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4.2 直线、射线、线段
1.进一步认识直线、射线、线段的概念和它们之间的联系与区别,掌握它们的表示方法。
2.掌握基本事实:“两点确定一条直线”“两点之间线段最短”,了解它们在生活和生产实
际中的应用。
3.理解两点的距离的意义,能度量两点间的距离:直观地了解平面上两条直线具有相交与不
相交两种位置关系。
4.会比较线段的长短,理解线段的和、差及线段中点的意义,会画一条线段等于已知线段。
5.能用几何语言描述简单的几何图形,能根据几何语言准确地画出图形。
知识点一 直线
1.直线的概念
直线是最简单最基本的几何图形之一,是一个不作定义的原始概念直线常用
“一根拉得很紧的细线”“一张纸的折痕”等实际事物进行形象描述。
表示方法
(1) 用直线上任意表示两个点的大写字母表示,写作直线 AB；
(2) 用一个小写宁表示，写作直线l
特征 (1)无端点;(2)向两边无限延伸;(3)无长短;(4)无粗细
基本事实 经过两点有一条直线,并且只有一条直线。简述为:两点确定一条直线
2.点与直线的位置关系
(1)点在直线上,如图所示点A在直线m上或直线m经过点A;
(2)点在直线外,如图所示,点B在直线n外或直线n不经过点B注意：
(1)用字母表示直线时,必须在字母前加上“直线”二字；
(2)用两个大写字母表示直线时,字母无顺序；
(3)用一个小写字母表示直线时，该字母不是表示直线上的点的字母；
(4)直线上有无数个点,经过一点的直线有无数条；
3.相交直线
(1)两条直线相交:当两条不同的直线有一个公共点时,就称这两条直线相交,这
个公共点叫做它们的交点，如图4-2-3所示，可以说成直线 与直线 相交于点
.
(2)两两相交:如图4-2-4，平面内的直线如果任意两条都相交,则称为两两相交.
注意：如图4-2-5所示的情形也称两两相交由此可知，两两相交的直线的交点
最少有1个
注意：
（1）两条不重合的直线相交只有一个交点;
（2） 条直线两两相交,最少有一个交点,最多有 个交点;
（3）经过三点作直线时，如果三点在同一条直线上，只能作出一条直线;如果
三点不在同一条直线上,可以作出三条直线;
（4）过任意三点都不在同一条直线上的 个点中的任意两点画直线，可以画( 为大于或等于2的整数)条直线.
即学即练（2023上·河北石家庄·七年级石家庄市第四十一中学校考期中）如图，平面上有
三个点A，B，C．
(1)根据下列语句画图：作出射线 ，直线AB；在射线 上取一点D（不与点C重
合），使 ；
(2)在（1）的条件下，回答问题：
①用适当的语句表述点D与直线 的关系：_______；
②若 ，则 _______．
【答案】(1)见解析
(2)①点D在直线 外；②3
【分析】本题考查了直线、射线、点的作图与位置关系，解题的关键是掌握直线、射线、
点的作图与位置关系．
（1）按照题意作图即可；
（2）①根据点与直线的位置关系解答即可；
②利用线段的和差计算线段长．
【详解】（1）如图，射线 ，直线 ；射线 上一点D；
（2）①点D与直线 的关系：点D在直线 外；故答案为：点D在直线 外；
②∵ ，
∴ ．
故答案为：3．
知识点二 射线
1. 射线的概念
（1）定义：直线上一点和它一旁的部分叫做射线，这一点叫做射线的端点
（2）表示方法：①用表示射线的端点和射线上另一点的大写字母表示(表示端
点的字母必须写在前面),写作射线 ;②用一个小写字母表示写作射线
（3）特征： ① 一个端点 ; ② 有方向 ; ③ 无长短 ; ④ 无粗细
注意：
（1）用字母表示射线时,必须在字母前加上“射线”二字；
（2）用两个大写字母表示射线时,字母有顺序,一定要把表示端点的字母写在前
面；
（3）画射线时必须画出射线的端点和延伸方向；
（4）将一条射线反向延长可以得到直线.
（5）数射线条数时,要先确定射线的端点,再确定延伸方向,端点相同、延伸方
向相同的射线是同一条射线；
(6)若一条直线上有 个点,则有2 条射线,若用 个大写字母表示这 个点,则
可用大写字母表示 2( -1)条射线
即学即练（2023上·广西梧州·七年级统考期末）如图，点C在线段 上，点M是 的
中点， ．
(1)图中共有 条线段．
(2)求线段 的长；
(3)在线段 上取一点N，使得 ，求线段 的长．
【答案】(1)10(2)2
(3)7
【分析】本题考查了线段的定义、线段的和差运算、线段的中点有关的运算：
（1）根据线段的定义：有限长，有两个端点，据此即可作答．
（2）先求出 ，结合点M是 的中点， ，即可作答．
（3）先求出 ，结合 ，则 即可作答．
【详解】（1）解：图中线段为线段 、 ，
共10条线段，
故答案为：10．
（2）解：∵点C在线段 上，
∴ ，
∵点M是 的中点，
∴
（3）解：∵点M是 的中点，
∴
∵点N在线段 上， ，
所以 ，
∵ ，
所以
所以 ．
知识点三 线段
1.线段的概念
定义 直线上两点及两点间的部分叫做线段，这两个点叫做线段的端点
表示方法(1)用表示线段的两个端点的大写字母表示(与字母排列顺序无关),
写作线段AB或线段BA;
(2)用一个小写字母表示，写作线段a
特征 (1)两个端点；(2)无方向；(3)有长短；(4)无粗细
2.常用几何语句
(1)连接AB, 就是指画出以A,B为端点的线段.
(2)延长线段AB,是指沿着从A到B的方向画出的线段AB以外的部分，这部分是
以B为端点的射线，如图所示，线段的延长线一般用虚线表示.延长线段AB可
以看做反向延长线段BA.
3.线段、射线、直线的区别与联系
区别
名称 联系
延伸 端点
图形及表示方法 度量情况
情况 个数
不能
线段 线段AB或线段BA 2 能度量
延伸
(字母无序)或线段
l 线段和射线都是直线
的一部分；线段向一
只向
方延伸就成为射线，
射 一方
射线 1 不能度量 向两方延伸就成为直
线OA(字母有序) 无限
线；射线向反方向延
或射线l 延伸
伸就成为直线.
向两
直线
方无
直线 0 不能度量
AB或直线BA (字
限延
母无序)或直线l
伸
即学即练（2023上·广东珠海·七年级期末）如图，已知在平面上有三个点A，B，C，请按
下列要求作图：(1)作直线 ；
(2)作射线 ；
(3)在射线 上作线段 ，使 ．
【答案】(1)图形见解析
(2)图形见解析
(3)图形见解析
【分析】本题考查了画直线、射线和线段，解题的关键是：明白直线没有端点，射线只有
一个端点，并能熟练的利用尺规作图画出已知线段的2倍；
（1）连接 ，双向延长，得出直线 ；
（2）连接 ，单向延长，得出射线 ；
（3）以A为圆心， 长为半径作圆，交 于点E，再以E为圆心重复刚才操作，即可得
到线段 ．
【详解】（1）解：如图，直线 所求即为；
（2）解：如图，射线 所求即为；
（3）解：如图，线段 即是所求．
知识点四 尺规作图、线段的画法及线段的比较
1.尺规作图
在数学上，我们常限定用无刻度的直尺和圆规作图，这就是尺规作图.
2.线段的画法画一条线段等于已知线段的方法有两种：(1)如图所示，圆规在射线AC 上截取
AB=a,这就是“作一条线段等于已知线段”的尺规作图.(2)用测量长度的方法，
再画一条等于这个长度的线段.
注意：在数学上，点无大小，线无粗细， 即画出的点、线，虽有大有小，有粗有细，但数
学上它们是相同的，小到没有“面积”,不占空间，但它们存在.
3.线段长短的比较方法
观察法；(2)叠合法(图形的比较)；(3)度量法
4.线段的和、差、倍、分
已知线段a,b(设a>b).
