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第二章 直线和圆的方程单元总结
要点1.直线的倾斜角的斜率
令直线的倾斜角为 ，斜率为 ，
（1） ，其中 ，当 时，斜率不存在；
（2）过 的直线斜率 .
要点2.直线方程的几种形式
（1）点斜式注意：① 表示不含 才是整条直线方程。
②当直线的斜率不存在时，不能用点斜式表示，此时方程为 .
③在解题时若选用点斜式的话，应单独考虑斜率不存在时的情况.
（2）斜截式
.
注意：在解题时若选用斜截式的话，应单独考虑斜率不存在时的情况.
（3）两点式
注意：①两点式方程的条件是 ，即不能表示平行（或重合）于坐标轴的直线。
②若把两点式写成： ，则可适用任何位置的直线.
（4）截距式
.
注意：①截距是坐标而不是长度.
②当斜率不存在或为零时，或直线过原点时，都不能用截距式，因此用截距式时应单独考虑这几种情
形.
（5）一般式
.
要点3.两直线的位置关系
（1）两直线的位置关系
设 .（ 都存在）
① 与 相交 ，特别地 ；
② 且 ；
③ 与 重合 且 .
设
① 与 相交 ，特别地 ；
② 且 ；
③ 与 重合 且 .（2）点到直线的距离
设 ，直线 ，点 到直线 的距离 ，特别地， .
注意：①当 在 上时，则 ；
②当 在 上方，则 ；
③当 在 下方，则 .
（3）两平行线间距离
设 .
， 与 间的距离 .
（4）直线系方程
①平行直线系： （ 为常数， 为变数），表示一组斜率为 的平行直线。
②共点直线系： [定点为 为变数]，表示一束过定点 的直线（不包括直
线 ）.
③ 过 直 线 交 点 的 直 线 系 ： 设 ， 则
表示一束过 交点的直线（不包括 ）.
（5）中心对称和轴对称
①中心对称：设点 关于点 对称，则 .
②轴对称：设 关于直线 对称，则
a. 时，有 ，且 ；
b. 时，有 ，且 ；
c. 时，有 且 .
要点4.几个值得注意的问题
（1）关于五种形式的直线方程及其转化形式要注意：
①直线斜率往往是求直线的关键，若不能判定直线有斜率，必须分两种情况讨论；
②在直线的斜截式或截距式中，其“截距”不等于“距离”；③当斜率不存在时，会正确选择直线的表示形式，同时注意直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式
表示直线的局限性。
（2）关于两条直线的位置关系要注意：
①判断垂直或平行时，要考虑两条直线中一条无斜率或都无斜率的情况；
②区分“到角”与“夹角”的异同，以及“ 到 的角”与“ 到 的角”的不同；
③利用公式 ，要注意将直线方程化为一般形式，利用公式 求平行线间
的距离，要注意把 对应项的系数化为相同.
（3）关于直线倾斜角要注意：
①注意与斜率概念的区别
直线的斜率是直线倾斜角的正切值，任何一条之下都有倾斜角，但并不是任何一条直线都有斜率，当
直线的斜率不存在时，其倾斜角等于 ；
②注意倾斜角的取值范围
直线倾斜角的取值范围是 ，且当 时， ；当 时 .在通过斜率的范围求倾
斜角的范围时，应特别注意，否则容易出现错误.
要点5．圆的方程
（1）标准式：圆心为点 ，半径为 的圆的标准方程为 ．特别地，当圆心在
坐标原点时，圆的方程为 ；
（2）一般式： ；
（3）值得关注的几个问题
①在二元二次方程中， 和 的系数相等摒弃没有 项，只是表示圆的必要条件，而不是充分条件．
②如果问题中给出了圆心两坐标之间的关系或圆心的特殊位置时，一般用标准方程；如果给出圆上的三个
点的坐标，一般用一般方程．
③在一般方程中，当 时．方程表示一个点 ；当 时，无轨
迹．
④由于圆的方程均含有三个参变（ 、 、 或 、 、 ），而确定这三个参数必须有三个独立条件，
因此，三个独立条件确定一个圆．
⑤待定系数是求圆的方程的常用方法．
要点6．点与圆的位置关系
(1)点在圆上
①如果一个点的坐标满足圆的方程，那么该点在圆上．
②如果点到圆心的距离等于半径，那么点在圆上．注意：若 点是圆 为一定点，则该点与圆上的点的最大距离： ，最小距离：
．
要点7．直线一与圆的位置关系
(1)直线与圆的位置关系有相交、相离、相切三种，其判别方法有：
