第一章空间向量与立体几何知识总结（思维导图+知识记诵打印版）_2.2025数学总复习_2023年新高考资料_备战2023年高考数学抢分秘籍（新高考专用）

第一章 空间向量与立体几何单元总结
空间向量的线性运算 共线向量定理
空
间 空间向量的基本定理
共面向量定理
向
空
量
间
及
向 空间向量分解定理
其 两个向量的数量积
量
运
与
算
立 平行与垂直的条件
体 空间向量的直角坐标运算
几
空
何
间
向 直线的方向向量与直线的向量方程
量
在
平面的法向量与平面的向量表示
立
体
几 直线与平面的夹角
何
中 二面角及其度量
的
应 距离
用
要点一：空间向量的有关概念
空间向量：空间中，既有大小又有方向的量；

空间向量的表示：一种是用有向线段AB表示，A叫作起点，B叫作终点；

一种是用小写字母a（印刷体）表示，也可以用a（而手写体）表示．


向量的长度（模）：表示空间向量的有向线段的长度叫做向量的长度或模，记作|AB| 或|a|．
1
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学科网（北京）股份有限公司 
向量的夹角：过空间任意一点O作向量a,b的相等向量OA和OB ，则 AOB叫作向量a,b的夹角，记作
a，b，规定0a，b．如图：
零向量：长度为0或者说起点和终点重合的向量，记为0．规定：0与任意向量平行．

单位向量：长度为1的空间向量，即|a|1．
相等向量：方向相同且模相等的向量．
相反向量：方向相反但模相等的向量．
共线向量（平行向量）：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合．
a  平行于b  记作a  //b  ，此时．a  ，b  =0或a  ，b  =．
共面向量：平行于同一个平面的向量，叫做共面向量．
要点诠释：
（1）数学中讨论的向量是自由向量，即与向量的起点无关，只与大小和方向有关． 只要不改变大小和方
向，空间向量可在空间内任意平移；
     
（2）当我们说向量a、b 共线（或a//b ）时，表示a、b 的有向线段所在的直线可能是同一直线，也可
能是平行直线．

 a    
（3）对于任意一个非零向量a，我们把 叫作向量a的单位向量，记作a ．a 与a同向．
 0 0
a
（4）当a  ，b  =0或时，向量a  平行于b  ，记作a  //b  ；当 a  ，b  =  时，向量a  ，b  垂直，记作a  b  ．
2
要点二：空间向量的基本运算
空间向量的基本运算：
运算类型 几何方法 运算性质
向
加法交换率：
1平行四边形法则：
王奎新新屯疆敞
量
 
    
OC OA AB ab b a.
的
ab 
加法结合率：
加
2
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学科网（北京）股份有限公司法 (ab  )ca(b  c)
2三角形法则：
王奎新新屯疆敞
      
OBOA AB aba(b)
ab 
  
ABBC=AC
  
ABBA=0
向
量 三角形法则：
的  B  A  O  A  O  B  OBOA AB
减
ab 
法
 
向 a是一个向量，满足： (a)()a
量 >0时，a  与a  同向；
()a

a

a

的
<0时，a  与a  异向；
(a

b

)a

b

乘

法 =0时， a=0 王奎新新屯疆敞 a  ∥b  a  b 
   
向 a  bb  a
 
1．a b是一个数：
量       
(a) ba (b)(a b)
  
     
的 a b|a||b|cos(a，b)；
       
(ab) ca cb c
  
数
 
量
2．a0，b=0或ab
a
2
|a

|2
 ab=0．
积    
|a b||a||b|
 
要点三：空间向量基本定理
共线定理：两个空间向量a  、b  （b  ≠0  ），a  //b  的充要条件是存在唯一的实数，使a b  ．
    
共面向量定理：如果两个向量a,b 不共线，则向量 p 与向量a,b 共面的充要条件是存在唯一的一对实数
  
x,y，使 p  xa yb．
要点诠释：
3
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学科网（北京）股份有限公司（1）可以用共线定理来判定两条直线平行（进而证线面平行）或证明三点共线．
（2）可以用共面向量定理证明线面平行（进而证面面平行）或证明四点共面．
空间向量分解定理：
   
如果三个向量 a,b,c 不共面，那么对空间任一向量 p ，存在一个唯一的有序实数组 x,y,z ，使
   
p  xa yb zc
.
要点诠释：
（1）空间任意三个不共面的向量都可以作为空间向量的一个基底；
（2）由于零向量可视为与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，所以，三个向量不共面，就
隐含着它们都不是零向量0．
（3）一个基底是指一个向量组，一个基向量是指基底中的某一个向量，二者是相关联的不同概念．
要点四：空间向量的直角坐标运算
空间两点的距离公式
若A(x ,y ,z )，B(x ,y ,z )，则
1 1 1 2 2 2
  
①AB OBOA(x ,y ,z )(x ,y ,z ) (x x ,y  y ,z z ) ；
2 2 2 1 1 1 2 1 2 1 2 1
 2
②| AB| AB  (x x )2 (y  y )2 (z z )2 ；
2 1 2 1 2 1
x+x y+y z+z 
③ AB的中点坐标为 1 2，1 2，1 2 ．