(1)线段和的意义及画法
如图所示，在直线l上顺次画线段 AB＝a,BC＝b,则线段AC就是线段AB和BC
的和，记作AC＝AB+BC＝a+b.
(2)线段差的意义及画法
如图所示，在直线 l上画线段AB＝a,在线段AB上画线段BD＝b,则线段AD就
是线段AB与BD的差，记作AD＝AB－BD＝a－b.(3)线段倍、分的意义
如图所示，射线 AE 上有 B,C,D 三点，它们的长度关系是 AB=BC=CD,则有
AC=2BC,AD=3AB, ,
注意：
几何中线段的和差与代数中的数的和差有联系也有区别，在数量上是线段长度
的和差，在图形上作线段的和差 得到的图形是一条线段.画线段的和差时，按
“右加左减”的方法画图.
即学即练（2023上·陕西汉中·七年级校联考阶段练习）点 的位置如图所示，按要
求用尺规作图，不写作法保留作图痕迹．
(1)作射线 、直线 和线段 ；
(2)在射线 上作线段 ，使得 ．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了射线的定义，线段的定义，尺规作图等知识点．
（1）根据射线的定义：有一个端点，另一段可以无限延伸；线段：直线间两点之间的部分
称为线段；
（2）根据题意利用圆规作出两段 的长度即可．
【详解】（1）解：射线 、直线 和线段 如图所示：
（2）解：线段 如图所示：
．知识点五 线段的中点及等分点的概念
1.线段的中点
把一条线段分成两条相等线段的点，叫做线段的中点.如图所示，如果M是线
段AB的中点，则有
2.等分点
(1)把一条线段分成三条相等的线段的点叫做线段的三等分点.如图所示，M,N
是线段AB的三等分点，则有 .
(2)把一条线段分成四条相等的线段的点叫做线段的四等分点.如图所示，
M,N,P 是线段AB的四等分点，则有
注意：
线段的中点一定在线段上.点M为线段AB的中点有三种表达方式：
①点M在线段AB上，且 ;② ;③
即学即练（2023上·江西南昌·七年级校考阶段练习）如图，已知点C为 上一点，
， ，D，E分别为 ， 的中点，(1)求 的长；
(2)求 的长．
【答案】(1) cm
(2)
【分析】本题考查中点的定义，线段和差问题，熟知各线段之间的和、差及倍数关系是解
答此题的关键．
（1）根据 ，，得到 ，求得 ，
（2）根据D、E分别为 、 的中点，分别求得 ， 的长，利用线段的差，即可
解答．
【详解】（1）解：∵ ，
∴ ，
∴ (cm)，
（2）解：∵D为 的中点，
∴ ，
∵E为 的中点，
∴ ，
∴ ．
知识点六 线段的基本事实及两点的距离题型1 直线、射线、线段的联系与区别
例1（2023上·河北石家庄·七年级石家庄市第八十一中学校考期中）下列各图，表示“射
线 ”的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了射线的定义，射线是指由线段的一端无限延长所形成的直的线，射线
仅有一个端点，无法测量，射线 是指端点在点C上，据此即可作答．
【详解】解：依题意，
射线 是指射线的端点在点C上，
故选：B
举一反三1（2023上·四川达州·七年级校考期中）如图，下列不正确的说法是（ ）
A．直线 与直线 是同一条直线 B．线段 与线段 是同一条线段
C．射线 与射线 是同一条射线 D．射线 与射线 是同一条射线
【答案】C
【分析】本题考查了直线，射线，线段．熟练掌握直线，射线，线段的定义是解题的关键．
根据直线，射线，线段的定义进行判断作答即可．【详解】解：由题意知，直线 与直线 是同一条直线，A正确，故不符合要求；
线段 与线段 是同一条线段，B正确，故不符合要求；
射线 与射线 不是同一条射线，C错误，故符合要求；
射线 与射线 是同一条射线，D正确，故不符合要求；
故选：C．
举一反三2（2023上·河北邢台·七年级金华中学校联考阶段练习）满足直线 与射线
相交的图形可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】此题主要考查了直线、射线、线段，根据直线是向两方无限延伸的，射线是向一
方无限延伸的，线段不能向任何一方无限延伸进行画图可得答案．
【详解】解：能相交的图形有D，
故选：D．
题型2 画出直线、射线、线段
例1（黑龙江省绥化市2023-2024学年七年级上学期期末数学试题）如图，平面内有四个
点 ．
(1)画直线 和射线 ；
(2)画线段 相交于点 ；(3)在线段 上的所有点中，到点 的距离之和最小的点是__________，理由是
__________．
【答案】(1)见详解
(2)见详解
(3)M，理由：两点之间线段最短．
【分析】本题主要考查了直线，射线以及线段的特征，两点之间线段最短等知识．
（1）根据直线是向两方无限延伸，射线向一方无限延伸，画出直线和射线即可．
（2）根据线段不能向两方无限延伸，画出线段得出交点.
（3）根据线段的性质∶两点之间，线段最短，即可解答．
【详解】（1）解：直线 和射线 如下图：
（2）连接线段 相交于点 如下图：
（3）M，理由：两点之间线段最短．
举一反三1（2023上·安徽宿州·七年级统考阶段练习）如图，平面上有四个点A、B、C、
D，根据下列语句画图．
(1)画直线 、直线 交于点 ；(2)画线段 、线段 交于点 ；
(3)作射线 ．
【答案】(1)图形见解析
(2)图形见解析
(3)图形见解析
【分析】本题主要考查题作图的知识，需要熟悉直线、射线、线段的概念，并熟练使用基
本工具．
（1）连接AB、CD并向两方无限延长即可得到直线AB、CD的交点F；
（2）连接AC、BD可得线段AC、BD，交点处标点F；
（3）连接BC，并且以B为端点向BC方向延长．
【详解】（1）解：见下图：直线 、直线 即为所求；
（2）见下图：线段 、线段 即为所求；
（3）见下图：射线 即为所求．
举一反三2（2023上·江西南昌·七年级统考阶段练习）如图，已知A，B，C，D四个点，
读下列语句，画出图形．
(1)画线段 ；
(2)画直线 相交于点E；
(3)画射线 ，并将其反向延长．
【答案】(1)见解析
(2)见解析(3)见解析
【分析】本题考查了画出直线、射线、线段，熟记相关定义即可．
（1）连接点A与点B，连接点C与点D，即可完成作图；
（2）连接点A与点C并向两端无限延伸，连接点B与点D并向两边无限延伸，即可完成作
图；
（3）连接点A与点D，向 方向无限延伸，即可完成作图；
【详解】（1）解：作线段 ，即连接点A与点B，连接点C与点D，如图所示．
（2）解：作直线 相交于点E，即连接点A与点C并向两端无限延伸，连接点B与
点D并向两边无限延伸，如图所示．
（3）解：作射线 ，即连接点A与点D，向 方向无限延伸，如图所示．
题型3 点与线的位置关系例3（2023上·江苏·七年级专题练习）如图，用适当的语句表述图中点与直线的关系，错
误的是（ ）
A．点P在直线 外 B．点C在直线 外
C．直线 不经过点M D．直线 经过点B
【答案】B
【分析】本题考查的是点与直线的位置关系，理解点在直线上，点在直线外，再逐一分析
即可得到答案．
【详解】解：点P在直线 外，描述正确，故A不符合题意；
点C在直线 上，故B符合题意；
线 不经过点M，描述正确，故C不符合题意；
直线 经过点B，描述正确，故D不符合题意；
故选B
举一反三1如图，用适当的语句表述图中点与直线的关系，错误的是（ ）
A．点 在直线 外 B．点 在直线 外
C．直线 不经过点 D．直线 经过点
【答案】B
【分析】本题主要考查点与直线的位置关系，图形结合分析，掌握直线的定义，直线与点
的位置关系是解题的关键．
根据图示，点与直线的位置关系即可求解．
【详解】解： 、点 在直线 外，正确，故 不符合题意；
、点 在直线 上，故 符合题意；、直线 不经过点 ，正确，故 不符合题意；
、直线 经过点 ，正确，故 不符合题意．
故选： ．
举一反三2（2022上·广东肇庆·七年级统考期末）作图题：已和直线m（如图）．
(1)在直线m上任取三点A、B、C，且点C在点A、点B之间．
(2)在直线m外任取一点D，作直线 ，射线 ，线段 ．
【答案】(1)画图见解析
(2)画图见解析