①代数法：通过解直线方程与圆的方程所组成的方程组，根据解的个数来研究．若有两组不同的实数解(即
)，则相交；若有两组相同实数解(即 )，则相切；若无实数解 ，则相离．
②几何法：由圆心到直线的距离 与半径 的大小来判断．当 时，直线与圆相交；当 时，直线
与圆相切；当 时，直线与圆相离．
（2）值得关注的几个问题
①当直线与圆相离时，圆上的点到直线的最大距离 ，最小距离 ．其中 为圆心到直线的距
离．
②当直线与圆相交时，设弦长为 ，弦心距为 ，半径为 ，则有 ．
③当直线与圆相交时，设弦长为 ，则 ．
④当直线与圆相切时，切线的求法有如下几种：
a．若点 在圆 上，则切线方程为 ．
若点 在圆 上，则切线方程为 ．
b．斜率为 且与圆 相切的切线方程为 ．
斜率为 且与圆 相切的切线方程的求法，可以设切线为 ，然后变成一
般式 ，利用圆心到切线的距离等于半径列出方程，求 ．
c．若点 在圆 外，则设切线方程为 ，变成一般式
因为直线与圆相切，所以有 ．由此解出 ，若此方程有一个实
根，则还有一条斜率不存在的切线，务必要补上．
要点8．圆与圆的位置关系
(1)圆与圆的位置关系共有外离、外切、相交、内切、内含五种，其判别方法有：
①代数法：解两个圆的方程所组成的二元二次方程组．若方程组有两组不同的实数解，则两圆相交；若方
程组有两组相同的实数解，则两圆相切(内切或外切)；若
无实数解，则两圆外离或内含．②几何法：设两圆半径分别为两圆心分别为 、 ，两圆心分别为 、 ，则
当 时，两圆相离；
当 时，两圆外切；
当 时，两圆内切；
当 时，两圆相交；
当 时，两圆内含．
(2)值得关注的几个问题
共 交 点 圆 系 ： 已 知 两 圆 相 交 ， 则 与 两 圆 共 交 点 的 圆 系 方 程 为
，其中 为 的任意常数，此圆系不包
括第二个圆．
当 时，为根轴方程，即两圆公共弦所在的直线方程为 ．
专题一 直线的倾斜角与斜率的问题
例1 已知坐标平面内的三点 ．
（1）求直线 的斜率和倾斜角；
（2）若 为 的边 上一动点，求直线 的斜率 的取值范围．
解：（1）由斜率公式，得 ， ， ．因为 ，所以 的倾斜角为 ；因为 ，所以 的倾斜角为 ；因为 ，
所以 的倾斜角为 ．
（2）如图 ，当斜率 变化时，直线 绕点 旋转，当直线 由 逆时针旋转 到过程中，直线
与 恒有交点，即 在 的边 上，此时 由 增大到 ，所以 的取值范围是 ．
解后反思：在解答直线的倾斜角和斜率问题时，注意结合有关概念和公式，注意斜率不存在时的情况不能
忽略．
专题二 直线方程的五种形式
例2 求与直线 垂直,并且与两坐标轴围成的三角形的面积为24的直线 的方程．
解：方法1:由直线 与直线 垂直,可设直线方程为 ,则直线 在 轴, 轴上的截距分别
为 ．又因为直线与两坐标轴围成的三角形的面积为 24，所以 ，即
， ，解得 或 ．故所求直线方程为 或 ，即
或 ．
方法 2:设直线 的方程为 ，则直线的斜率 ．因为 与直线 垂直，所以
，即 ．又因为直线 与两坐标轴围成的三角形的面积为24，所以 ，即 ．
所以 或 ．所以直线 的方程为 或 ，即 或
．
解后反思：直线的方程由五种形式，在求直线方程时要选择恰当的形式，其中以点斜式、斜截式最为常用，
通常采用待定系数法求直线的方程．
专题三 两条直线的位置关系
例3 已知点 ，若 为直角三角形，则必有（ ）
A． B． C． D．
解析：若以 为直角顶点，则 在 轴上，则 必为0，此时 重合，不符合题意；
若 ，则 ；若 ，根据斜率关系可知， ，所以 ，即
，综上，只有C满足条件．故选C．
解后反思：由于直角的位置不确定故而应分类讨论求解，对于特殊位置不要遗漏．例4 已知两条直线 ， ．求分别满足下列条件的 的值．
（1）直线 过点 ，并且直线 与直线 垂直；
（2）直线 与直线 平行，并且坐标原点到 ， 的距离相等．
解：（1）因为 ，所以 ，即 ．①
又因为点 在 上，所以 ．②
由①②解得 ．
（2）因为直线 与直线 平行，且 的斜率为 ，即 ，故 与 的方程可分别表示为
， ， 因 为 原 点 到 ， 的 距 离 相 等 ， 所 以
，所以 ，或 ．
