由于零向量可视为与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，所以，三个向量不共面， 就隐含着它们都不是零向量0． （3）一个基底是指一个向量组，一个基向量是指基底中的某一个向量，二者是相关联的不同概念． 要点四：空间向量的直角坐标运算 空间两点的距离公式 A(x ,y ,z ) B(x ,y ,z ) 若 1 1 1 ， 2 2 2 ，则    AB OBOA(x ,y ,z )(x ,y ,z ) (x x ,y  y ,z z ) ① 2 2 2 1 1 1 2 1 2 1 2 1 ；  2 | AB| AB  (x x )2 (y  y )2 (z z )2 ② 2 1 2 1 2 1 ； 的中点坐标为 ． ③ 空间向量运算的的坐标运算   a(x ,y ,z ) b(x ,y ,z ) 设 1 1 1 ， 2 2 2 ，则   ab(x x ,y  y ,z z ) ① 1 2 1 2 1 2 ；   ab(x x ,y  y ,z z ) ② 1 2 1 2 1 2 ；  a (x ,y ,z )(R) ③ 1 1 1 ；  ab x x  y y z z ④ 1 2 1 2 1 2； ⃗BM ⑤ ， ； ⑥ ． 空间向量平行和垂直的条件   a(x ,y ,z ) b(x ,y ,z ) 若 1 1 1 ， 2 2 2 ，则 x y z     1  1  1 a//b ab x x y y z z (R) x y z (x y z 0) ① 1 2， 1 2， 1 2 2 2 2 2 2 2 ；     ab ab0 x x  y y z z 0 ② 1 2 1 2 1 2 ． 要点诠释： （1）空间任一点 的坐标的确定： 过1 2 a− 1 2 b+c作面 的垂线，垂足为 ，在面 中，过 分别作 轴 、 轴 的垂线，垂足分别为 ，则 ．如图： （２）夹角公式可以根据数量积的定义推出：           ab ab|a||b|cosab cosab    |a||b| [0,] ，其中θ的范围是 ．  0 （３） 与任意空间向量平行或垂直． 要点五：用向量方法讨论垂直与平行 图示 向量证明方法 // 线线平行 （ // ） （ ⃗b 分别为直线 的方向向 量）线线垂直 （ 分别为直线 的方向向 （ ） 量） ，即 线面平行 l （ 是直线 的方向向量， 是平面 （ // ）  的法向量）． ⃗a⋅⃗b// |⃗a||⃗b| 线面垂直 l （⃗a⋅⃗b是直线 的方向向量， 是平面 （ ）  |⃗a||⃗b| 的法向量） u//v 面面平行   （ 分别是平面 ， 的法向 （ // ） 量） ⃗b ，即 面面垂直   ⃗a （ ，⃗b分别是平面 ， 的法向 （ ） 量） 要点诠释：   （１）直线的方向向量：若 、 是直线 上的任意两点，则AB为直线 的一个方向向量；与AB平行的 任意非零向量也是直线 的方向向量．  l  l a a  a  （２）平面的法向量：已知平面 ，直线 ，取 的方向向量 ，有 ，则称为 为平面 的法向量． 一个平面的法向量不是唯一的． 要点六：用向量方法求角 图示 向量证明方法   | ACBD| cos   | AC||BD| 异面直线所成的角 （ ， 是直线 上不同的两点， ，⃗b是直线 上不同的两点） |au| sin|cos| |a||u| 直线和平面的夹角 l a  （其中直线 的方向向量为 ，平面 u 的法向量为 ，直线与平面所成的角  a u  为 ， 与 的角为 ） 二面角 ⃗b （平面 与 的法向量分别为 和 ，平面 与 的夹角为 ） 要点诠释： n n  n n ①当法向量 1与 2的方向分别指向二面角的内侧与外侧时，二面角 的大小等于 1， 2的夹角 n ,n  1 2 的大小。 n n  n n ②当法向量 1， 2的方向同时指向二面角的内侧或外侧时，二面角 的大小等于 1， 2的夹角的补角n ,n  1 2 的大小。 要点七：用向量方法求距离 图示 向量证明方法 点到平面的距离 （ 为平面 的法向量） 与平面平行的直线 到平面的距离 （ 是平面 的公共法向量） 两平行平面间的距 离 （ 是平面 ，⃗a+⃗b=⃗b+⃗a. 