【分析】本题考查的是点与直线的位置关系，画直线，射线，线段，理解直线，射线，线
段的含义是解本题的关键；
（1）根据点C在点A、点B之间，再直线 上确定A，B，C三点即可；
（2）根据直线，射线，线段的含义画图即可．
【详解】（1）解：如图，A，C，B即为所求；
．
（2）如图，直线 ，射线 ，线段 即为所求；
．
题型4 直线、线段、射线的数量问 题
例4（2023上·江西南昌·七年级校考阶段练习）如图， 是一段高铁行驶路线图，图中字
母表示的5个点表示5个车站，在这段路线上往返行车，需印制 种车票．
【答案】20
【分析】本题考查线段的数量问题，根据图形求得线段个数即可求解．【详解】解：根据题意，这段路线有10条线段，
∴在这段路线上往返行车，需印制 种车票，
故答案为：20．
举一反三1（2023上·山西晋城·七年级校联考阶段练习）综合与实践
【基础巩固】（1）如图1，点 ， ， 都在线段 上， ， 是 的中点，
则图中共有线段__________条．
【深入探究】（2）在（1）的条件下，若 ，试探究 与 之间的数量关系，
并说明理由．
【拓展提高】（3）如图2，在（2）的基础上， 是 的中点，若 ，求 的
长．
【答案】（1）10；（2） ，理由见解析；（3）
【分析】本题考查了两点间的距离，掌握线段中点的定义，线段之间的倍分关系是关键．
（1）图中的线段有 、 、 、 、 、 、 、 、 、 这10条，据
此回答即可；
（2）设 ，先列方程求得求得 ， ，可得答
案；
（3）设 ，先列方程求得 ，再求得 的长即可．
【详解】解：（1）图中的线段有 、 、 、 、 、 、 、 、 、
这10条，
故答案为：10；
（2）设 ，∵ ，
∴ ，
∵ 是 的中点，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
（3）设 ，
∵ ，
∴由（2）得 ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ 是 的中点，
∴ ，
∴ ．
举一反三2（2023上·河南南阳·七年级统考阶段练习）某高铁北线共设有6个不同的站点，
要保证每两个站点之间都有高铁可乘，需要印制不同的高铁票 种．
【答案】30
【分析】本题主要考查线段，根据图示，由线段的定义解决此题．熟练掌握清晰的逻辑思
维以及线段的定义是解决本题的关键．
【详解】如图所示，
往同一个方向（从1站点往6站点的方向），需要印制不同的火车票种类的数量有
（种）．
∴保证任意两个站点双向都有车票，需要印制车票种类的数量为 （种）．故答案为：30．
题型5 直线相交的交点个数问题
例5（2023上·全国·七年级专题练习）观察下列图形，并阅读图形下面的相关文字：
①两直线相交，最多1个交点；②三条直线相交最多有3个交点；③四条直线相交最多有6
个交点；那么十条直线相交交点个数最多有（ ）
A．40个 B．45个 C．50个 D．55个
【答案】B
【分析】本题考查图形类规律探究、直线的交点个数问题，根据题意，观察图形，得出直
线交点个数最多的变化规律即可求解．
【详解】解：①两直线相交，最多1个交点；
②三条直线相交最多有 个交点；
③四条直线相交最多有 个交点；
……
由此可得10条直线相交交点个数最多为 （个），
故选：B．
举一反三1（2023上·江苏·七年级专题练习）任意画三条不重合的直线，交点的个数是（
）
A．1 B．1或3 C．0或1或2或3 D．不能确定
【答案】C
【分析】本题考查了直线的交点个数问题，分类讨论是解题的关键．在同一平面内，两条
直线的位置关系有两种，平行和相交，三条直线互相平行无交点，两条直线平行，第三条
直线与它相交，有2个交点，三条直线两两相交，最多有3个交点，最少有1个交点．
【详解】解：由题意画出图形，如图所示：故答案为0或1或2或3．
故选：C．
举一反三2（2023上·江苏·七年级专题练习）同一平面内不重合的三条直线，其交点的个
数可能为（ ）
A．0个或1个 B．1个或2个
C．2个或3个 D．0个或1个或2个或3个
【答案】D
【分析】本题主要考查了相交线和平行线，解题的关键是注意进行分类讨论．
【详解】解：因为三条直线位置不明确，所以分情况讨论：
①三条直线互相平行，有0个交点；
②一条直线与两平行线相交，有2个交点；
③三条直线都不平行，有1个或3个交点；
综上分析可知：交点的个数可能为0个或1个或2个或3个．
故选：D．
题型6 线段的应用
例6（2023上·山东潍坊·七年级校考阶段练习）如图， 是一段高铁行驶路线图，图中字
母表示的5个点表示5个车站在这段路线上往返行车，需印制（ ）种车票，共有（ ）
种票价．
A． ； B． ； C． ； D． ；
【答案】C
【分析】分析观察可以发现，每个车站作为起始站，可以到达除本站外的任何一个站，需
要印制 种车票，而有5个起始站，故可以直接列出算式．【详解】解： ， ，
∴需印制20种车票，共有10种票价．
故选：C．
【点睛】本题在线段的基础上，考查了排列与组合的知识，解题关键是要理解题意，每个
车站都既可以作为起始站，可以到达除本站外的任何一个站．
举一反三1（2023上·河南许昌·七年级许昌市第一中学校联考期末）2022年9月8日，随
着列车从郑州港区段鸣笛出发，郑许市域铁路开始空载试运行，未来“双城生活模式”指
日可待．图中展示了郑许市域铁路的其中五个站点，若要满足乘客在这五个站点之间的往
返需求，铁路公司需要准备 种不同的车票．
【答案】20
【分析】先求得单程的车票数，在求出往返的车票数即可．
【详解】解：5个点中线段的总条数是 （种），
∵任何两站之间，往返两种车票，
∴应印制 （种），
故答案为：20．
【点睛】此题考查了数线段，解决本题的关键是掌握“直线上有 个点，则线段的数量有
条”．
举一反三2（2023上·江苏宿迁·七年级统考期末）如图，已知：C是线段 的中点，
，点D在 上，
(1)写出以D为端点的线段．
(2)求线段 的长(3)求线段 的长
(4)请你写出一个与上述3个不同的数学问题．
【答案】(1) ， ，
(2)
(3)
(4)求线段 的长（答案不唯一）
【分析】（1）以点 为端点，根据图形即可求解；
（2）根据线段的中点的性质即可求得；
（3）根据线段的和与差即可求得；
（4）根据题意即可得到，注意答案不唯一．
【详解】（1）根据图形，以点 为端点的线段有： ， ， ．
（2）∵C是线段 的中点， ，
∴ ．
（3）根据图形可得： ．
（4）可提问：求线段 的长（答案不唯一）．
【点睛】本题考查了线段的性质，线段中点的性质，线段的和差倍分运算等，熟练掌握线
段的相关性质是解题的关键．
举一反三3（2021上·江西吉安·七年级校考阶段练习）观察图形，并回答下列问题：
(1)图中共有几条线段？说明你分析这个问题的具体思路；
(2)请你用上面的思路来解决“十五个同学聚会每个人都与其他人握一次手，共握了多少
次”这个问题；
(3)十五个同学聚会，每个人都送给其他人一张名片呢，共送了几张？
【答案】(1)10条，见解析；
(2)共握了105次；
(3)共送了210张．
【分析】（1）根据线段的概念，分别得到以 、 、 、 为端点，且不重复的线段，相
加即可得到答案；（2）将人演化成点，根据（1）结论，即可得到答案；
（3）十五个同学聚会，每个人都送给其他人一张名片，即每个人都送了14次，据此即可
得到答案．
【详解】（1）解：图中共有10条线段，分析思路如下：
以 为端点的线段有： 、 、 、 ，共4条；
以 为端点，且与前面不重复的线段有： 、 、 ，共3条；
以 为端点，且与前面不重复的线段有： 、 ，共2条；
以 为端点，且与前面不重复的线段有： ，共1条；
答：图中共有 条线段；
（2）解：将人演化成点，根据（1）结论可知，
握手的次数为： ，
答：十五个同学聚会每个人都与其他人握一次手，共握了105次；
（3）解：十五个同学聚会，每个人都送给其他人一张名片，即每个人都送了14次，
，
答：十五个同学聚会，每个人都送给其他人一张名片呢，共送了210张．
【点睛】本题考查了线段的计数，线段计数时注意分类讨论，做到不遗漏，不重复，理解
（3）互送的区别．
题型7 两点确定一条直线
