第一章空间向量与立体几何知识总结（思维导图+知识记诵打印版）_2.2025数学总复习_2023年新高考资料_备战2023年高考数学抢分秘籍（新高考专用）

第一章 空间向量与立体几何单元总结 空间向量的线性运算 共线向量定理 空 间 空间向量的基本定理 共面向量定理 向 空 量 间 及 向 空间向量分解定理 其 两个向量的数量积 量 运 与 算 立 平行与垂直的条件 体 空间向量的直角坐标运算 几 空 何 间 向 直线的方向向量与直线的向量方程 量 在 平面的法向量与平面的向量表示 立 体 几 直线与平面的夹角 何 中 二面角及其度量 的 应 距离 用 要点一：空间向量的有关概念 空间向量：空间中，既有大小又有方向的量；  空间向量的表示：一种是用有向线段AB表示，A叫作起点，B叫作终点；  一种是用小写字母a（印刷体）表示，也可以用a（而手写体）表示．   向量的长度（模）：表示空间向量的有向线段的长度叫做向量的长度或模，记作|AB| 或|a|． 1 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司  向量的夹角：过空间任意一点O作向量a,b的相等向量OA和OB ，则 AOB叫作向量a,b的夹角，记作 a，b，规定0a，b．如图： 零向量：长度为0或者说起点和终点重合的向量，记为0．规定：0与任意向量平行．  单位向量：长度为1的空间向量，即|a|1． 相等向量：方向相同且模相等的向量． 相反向量：方向相反但模相等的向量． 共线向量（平行向量）：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合． a  平行于b  记作a  //b  ，此时．a  ，b  =0或a  ，b  =． 共面向量：平行于同一个平面的向量，叫做共面向量． 要点诠释： （1）数学中讨论的向量是自由向量，即与向量的起点无关，只与大小和方向有关． 只要不改变大小和方 向，空间向量可在空间内任意平移；       （2）当我们说向量a、b 共线（或a//b ）时，表示a、b 的有向线段所在的直线可能是同一直线，也可 能是平行直线．   a     （3）对于任意一个非零向量a，我们把 叫作向量a的单位向量，记作a ．a 与a同向．  0 0 a （4）当a  ，b  =0或时，向量a  平行于b  ，记作a  //b  ；当 a  ，b  =  时，向量a  ，b  垂直，记作a  b  ． 2 要点二：空间向量的基本运算 空间向量的基本运算： 运算类型 几何方法 运算性质 向 加法交换率： 1平行四边形法则： 王奎新新屯疆敞 量        OC OA AB ab b a. 的 ab  加法结合率： 加 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司法 (ab  )ca(b  c) 2三角形法则： 王奎新新屯疆敞        OBOA AB aba(b) ab     ABBC=AC    ABBA=0 向 量 三角形法则： 的  B  A  O  A  O  B  OBOA AB 减 ab  法   向 a是一个向量，满足： (a)()a 量 >0时，a  与a  同向； ()a  a  a  的 <0时，a  与a  异向； (a  b  )a  b  乘  法 =0时， a=0 王奎新新屯疆敞 a  ∥b  a  b      向 a  bb  a   1．a b是一个数： 量        (a) ba (b)(a b)          的 a b|a||b|cos(a，b)；         (ab) ca cb c    数   量 2．a0，b=0或ab a 2 |a  |2  ab=0． 积     |a b||a||b|   要点三：空间向量基本定理 共线定理：两个空间向量a  、b  （b  ≠0  ），a  //b  的充要条件是存在唯一的实数，使a b  ．      共面向量定理：如果两个向量a,b 不共线，则向量 p 与向量a,b 共面的充要条件是存在唯一的一对实数    x,y，使 p  xa yb． 要点诠释： 3 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司（1）可以用共线定理来判定两条直线平行（进而证线面平行）或证明三点共线． （2）可以用共面向量定理证明线面平行（进而证面面平行）或证明四点共面． 空间向量分解定理：     如果三个向量 a,b,c 不共面，那么对空间任一向量 p ，存在一个唯一的有序实数组 x,y,z ，使     p  xa yb zc . 要点诠释： （1）空间任意三个不共面的向量都可以作为空间向量的一个基底； （2）由于零向量可视为与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，所以，三个向量不共面，就 隐含着它们都不是零向量0． （3）一个基底是指一个向量组，一个基向量是指基底中的某一个向量，二者是相关联的不同概念． 要点四：空间向量的直角坐标运算 空间两点的距离公式 若A(x ,y ,z )，B(x ,y ,z )，则 1 1 1 2 2 2    ①AB OBOA(x ,y ,z )(x ,y ,z ) (x x ,y  y ,z z ) ； 2 2 2 1 1 1 2 1 2 1 2 1  2 ②| AB| AB  (x x )2 (y  y )2 (z z )2 ； 2 1 2 1 2 1 x+x y+y z+z  ③ AB的中点坐标为 1 2，1 2，1 2 ．   