的一个公共法向 量） 要点诠释：（1）在直线上选取点时，应遵循“便于计算”的原则，可视情况灵活选择． （2）空间距离不只有向量法一种方法，比如点面距还有一种重要的求法为等积转化法． （3）各种距离之间有密切联系，有些可以相互转化，如两条平行线的距离可转化为求点到直线的距离， 平行线面间的距离或平行平面间的距离都可转化成点到平面的距离．而且我们在求解时往往又转化为空间 向量的处理方法． 要点八：立体几何中的向量方法 用空间向量解决立体几何问题的“三步曲” 1．建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转 化为向量问题；（化为向量问题） 2．通过向量运算研究点、线、面之间的位置关系及它们之间的距离和夹角等问题；（进行向量运算） 3．把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义．（回到图形问题） 用坐标法解决立体几何中问题的一般步骤 1．建立适当的空间直角坐标系；2．写出相关点的坐标及向量的坐标； 3．进行相关的计算； 类型1 利用空间向量证明线、面位置关系 空间中的线、面位置关系的证明问题主要包含两类，即平行与垂直．平面问题包括线线平行、线面平 行、面面平行；垂直问题包括线线垂直、线面垂直和面面垂直．利用向量法解决位置关系问题，实际上是 将复杂的几何问题转化为代数问题解决，突出了向量这一工具的便捷性，在高考中，若能将向量方法融入 到立体几何的线、面位置关系的证明中，将会使问题的解答过程更加简捷明了． 例1 如图，已知 平面 ， 为矩形， ， 分别为 的中点，求证：、 P A N D M B C （1） 平面 ；（2）平面 平面 ． 分析：结合已知条件 平面 ，建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标．（1）利用向量共 面的充要条件将 用平面 中两个不共线向量线性表示即可得证；（2）先分别求出平面 与平 面 的法向量，再证两法向量垂直即可． 证明：如图，以 为坐标原点， 所在的直线分别为 轴、 轴、 轴建立空间直角坐标系 ．设 ，则有 ．z P A N D y M B C x （1）因为 分别为 的中点，所以 ． 所以 ．所以 ． 又因为 平面 ，所以 平面 ． （2）由（1），知 ，所以 ． 设平面 的一个法向量为 则 ，即 ．解得 ．令 ， 则 ．设平面的一个法向量为 ，则 ，即 ． 得 ．令 ，则 ，因为 ，所以 ．故平面 平面 ． 解后反思：（1）证明两条直线平行，只需证明这两条直线的方向向量是共线向量． （2）证明线面平行的方法； ①证明直线的方向向量与平面的法向量垂直； ②证明平面内存在一个向量与已知直线的方向向量共线； （3）证明面面平行的方法： ①转化为线线平行或线面平行处理； ②证明两个平面的法向量是共线向量． （4）证明线线垂直的方法是证明这两条直线的方向向量互相垂直．（5）证明线面垂直的方法： ①证明直线的方向向量与平面的法向量是共线向量； ②证明直线的方向向量与平面内的两个不共线的向量互相垂直． （6）证明面面垂直的方法： ①转化为线线垂直或线面垂直处理； ②证明两个平面的法向量互相垂直． 类型2 利用空间向量求空间角 空间角包括：异面直线所成的角（线线角）、直线与平面所成的角（线面角）、二面角（面面角）． 用向量法求空间角，把复杂的作角、证明、求角问题代数化，降低了思维难度，是近年来高考的一个方向． 例2 如图①，在 中， ， 是 边上的高，沿 把 折起，得如图 3-3②所示的三棱锥，其中 ． A A D B C C D B E ② ① （1）证明：平面 平面 ；（2）设 为 的中点，求 与 夹角的余弦值． 分析：（1）先确定图形在折起前后不变的量，如角的大小不变，线段长度不变、线线关系不变，再 由面面垂直的判定定理进行推理证明；（2）在（1）的基础上确定出 两两垂直，建立空间直角 坐标系，利用向量的坐标和向量的数量积运算求解． （1）证明：因为折起前 是 边上的高，所以当 折起后， ．又因为 ，所以 平面 ．因为 平面 ，所以平面 平面 ． （2）解：由 及（1），知 两两垂直．不妨设 ，以 为坐标原点，以 所在直线分别为 轴、 轴、 轴建立如图3-4所示的空间直角坐标系，z A D y C B E x 图3-4 易得 ．因为 为 中点，所以 ． 所以 ．所以 ． 故 与 夹角的余弦值是 ． 