例7（2024上·陕西咸阳·七年级校考阶段练习）建筑工人在砌墙时，经常用细绳在墙的两
端之间拉一条参照线，使砌的每一层砖在一条直线上，这样做蕴含的数学原理是（ ）．
A．两点之间的所有连线中，线段最短 B．两点确定一条直线
C．过一点有无数条线段 D．线段有两个端点
【答案】B
【分析】本题考查了直线的性质公理，根据直线的性质公理，两点确定一条直线进行解答
即可；【详解】解：建筑工人在砌墙时，经常用细绳在墙的两端之间拉一条参照线，使砌的每一
层砖在一条直线上，这样做蕴含的数学原理是：两点确定一条直线．
故选：B
举一反三1（2023上·辽宁营口·七年级校联考阶段练习）如图，李沐买了一个简易的浴室
置物架，要在墙上固定它至少需要两个钉子，理由是 ．
【答案】两点确定一条直线
【分析】本题考查了直线的性质以及两点确定一条直线的应用：根据“要在墙上固定一个
简易的浴室置物架至少需要两个钉子”，即运用两点确定一条直线的原理，即可作答．
【详解】解：依题意，
李沐买了一个简易的浴室置物架，要在墙上固定它至少需要两个钉子，理由是两点确定一
条直线．
故答案为：两点确定一条直线
举一反三2（2023上·天津南开·七年级统考期末）植树时，先确定出两个树坑的位置，从
而确定一行树坑的位置，这是因为 ．
【答案】两点确定一条直线
【分析】本题考查了直线的应用：两点确定一条直线，根据“确定出两个树坑的位置，从
而确定一行树坑的位置”，故运用了两点确定一条直线这个原理，即可作答．
【详解】解：∵植树时，先确定出两个树坑的位置，从而确定一行树坑的位置，
∴这是因为两点确定一条直线
故答案为：两点确定一条直线
题型8 作线段（尺规作图）
例8（2023上·福建宁德·七年级福鼎市第一中学校考阶段练习）如图，已知两点A，B和线
段m．(1)尺规作图：画线段 ，并在线段 上截取 ，使 ；（保留作图痕迹，不写作
法）
(2)在上图中，若 ， ，点D是线段 的中点，求线段 的长．
请将下面的解题过程补充完整：
解： ________-________， ， ，
________．
∵点D是线段 的中点，
________．（理由：________）
________．
【答案】(1)见解析
(2) ， ；4； ，线段中点的定义；2
【分析】本题考查了线段中点的计算，以及线段的和差．
（1）利用尺规作图的方法作出图形即可；
（2）先根据线段的和差求出 的长，再根据中点定义即可求出 的长．
【详解】（1）解：所作图形，如图所示，
；
（2）解： ， ， ，
．
点 是线段 的中点，
．（理由：线段中点的定义）
．
故答案为： ， ；4； ，线段中点的定义；2．
举一反三1（2023上·陕西宝鸡·七年级统考阶段练习）如图，已知线段 ，利用尺规，
求作一条线段 ，使 （保留作图痕迹，不写作法）
【答案】见解析
【分析】本题考查了尺规作图—作线段，作射线 ，在射线 上顺次截取 ，
，线段 即为所求作，理解题意，灵活运用所学知识点是解此题的关键．【详解】解：如图， 即为所求作，
．
举一反三2（2023上·山西太原·七年级山西大附中校考阶段练习）如图，已知四点 、 、
、 ，请利用尺规完成作图．（保留作图痕迹）
(1)作直线 ；
(2)作线段 ；
(3)作射线 并在射线 上找点 ，使得 ；
(4)在线段 上取点 ，使 的值最小．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
(4)见解析
【分析】本题主要考查了画直线，射线，线段，线段的尺规作图，两点之间线段最短等等，
熟知相关画图方法是解题的关键．
（1）根据直线的画法画图即可；
（2）根据线段的画法画图即可；
（3）根据射线的画法先画出射线 ，以点C为圆心，以 的长为半径画弧交射线 于
点F，再以F为圆心，线段 的长为半径画弧交射线 于点E，射线 和点C即为所求；
（4）根据两点之间线段最短，连接 交 于P，点P即为所求．
【详解】（1）解：如图所示，直线 即为所求；
（2）解：如图所示，线段 即为所求；
（3）解：如图所示，射线 和点C即为所求；
先作射线 ，以点C为圆心，以 的长为半径画弧交射线 于点F，再以F为圆心，线
段 的长为半径画弧交射线 于点E，射线 和点C即为所求；（4）解：如图所示，点P即为所求；
根据两点之间线段最短，连接 交 于P，点P即为所求．
题型9 线段的和与差
例9（2023上·安徽淮南·七年级校考阶段练习） 三点在同一直线上，线段
，那么 两点的距离是（ ）
A． B． 或 C． D．以上答案都不对
【答案】B
【分析】本题主要考查了线段的和差计算，分当点C在线段 上时，当点C在线段 的
延长线上时，两种情况根据线段的和差关系讨论求解即可．
【详解】解：如图所示，当点C在线段 上时，
∵ ，
∴ ；
如图所示，当点C在线段 的延长线上时，
∵ ，
∴ ；
综上所述， 两点的距离是 或 ，
故选B．
举一反三1（2023上·湖北荆州·七年级校联考阶段练习）两条长度分别为16cm和20cm的线段有一个端点重合，且在同一条直线上，则这两条线段的中点之间的距离为（ ）
A．2cm B．18cm C．4cm或20cm D．2cm或18cm
【答案】D
【分析】本题考查了线段的和差关系，主要利用了线段的中点定义，难点在于要分情况讨
论，作出图形更形象直观．设较长的线段为 ，较短的线段为 ，根据中点定义求出
、 的长度，然后分① 不在线段 上时， ，② 在线段 上
时， ，分别代入数据进行计算即可得解．
【详解】解：如图，设较长的线段为 ，较短的线段为 ，
∵M、N分别为 、 的中点，
∴ ， ，
∴①如图1， 不在线段 上时， ，
②如图2， 在线段 上时， ，
综上所述，两条线段的中点间的距离是2cm或 ；
故选：D．
举一反三2（2023上·浙江嘉兴·七年级校联考阶段练习）如图，同一直线上有A、B、C、
D四点，已知 ， ， ，则 的长为（ ）
A．1.5 B．2 C．2.5 D．3
【答案】D
【分析】本题考查两点间的距离．根据 ， ，求出 ，再
根据 即可求解．【详解】解：∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
整理得： ，
∴ ，
解得： ，
∴ ，
∴ ．
故选：D
举一反三3（2023上·广东惠州·七年级期末）如图，C在线段 上， ，
，M是线段 的中点，请求出线段 的长．
【答案】 ．
【分析】本题主要考查线段的和差运算，中点的意义．根据线段中点的定义以及图形中线
段之间的和差关系进行计算即可．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
又∵M是线段 的中点，
∴ ，
∴ ．
题型10 线段中点的有关计算例10（2023上·全国·七年级专题练习）如图所示，C、D为线段 的三等分点，点E是线
段 的中点．若 ，则 的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】A
【分析】本题考查线段中点的性质，线段n等分点的性质，线段的和与差．利用数形结合
的思想是解答本题的关键．由点E是线段 的中点，C、D为线段 的三等分点可推出
，再由 ，即可求出 的长．
【详解】∵点E是线段 的中点，
∴ ．
∵C、D为线段 的三等分点，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
故选A．
举一反三1（2023上·黑龙江绥化·七年级统考期末）点 在同一条直线上，
，点 分别是 的中点．若 ，则 的长是 ．
【答案】4或8
【分析】本题考查了线段中点的性质，线段和差．根据题意作出图形，分两种情况讨论，
当 在 的延长线上时，当 在线段 上时，根据线段中点的的性质以及线段和差的计
算即可求解．
【详解】解：当 在 的延长线上时，如图，
∵ ， ，
∴ ，
∵点 分别是 的中点，∴ ， ，
∴ ；
当 在线段 上时，如图，
∵ ， ，
∴ ，
∵点 分别是 的中点，
∴ ， ，
∴ ；
故答案为：4或8．
举一反三2（2023上·河北沧州·七年级统考期中）已知点A、B、C在同一条直线上，点
M、N分别是线段 、 的中点， ， ，求线段 的长.