 2 2 2


空间向量运算的的坐标运算
 
设a(x ,y ,z )，b(x ,y ,z ) ，则
1 1 1 2 2 2
 
① ab(x x ,y  y ,z z )；
1 2 1 2 1 2
 
② ab(x x ,y  y ,z z )；
1 2 1 2 1 2

③ a(x ,y ,z )(R)；
1 1 1
 
④ ab x x  y y z z ；
1 2 1 2 1 2
     
⑤ a  a a x2  y2 z2， b  b b x2  y2 z2；
 1 1 1  2 2 2
 
⑥ cos a  ，b   a  b  x 1 x 2  y 1 y 2 z 1 z 2  a  0，b  0  ．
 
a  b x 1 2  y 1 2 z 1 2  x 2 2  y 2 2 z 2 2
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学科网（北京）股份有限公司空间向量平行和垂直的条件
 
若a(x ,y ,z )，b(x ,y ,z ) ，则
1 1 1 2 2 2
    x y z
①a//bab x x ，y y ，z z (R) 1  1  1 (x y z 0) ；
1 2 1 2 1 2 x y z 2 2 2
2 2 2
   
②abab0 x x  y y z z 0．
1 2 1 2 1 2
要点诠释：
（1）空间任一点P的坐标的确定：
过P作面xOy的垂线，垂足为P'，在面xOy 中，过P'分别作x轴、 y 轴的垂
线，垂足分别为A、C，则x|P'C|，y|AP＇|，z|PP＇|．如图：
（２）夹角公式可以根据数量积的定义推出：
 
        ab
ab|a||b|cosab cosab 
 
，其中θ的范围是[0,]．
|a||b|

（３）0与任意空间向量平行或垂直．
要点五：用向量方法讨论垂直与平行
图示 向量证明方法
线线平行 a//b
（a//b） （a，b分别为直线a，b的方向向量）
线线垂直 a b
（ab） （a，b分别为直线a，b的方向向量）
an，即an=0
线面平行
（a是直线l的方向向量，n是平面
（l//）
的法向量）．
5
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学科网（北京）股份有限公司a//n
线面垂直
（a是直线l的方向向量，n是平面
（l ）
的法向量）
u//v
面面平行
（//） （u，v分别是平面，的法向量）
面面垂直 uv ，即u  v=0
（） （u，v分别是平面，的法向量）
要点诠释：
 
（１）直线的方向向量：若A、B是直线l上的任意两点，则AB 为直线l的一个方向向量；与AB 平行的
任意非零向量也是直线l的方向向量．
（２）平面的法向量：已知平面，直线l ，取l 的方向向量a，有a，则称为a为平面的法向
量． 一个平面的法向量不是唯一的．
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学科网（北京）股份有限公司要点六：用向量方法求角
图示 向量证明方法
 
| ACBD|
cos
 
| AC||BD|
异面直线所成的角
（A，C是直线a上不同的两点，B，
D是直线b上不同的两点）
|au|
sin|cos|
|a||u|
（其中直线l的方向向量为a，平面
直线和平面的夹角
的法向量为u，直线与平面所成的角为
，a与u的角为）
cos
二面角 （平面与的法向量分别为n 和
1
n ，平面与的夹角为）
2
要点诠释：
①当法向量n 与n 的方向分别指向二面角的内侧与外侧时，二面角的大小等于n ，n 的夹角
1 2 1 2
n ,n  的大小。
1 2
②当法向量n ，n 的方向同时指向二面角的内侧或外侧时，二面角的大小等于n ，n 的夹角的补角
1 2 1 2
n ,n  的大小。
1 2
要点七：用向量方法求距离
图示 向量证明方法

PA n

d= AA'=
点到平面的距离 n
（n为平面的法向量）
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学科网（北京）股份有限公司
PA n

与平面平行的直线 d= AA'=
n
到平面的距离
（n是平面的公共法向量）

PA n

两平行平面间的距 d= AA'=
n
离
（n是平面，的一个公共法向量）
要点诠释：（1）在直线上选取点时，应遵循“便于计算”的原则，可视情况灵活选择．
（2）空间距离不只有向量法一种方法，比如点面距还有一种重要的求法为等积转化法．
（3）各种距离之间有密切联系，有些可以相互转化，如两条平行线的距离可转化为求点到直线的距离，平
行线面间的距离或平行平面间的距离都可转化成点到平面的距离．而且我们在求解时往往又转化为空间向
量的处理方法．
要点八：立体几何中的向量方法
用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”
1．建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化
为向量问题；（化为向量问题）
2．通过向量运算研究点、线、面之间的位置关系及它们之间的距离和夹角等问题；（进行向量运算）
3．把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义．（回到图形问题）
用坐标法解决立体几何中问题的一般步骤
1．建立适当的空间直角坐标系；
2．写出相关点的坐标及向量的坐标；
3．进行相关的计算．
8
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