解后反思：考查两条直线的平行与垂直的关系时，通常有两种方式可以选择：一是直线方程以斜截式给出，
此时可通过斜率和直线在 轴上的截距来处理；二是直线方程以一般式给出，此时可转化为斜率和直线在
轴上的截距来处理，也可直接利用系数处理．
专题四 距离问题
例5 已知 和直线 ，求一点 ，使 ，且点 到直线 的距离等于
2．
解：方法1：设点 ，因为 ，所以 ．①
又因为点 到直线 的距离等于2，所以 ．②
由①②联立方程组解得 或 ．
方法1：设点 ，因为 ，所以点 在线段 的垂直平分线上，由题意知 ，线
段 的中点为 ，所以线段 的垂直平分线的方程是 ．所以可设点 ．
因为点 到直线 的距离等于2，所以 ，解得 或 ．
所以 或 ．
解后反思：解决解析几何问题的主要方法就是利用点的坐标反映图形的位置，所以只要将题目中的几何条
件用坐标表示出来，即可转化为方程的问题，其中方法2是利用了点 的几何特征产生的结果，所以解题时注意多发现，多思考．
专题五 直线中的最值问题
例6 在平面直角坐标系中，到点 的距离之和最小的点的坐标是 ．
解析：由题意可知，设 为平面直角坐标系的任意一点，则 ，等号成立的条件是点 在
线段 上． ，等号成立的条件是点 在线段 上，所以到 ， ， ， 四点的距离
之和最小的点为 和 的交点．直线 的方程为 ，直线 的方程为 ，所以由
，得 ，即所求点的坐标为 .
答案：
解后反思：利用几何图形，借助三角形的三边关系，将所求点与已知四点之间的距离最小问题转化为两线
段之和最小的问题，本例充分体现了数形结合思想在解决直线中的最值问题的作用，在学习中要注意借鉴.
例7 有两条直线 和 ，当 在区间 内变化时，求直线与
两坐标轴围成的四边形面积的最小值．
解：解方程 ，得 ．所以两直线的交点为 ，如图3-2．
在 中，令 ，得 ；在 中，令 ，得 ．
所以 ．
四边形因为 ，所以当 时，四边形 面积取最小值 ．
解后反思：求不规则四边形的面积，可以先将四边形分成若干个小三角形，利用三角形的面积公式来求解．
本题根据已知条件，结合图形可知 ，因此只需要求出两三个三角形的面积．因为
四边形
， ， ， ， ， ，所以只需要求出两直线的
交点，以及两直线与 , 轴的交点．根据 及 ，即可
四边形
求出四边形 的最小面积．
专题六 对称问题
对称问题包括点关于点、点关于直线、直线关于点、直线关于直线以及曲线关于点、直线的对称．其
中点关于点、点关于直线对称式所有对称中的两种最基本的对称，应该重点掌握，并能够把其他对称都转
化为这两种对称．由于对称问题综合运用了两直线垂直、平行的判定，点到直线的距离公式等知识点，因
此对称问题一直是高考考查的重点．对称是图形的一种几何特征，如角的平分线，入（反）射光线，在一
条定直线上求一个点到两个定点的距离之和最小，差的绝对值最大等问题都隐含着对称关系，因此，要注
意对称在解题中的重要作用．
（1）点 关于点 的对称点的坐标是 ．
（2）点 不在直线 ： 上，点 关于直线 的对称点 的求法是利用 垂直平
分线段 ，即 ，解出 即可．
（3）曲线（直线）关于点的对称可以转化为点关于点的对称．
（4）曲线（直线）关于直线的对称可以转化为点关于直线的对称．
例8 已知直线 ： ，求：
（1）点 关于直线的对称点的坐标；（2）直线 关于直线 的对称直线的方程；
（3）直线 关于点 的对称直线的方程．
解：（1）设点 关于直线 的对称点为 ，则线段 的中点 在直线 上，且直线 垂直于直
线 ．
所以 ，解得 ．
所以点 的得坐标为 ．
（2）设直线 ： 关于直线 对称的直线为 ，则 上任一点 关于 的对称点 一
定在 上，反之也成立．
故 ，解得 ，把 代入 ，整理得 ，
所以直线 的方程为 ．
（3）设直线 关于点 的对称直线为 ，由 ∥ 可设 为 ．
由点到直线的距离公式，得 ，即 ．解得 或 （舍去）．
所以直线 的方程为 ，即对称直线的方程为 ．
解后反思：中心对称问题可分为点的中心对称与直线的对称问题；轴对称是关于直线的对称问题．
专题七 求圆的方程
求圆的方程，主要是根据圆的标准方程和一般方程，利用待定系数法求解．用待定系数法求圆的方程
的一般步骤：