【答案】 或 ；
【分析】本题考查线段中点有关计算，分点 在点 左侧和右侧两类讨论，结合点求解即
可得到答案；
【详解】解：当点 在点 右侧时，如图所示，
∵M、N分别是线段 、 的中点， ， ，
∴ ， ，
∴ ，
；
当点 在点 左侧时，如图所示，
∵M、N分别是线段 、 的中点， ， ，
∴ ， ，
∴ ，
；
综上所述： 的长为： 或 ．
举一反三3（2023上·河北沧州·七年级统考期中）如图，已知C、D两点在线段AB上．(1) ___________， ____________ __________；
(2)若 ， ，D为线段 的中点，那么 的长为多少？
【答案】(1) ， ， ；
(2) ；
【分析】本题考查了线段的和差以及，线段中点有关计算，找出线段之间的数量是解题关
键．
（1）根据图形直接求解即可得到答案；
（2）根据 ，D为线段 的中点得到 ，结合 即可得到
答案；
【详解】（1）解：由图形可得，
， ，
故答案为： ， ， ；
（2）解：∵ ，D为线段 的中点，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
举一反三4（2023上·江西南昌·七年级统考阶段练习）如图，点C在 上，点M、N分
别是 的中点，
(1)若 ，求线段 的长；
(2)若点C为线段 上任意一点，满足 ，其他条件不变，你能猜想MN的长
度吗？并说明理由；
(3)若点C在线段 的延长线上，且满足 ，点M、N分别为 的中点，
你能猜想 的长度吗？请画出图形，并说明理由．
【答案】(1)
(2) ，理由见解析(3) ，理由见解析
【分析】本题考查了线段中点的有关计算，掌握线段之间的和差关系是解题关键．
（1）根据题意求得 和 的长，利用线段的关系 即可得出答案；
（2）根据题意设 得到 ，求得 和 的长，利用线段的关系 即可
得出答案；
（3）根据题意设 得到 ，求得 和 的长，利用线段的关系 即可
得出答案；
【详解】（1）解：∵ ， ，M，N分别是 ， 的中点
∴ ， ，
则 ．
（2）解：设 ， ，
∵M，N分别是 ， 的中点．
∴ ， ，
则 ．
（3）解：
设 ，根据题意得 ，如图，
∵点C在线段 的延长线上，M，N分别是 ， 的中点，
∴ ， ，
则 ．
题型11 线段n等分点的有关计算例1二等分点：又叫线段的 ，把线段分成 的两部分．
即：如图，若点P是线段 的中点，则 或
三等分点：把线段分成 的三部分．以此类推．
【答案】 中点 相等 相等
【分析】本题考查了线段的中点，线段的三等分点，正确理解定义是解题的关键．
【详解】二等分点：又叫线段的中点，把线段分成相等的两部分．
即：如图，若点P是线段AB的中点，
则 或
三等分点：把线段分成相等的三部分．以此类推．
故答案为：中点；相等；相等．
举一反三2（2023上·江西南昌·七年级南昌市第二十八中学校联考期中）如图，图中数轴
的单位长度为 ．若原点 为 的四等分点，则 点代表的数为 ．
【答案】 或 或
【分析】根据线段的四等分点有 个，分三种情况并结合图形即可得出答案．
【详解】解：∵图中数轴的单位长度为 ，
∴ ，
①如图，当点 靠近点 时，
∵原点 为 的四等分点，
∴ ，
∴ 点代表的数为 ；
②如图，当点 恰好是线段 的中点时，
∵原点 为 的四等分点，∴ ，
∴ 点代表的数为 ；
③如图，当点 靠近点 时，
∵原点 为 的四等分点，
∴ ，
∴ 点代表的数为 ；
综上所述， 点代表的数为 或 或 ，
故答案为： 或 或 ．
【点睛】本题考查线段的四等分点，用数轴上的点表示有理数，数轴上两点之间的距离，
运用了分类讨论的思想．解题的关键是掌握线段的四等分点的定义：把一条线段平均分成
份．
举一反三3（2023上·陕西咸阳·七年级统考期末）如图，在一条不完整的数轴上从左到右
有点 ， ， ， ，其中 ，且 ．
(1)则 的长为 ；
(2)若以 为原点，写出点 ， ， 所对应的数，并求出它们所对应数的和．
【答案】(1)
(2)点 ， ， 所对应的数分别为 ， ， ，和为
【分析】（1）根据 ，且 ，可得 ，即可求解；
（2）根据数轴上两点的距离，可得点 ， ， 所对应的数分别为 ， ， ，进而即
可求解．【详解】（1）解：∵ ，且
∴ ，
故答案为： ．
（2）因为 ， ，
所以
若以 为原点，则点 ， ， 所对应的数分别为 ， ， ，
所以点 ， ， 所对应的数的和为 ．
【点睛】本题考查了线段的和差计算，数轴上的两点距离，数形结合是解题的关键．
题型12 线段之间的数量关系
例12（2018上·浙江·七年级阶段练习）已知线段 ， ，则点C的
位置是在：①线段 上；②线段 的延长线上；③线段 的延长线上；④直线 外，
其中可能出现的情况有（ ）．
A．3种 B．2种 C．1种 D．0种
【答案】A
【分析】本题考查两点间的距离与线段的和差，本题根据题干所给情况，一一结合图形分
析即可解题．
【详解】解：①如图点 在线段 上，
，
，与题干 矛盾，
点 不可能在线段 上，
即①不符合题意．
②如图点 在线段 的延长线上，
， ，
，解得 ．当 时，满足 ，
即点 可能出现在线段 的延长线上．
②符合题意．
③如图点 在线段 的延长线上，
证明方法与②类似，即当 时，满足 ，
所以点 可能出现在线段 的延长线上，
③符合题意．
④如图点 在直线 外，
由线段和差可知 ，即 ，可以为 ，
所以点 可能出现在直线 外，
④符合题意．
综上所述，点 的位置可能出现在②③④．
故选A．
举一反三1（2023上·江苏南京·七年级南京市竹山中学校考阶段练习）如果点 在线段
上，下列式子：① ，② ，③ ，④ ．能
判断 是线段 的中点的有 ．
【答案】①②③
【分析】本题考查了线段的中点，以及线段的和差运算等内容，要注意“点 在线段
”这个前提，据此逐项分析，即可作答．
【详解】解：∵点 在线段 上，
∴ ，
∴ 是线段 的中点
故①正确；
∵点 在线段 上，∴ 是线段 的中点
故②正确；
∵ ，点 在线段 上，
∴
即
∴ 是线段 的中点
故③正确；
∵点 在线段 上，
∴
但不能知道 这两条线段是不是相等的，
故④是错误的
故答案为：①②③
举一反三2（2023上·广东广州·七年级期末）已知点C是线段 上一点， ．
(1)若 ，求 的长；
(2)若 ，D是 的中点，E是 的中点，请用含a的代数式表示 的长，并说明
理由．
【答案】(1)
(2) ，理由见解析
【分析】（1）首先根据 ， ，求出 的长度是多少；然后用 的长减
去 的长，求出 的长是多少即可．
（2）首先根据D是 的中点，E是 的中点，可得： ， ，推得
；然后根据 ，用含a的代数式表示 的长即可．
此题考查了线段中点的相关计算、线段的和差等知识，弄清楚各线段之间的数量关系是解
题的关键．【详解】（1）解：∵ ， ，
∴ ，
∴ ．
（2）如图，
，