解后反思：求一对异面直线所成的角的方法：一是按定义平移转化为两相交直线的夹角；二是在异面 直线上各取一向量，转化为两向量的夹角或其补角，无论哪种方法，都应注意对异面直线所成角的范围的 限定． 例3如图，在等腰直角三角形 中， ， 分别是 上的点， ， 为 的中点．将 沿 折起，得到如图3-6所示的四棱锥 ，其中 ． （1）证明： 平面 ； （2）求二面角 的平面角的余弦值． C •O B D E A C B O D E 分析：（1）用勾股定理可证 ，从而证得 平面 ； （2）用“三垂线”法作二面角的平面角后求解或用向量法求两个平面的法向量的夹角． （1）证明：由题意，得 ．C C B B O O D 图3-7 E D E H 图3-8 如图3-7，连接 ，在 中，由余弦定理，得 ．由 翻折不变性，知 ．所以 ，所以 ．同理可证 ．又因为 ，所以 平面 ． （2）解：方法1：如图3-8，过点 作 交 的延长线于点 ，连接 ． 因为 平面 ， ，所以 ．所以 为二面角 的平面角． 结 合 图 3-5 可 知 ． 为 的 中 点 ， 故 ， 从 而 ． 所 以 ．所以二面角 的平面角的余弦值为 ． 方法2：以点 为原点，建立空间直角坐标系 ，如图3-9所示（ 为 的中点）． z y C B O D F E x 图3-9 易知 ，所以 ． 设平面 的法向量 ．则 ，即 ，解得 ．令 ，得 ．由（1），知 为平面 的一个法向量 所以 ，即二面角 的平面角的余弦值为 ． 解后反思：求二面角的大小时，也可以先作出垂直于棱的两个向量，再转化为求这两向量的夹角，但 应注意此时两向量的起点应在二面角的棱上． 例 4 在平面四边形 中， ．将 沿 折起，使得平面 平面 ，如图所示． （1）求证： ； （2）若 为 中点，求直线 与平面 所成角的正弦值． A M B D C 分析：（1）根据面面垂直、线面垂直的性质，证明线线重起；（2）利用（1）的结论，先建立空间 直角坐标系，写出点与向量的坐标，再用向量法求线面角的正弦值． （1）证明：因为平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ， ， 所以 平面 ．又因为 平面 ，所以 ． （2）解：过点 在平面 内作 ，如图3-11所示． z A M y B D E x C 图3-11由（1），知 平面 ， 平面 ， 平面 ，所以 ．以 为 坐标原点，分别以 的方向为 轴、 轴、 轴的正方向建立空间直角坐标系，如图 3-11所示． 依题意，得 ．则 ．设平面 的法向量 ，则 ，即 ，取 ， 得 平 面 的 一 个 法 向 量 ． 设 直 线 与 平 面 所 成 角 为 ． 则 ，即直线 与平面 所成角的正弦值为 ． 解后反思：求直线与平面所成的角的方法： 设 为平面 的斜线， 为直线 的方向向量， 为平面 的法向量， 为 与 所成的角，则 ． 类型3 利用空间向量求距离 求距离是一类常见的题型，是近几年高考的一个热点．常见的距离问题有：点点距、点线距、点面距、 线距、线面距、面面距，其中求线面距、面面距及多面体的体积也常转化为求点到面的距离问题．用向量 法求点面距的具体步骤为： （1）求出该平面一个法向量； （2）找出从该点出发的平面的任一条斜线段对应的向量； （3）先求出法向量与斜线段向量的数量积的绝对值，再除以法向量的模． 例5 如图，已知正方形 的边长为1， 平面 ，且 ， 分别为 的中点． 求： （1）点 到平面 的距离； （2）直线 到平面 的距离．P C D F A E B 分析：（1）根据 平面 ，四边形 为正方形建立空间直角坐标系，表示出相关点的坐 标．利用距离 （ 为过点 的向量， 为平面 的一个法向量）来求点 到平面 的 距离；（2）求直线 到平面 的距离时，根据 平面 ，转化为点 到平面 的距离． 解：如图，以 为坐标原点， 所在的直线分别为 轴、 轴、 轴建立空间直角坐标系 ． z P C D y F A E B x （ 1 ） ． 则 ． 设 为平面 的一个法向量，则有 ，即 ，所以 ．令 ，则．所以 ． （2） ．由（1），知平面 的一个法向量 ，则点 到平面 的 距离为 ．因为 平面 ，所以直线 到平面 的距离为 ． 解后反思：两点间距离一般利用向量模求解，即利用两点间的距离公式，而点面距主要利用平面的法 向量求解，有时也利用等体积转化法求解．