第一步：选择圆的方程的某一形式；第二步：由题意，得 （或 ）的方程（组）；
第三步：解出 （或 ）；
第四步：代入圆的方程．
在高考中单独求圆的方程的问题不多，一般在考查直线与圆的位置关系中间接考查．
例9 若圆 经过坐标原点和点 ．且与直线 相切，则圆 的方程是______．
解析：因为圆的弦的垂直平分线必过圆心，且圆经过原点和 ，所以设圆心为 ．又因为圆
与直线 相切，所以 ，所以 ，解得 ，所以
圆的方程为 ．
答案：
解后反思：确定圆的方程关键在于确定圆心和半径．本例先通过圆经过两点确定圆心的位置，再利用
和圆相切表示出半径，最后建立方程求解．
例10 有一圆与直线 相切于点 ，且经过点 ，求此圆的方程．
解：方法1：由题意可设所求圆的方程为 ，又圆过点 ．
代入求得 ．故所求圆的方程为 ．
方法2：设圆的方程为 ，则圆心为 ，由 ， 垂直于直线 ，得 解得
故所求圆的方程为 ．
方法 3 :设所求圆的方程为 ，圆心为 ，由 垂直于直线 ，
在 圆 上 ， 得 ， 解 得 ． 故 所 求 圆 的 方 程 为
．
方法4：设圆心为 ，则 垂直于直线 ，又设 与圆的另一交点为 ，则 所在直线的方程为
，即 ．又因为 ，所以 ．所以直线
的方程为 ．解方程组 ，得 ．所以 ．所以圆心为 的中点，半径长为 ，故所求圆的方程为 ．
解后反思：求圆的方程，主要是联系圆系方程、圆的标准方程、圆的一般方程等，利用待定系数法求
解．
专题八 直线与圆的位置关系
直线与圆的位置关系是本章的重点内容，在处理直线与圆的位置关系时，常用的方法有几何法和代数
法．此部分在高考中也是考查重点，其中切线问题是重点中的重点．在处理直线与圆位置关系时要注意圆
的几何性质的应用，以达到简化解题过程的目的．
例11已知点 在圆 外，则直线 与圆 的位置关系是（ ）
A．相切 B．相交 C．相离 D．不确定
解析：由题意，知点 在圆外，则 ．圆心到直线的距离 ，故直线与圆相
交．
答案：B
解后反思：确定直线与圆的位置关系可用几何法，也可用代数法，但代数法计算较为繁琐，而几何法
的关键在于比较圆心到直线的距离与半径的大小关系，几何法应熟练掌握．
例 12 在平面直角坐标系 中，直线 被圆 截得的弦长为
_____________．
解析：由圆的方程可知，圆心为 ，半径为2．如图4-1所示，设已知直线被圆截得的弦为 ，
取弦 的中点 ，连接 ，则 ，圆心到直线 的距离在 中， ，故直线被圆截得的弦长 ．
答案：
解后反思：求直线与圆相交形成的弦长问题，一般不采用代数法，而是利用圆的几何性质构造相应的
直角三角形，利用数形结合求解．
专题九 圆与圆的位置关系
圆与圆的位置关系与是本章的重点和难点，圆与圆的位置关系有五种：外离、外切、相交、内切、内
含，从外离到内含，圆心距逐渐变小．判断圆与圆的位置关系时有两种方法：代数法和几何法，具体应用
时以几何法为主．在高考中，圆与圆的位置关系也是重点，常以选择题或填空题形式考查，解题时要注意
圆与圆的平面几何性质的应用．
例13 已知两圆 和 ．⑴ 取何值时两圆外切？⑵
取何值时两圆内切？
解 ： 圆 ： 可 化 为 ： . 圆 ：
可 化 为 . 两 圆 心 之 间 的 距 离
.
⑴两圆外切时， ，所以 .所以 .
⑵两圆内切时， ，因为 ，所以 .所以
，所以 .
解题反思：解决圆与圆的位置关系问题的关键是抓住它的几何特征，利用两圆圆心之间的距离与两圆
半径的和、差的绝对值的大小来确定两圆的位置关系.
专题十 与圆有关的最值问题
与圆有关的最值问题是本章中的一个难点，常见的类型包括以下几种：⑴求圆 上一点到圆外一点 的最大、最小距离： ， ；
⑵求圆上的点到与圆相离的某条直线的最大、最小距离：设圆心到直线的距离为 ，则 ，
；
⑶已知某点的运动轨迹是 ，求① ；② ；③ 等式子的最值，一
般运用几何法求解.
例14.已知实数 , 满足方程 ，求 的最大值和最小值.
解：设 ，由题意，知直线 与圆 有公共点,所以 ，即
.所以 .所以 的最小值为 ，最大值为 .
解后反思：在解决直线与圆的最值和范围问题时，最常用的方法是函数法，把要求的最值或范围表示
为某个变量的关系式，用函数或方程的知识，尤其是配方法求出最值或范围.