∵D是 的中点，E是 的中点，
∴ ， ，
∴ ．
举一反三3（2023上·湖南长沙·七年级长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校校考阶段练
习）材料阅读：对线段 而言，当点 在线段 上，且点 是 的中点时，有
，反过来，当有 时，则点 为线段 的中点．
(1)如图1，点 在线段 上，若 ，则 ______；若 ，
则 ______；
(2)如图2，已知线段 ，点 分别从点 和点 同时出发，相向而行，点 的
运动速度为 ，点 的运动速度为 ，若它们相遇则点 同时停止运动．线
段 的中点为点 ，线段 的中点为点 ，运动 时，求两中点 之间的距离；
(3)已知线段 ，点 分别从点 和点 同时出发，相向而行，若点 的运
动速度分别为 和 ，点 到达点 后立即以原速返回，点 到达点 时，点
同时停止运动，设运动时间为 s，则当 为何值时，等式 成立？【答案】(1) ，
(2) 之间的距离
(3) 或 时，等式成立
【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，线段中点等知识．运动过程中用含 的式
子表达线段的长度是解决本题的关键．
（1）用含 式子表示 ，即可求解；
（2）由题意先求 和 ，根据中点定义求出 和 ，即可求得 的距离；
（3）分两种情况：当点 到达点 之前时，当点 到达点 返回时，分别表示 、 ，
代入题中等式，即可求出时间 ．
【详解】（1）解： ，
，
又 ，
，
．
（2）如图，
点 的运动速度为 ，点 的运动速度为 ，运动时间为 ，
， ，
又 、 是线段 、 的中点，
， ，
．
（3）当点 到达点 之前时，即 时，由题意得， ， ，
，
又 ，
，
解得： ；
当点 到达点 返回时，即 时，
由题意得， ， ，
又 ，
，
解得： ，
综上所述，当 或 时，等式 成立．
题型13 与线段有关的动点问题
例13（2022上·江苏无锡·七年级统考期末）如图，线段 ，动点P从A出发，以
的速度沿 运动，M为 的中点，N为 的中点．以下说法正确的是（ ）
①运动 后， ；
② 的值随着运动时间的改变而改变；
③ 的值不变；
④当 时，运动时间为 ．A．①② B．②③ C．①②③ D．②③④
【答案】D
【分析】本题考查两点间的距离，动点问题，线段的和差问题，根据题意，分别用代数式
表示出 的长，根据线段之间和差倍关系逐一判断即可．
【详解】解：运动 后， ， ，
M为 的中点，
，
，故①错误；
设运动t秒，则 ， ，
M为 的中点，N为 的中点，
，
，
的值随着运动时间的改变而改变，故②正确；
， ，
，
的值不变，故③正确；
， ，
，
解得： ，故④正确；
故选：D
举一反三1（2023上·江苏徐州·七年级校考期末）点 是线段 上一点，若
（n为大于1的正整数），则我们称点 是 的最强 点．例如， ，
，则 ，称E是 的最强 点； ，则 是的最强 点．
(1)点 在线段 上，若 ， ，点 是 的最强 点，则 ______．
(2)若 ， 是 的最强 点，则 ______．（用n的代数式表示）
(3)一直线上有两点A，B， ，点 从B点出发，以每秒 的速度向A运动，运
动到点A时停止．点 从点A出发，以每秒 的速度沿射线 运动，t为多少时，点
B， ， 恰好有一个点是其余2个点的最强 点．（用n的代数式表示）
【答案】(1)
(2)
(3)当 为 或 或 或 或 时，点 恰好有一个点
是其余2个点的最强 点
【分析】（1）根据“最强 点”的定义计算即可；
（2）根据“最强 点”的定义列式即可；
（3）将点 、 的运动分成未相遇，相遇后，点 经过点 后，和点 到达点 后四种
阶段讨论，并且每个阶段又有可能有2种不同的 点的情况．
【详解】（1）∵点 是 的最强 点，
故答案为： ；
（2）∵ 是 的最强 点，又
故答案为： ；
（3）解：根据题意，当 时 、 相遇，
解得 ，
阶段一：点 、 未相遇时，即 时，
①设 时点 为 的最强 点，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
解得 ，
又∵ ，即 ，
∴ ，
∵ 为大于1的正整数，
∴ 满足题意；
②设 时，点 为 的最强 点，
∴ ，
∵ ，
∴ ，解得 ，
又∵ ，即 ，
∴ ，
∵ 为大于1的正整数，
∴ 符合题意；
阶段二：点 、 相遇后，且点 未到达点 ，即 时，
③设 时，点 为 的最强 点，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，即 ，
∴ ，
∵ 为大于1的正整数，
∴ 符合题意；
④设 时，点 为 的最强 点，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，又∵ ，即 ，
∴ ，
∵ 为大于1的正整数，
∴ 符合题意；
阶段三：点 经过点 后，且点 未到达点 ，即 时，
⑤设 时，点 为 的最强 点，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，即 ，
∴ ，
∴ 符合题意；
⑥设 时，点 为 的最强 点，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，即 ，
∴ ，∴ 不符合题意，舍去；
阶段四：点 到达点 后，即 时，
∵ ，
∴点 不可能为 的最强 点；
⑦设 时，点 为 的最强 点，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，即 ，
∴ ，
∴ 符合题意；
综上所述，当 为 或 或 或 或 时，点 恰好
有一个点是其余2个点的最强 点．
【点睛】本题考查了解一元一次方程，列一元一次方程解应用题，线段上的动点问题，运
用分类讨论的思想，正确地列出代数式表示出线段的长是解题的关键．
举一反三2（2023上·河北石家庄·七年级校考期中）如图，已知点 、 在线段 上．
(1)图中共有________条线段；
(2)若 比较线段的大小： ________ （填：“>”，“=”，或“<”）；
(3)若 ， ， 是 的中点， 是 的中点（如下图）．
①求 的长度；
②嘉嘉同学分析探究后说，当线段 在射线 上运动时，线段 的长度不变．你同意
他的说法吗？并说明理由．
【答案】(1)6(2)
(3)① ；②同意，理由见详解
【分析】本题主要考查了两点间的距离以及线段的和差关系，利用中点性质转化线段之间
的倍分关系，在不同情况下灵活选用它的不同表示方法，有利于解题的简洁性．
（1）依据 、 在线段 上，即可得到图中共有线段 ．
（2）依据 ，即可得到 ，进而得出 ．
（3）①依据线段的和差关系以及中点的定义，即可得到 的长度．