2 2 2   空间向量运算的的坐标运算   设a(x ,y ,z )，b(x ,y ,z ) ，则 1 1 1 2 2 2   ① ab(x x ,y  y ,z z )； 1 2 1 2 1 2   ② ab(x x ,y  y ,z z )； 1 2 1 2 1 2  ③ a(x ,y ,z )(R)； 1 1 1   ④ ab x x  y y z z ； 1 2 1 2 1 2       ⑤ a  a a x2  y2 z2， b  b b x2  y2 z2；  1 1 1  2 2 2   ⑥ cos a  ，b   a  b  x 1 x 2  y 1 y 2 z 1 z 2  a  0，b  0  ．   a  b x 1 2  y 1 2 z 1 2  x 2 2  y 2 2 z 2 2 4 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司空间向量平行和垂直的条件   若a(x ,y ,z )，b(x ,y ,z ) ，则 1 1 1 2 2 2     x y z ①a//bab x x ，y y ，z z (R) 1  1  1 (x y z 0) ； 1 2 1 2 1 2 x y z 2 2 2 2 2 2     ②abab0 x x  y y z z 0． 1 2 1 2 1 2 要点诠释： （1）空间任一点P的坐标的确定： 过P作面xOy的垂线，垂足为P'，在面xOy 中，过P'分别作x轴、 y 轴的垂 线，垂足分别为A、C，则x|P'C|，y|AP＇|，z|PP＇|．如图： （２）夹角公式可以根据数量积的定义推出：           ab ab|a||b|cosab cosab    ，其中θ的范围是[0,]． |a||b|  （３）0与任意空间向量平行或垂直． 要点五：用向量方法讨论垂直与平行 图示 向量证明方法 线线平行 a//b （a//b） （a，b分别为直线a，b的方向向量） 线线垂直 a b （ab） （a，b分别为直线a，b的方向向量） an，即an=0 线面平行 （a是直线l的方向向量，n是平面 （l//） 的法向量）． 5 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司a//n 线面垂直 （a是直线l的方向向量，n是平面 （l ） 的法向量） u//v 面面平行 （//） （u，v分别是平面，的法向量） 面面垂直 uv ，即u  v=0 （） （u，v分别是平面，的法向量） 要点诠释：   （１）直线的方向向量：若A、B是直线l上的任意两点，则AB 为直线l的一个方向向量；与AB 平行的 任意非零向量也是直线l的方向向量． （２）平面的法向量：已知平面，直线l ，取l 的方向向量a，有a，则称为a为平面的法向 量． 一个平面的法向量不是唯一的． 6 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司要点六：用向量方法求角 图示 向量证明方法   | ACBD| cos   | AC||BD| 异面直线所成的角 （A，C是直线a上不同的两点，B， D是直线b上不同的两点） |au| sin|cos| |a||u| （其中直线l的方向向量为a，平面 直线和平面的夹角 的法向量为u，直线与平面所成的角为 ，a与u的角为） cos 二面角 （平面与的法向量分别为n 和 1 n ，平面与的夹角为） 2 要点诠释： ①当法向量n 与n 的方向分别指向二面角的内侧与外侧时，二面角的大小等于n ，n 的夹角 1 2 1 2 n ,n  的大小。 1 2 ②当法向量n ，n 的方向同时指向二面角的内侧或外侧时，二面角的大小等于n ，n 的夹角的补角 1 2 1 2 n ,n  的大小。 1 2 要点七：用向量方法求距离 图示 向量证明方法  PA n  d= AA'= 点到平面的距离 n （n为平面的法向量） 7 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 PA n  与平面平行的直线 d= AA'= n 到平面的距离 （n是平面的公共法向量）  PA n  两平行平面间的距 d= AA'= n 离 （n是平面，的一个公共法向量） 要点诠释：（1）在直线上选取点时，应遵循“便于计算”的原则，可视情况灵活选择． （2）空间距离不只有向量法一种方法，比如点面距还有一种重要的求法为等积转化法． （3）各种距离之间有密切联系，有些可以相互转化，如两条平行线的距离可转化为求点到直线的距离，平 行线面间的距离或平行平面间的距离都可转化成点到平面的距离．而且我们在求解时往往又转化为空间向 量的处理方法． 要点八：立体几何中的向量方法 用空间向量解决立体几何问题的“三步曲” 1．建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化 为向量问题；（化为向量问题） 2．通过向量运算研究点、线、面之间的位置关系及它们之间的距离和夹角等问题；（进行向量运算） 3．把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义．（回到图形问题） 用坐标法解决立体几何中问题的一般步骤 1．建立适当的空间直角坐标系； 2．写出相关点的坐标及向量的坐标； 3．进行相关的计算． 8 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司