②分为当点 在线段 上，点 在射线 上运动时；当点 在射线 上，点 在射线
上运动时，两种情况分别求解判断即可；
【详解】（1）解：∵ 、 在线段 上，
∴图中共有线段 共6条．
故答案为：6；
（2）若 ，则 ，即 ．
故答案为： ；
（3）①∵ ，
∴ ，
∵ 是 的中点， 是 的中点，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
②当线段 在射线 上运动时，
当点 在线段 上，点 在射线 上运动时：
∵ ，
∴ ，∵ 是 的中点， 是 的中点，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
当点 在射线 上，点 在射线 上运动时：
∵ ，
∴ ，
∵ 是 的中点， 是 的中点，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
∴线段 的长度不变．
举一反三3（2023上·江西抚州·七年级校联考期中）如图，在数轴上A点表示数a，B点
示数b，C点表示数c，b是最小的正整数，且a，c满足 ．
(1) ______， ______， ______．
(2)点P从点A出发，以 秒的速度沿数轴向右匀速运动，点Q从点C出发，沿数轴向
左匀速运动，两点同时出发，当点Q运动到点A时，点P，Q停止运动．当 时，
点Q运动到的位置恰好是线段 的中点，求点Q的运动速度；（注：点O为数轴原点）
(3)在（2）的条件下，当点P运动到线段 上时，分别取 和 的中点E，F．请问：
的值是否随着时间t的变化而变化？若变化，请说明理由；若不变，请求其值．
【答案】(1) ，1，7
(2)点Q的运动速度是 或者(3)不变，值为2
【分析】（1）根据绝对值的非负性以及平方的非负性，得 ， 的值，结合b是最小的正
整数，即可得 的值；
（2）先求出点Q，此时 ，再进行分类讨论，当点P在 上时或当点P在 上时，
根据线段之间的和差关系以及路程等于时间乘速度等知识进行列式，即可作答；
（3）易得 ， ，根据线段之间的和差关系得 ，
再代入 ，化简即可作答．
【详解】（1）解：因为
所以 ，
因为b是最小的正整数，
所以 ；
（2）解：∵点Q运动到的位置恰好是线段OA的中点，
∴点Q表示的数是 ，此时 ，
由 ，可分两种情况：
①当点P在 上时，得 ，
此时 ；
∴点P运动的时间为 ，
∴点Q的运动速度 ；
②当点P在 上时，得 ，
此时 ，
∴点P的运动时间是 ，
∴点Q的运动速度 ，综上，点Q的运动速度是 或者 ；
（3）解：不变，理由如下：
设运动时间为t秒，此时 ， ，
∵点E是 的中点，
∴ ，
∵点F是 的中点， ，
∴ ，
∴ ， ．
∴ ．
【点睛】本题考查了绝对值的非负性以及在数轴上表示有理数，数轴上两点间的距离，数
轴上的动点问题，线段之间的和差关系等知识内容，涉及分类讨论，难度适中，综合性较
强，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
题型14 两点之间线段最短
例14（2023上·安徽宿州·七年级统考阶段练习）在下列现象中，体现了基本事实“两点确
定一条直线”的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】本题主要考查了直线的性质以及线段的性质，直接利用直线的性质以及线段的性质分析得出答案．
【详解】解：第一、二、三幅图中的生活、生产现象可以用基本事实“两点确定一条直
线”来解释，第四幅图中利用的是“两点之间，线段最短”的知识．
故选：C．
举一反三1（2022上·河北石家庄·七年级统考期末）如图，用剪刀沿直线将一片平整的长
方形纸片剪掉上部分，发现剩下纸片的周长比原纸片的周长要小，能正确解释这一现象的
数学知识是（ ）
A．两点之间，线段最短 B．两点确定一条直线
C．过一点，有无数条直线 D．连接两点之间的线段的长度是两点间的距
离
【答案】A
【分析】本题考查两点之间，线段最短，充分理解并熟记该数学结论是解题关键．
【详解】解：如图：
根据两点之间，线段最短，则有
∴剩下纸片的周长比原纸片的周长要小
故选：A．
举一反三2（2023上·陕西西安·七年级西安市西光中学校考阶段练习）如图，把一段弯曲
的河道改直可以缩短航程，其理由是（ ）
A．两点确定一条直线 B．两点确定一条线段
C．两点之间，直线最短 D．两点之间，线段最短【答案】D
【分析】本题考查线段的性质，解题的关键是掌握两点之间，线段最短，利用此公理即可
得到答案．
【详解】解：把一段弯曲的河道改直可以缩短航程，其理由是两点之间，线段最短，
故选：D．
举一反三3（2023上·陕西西安·七年级校联考阶段练习）“把弯曲的公路改直，就能络短
路程”，其中蕴含的数学知识是 ．
【答案】两点之间，线段最短
【分析】本题考查了线段的性质；根据两点之间，线段最短可得答案．
【详解】解：“把弯曲的公路改直，就能络短路程”，其中蕴含的数学知识是两点之间，
线段最短，
故答案为：两点之间，线段最短．
题型15 两点间的距离
例15（2023上·陕西西安·七年级西安市西光中学校考阶段练习）直线 上有三点 ，
其中 ， ， 分别是 的中点，则 的长是（ ）
A． 或 B． 或 C． 或 D． 或
【答案】B
【分析】本题考查了两点之间的距离、线段的中点，分类讨论：当点 在线段 的延长
线上时，当点 在线段 之间时，利用线段的中点公式及两点的距离公式即可求解，熟
练掌握基础知识是解题的关键．
【详解】解：当点 在线段 的延长线上时，如图：
， ，且 分别是 的中点，
， ，
，
当点 在线段 之间时，如图：
， ，且 分别是 的中点，， ，
，
综上所述， 的长是 或 ，
故选B．
举一反三1（2023上·全国·七年级专题练习）已知直线上 ， 两点相距 ，点 是线
段 的中点，点 与点 相距 ，则 的长度是（ ）
A． B． C． D． 或
【答案】D
【分析】本题考查的是两点间的距离，线段中点定义，根据线段中点的性质，可得
，分两种情况：当点 在点 右侧时，当点 在点 左侧时，分别利用线
段的和差关系进行求解．在解答此题时要注意分类讨论，不要漏解．
【详解】解：∵点 是线段 的中点， ，
∴ ，
点 与点 相距 ，
，
当点 在点 右侧时，
此时， ；
当点 在点 左侧时，
此时， ；
即： 的长度为 或 ，
故选：D．
举一反三2（2023上·重庆沙坪坝·七年级重庆市凤鸣山中学校联考阶段练习）如图，已知
点C是线段 上一点，且 ，点D是 的中点， ．(1)求 的长；
(2)若点F是线段 上一点，且 ，求 的长．
【答案】(1)
(2)21cm或27cm
【分析】（1）依据题意，由 可得 ，根据点 是 的中点，再由
，进而建立方程可以得解；
（2）由题意可以判断F在点C的左边或右边，进而有两种情形：
或 ，进而可以得解.
本题考查了两点间的距离，线段的和差，分类讨论思想的应用是解决本题的关键．
【详解】（1）解：∵ ， ，
∴ ．
∴ ．
又∵点D是 的中点，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∴ ．
（2）由题意，F在点C的左边或右边，
①F在点C的左边，
∵ ，
∴ ．
∴ ．∴ ．
②F在点C的右边，
∵ ，
∴ ．
∴ ．
综上所述， 的长为21cm或27cm．
举一反三3（2022上·新疆省直辖县级单位·七年级校考期末）如图，已知点C为线段
上一点， ，且 ，D，E分别为线段 的中点，求线段 的长．
【答案】
【分析】本题考查了两点间的距离，解决本题的关键是利用中点的定义．根据线段中点定
义即可求解．
【详解】解： ， ，
， ，
， 分别为线段 ， 的中点，
， ，
一、选择题
1．（2023上·河北沧州·七年级统考期中）已知线段 ，点C在直线 上，
，那么线段 的长为（ ）
A． B． C． 或 D．无法判断
【答案】C
【分析】本题考查的是线段的和差运算，在画图类问题中，正确画图很重要，本题渗透了分类讨论的思想，体现了思维的严密性，分两种情况讨论：当点C在线段 上时，当点C
在 的延长线上时，即可求解．
【详解】解：当点C在线段 上时，
；
当点C在 的延长线上时，如图，
；
综上所述，线段 的长为 或 ．
故选：C
2．（2023上·四川遂宁·八年级四川省遂宁市第二中学校校考阶段练习）下列尺规作图的语
句正确的是（ ）
A．延长射线 到 B．以点 为圆心，任意长为半径画弧
C．作直线 D．延长线段 至 ，使
【答案】B
【分析】本题主要考查了尺规作图的定义的运用，解题时注意：尺规作图是指用没有刻度
的直尺和圆规作图，只使用圆规和直尺，并且只准许使用有限次，来解决不同的平面几何
作图题．根据线段、射线以及直线的概念，利用尺规作图的方法进行判断即可得出正确的
结论．
【详解】A、射线只能反向延长，故不正确；
B、以点 为圆心，任意长为半径画弧，正确；
C、直线没有长度，故不正确；
D、延长线段 至 ，不能使 ．
故选：B
3．（2023上·河北沧州·七年级统考期中）在平面上有三个点，可以确定的直线的条数为（
）A．1条 B．3条 C．1条或3条 D．无法确定
【答案】C
【分析】本题考查两点确定一条直线，分三点共线和三点不共线两类讨论根据任意三点不
共线的点确定直线公式 代入求解即可得到答案．
【详解】解：当三点共线时，能确定一条直线，
当三点不共线时，直线条数为： ，
故选：C．
4．（2023上·山西晋城·七年级校联考阶段练习）如图， ， 为线段 上的两点，
， 是线段 的中点，若 ，则 的长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了线段和的意义和线段中点的意义，利用线段和的定义和线段中点的意
义计算即可，熟练掌握两个概念并灵活运用进行线段的计算是解题的关键．
【详解】∵ ， ，
∴ ， ，
∵ 是线段 的中点，
∴ ，
∴ ，
故选： ．
5．（2023上·安徽亳州·七年级统考阶段练习）在同一平面内有四条直线，每两条直线都相
交，则这四条直线的交点共有（ ）
A．6个 B．1个或4个 C．6个或4个 D．1个或4个或6个
【答案】D
【分析】本题考查了直线相交问题，分成经过一个交点和不经过一个交点两种情况进行讨
论求解即可．【详解】解：四条直线经过同一个交点，这时只有一个交点，如图所示：
四条直线不经过同一个交点，这时有4个交点，如图所示：
四条直线没有公共交点，两两相交，这时有6个交点，如图所示：
故选：D．
二、填空题
6．（2023上·山西晋城·七年级校联考阶段练习）如图，直线 与 相交于点 ， 是
直线 上一点，以 为圆心， 长为半径画弧，与直线 ， 分别交于点 ， ，
再以点 为圆心， 长为半径画弧，交直线 于点 ，过点 作直线 ，延长 交
直线 于点 ，若图中以点 为端点的射线有 条，与线段 相等的线段有 条（不包
括 ），则代数式 的值为 ．【答案】
【分析】本题考查了射线、线段、代数式求值、整式的加减运算，根据题意得 ，
，再根据整式的加减运算法则得 ，再将 ， 代入原式即可求解，熟
练掌握其运算法则是解题的关键．
【详解】解：依题意得： ， ，
，
将 ， ，代入原式得： ，
故答案为： ．
7．（2023上·全国·七年级专题练习）①用一个小写字母表示．即表示为 ．
②用含端点的两个大写字母表示． 在前．即表示为 ．
【答案】 射线l 端点字母 射线
【分析】本题考查了射线的表示方法，根据射线可以用一个小写字母表示，也可用用两个
大写字母表示，用两个大写字母表示时，端点字母在前，即可解答．
【详解】解：①用一个小写字母表示．即表示为射线l．
②用含端点的两个大写字母表示．端点字母在前．即表示为射线 ．
故答案为：射线l，端点字母，射线 ．
8．（2023上·广东汕尾·九年级陆丰市玉燕中学校考阶段练习）如图，2条直线相交最多有
1个交点，3条直线两两相交最多有3个交点，4条直线两两相交最多有6个交点……，若
n条直线两两相交最多有45个交点，则n的值是 ．【答案】10
【分析】本题主要考查了若干条直线两两相交的交点个数．根据题意可得n条直线两两相
交最多有 个交点，即可求解．
【详解】解：2条直线相交最多有 个交点，
3条直线两两相交最多有 个交点，
4条直线两两相交最多有 个交点，
……，
由此发现，n条直线两两相交最多有 个交点，
∵n条直线两两相交最多有45个交点，
∴ ，
解得： ，
即n的值是10．
故答案为：10
9．（2023上·山东聊城·七年级校考阶段练习）两条直线最多有1个交点，3条直线最多有3
个交点，4条直线最多有6个交点 依此类推，8条直线最多有 个交点
【答案】28
【分析】读懂题意，找到规律即可．
【详解】解：由题意得，两条直线最多有 个交点，
3条直线最多有 个交点，
4条直线最多有 个交点，
……条直线最多有 个交点，
8条直线最多有 个交点，
故答案为：28．
【点睛】本题主要考查了直线的交点个数，数字类规律题，明确题意，准确得到规律是解
题的关键．
10．（2022上·七年级单元测试）如图所示， ．
【答案】
【分析】根据图观察可知道点 是线段 上的一点即可推出答案.
【详解】解：由题图可知，线段 是线段 的一部分，
．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了线段的长短问题．题目比较简单，如何比较线段大小是解题的关键．
三、解答题
11．（2023上·河南南阳·七年级统考期末）（1）如图，已知线段 ，点C是线段 上
一点，点M、N分别是线段 、 的中点．
①若 ， ，则线段 的长度是______；
②若 ， ，求线段MN的长度（结果用含a、b的代数式表示）；
（2）在（1）中，把点C是线段 上一点改为：点C是直线 上一点， ，
，其它条件不变，则线段 的长度是______（结果用含a、b的代数式表示）．
【答案】（1）①5；② ；（2） 或 或
【分析】本题主要考查了线段中点的性质，线段的和差计算，解题的关键是掌握线段中点
的定义，具有分类讨论的思想．
（1）①根据线段中点的定义可得 ， ，即可求解；②根据线段中点的定义可得 ， ，即可求解；
（2）根据题意进行分类讨论即可：当点C在线段 上时，当点C在点A的左边时，当点
C在点B的右边时．
【详解】（1）解：①∵点M、N分别是线段 ， 的中点， ， ，
∴ ， ，
∴ ，
故答案为：5；
②∵点M、N分别是线段 ， 的中点， ， ，
∴ ， ，
∴ ；
（2）当点C在线段 上时，
由（1）可得： ；
当点C在A左边时，
，
∵点M、N分别是线段 ， 的中点， ，
∴ ， ，
∴ ；
当点C在点B右边时，
∵点M、N分别是线段 ， 的中点， ，
∴ ， ，
∴ ；
综上： 或 或 ．故答案为： 或 或 ．
12．（2023上·福建福州·七年级校考阶段练习）如图，平面上有三个点A，B，C．
(1)根据下列语句作图：作出射线 ，直线 ；在射线 上取一点D（不与点C重
合），使 ；
(2)在（1）的条件下，回答问题：
①用适当的语句表述点D与直线 的关系：________；
②若 ，则 ________．
【答案】(1)见解析
(2)①点D在直线 外；②30
【分析】本题考查了直线、射线、点的作图与位置关系，解题的关键是掌握直线、射线、
点的作图与位置关系．
（1）按照题意作图即可；
（2）①根据点与直线的位置关系解答即可；②利用线段的和差计算线段长．
【详解】（1）如图，射线 ，直线 ；射线 上一点D；
（2）①点D与直线 的关系：点D在直线 外；
故答案为：点D在直线 外；
②∵ ，
∴ ．故答案为：30．
13．（2023上·山西晋城·七年级校联考阶段练习）如图， 为线段 上一点， 为 的
中点，且 ， ．
(1)求 的长．
(2)若点 在线段 上，且 ，求 的长．
【答案】(1)8
(2)7
【分析】本题考查了线段的中点有关的计算、线段的和与差：
（1）根据中点的性质得 ，进而可得 ，求出 的长即可求解；
（2）由（1）得 ， ，根据 求得 ，再根据 即可
求解；
熟练掌握基础知识是解题的关键．
【详解】（1）解： 为 的中点，
，
， ，
，
，
．
（2）由（1）得： ， ，
，
，
．
